【學(xué)霸滿(mǎn)分】2023-2024學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)重難點(diǎn)專(zhuān)題提優(yōu)訓(xùn)練（北師大版）專(zhuān)題10 難點(diǎn)探究專(zhuān)題：利用二次函數(shù)求面積、周長(zhǎng)最值問(wèn)題之四大考點(diǎn)（原卷版）

專(zhuān)題10難點(diǎn)探究專(zhuān)題：利用二次函數(shù)求面積、周長(zhǎng)最值問(wèn)題之四大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問(wèn)題】 1【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問(wèn)題】 13【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最大值問(wèn)題】 19【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最小值問(wèn)題】 28【典型例題】【考點(diǎn)一利用二次函數(shù)求面積最大值問(wèn)題】例題：（23·24上·淮南·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線(xiàn)上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線(xiàn)的上方．

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，使的面積最大，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和的面積最大值．【變式訓(xùn)練】1．（23·24上·大同·階段練習(xí)）綜合與探究如圖二次函數(shù)與直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，已知：、，二次函數(shù)的圖象與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)在直線(xiàn)上方的拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)交于點(diǎn)．

(1)求直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的解析式；(2)設(shè)四邊形的面積為，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（23·24上·中山·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)與軸相交于點(diǎn)、，與軸相交于點(diǎn)C．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)求直線(xiàn)的解析式；(3)若點(diǎn)P為第二象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作軸，交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，的面積為S，求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值．3．（23·24上·邯鄲·階段練習(xí)）如圖，已知拋物線(xiàn)與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．

(1)直接寫(xiě)出拋物線(xiàn)的解析式：______；(2)D是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C、B不重合)，連接．設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為，的面積為S．①求S關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；②當(dāng)為何值時(shí)，S有最大值，并求這個(gè)最大值．4．（23·24上·江門(mén)·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，頂點(diǎn)為D，其對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E．

(1)求二次函數(shù)解析式及頂點(diǎn)D坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P為第三象限內(nèi)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，的面積記為S，求S的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在線(xiàn)段上，是否存在點(diǎn)F，使為等腰三角形？若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．（23·24上·濱海新·期中）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)位于點(diǎn)的右邊），與軸交于點(diǎn)，連接，是拋物線(xiàn)上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線(xiàn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式以及，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)在第四象限時(shí)，面積是否有最大值？若有，求出點(diǎn)坐標(biāo)以及最大面積；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)是拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上任意一點(diǎn)，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求的值．6．（23·24上·省直轄縣級(jí)單位·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，頂點(diǎn)為．直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)求拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的解析式；(2)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn)，為線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①當(dāng)為何值時(shí)，四邊形是平行四邊形；②設(shè)的面積為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？最大值是多少？【考點(diǎn)二利用二次函數(shù)求面積最小值問(wèn)題】例題：（2022秋·廣東廣州·九年級(jí)中山大學(xué)附屬中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊向點(diǎn)B以1個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿邊向點(diǎn)C以2個(gè)單位每秒的速度移動(dòng)．如果P，Q兩點(diǎn)在分別到達(dá)B，C兩點(diǎn)后就停止移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，回答下列問(wèn)題：

(1)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始后第幾秒時(shí)的面積等于．(2)設(shè)五邊形的面積為S，寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)t為何值時(shí)S最?。壳骃的最小值．【變式訓(xùn)練】1．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線(xiàn)交x軸于，，與y軸交于點(diǎn)C．

(1)求b，c的值；(2)已知P為拋物線(xiàn)一點(diǎn)（不與點(diǎn)B重合），若點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)恰好在直線(xiàn)上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，平移拋物線(xiàn)，使其頂點(diǎn)始終在直線(xiàn)上，且與相交于點(diǎn)Q，求面積的最小值．2．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)的圖象與坐標(biāo)軸相交于A，B，C三點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，連接，．動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)C做勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，在線(xiàn)段上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度向點(diǎn)A做勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)，；(2)在P，Q運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形的面積最小，最小值為多少？(3)已知點(diǎn)M是該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1秒時(shí)，若要使得線(xiàn)段的值最小，則試求出點(diǎn)M的坐標(biāo)．【考點(diǎn)三利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最大值問(wèn)題】例題：（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，，矩形的邊在線(xiàn)段上（點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)），點(diǎn)C，D在拋物線(xiàn)上，設(shè)，當(dāng)時(shí)，．

(1)求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，矩形的周長(zhǎng)有最大值？最大值是多少？(3)保持時(shí)的矩形不動(dòng)，向右平移拋物線(xiàn)，當(dāng)平移后的拋物線(xiàn)與矩形的邊有兩個(gè)交點(diǎn)G，H，且直線(xiàn)平分矩形的面積時(shí)，求拋物線(xiàn)平移的距離．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)校考期末）已知拋物線(xiàn)（a為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)．

(1)求a的值．(2)若點(diǎn)和點(diǎn)都是這個(gè)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，且有，求t的取值范圍．(3)設(shè)點(diǎn)A位于x軸的下方且在這個(gè)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)A作x軸的平行線(xiàn)交拋物線(xiàn)于另一點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)D作軸，垂足于點(diǎn)C，試問(wèn)四邊形的周長(zhǎng)是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和對(duì)應(yīng)的x值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．(1)求直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)是直線(xiàn)下方的拋物線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)不與點(diǎn)、重合，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線(xiàn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)，連接，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①若點(diǎn)在軸上方，當(dāng)為何值時(shí)，是等腰三角形；②若點(diǎn)在軸下方，設(shè)的周長(zhǎng)為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)為何值時(shí)，的周長(zhǎng)最大，最大值是多少？3．（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，已知二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸分別交于、、三點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)在二次函數(shù)圖象位于軸上方部分有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，過(guò)、作軸的垂線(xiàn)交軸于點(diǎn)、兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形為矩形時(shí)，求該矩形周長(zhǎng)的最大值；(3)當(dāng)矩形的周長(zhǎng)最大時(shí)，在二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)，使的面積是矩形面積的？若存在，直接寫(xiě)出該點(diǎn)的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)四利用二次函數(shù)求周長(zhǎng)最小值問(wèn)題】例題：（2023秋·安徽·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知拋物線(xiàn)與x軸負(fù)半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，若，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn).

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上有一動(dòng)點(diǎn)P，使得周長(zhǎng)最小，求出最小周長(zhǎng)．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·云南臨滄·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，為拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)．(1)求拋物線(xiàn)的解析式．(2)為該拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．(3)當(dāng)函數(shù)的自變量滿(mǎn)足時(shí)，函數(shù)的最小值為3，求的值．2．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）綜合與探究如圖，經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)的拋物線(xiàn)與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為．

(1)求拋物線(xiàn)的解析式；(2)點(diǎn)在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)已知點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，求時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)；(4)已知，請(qǐng)直接寫(xiě)出能以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的點(diǎn)坐標(biāo)．3．（2023·湖南張家界·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線(xiàn)段上的一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；(3)如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線(xiàn)第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)