【學霸滿分】2023-2024學年九年級數(shù)學下冊重難點專題提優(yōu)訓練（北師大版）專題06 解題技巧專題：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之五大考點（解析版）

專題06解題技巧專題：二次函數(shù)的圖象與系數(shù)之五大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問題】 1【考點二二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象共存問題】 1【考點三含字母參數(shù)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】 10【考點四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c的問題】 21【考點五二次函數(shù)的圖象與幾何動點問題】 33【典型例題】【考點一二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象共存問題】例題：（2023秋·安徽安慶·九年級校聯(lián)考階段練習）函數(shù)與函數(shù)（，是常數(shù)，且）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．B．

C．D．

【答案】D【分析】由的頂點坐標為的位置和開口方向判斷出a、b的范圍，再根據(jù)函數(shù)的圖象判斷出a、b的范圍，根據(jù)是否矛盾可得答案．【詳解】解：A．由的頂點坐標為開口向下，可知，，由函數(shù)得圖象可知，，，矛盾，故選項錯誤，不符合題意；B．由的頂點坐標為開口向下，可知，，由函數(shù)得圖象可知，，，矛盾，故選項錯誤，不符合題意；C．由的頂點坐標為開口向上，可知，，由函數(shù)得圖象可知，，，矛盾，故選項錯誤，不符合題意；D．由的頂點坐標為開口向上，可知，，由函數(shù)得圖象可知，，，故選項正確，符合題意．故選：D．【點睛】本題考查的是一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象共存的問題，掌握“一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023秋·浙江杭州·九年級校聯(lián)考階段練習）己知二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么一次函數(shù)的圖象大致是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】先根據(jù)二次函數(shù)圖象求出，，再根據(jù)一次函數(shù)圖象與其系數(shù)的關(guān)系判斷出一次函數(shù)經(jīng)過的象限即可得到答案．【詳解】解：由二次函數(shù)圖象可知，二次函數(shù)開口向下，對稱軸在y軸右側(cè)，∴，∴，∴一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，∴四個選項中只有C選項符合題意，故選C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)綜合判斷，正確根據(jù)二次函數(shù)推出，是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·內(nèi)蒙古呼和浩特·九年級?？茧A段練習）二次函數(shù)與一次函數(shù)，它們在同一直角坐標系中的圖象大致是（

）A．

B．

C．D．

【答案】A【分析】利用二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的性質(zhì)“二次函數(shù)和一次函數(shù)的常數(shù)項是圖象與y軸交點的縱坐標；一次函數(shù)的一次項系數(shù)大于0，圖象經(jīng)過一、三象限；小于0，經(jīng)過二、四象限；二次函數(shù)的二次項系數(shù)大于0，圖象開口向上；二次項系數(shù)小于0，圖象開口向下．”逐項判斷即可．【詳解】A．圖象中二次函數(shù)，一次函數(shù)，故A符合題意．B．圖象中二次函數(shù)，一次函數(shù)，故B不符合題意．C．圖象中二次函數(shù)，一次函數(shù)，故C不符合題意．D．圖象中二次函數(shù)，一次函數(shù)，故D不符合題意．故選：A．【點睛】本題考查二次函數(shù)及一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．3．（2023秋·山東臨沂·九年級校考階段練習）已知一次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象，確定的取值范圍，進而進行判斷即可．【詳解】解：∵的圖象過一、二、四象限，∴，∵，，∴拋物線的頂點坐標為，∴拋物線的開口向上，頂點位于第一象限，故滿足題意，只有選項D．故選D．【點睛】本題考查二次函數(shù)和一次函數(shù)圖象的綜合判斷，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)．4．（2023秋·山東德州·九年級統(tǒng)考階段練習）在同一直角坐標系中，函數(shù)和函數(shù)（a是常數(shù)，且）的圖象可能是（

）A．B．

C．D．

【答案】A【分析】分類討論：當或時，分別判斷一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限，二次函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸，即可得．【詳解】解：當時，函數(shù)過二、三、四象限，函數(shù)開口向下，拋物線的對稱軸，故D不符合題意；當時，函數(shù)過一、二、三象限，函數(shù)開口向上，拋物線的對稱軸，故B、C不符合題意，故選：A．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．【考點二二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象共存問題】例題：（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可知，二次函數(shù)圖象與y軸交點為時，即二次函數(shù)圖象過原點．再分兩種情況即，時結(jié)合二次函數(shù)中a，b同號對稱軸在y軸左側(cè)，a，b異號對稱軸在y軸右側(cè)來判斷出二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案．【詳解】解：①當時，二次函數(shù)開口向上，過原點，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在一、二、三象限，反比例函數(shù)在一、三象限；②當時，二次函數(shù)開口向下，過原點，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在二、三、四象限，反比例函數(shù)在二、四象限，觀察圖象可知只有D符合，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)中a的取值確定二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象．【變式訓練】1．（2023春·山東日照·九年級校考期中）在同一直角坐標系中，反比例函數(shù)與二次函數(shù)的大致圖像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)的取值范圍分當時和當時兩種情況進行討論，根據(jù)反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)進行判斷即可．【詳解】解：當時，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過一、三象限，二次函數(shù)的圖像開口向上，其對稱軸在軸右側(cè)，且與軸交于負半軸，故選項C、D不符合題意；當時，反比例函數(shù)的圖像經(jīng)過二、四象限，二次函數(shù)的圖像開口向上，其對稱軸在軸左側(cè)，且與軸交于正半軸，故選項A不符合題意，選項B符合題意．故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)的取值范圍分當時和當時兩種情況進行討論．2．（2023春·安徽合肥·九年級校考階段練習）若，函數(shù)與在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】先由函數(shù)的圖象所在象限判斷的正負，得的正負，判斷函數(shù)的圖象開口方向是否符合；由，得，判斷函數(shù)的圖象與軸交點應(yīng)在軸的正半軸上．據(jù)此逐項判斷即可．【詳解】由，得，判斷函數(shù)的圖象與軸交點應(yīng)在軸的正半軸上．A、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得，則，拋物線開口方向應(yīng)向下、拋物線與軸的交點應(yīng)在軸的正半軸上，本圖象符合，故選項A正確；B、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得，則，拋物線與軸的交點應(yīng)在軸的正半軸上，拋物線開口方向應(yīng)向上，而本圖象拋物線開口方向是向下，不符合，故選項B錯誤；C、由雙曲線的兩支分別位于一、三象限，可得，則，拋物線開口方向應(yīng)向下、拋物線與軸的交點應(yīng)在軸的正半軸上，本圖象拋物線開口方向、與軸的交點都不符合，故選項C錯誤；D、由雙曲線的兩支分別位于二、四象限，可得，則，拋物線開口方向應(yīng)向上、拋物線與軸的交點應(yīng)在軸的正半軸上，而本圖象拋物線與軸的交點在軸的負半軸上，不符合，故選項D錯誤．故選：A．【點睛】本題考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解決此類問題方法步驟一般為：（1）先根據(jù)反比例函數(shù)圖象所在象限與二次函數(shù)圖象開口方向是否同時符合的正負；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與軸的交點是否符合要求．掌握解決此類問題的方法步驟是解題的關(guān)鍵．3．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考一模）如圖，二次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系內(nèi)的圖象可能是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)可知，二次函數(shù)圖象與y軸交點為時，即二次函數(shù)圖象過原點．再分兩種情況即，時結(jié)合二次函數(shù)中a，b同號對稱軸在y軸左側(cè)，a，b異號對稱軸在y軸右側(cè)來判斷出二次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象所在象限，找到符合題意的即為正確答案．【詳解】解：①當時，二次函數(shù)開口向上，過原點，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在一、二、三象限，反比例函數(shù)在一、三象限；②當時，二次函數(shù)開口向下，過原點，對稱軸在y軸左側(cè)，故二次函數(shù)在二、三、四象限，反比例函數(shù)在二、四象限，觀察圖象可知只有D符合，故選：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)中a的取值確定二次函數(shù)以及反比例函數(shù)的圖象．4．（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┖瘮?shù)與在同一直角坐標系中的圖象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)，，結(jié)合兩個函數(shù)的圖象及其性質(zhì)分類討論．【詳解】解：分兩種情況討論：①當時，反比例函數(shù)，在二、四象限，而二次函數(shù)開口向下，與y軸交點在原點上方，故選項B、C、D都不符合題意，選項A符合題意；②當時，反比例函數(shù)，在一、三象限，而二次函數(shù)開口向上，與y軸交點在原點下方，故選項A、B、C、D都不符合題意，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)及反比例函數(shù)和圖象，解決此類問題步驟一般為：（1）先根據(jù)圖象的特點判斷k取值是否矛盾；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象判斷拋物線與y軸的交點是否符合要求．5．（2023·湖北襄陽·統(tǒng)考模擬預測）如圖，一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖像，則二次函數(shù)的圖像可能是(

)

A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象位置，確定出的正負，進而利用二次函數(shù)圖象與性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：觀察圖象可得：，二次函數(shù)圖象開口向上，對稱軸在軸右側(cè)，與軸交點在負半軸，則二次函數(shù)的圖象可能是

，故選：B．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖象，一次函數(shù)圖象，以及二次函數(shù)的圖象，熟練掌握各自圖象的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江杭州·八年級?？茧A段練習）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一坐標系內(nèi)的圖象大致為（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即在第四象限可得，從而得到反比例函數(shù)的圖象分布在二、四象限，由拋物線的開口方向和與的交點個數(shù)得到，從而得到一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，即可得到答案．【詳解】解：由拋物線的圖象可知，橫坐標為1的點，即在第四象限，，反比例函數(shù)的圖象分布在二、四象限，拋物線的開口向上，，拋物線與軸有兩個交點，，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限，故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，采用數(shù)形結(jié)合的思想解題，是解此題的關(guān)鍵．【考點三含字母參數(shù)的二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)】例題：（2023·全國·九年級專題練習）已知二次函數(shù)，下列說法正確的是(

)A．點在該函數(shù)的圖象上B．當且時，C．該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點D．當時，該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的左側(cè)【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，逐一進行判斷即可．【詳解】解：∵，當時：，∵，∴，即：點不在該函數(shù)的圖象上，故A選項錯誤；當時，，∴拋物線的開口向上，對稱軸為，∴拋物線上的點離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵，，∴當時，有最大值為，當時，有最小值為，∴，故B選項錯誤；∵，∴該函數(shù)的圖象與x軸一定有交點，故選項C正確；當時，拋物線的對稱軸為：，∴該函數(shù)圖象的對稱軸一定在直線的右側(cè)，故選項D錯誤；故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)，且），下列結(jié)論：①函數(shù)圖像一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖像一定不經(jīng)過第三象限；③當時，y隨x的增大而減?。虎墚敃r，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是(

)A．①② B．②③ C．② D．③④【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)進行逐一分析即可．【詳解】解：∵拋物線對稱軸為，，∴二次函數(shù)圖象必經(jīng)過第一、二象限，又∵，∵，∴，當時，拋物線與x軸無交點，二次函數(shù)圖象只經(jīng)過第一、二象限，當時，拋物線與x軸有兩個交點，二次函數(shù)圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故①錯誤；②正確；∵拋物線對稱軸為，，∴拋物線開口向上，∴當時，y隨x的增大而減小，故③正確；∴當時，y隨x的增大而增大，故④錯誤，故選：B．【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象與各項系數(shù)符號之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．（2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學校考模擬預測）拋物線（是常數(shù)且）經(jīng)過點A（3，0）．下列四個結(jié)論：①該拋物線一定經(jīng)過；②；③點，在拋物線上，且，則；④若是方程的兩個根，其中，則．其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)的對稱軸為直線，再根據(jù)二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，逐一分析，判斷對錯即可解答．【詳解】解：①∵拋物線經(jīng)過點，，，當時，，，∴該拋物線一定經(jīng)過，故此項正確；②由①得：，，，，，，，故此項正確；③拋物線的對稱軸為直線，當時，，，，也符合題意與矛盾，故此項錯誤．④∵拋物線，對稱軸為直線，拋物線對稱軸為直線，∴拋物線圖象向左平移2個單位得到拋物線的圖象，∵拋物線經(jīng)過點，∴拋物線經(jīng)過點，是方程的兩個根，是拋物線與直線交點的橫坐標，，，故此項正確，故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．3．（2023·陜西西安·西安市第六中學?？寄M預測）已知是關(guān)于x的二次函數(shù)，當自變量x的取值范圍為時，函數(shù)y有最大值，最大值為13，則下列結(jié)論不正確的是（）A．拋物線與x軸有兩個交點 B．當拋物線開口向下時，C．對稱軸在y軸的左側(cè) D．當拋物線開口向上時，【答案】D【分析】先把拋物線的解析式化成頂點式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)逐個判斷即可．【詳解】解：由題意得，有最大值是13∵，∴，解得，∴B選項正確．拋物線解析式為：，即對稱軸是：直線，∴C選項正確，又當時，，，∴有兩個不等的實數(shù)根，∴A選項正確，∵，∴當拋物線開口向上時，由時，得當時，則，解得，∴D選項錯誤．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象、二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)的最值，能熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．4．（2023·內(nèi)蒙古呼和浩特·統(tǒng)考中考真題）關(guān)于的二次函數(shù)的結(jié)論①對于任意實數(shù)，都有對應(yīng)的函數(shù)值與對應(yīng)的函數(shù)值相等．②若圖象過點，點，點，則當時，．③若，對應(yīng)的的整數(shù)值有個，則或．④當且時，，則．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】先求出該函數(shù)對稱軸為直線，再得出和關(guān)于直線對稱，即可判斷①；把代入，求出，則當時，y隨x的增大而增大，得出，即可判斷②；根據(jù)，然后進行分類討論：當時，當時，即可判斷③；根據(jù)當且時，得出y隨x的增大而減小，根據(jù)時，，求出，則當時，，求出n的值，即可判斷④．【詳解】解：①∵二次函數(shù)，∴該函數(shù)的對稱軸為直線，∵，，∴，即和關(guān)于直線對稱，∴對應(yīng)的函數(shù)值與對應(yīng)的函數(shù)值相等，故①正確，符合題意；②把代入得：，解得：，∴二次函數(shù)表達式為，∵，該函數(shù)的對稱軸為直線，∴當時，y隨x的增大而增大，∵，∴，∴，∴，故②不正確，不符合題意；③∵，∴當時，，當時，，當時，∵，∴y隨x的增大而增大，∵，對應(yīng)的的整數(shù)值有個，∴四個整數(shù)解為：，∴，解得：，當時，∵，∴y隨x的增大而減小，∵，對應(yīng)的的整數(shù)值有個，∴四個整數(shù)解為：，∴，解得：，綜上：或，故③正確，符合題意；④當且時，y隨x的增大而減小，∵，∴當時，，解得：，∴，當時，，解得：，故④不正確，不符合題意；綜上：正確的有①③，共2個，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握的對稱軸為，頂點坐標為；時，函數(shù)開口向上，在對稱軸左邊，y隨x的增大而減小，在對稱軸右邊，y隨x的增大而增大，時，函數(shù)開口向下，在對稱軸左邊，y隨x的增大而增大，在對稱軸右邊，y隨x的增大而減小．5．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，下列說法中正確的個數(shù)是（

）（1）當時，此拋物線圖象關(guān)于軸對稱；（2）若點，點在此函數(shù)圖象上，則；（3）若此拋物線與直線有且只有一個交點，則；（4）無論為何值，此拋物線的頂點到直線的距離都等于．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求得拋物線的對稱軸即可判斷①；求得兩點到對稱軸的距離即可判斷②；令，根據(jù)，求得m的值即可判斷③；求得拋物線頂點坐標得到拋物線的頂點在直線上，可知直線與直線平行，求得兩直線的距離即可判斷④．【詳解】解：（1）當時，，∴拋物線的對稱軸為y軸，此拋物線圖象關(guān)于y軸對稱，故該項正確；（2）∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∵點，點在此函數(shù)圖象上，且，∴，故該項錯誤；（3）若此拋物線與直線有且只有一個交點，則令，整理得，∴解得，故該項錯誤；（4）∵∴頂點為，∴拋物線的頂點在直線上，∵直線與直線平行，∴此拋物線的頂點到直線的距離都相等．

設(shè)直線交x軸于A，交y軸于B，點O到的距離為，則，∴∵∴∴，∴兩直線間的距離為，故該項正確；故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，二次函數(shù)與方程的關(guān)系，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)為實數(shù)，下列四個結(jié)論：當時，圖象與坐標軸所夾的銳角為；若，則當時，隨著的增大而減小；不論為何值，若將函數(shù)圖象向左平移個單位長度，則圖象經(jīng)過原點；當時，拋物線頂點在第一象限．其中正確的結(jié)論是（填寫序號）【答案】【分析】由一次函數(shù)即可判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷；得到平移后的解析式即可判斷；求得頂點坐標即可判斷．【詳解】解：當時，函數(shù)為一次函數(shù)，由于系數(shù)為，所以圖象與坐標軸所夾的銳角不為，故錯誤；若，拋物線的對稱軸為直線，則當時，隨著的增大而減小，故正確；當函數(shù)圖象向左平移個單位時，解析式為，則其圖象過原點，故正確；當時，對稱軸直線，頂點縱坐標為，故拋物線頂點在第一象限，故正確；故答案為：．【點睛】本題考查了拋物線與軸的交點：把求二次函數(shù)是常數(shù)，與軸的交點坐標問題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．7．（2023春·福建福州·八年級福建省福州延安中學?？计谀τ诙魏瘮?shù)．有下列說法：①若，則二次函數(shù)的圖象與y軸的負半軸相交；②若，當時，y有最大值3；③若a為整數(shù)，且二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個公共點都為整數(shù)點，則a的值只能等于1；④若，且為該函數(shù)圖象上的三點，則．其中正確的是．（只需填寫序號）【答案】①②④【分析】求出的取值即可判斷①；由對稱軸方程可判斷出當時，函數(shù)在時，y有最大值3，故可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個公共點都為整數(shù)點可知對稱軸也是整數(shù)，可求出a，進而判斷③；分別求出A，B，C三點對應(yīng)的函數(shù)值，再進行比較即可判斷④．【詳解】解：①對于，令，得，由可得，即二次函數(shù)的圖象與y軸的負半軸相交，故①正確；②二次函數(shù)對稱軸方程為直線，∵，∴又拋物線的開口向上，∴二次函數(shù)的圖象在內(nèi)，當時，y有最大值，最大值為：3；故②正確；③∵二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，∴，∵a為整數(shù)，∴，即a為任意整數(shù)；又二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個公共點都為整數(shù)點，∴對稱軸必為整數(shù)，此時a的值不只能等于1，也可以是，故③錯誤；④∵為函數(shù)圖象上的三點，∴當時，；當時，；當時，；∵，∴，即．故④正確，所以，正確的結(jié)論是①②④，故答案為：①②④．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合，從開口方向、對稱軸、與x軸（y軸）的交點進行判斷是解題的關(guān)鍵．【考點四二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)與系數(shù)a,b,c的問題】例題：（2023秋·廣西崇左·九年級校聯(lián)考階段練習）如圖，已知拋物線的對稱軸是直線，直線軸，且交拋物線于點，，，．下列結(jié)論中，正確的個數(shù)是（

）

①②若實數(shù)，則③④當時，A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的對稱軸可得出，即可判斷①；也可得出函數(shù)的最小值，在處取到，由此可判斷②；沒有直接條件判斷③；令，則，即拋物線與軸交于點，根據(jù)函數(shù)圖象可直接判斷④．【詳解】解：根據(jù)拋物線的對稱軸公式可得，，，．故①正確，符合題意；函數(shù)的最小值在處取到，若實數(shù)，則，即若實數(shù)，則．故②正確，符合題意；，，沒有條件可以證明．故③錯誤，不符合題意；直線軸，，令，則，即拋物線與軸交于點，當時，，．當時，．故④正確，符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想等知識，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式訓練】1．（2023秋·天津和平·九年級天津市匯文中學校考階段練習）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點，與y軸的交點B在和之間（不包括這兩點），對稱軸為直線．下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論有（

）

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】B【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結(jié)論進行判斷．【詳解】解：①∵函數(shù)開口方向向上，∴，∵對稱軸在y軸右側(cè)，∴a、b異號，，∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸，∴，∴，故①正確；②∵圖象與x軸交于點，對稱軸為直線，∴圖象與x軸的另一個交點為，∴當時，，∴，故②錯誤；③∵拋物線與y軸B交點在和之間，對稱軸為直線，∴頂點縱坐標要小于，∴，且，∴，故③正確；④∵圖象與y軸的交點B在和之間，∴，∵圖象與x軸交于點和，∴的兩根為和3，由韋達定理可知：，∴，∴，∴，故④正確；⑤∵對稱軸為直線為，∴，∵，，∴，故⑤正確．綜上所述，正確的有①③④⑤，，故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．二次函數(shù)系數(shù)符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點位置確定．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·云南昭通·九年級校聯(lián)考階段練習）已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，圖象的對稱軸為直線，則下列結(jié)論：

；；若m為任意實數(shù)，則有；若二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，則與直線的另一個交點為．其中正確的是．【答案】/④②【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置及拋物線與y軸交點位置可判斷a，b，c的符號及a與b的關(guān)系，進而判斷，由圖像可得時，可判斷，由圖像可得時y取得最大值可判斷，由拋物線的對稱性判斷．【詳解】解：拋物線開口向下，，拋物線對稱軸再y軸左側(cè)，，拋物線與y軸正半軸相交，，，故錯誤；，由圖象可得時，，，，，故正確；拋物線開口向下，對稱軸為直線，當時，y取最大值，，，故錯誤；若圖象經(jīng)過點，由拋物線對稱性可得圖象經(jīng)過，故正確；故答案為：．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析結(jié)論是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·廣東廣州·九年級校考階段練習）二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，與y軸交于，對稱軸為直線．以下結(jié)論：①；②③對于任意實數(shù)m，都有成立；④在該函數(shù)圖象上，則；其中正確結(jié)論序號是．

【答案】①②【分析】根據(jù)開口方向、對稱軸位置、與y軸交點位置判斷出，，的正負，可得結(jié)論①正確；利用對稱軸公式可得，當時，，解不等式可得結(jié)論②正確；當時，可得③錯誤；點到對稱軸的距離和開口方向可判定得結(jié)論④正確．【詳解】解：拋物線開口向上，，拋物線與軸交于點，，，，，故①正確，，當時，，，，故②正確，當時，，故③錯誤，，點到對稱軸的距離最大，函數(shù)值最大，點，到對稱軸的距離最小，函數(shù)值最小，，故④錯誤，綜上所述：①②正確．故答案為①②．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．4．（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，二次函數(shù)的圖像與軸的交于與點，則下列結(jié)論正確的是．（填序號）

①②③拋物線與軸的另一個交點坐標是④若點，，在拋物線上，則⑤一元二次方程的【答案】①③④【分析】根據(jù)函數(shù)圖像可得，，對稱軸為直線，由此可判定①；根據(jù)圖示，令，函數(shù)值小于零可判定②；根據(jù)點的坐標與對稱軸可判定③；根據(jù)函數(shù)的對稱軸，增減性可判定④；根據(jù)圖像確定二次函數(shù)系數(shù)的符號可判定⑤；由此即可求解．【詳解】解：二次函數(shù)的圖像與軸的交于與點，且對稱軸為，∴點，，且，，∴，∴結(jié)論①，∵，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，根據(jù)圖示，當時，，故結(jié)論②錯誤；結(jié)論③拋物線與軸的另一個交點坐標是，∵，對稱軸為，∴，故結(jié)論③正確；結(jié)論④若點，，在拋物線上，則，∵對稱軸為，∴當與時的函數(shù)值相等，即，當時，隨的增大而增大，∵，∴，∴，故結(jié)論④正確；結(jié)論⑤一元二次方程的，∵，，，且，∴，，∴，故結(jié)論⑤錯誤；綜上所述，正確的有①③④，故答案為：①③④．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，掌握根據(jù)圖像判定系數(shù)的符合，函數(shù)值的大小，函數(shù)的增減性等知識是解題的關(guān)鍵．5．（2023秋·北京昌平·九年級校聯(lián)考期中）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，有下列5個結(jié)論：①；②；③；④；⑤（的實數(shù)）．其中正確的結(jié)論有（填序號）

【答案】③④⑤【分析】由拋物線的開口方向可以得出，由拋物線與軸的交點可以判斷，由拋物線的對稱軸可以判斷，再根據(jù)拋物線與軸的交點情況以及拋物線的頂點進行推理即可得到答案．【詳解】解：①二次函數(shù)的圖象開口方向向下，與軸交于正半軸，對稱軸為直線，，，，故①錯誤，不符合題意；②二次函數(shù)的圖象與軸的交點在的右邊，圖象開口方向向下，當時，，，，故②錯誤，不符合題意；③二次函數(shù)的圖象與軸的另一個交點在的右邊，圖象開口方向向下，當時，，，故③正確，符合題意；④由①得：，，由②得：，，，故④正確，符合題意；⑤二次函數(shù)的圖象的對稱軸為直線，當時，取最大值，最大值為，當時，，，故⑤正確，符合題意；綜上所述：正確的結(jié)論有：③④⑤，故答案為：③④⑤．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)符號的關(guān)系，根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子的符號，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，采用數(shù)形結(jié)合的方法解題，是解此題的關(guān)鍵．6．（2023春·山東德州·九年級?？茧A段練習）如圖，已知拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點，且對稱軸為直線，有下列結(jié)論：①；②；③；④無論取何值，拋物線一定經(jīng)過；⑤，其中正確結(jié)論是．

【答案】①③④⑤【分析】根據(jù)拋物線與軸交在負半軸上可知①正確，再根據(jù)拋物線的對稱軸為直線可知②不正確，利用拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點可知③正確，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知④⑤正確．【詳解】解：①∵拋物線的對稱軸為直線，即對稱軸在軸的右側(cè)，∴，∵拋物線與軸交在負半軸上，，∴，故①正確；②∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∴，故②不正確；③∵拋物線（為常數(shù)，）經(jīng)過點，∴，∵拋物線的對稱軸為直線，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故③正確；④∵，∴，∴，∴當，無論取何值，拋物線一定經(jīng)過，故④正確；⑤∵，∴，∵，∴，即，故⑤正確：本題正確的有：①③④⑤,故答案為①③④⑤；【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱軸，二次函數(shù)與軸的交點，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2023·山東泰安·東平縣實驗中學?？级＃┤鐖D，二次函數(shù)的圖象與軸負半軸相交于、兩點（點在點的左側(cè)），與軸相交于點，對稱軸為直線，且，則下列結(jié)論：①；②；③；④關(guān)于的方程有一個根為；⑤當為任意實數(shù)時，.其中正確的結(jié)論有.【答案】①④⑤【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與軸交點位置可判斷①②③，由可得點坐標為，將點坐標代入解析式可判斷④，由時有取最小值可判斷⑤．【詳解】解：拋物線開口向上，，拋物線對稱軸在軸左側(cè)，，，拋物線與軸交點在軸上方，，，①正確．，，②錯誤．由圖象可得點在下方，，③錯誤．，點坐標為，，等式兩邊同時除以可得，，，，點坐標為，，拋物線對稱軸為直線，點坐標為，，方程有一個根為，④正確．拋物線開口向上，對稱軸為直線，時取最小值，，即，⑤正確．故答案為：①④⑤．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．【考點五二次函數(shù)的圖象與幾何動點問題】例題：（2023·河南周口·河南省淮陽中學?？既＃┤鐖D，在中，．動點從點出發(fā)，沿線段以1單位長度/秒的速度運動，當點與點重合時，整個運動停止．以為一邊向上作正方形，若設(shè)運動時間為秒