人教版九年級數(shù)學上冊專項訓練：點和圓、直線和圓的位置關(guān)系（二）解析版

第12講點和圓、直線和圓的位置關(guān)系（二）

（重點題型方法與技巧）

目錄

類型一：直線和圓的位置關(guān)系

類型二：切線的性質(zhì)與判定

類型三：切線長定理

類型四：三角形的內(nèi)切圓

類型一：直線和圓的位置關(guān)系

利用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系

（1）當圖形中直線與圓的位置關(guān)系不明顯時，一般不利用交點個數(shù)來判斷直線與圓的位置關(guān)系，應通過比

較圓心到直線的距離與半徑的大小來確定它們之間的位置關(guān)系.

（2）在沒有給出d與r的具體數(shù)值的情況下，可先根據(jù)已知條件求出d與r的值，再通過比較它們的大小

確定直線與圓的位置關(guān)系.

典型例題

例題1.（2022?全國?九年級課時練習）已知。。的半徑為6cm,點。到直線/的距離為5cm,則直線/與。。

（）

A.相交B.相離C.相切D.相切或相交

【答案】A

【詳解】解：設圓的半徑為r,點。到直線/的距離為d,

VJ=5cm,廠=6cm,

...直線/與圓相交.

故選：A.

點評：例題1考查了直線與圓的位置關(guān)系，比較圓心到直線的距離與半徑是解題的關(guān)鍵.

例題2.（2022?全國?九年級課時練習）在平面直角坐標系中，以點（2,3）為圓心，3為半徑的圓，一定（）

A.與x軸相切，與y軸相切B.與無軸相切，與y軸相交

C.與無軸相交，與y軸相切D.與x軸相交，與y軸相交

【答案】B

【詳解】解：???點（2,3）到x軸的距離是3,等于半徑，

到y(tǒng)軸的距離是2,小于半徑，

圓與y軸相交，與x軸相切.

故選B.

點評：例題2考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解決此類問題可通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)

系完成判定.由已知點（2,3）可求該點到x軸，y軸的距離，再與半徑比較，確定圓與坐標軸的位置關(guān)系.設

d為直線與圓的距離，r為圓的半徑，則有若d<r,則直線與圓相交；若（1=「，則直線于圓相切；若d>r,

則直線與圓相離.

例題3.（2021?河北?保定市滿城區(qū)白龍鄉(xiāng)龍門中學九年級期末）已知。。與直線/無公共點，若。。直徑為

10cm,則圓心。到直線I的距離可以是（）

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【詳解】解：與直線/無公共點，

與直線/相離.

圓心。到直線/的距離大于圓的半徑，

QO直徑為10cm,

QO半徑為5cm,

圓心O到直線1的距離大于5cm.

故選：A.

點評：例題3主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，利用直線與圓相離，圓心O到直線1的距離大于圓的半徑

解答是解題的關(guān)鍵.

例題4.（2022?上海虹口?九年級期中）已知4〃/2，乙、4之間的距離是5cm,圓心O到直線乙的距離是2cm,

如果圓0與直線4、4有三個公共點，那么圓。的半徑為cm.

【答案】3或7

【詳解】解：設圓的半徑為“m

如圖一所示,

r-5=2,得片7cm,

如圖二所示，

廠+2=5,得片3cm,

故答案為：3或7.

點評：例題4考查直線和圓的位置關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，畫出相應的圖形，利用數(shù)形結(jié)合的

思想解答.

例題5.(2022?山東棗莊?二模)如圖，在△ABC中，AB=BC,。是AC中點，3E平分乙48。交AC于點E,

點。是上一點，。。過5、E兩點，交3。于點G,交于點F.

(1)判斷直線AC與。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)若仍_LBC,ED=3,求BG的長.

【答案】(1)直線AC是0O的切線，理由見解析

(2)273

【詳解】(1)解：直線AC是。。的切線.

理由如下：如圖，連接。E,

■：AB=BC,。是AC中點，

J.BDrAC,

平分NABD,

ZOBE=ZDBE,

,?OB=OE,

：.NOBE=NOEB,

：.ZOEB=ZDBE,

C.OEHBD,

：.OE±AC,

而OE為。。的半徑，

直線AC是。。的切線.

(2)解：如圖，過。作于

二四邊形OEDM是矩形，

：.0M=ED=3,BM=^BG,

'JEBLBC,

：.ZC+ZCEB=90°,

同理可得：？22CEB90?,

N2=NC,

,:AB=BC,

Z2=ZA,

：.Z1=Z2=ZA=30°,ZOBM=60°

在RtOBM中，tan?OBM—,

OM

A/3=-----,

BM

：.BM=6,

：.BG=2BM=26.

點評：例題5考查了等腰三角形的性質(zhì)、圓周角定理、直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線

與圓的位置關(guān)系：設。O的半徑為r,圓心O到直線1的距離為d,直線1和。O相交Od<r；直線1和。O

相切od=r；直線1和。O相離=d>r.

同類題型演練

1.（2022?江蘇?九年級課時練習）如果。。的半徑為6cm,圓心。到直線/的距離為d,且d=7cm,那么。O

和直線/的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.不確定

【答案】A

【詳解】解：的半徑為6cm,圓心。到直線/的距離為d,且d=7cm,

:?d>r,

...直線和圓相離.

故選：A.

2.（2021?北京?北師大實驗中學九年級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC=5,8C=8,以A為圓心作一個半

徑為2的圓，下列結(jié)論中正確的是（）

A.點2在。A內(nèi)B.點C在。A上

C.直線8c與。A相切D.直線8c與。A相離

【答案】D

【詳解】解：過A點作AHLBC于"，如圖,

'：AB=AC,

：.BH=CH=-BC=4,

2

在RtXABH中，AH=yjAB2-BH2=A/52-42=3，

VAB=5>3,

.?.2點在。A夕卜，所以A選項不符合題意；

VAC=5>3,

；.C點在。A外，所以B選項不符合題意；

：.AH±BC,AH=3>半徑，

直線BC與。A相離，所以C選項不符合題意，D選項符合題意.

故選：D.

3.（2022.上海金山.二模）在直角坐標系中，點尸的坐標是（2,道），圓「的半徑為2,下列說法正確的是（）

A.圓p與x軸有一個公共點，與y軸有兩個公共點

B.圓尸與x軸有兩個公共點，與y軸有一個公共點

C.圓P與X軸、y軸都有兩個公共點

D.圓p與x軸、y軸都沒有公共點

【答案】B

【詳解】解：:點尸的坐標是（2,否），

點P到x軸的距離為G,點尸到y(tǒng)軸的距離為2,

:圓P的半徑為2,6<2,

點尸到x軸的距離小于圓P的半徑，點P到y(tǒng)軸的距離等于圓P的半徑，

圓尸與x軸相交，圓尸與x軸有兩個公共點，

圓尸與y軸相切，圓尸與》軸有一個公共點，

故選：B.

4.（2021?河南許昌?九年級期中）已知。。的半徑為4,點。到直線/的距離為d若直線/與。。的公共點

的個數(shù)為2個則d的值不能為（）

【答案】D

【詳解】解：：直線/與。。公共點的個數(shù)為2個，

.?.直線/與。。相交，

半徑=4,

故選D.

5.（2021?浙江金華?一模）已知。。的直徑為5,設圓心。到直線/的距離為d,當直線/與。。相交時，d

的取值范圍是.

【答案】0<J<2.5

【詳解】解：；。。的直徑為5,

：.QO的半徑是2.5,

:直線/與。。相交，

圓心。到直線I的距離d的取值范圍是0X2.5,

故答案為：0Wd<2.5.

6.（2022.全國?九年級課時練習）如圖，直線A3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，點A（—3,0）,點B

（0,石），圓心P的坐標為（1,0）,圓尸與y軸相切與點O.若將圓P沿x軸向左移動，當圓尸與該直

線相交時，令圓心P的橫坐標為機，則機的取值范圍是.

【答案】-5<m<-l

【詳解】：圓心尸的坐標為（1,0）,。尸與y軸相切與點。

QP的半徑為1

:點A(-3,0),點2(0,若)

：.OA=3,08=百

tanZBA0=—=—

0A3

ZBAO=30°

當。P在直線AB下方與直線AB相切時，如圖，設切點為C,連接PC

貝!!PC_LAB,且尸C=1

：.AP=2PC=2

：.OP=OA-AP=3-2=1

點坐標為(T,0)

即m=-l

當。P在直線AB上方與直線AB相切時，如圖，設切點為C,連接尸。

貝ljPDLAB,且PD=\

：.AP=2PD=2

：.OP=OA+AP=3+2=5

點坐標為(-5,0)

即m=—5

沿x軸向左移動，當。P與直線相交時，小的取值范圍為-5<-1

故答案為：-5</n<-l

7.（2022.江蘇常州?九年級期末）如圖，AB是。。的直徑，弦A。平分過點。作垂足為

E.

（1）判斷。E所在直線與3。的位置關(guān)系，并說明理由;

（2）若AE=4,ED=2,求。。的半徑.

【答案】（1）相切，理由見解析

（2）1

【詳解】（1）解：所在直線與（°相切.

理由：連接0Q.

OA=OD,

：.ZOAD=ZODA.

???AD平分ZBAC,

：.?OAD2DAC.

：.ZODA=ZDAC.

：.OD//AC.

：.ZO￡>E+ZAED=180°.

,:DELAC,

：.ZAED=9Q°.

：.NODE=90。.

：.OD1DE.

???。。是半徑，

????！晁谥本€與《，。相切.

(2)解:連接。氏

：AB是：。的直徑，

ZADB=90°.

，ZADB=ZAED.

又：ZDAB^ZEAD,

ADBsAED.

.AD_AE

"AB-AZ)'

VZAED=9Q°,AE=4,ED=2,

AD=y]AE2+ED2=2石?

AB=5.

???。的半徑為

2

8.(2022.安徽淮南.九年級階段練習)如圖，在平面直角坐標系中，。。與y軸相切，且點C的坐標為(1,

0),直線/過點A(-1,0),與。C相切于點。，解答下列問題：

⑴求點D的坐標；

(2)求直線I的解析式；

(3)是否存在。P,使圓心P在無軸上，且與直線/相切，與。C外切嗎？如果存在請求出圓心尸的坐標，如

果不存在請說明理由

【答案】⑴(；，—)

22

⑵產(chǎn)與十且

-33

(3)存在，(—g,0)或(5,0)

【詳解】(1)如圖所示，當直線/在x軸的上方時，連接CD,

y

D,

4:、

O\,ECJx

:直線/為。c的切線，

J.CDLAD.

：C點坐標為(1,0),

：.OC=1,即。C的半徑為1,

：.CD=OC=1.

又?.?點A的坐標為(-1,0),

：.AC=2,

：.ZCAD=3O0,

AD=ACsin30°=乖),DE=ADsm3Q°=

2

CE=CDsin30°=1,

：.OE=l—CE=g,

：.D(1,且)

22

(2)

設直線/為產(chǎn)區(qū)+〃，則

0=—k+b,

'V31.,

——=—k+b.

22

解得：k=^-,b=

33

:.y=2+同

"33

(3)

存在兩種情況，討論如下：

①如圖2,過尸作PF_L/于凡設。尸的半徑為r,則CO〃尸E,△ACD^AAPE,

.CDAC

'PE-AP

l_2

叫0n=7TT

解得L3,

???尸(5,0)

②如圖3,過尸作尸￡_1/于￡,設。尸的半徑為「，則C0〃PE,△ACD^AAPE,

.CDAC

??一,

PEAP

即丁Y=1—丁r，解得片1(，

g，o)

綜上，點尸的坐標為（一；，0）或（5,0）

類型二：切線的性質(zhì)與判定

切線的判定方法一一連半徑，證垂直，某直線是圓的切線時，如果已知直線與圓有公共點，那么可作出

經(jīng)過該點的半徑，證明直線垂直于該半徑，即“有交點，連半徑，證垂直”.

切線的判定方法二——作垂直，證半徑

證明某直線是圓的切線時，如果未明確說明直線和圓有公共點，那么常過圓心作直線的垂線段，證明垂線

段的長等于半徑，即“無交點，作垂直，證半徑”.

典型例題

例題1.（2021?全國?九年級課時練習）如圖，在以。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦與小圓的一個公

共點為C,且C是AB中點，則直線AB與小圓。的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切D.不能確定

【答案】B

【詳解】解：連接OC

：C為AB中點

BC=AC

：.OCLAB

...AB為小圓：。的切線

故選：B

點評：例題1主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，切線的判定，垂徑定理，靈活運用垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

例題2.（2021?全國?九年級專題練習）下列說法中錯誤的是（）

A,切線與圓有唯一的公共點B.到圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線

C.垂直于切線的直線必經(jīng)過切點D.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等

【答案】C

【詳解】A、B、D說法均正確；

C、垂直于切線的直徑必定過切點，但是垂直于切線的直線不一定過切點，故錯誤；

故選：C.

點評：例題2考查圓的切線的判定與性質(zhì)，及切線長定理，熟記基本概念并準確判斷是解題關(guān)鍵.

例題3.（2020?廣東深圳?三模）如圖，正方形ABCD中，點E,F分別在邊CD,BC上，且NEAF=45。,

BD分別交AE,AF于點M,N,以點A為圓心，AB長為半徑畫弧BD.下列結(jié)論：①DE+BF=EF；

②BN?+DM2=MN2；③△AMNS/IAFE；④弧BD與EF相切；⑤EF〃MN.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.5個B.4個D.2個

【答案】B

【詳解】解：延長CB到G,使BG=DE,連接AG.

在4ABG和^ADE中,

AD=AB

<NADE=NABG

DE=BG

/.△ABG^AADE(SAS),

/.AG=AE,NDAE=NBAG,

又ZEAF=45°,ZDAB=90°,

ZDAE+ZBAF=45°

/.ZGAF=ZEAF=45O.

在小人尸6和4AFE中，

AE=AG

<ZGAF=NEAF

AF=AF

.,.△AFG^AAFE(SAS),

，GF=EF=BG+BF,

又；DE=BG,

，EF=DE+BF；故①正確；

在AG上截取AH=AM,連接BH、HN,

在公AHB和4AMD中，

AD=AB

<ZHAB=/MAD

AH=AM

.'.△AHB^AAMD,

ABH=DM,ZABH=ZADB=45°,

XVZABD=45°,

.,.ZHBN=90°.

???BH2+BN2=HN2.

在^AHN和^AMN中，

AM=AH

<ZHAN=/MAN

AN=AN

?)△AHN也△AMN,

??.MN=HN.

???BN2+DM2=MN2；故②正確；

VAB/7CD,

AZDEA=ZBAM.

,/ZAEF=ZAED,ZBAM=180°-ZABM-ZAMN=180°-ZMAN-ZAMN=ZAND,

NAEF=NANM,

又NMAN=NFAE,

.,.△AMN^AAFE,故③正確；

過A作AP_1_EF于P,

VZAED=ZAEP,AD±DE,

AAP=AD,

與EF相切；故④正確；

VZANM=ZAEF,而NANM不一定等于NAMN,

???ZAMN不一定等于NAEF,

???MN不一定平行于EF,故⑤錯誤，

故選：B.

點評：例題3考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的判定,

勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

例題4.（2022?全國?九年級專題練習）在下圖中，AB是O的直徑，要使得直線AT是。的切線，需要

添加的一個條件是.（寫一個條件即可）

【答案】NABT=/ArB=45。（答案不唯一）

【詳解】解：添加條件：ZABT=ZATB=45°,

,：ZABT=ZATB=45°,

：.ZBAT=9Q°,

又：AB是圓。的直徑，

是圓。的切線，

故答案為：/ABT=/ArB=45。（答案不唯一）.

點評：例題4主要考查了圓切線的判定，三角形內(nèi)角和定理，熟知圓切線的判定條件是解題的關(guān)鍵.

例題5.（2022?遼寧?沈陽市尚品學校九年級階段練習）如圖，ABC內(nèi)接于（O,A3是。的直徑，過。

外一點。作￡?G〃BC,OG交線段AC于點G,交于點E,交。于點尸，連接。8,CF,ZA=ZD.

D

V

⑴求證：BD與。相切;

⑵若AE=OE,CF平分ZACB,皮）=12,求DE的長.

【答案】（1）見解析

（2）6A/5

【詳解】（1）證明：QAB是：°的直徑

ZACB=90°,

DG//BC,

:.ZAGE=ZACB=90°,

ZA=ZD,ZAEG=ZDEB,

.\ZDBE=ZAGE=90°,

.\DB.LAB,

??.BD與。相切；

(2)解OJ如圖2,連接,

圖2

CF平分ZACB,

:.ZACF=ZBCF=45。,

:.ZAOF=2ZACF=90°

..OFLAB,

BDA.AB,

OF//BD,

:.^EFOs,

.OF_OE

一茄—熊’

AE=OEf

,OE\

"EB~3

OF_1

"~12~3

；.0F=4,

:.BE=OE+OB=2+4=6,

DE=yjBD2+BE2=V122+62=66.

點評：例題5考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，勾股定理等知識，解答本題需

要我們熟練掌握切線的判定，第2問關(guān)鍵是證明LEFOsAEDB.

（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得NAC3=90。，再由平行線的性質(zhì)可得ZDG4=90。，結(jié)合NA=/D與

三角形內(nèi)角和定理即可得到/O3E=90。，即可得證；

（2）如圖2,連接。尸，先根據(jù)垂徑定理證明OAB,再證明7s△E/必，列比例式可得O尸=4,

即。的半徑為4,根據(jù)勾股定理可得DE的長.

同類題型演練

1.（2022?全國?九年級專題練習）如圖，以點。為圓心作圓，所得的圓與直線。相切的是（）

A.以OA為半徑的圓B.以08為半徑的圓

C.以OC為半徑的圓D.以。。為半徑的圓

【答案】D

【詳解】解：。于。，

以。為圓心，為半徑的圓與直線。相切，

故選：D.

2.（2021?安徽?九年級專題練習）如圖，已知P為。。外一點，連接OP交。O于點A,且OA=2AP,求作

直線PB,使PB與。O相切.以下是甲、乙兩同學的作法.

甲：作OP的中垂線，交OO于點B,則直線PB即所求.

乙：取OP的中點M,以M為圓心、OM長為半徑畫弧，交。。于點B,則直線PB即所求.

對于兩人的作法，下列說法正確的是（）

0.

A

A.兩人都對B.兩人都不對C.甲對，乙不對D.甲不對，乙對.

【答案】D

【詳解】如圖1,作0P的垂直平分線交0P于點H,連接0B,

設AP=x,則0A=2x,OB=2x.

VBH垂直平分OP,

.\BO=BP=2x.

,?OB2+BP2=(2X)2+(2X)2=8X2,OP2=(3X)2=9X2,

...△OBP不是直角三角形，

APB不是。O的切線，

...甲的作法錯誤.

如圖2,連接OB,

:點M為OP的中點，

...OP為0M的直徑，

.-.ZOBP=90°,

；.OB_LPB,

；.PB與OO相切，

...乙的作法正確.

故選：D.

3.(2018?全國?九年級單元測試)如圖，在,ABC中，AB=CB,以A3為直徑的。交AC于點O,過點C

作CF〃AB,在CF上取一點E,使DE=CD,連接AE,對于下列結(jié)論：?AD=AE-,②，CBgCDE；

2

③弧§弧4D；④AE為。的切線，結(jié)論一定正確的是()

A.②③B.②④

【答案】B

【詳解】如圖:

VAB=CB,

AZ1=Z2,

而CD=ED,

AZ3=Z4,

VCF/7AB,

AZ1=Z3,

Z1=Z2=Z3=Z4,

.,.△CBA^ACDE,所以②正確

'.'△ABC不能確定為直角三角形，

???N1不能確定等于45°,

???3。和不能確定相等，所以③錯誤;

VAB是直徑,

JZADB=90°,

???BD_LAC,

VBA=BC,

JAD=DC,

VDE=DC,

；.AD=DC=DE,

...△AEC是直角三角形，

...ZAEC=90°,

：AB〃CE,

AABXAE,

；.AE是。。的切線，故④正確，

故選B.

4.（2021?全國?九年級課時練習）如圖，A3是；。的直徑，。交于，DELAC,垂足為E,請你添

加一個條件，使OE是＜。的切線，你所添加的條件是.

【答案】BD=CD或AB=AC

【詳解】解：若添加理由如下:

如圖，連接。。，

,:BD=CD,OA=OB,

：.OD//AC,

'：DELAC,

C.DELOD,

,：。交BC于。，

，是:。的切線；

若添加AB=AC,理由如下:

如圖，連接AD,

是。的直徑,

.ZADB=9Q°,

...點。是8c的中點，

'：OA=OB,

J.OD//AC,

,/DE1AC,

：.DE±OD,

?/O交BC于D,

/.是：。的切線.

故答案為：BD=CD^AB^AC

5.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，A、8是。。上的兩點，AC是過A點的一條直線，如果/4。8=120。,

那么當NCA8的度數(shù)等于度時，AC才能成為。。的切線.

【答案】60

【詳解】解：:△AOB中，OA=OB,ZAOB=nO°,

ZOAB=NOBA=1(180°-ZAOB)=30°

:當。4LAC即N。4c=90。時，AC才能成為。。的切線,

.?.當/C4B的度數(shù)等于60。，即OALAC時，AC才能成為。。的切線.

故答案為：60.

6.（2022?湖南.炎陵縣教研室一模）如圖1,以』ABC的邊AB為直徑作。。，交AC于點E,連接BE,BD

平分448E交AC于R交。。于點。，且ZBDE=NCBE.

圖1圖2

（1）求證：BC是。。的切線;

(2)如圖2,延長EO交直線AB于點P,^PA=AO.

pr)

①求；的值；

DE

②若。石=2,求。。的半徑長.

【答案】(1)見解析

pn

(2)①三二2；②。。的半徑長為20

DE

【詳解】(1)證明：??,A3是直徑，

???ZA￡B=90。，

ZA+ZABE=90°,

?；/BDE=/CBE,ZA=ZD,

：.ZA=ZCBEf

：.ZABE+NCBE=90。,

：.ZABC=90°f

：.AB.LBCf

???3C是。。的切線.

(2)解：①如圖2中，連接OD

「班）平分

ZEBD=ZABD,

???OB=OD,

:.ZABD=NBDO,

：.ZEBD=ZBDO,

：.BEOD,

???PA=AO=OB,

：.OP=2OB,

.PDPO

9DE~OB

②?：DE=2,——=2

:?PD=2DE=4,PE=PD+DE=4+2=6,

VZDPB=ZAPE,ZPEA=ZDBP,

:?LPDBS'PAE,

.PAPE

??而一詬‘

PB=OP+OB=2OB+OB=3OB,

.OB6

??丁一亞，

OB=272，

，。。的半徑長為2豆.

7.（2022?廣東?廣州市第一中學模擬預測）如圖，在AABC中，ZC=90°,。、尸是邊上兩點，以。F為

直徑的。。與BC相交于點E,連接￡凡ZOFE=^ZA.過點尸作尸GLBC于點G,交。。于點凡連接

（1）求證：BC是。。的切線；

（2）連接E。，過點E作EQJ_AB,垂足為。，△EQO和△EGH全等嗎？若全等，請予以證明；若不全等,

請說明理由；

⑶當80=5,BE=4時，求AEHG的面積.

【答案】（1）見解析

（22￡。。和八￡65全等，證明見解析

⑶SAEHGH

【詳解】（1）證明：連接OE,

A

在AABC中，NC=90。，F(xiàn)G上BC,

.\ZBGF=ZC=90°,

:.FG//AC,

.\ZOFG=ZAf

ZOFE=-ZOFG,

:.ZOFE=ZEFG,

OE=OF,

:.ZOFE=ZOEF,

.\ZOEF=ZEFG,

：.OE//FG,

：.OE±BC,

，BC是。的切線；

(2)解：.QD和AEG"全等，理由如下:

由(1)知，OFE=ZEFG,

…BD=EH，

:.ED=EH.

QE.LBF,EGLFG,

.\QE=GE,

在RtAEQD與RtAEGH中，

(QE=GE

[ED=EH'

RtAEQ。三RtAEGH(HL)；

(3)解：50=5,BE=4,OE_LBE,

由勾股定理得到：OE=y/OB2-BE2=752-42=3^

.\BF=OB+OF=Sf

324

/.FG=BF.sinB=8x—=——,

55

BG=y/BF2-FG2=y,

:.EG=BG-BE=^,

i144

.?S^GE=3EG?FG=,EG:FG=1:2,

BC是切線，

:.NGEH=ZEFG,

ZEGH=ZFGEf

/.AEGH^AFGE,

.S^EGH_(EG2_1

?,—―拓

.o_lo_36

-Q里HG_40AFGE_25.

類型三：切線長定理

典型例題

例題1.（2022?福建省福州銅盤中學九年級階段練習）如圖，AB.AC.80是。。的切線，切點分別為P、

C、D,若AC=3,則30的長是()

A.2.5B.2C.1.5D.1

【答案】D

【詳解】解：??SC、AP為。。的切線,

：.AC=AP,

:BP、為。。的切線,

：.BP=BD,

BD=PB=AB-AP=4-3=1.

故選：D.

點評：例題1考查了切線長定理，兩次運用切線長定理并利用等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

例題2.（2022?江蘇?九年級課時練習）如圖，PA>PB切。于點A、B,fl4=10,8切）0于點E,交PA、

PB于C、。兩點，則PCD的周長是（）

A.10B.18C.20D.22

【答案】C

【詳解】解：：以、尸2切。。于點4、B,CO切。。于點E,

：.m=PB=10,CA=CE,DE=DB,

：.APCD的周長是PC+CD+PD

=PC+AC+DB+PD

=PA+PB

=10+10

=20.

故選：c.

點評：例題2考查了切線長定理的應用，關(guān)鍵是求出△尸。的周長=B4+P3.

例題3.（2022?山東淄博?二模）如圖，內(nèi)切于RtAABC,點P、點0分別在直角邊2C、斜邊A3上,

且PQ與。相切，若AC=2尸0,貝！Isin/B的值為（）

【答案】B

【詳解】解：如下圖所示，設，。與RtZXABC相切于點D,E,G,與尸。相切于點R連接O。，OE,OF,

OG,設。的半徑為r,BQ=x,PE=y.

,：。與Rt^ABC相切于點Z),E,G,與尸。相切于F,PQ±AB,

：.OD=OE=OF=OG=r,ZODC=ZOEC=ZOGQ=ZOFQ=ZACB=ZPQB=ZFQG=90°,PF=PE=y,BE=BG.

，四邊形ODCE是矩形，四邊形。尸。G是矩形，BP2=BQ2+PQ2.

矩形ODCE是正方形，矩形。F。G是正方形.

/.CE=OE=r,FQ=GQ=OG=r.

BG=BQ+GQ=x+r,PQ=PF+FQ=y+r.

*：AC=2PQf

.這-2

?.PQ?

ZABC=ZPBQ,

：.△ACBSNQB.

BCACc

.??瓦=市=2.

:,BC=2BQ=2x.

BE=BC-CE=2x-r.

.*.x+r=2x-r.

??x=2r.

BQ=2r.

BE=3r.

BP=BE-PE=3r-y.

A(3r-y)2=(2r)2+(y+r)2.

.1

..y=—r.

2

???PE=PF=-r.

2

35

PQ=-r,BP=-r.

22

3

BPL5

2

故選：B.

點評：例題3考查切線的性質(zhì)，正方形的判定定理和性質(zhì)，相似三角形的判定定理和性質(zhì)，切線長定理，

勾股定理，解直角三角形，綜合應用這些知識點是解題關(guān)鍵.

例題4.（2022?山東德州?九年級期末）如圖，AB.AC為。。的切線，5和C是切點，延長03到點O,使

BD=OB,連接AO,若NZMC=78。，則NA。。等于（）

A.70°B.64°C.62°D.51°

【答案】B

【詳解】解：:AB、AC為。。的切線，

：.ZBAO=ZCAO,OBLAB,

?；BD=OB,

???A3垂直平分OO,

：.AO=AD.

???△AOO為等腰三角形，

：.ZBAO=ZBAD,

：.NCAO=ZBAO=/BAD,

o

???ZDAC=ZBAD-^-ZBAO+ZCAO=78f

：.3ZBAD=7S°,

解得N84O=26。，

???ZADO=90°-ZBAD=90°-26°=64°.

故選：B.

點評：例題4考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.也考查了切線長定理。先根據(jù)切線長

定理，由AB、AC為。O的切線得到NBAO=NCAO,根據(jù)切線的性質(zhì)得OBLAB,加上BD=OB,則

可判斷△AOD為等腰三角形，于是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得NBAO=NBAD,即NCAO=NBAO=

ZBAD,然后利用NDAC=NBAD+NBAO+NCAO=78?？捎嬎愠鯪BAD=26。，再利用NADO=90。-

ZBAD求解.

例題5.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，PA,PB分別切。。于點A,B,NP=70。，則N430=

【答案】35°

【詳解】解：:RI,分別切。。于點4,B,

J.OBLPB,PA=PB,

：.ZPBO=90°,NABP=NBAP

:NP=70°,

ZABO^ZPBO-/ABP=90°-55°=35°,

故答案為:35°.

點評：例題5考查了切線的性質(zhì)和切線長定理，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.利用切線的性質(zhì)和切線長定理可

得OB_LPB,PA=PB,進而得到NPBO=90。，ZABP=ZBAP,結(jié)合NP=70。求得NABP的度數(shù)，即可

求得NABO

例題6.（2022?全國?九年級課時練習）如圖，以為直徑作°,在。上取一點C,延長至點。，

連接OC,ZDCB=ZDAC,過點A作AELAD交OC的延長線于點E.

⑴求證：8是。。的切線;

(2)若CO=4,DB=2,求AE的長.

【答案】（1）見解析

(2)AE=6

【詳解】(1)證明：連接0C,如圖,

為直徑，

AZACB=90°,即/BCO+/ACO=90°,

'：OC=OA,

：.ZACO=ZCAD,

又

ZACO=ZDCB,

：.ZDCB+ZBCO=90°,即N￡)CO=90°,

:oc是。。的半徑，

...CO是。。的切線；

(2)解:-：ZDCO=90°,OC=OB,

:.OC2-\-CD2^OD2,

：.OB2+42=(OB+2)2,

：.OB=3,

：.AB^6,A￡)=8,

,：AE±AD,AB是。。的直徑，

.?.AE是。。的切線，

是(DO的切線，

C.AE^CE,

'：在RtAADE中，AD2+AE~=DE2,

：.82+AE2=(4+AE)2,

.\AE=6.

點評：例題6考查了切線的判定與性質(zhì)：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；也考查了圓周角

定理的推論、切線長定理和勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

同類題型演練

1.（2022.全國?九年級專題練習）如圖，在四邊形ABCD中，AD8C,A8,8C,，O是四邊形ABCD的內(nèi)切

圓，C￡）,3C分別切：。于尸，E兩點，若AD=3,3C=6,則斯的長是（）

16/TC.|A/97

A.|6B.-^-\5D.I質(zhì)

【答案】A

【詳解】連接OC,與EF相交于點M,作DGLBC于點G,連接OE,設A。與圓的切點為“，如圖,

AD//BC,AB±BC,DG±BC,

四邊形A3GO是矩形，

：.BG=AD=3,CG=BC-BG=6-3=3,

:點E、F、H是切點,

：.DF=DH,CF=CE,OC^-^ZECF,

.二△EC尸是等腰三角形，OC是EF的垂直平分線,

：.EM=FM,

設圓。半徑為R,則BE=R,DG=2R,,

：.CE=CF=6-R,DF=DH=3-R,

DG2+CG2=CD2,

二（2村+32=［（3-R）+（6-R）f

解得:R=2,

：.C￡=6-2=4,

OC=VOE2+CE2=>/22+42=2百，

S=-OECE=-OCEM,

■OEFCr22

.e,OECE2x44逐

..EM=-------=-產(chǎn)=----,

OC2755

.4>/5_8>/5

??EF—2EA1=2x-----=------,

55

故選A.

2.（2022?浙江.寧波市興寧中學一模）如圖，A是：。外一點，AB,AC分別與。相切于點6,C,尸是

BC上任意一點，過點尸作，。的切線，交4B于點“，交AC于點N.若:O的半徑為4,ZBAC=60°,則

4WN的周長為（）

A.4A/3B.8D.12

【答案】C

【詳解】解：QAB,AC分別與。相切于點8,C,

AB=AC,NBAO=ZCAO,NABO=90°,

MN是.。的切線，切點為尸,

:.PM=MB,PN=NC,

AAGV的周長=AM+M7V+4V=4W+MP+PN+4V=M+AC=2AB,

ZBAC=60°,OB=4,

ZBAO=-ABAC=30°,

2

At540中,

tanZBAO=—

AB

.g4

AB

:.AB=^=4y[3,

AMN的周長=8月,

故選：C.

3.（2022?湖北?武漢市崇仁路中學九年級階段練習）如圖，OO與AABC的三邊分別相切于點。，E,F,連

接DE,EF.若AO=6,BE=1,CF=8,貝!Itan/OEF的值是（）

B.2

【答案】A

【詳解】解：過點8作BM_LAC于點連接。￡?、OE、OF、AO.BO、CO,如圖所示:

。與△ABC的三邊分別相切于點。，E,F,

：.OD±AB,OF±AC,OE±BC,OD=OE=OF,

AF=AD=6,CE=CF=8,BD=BE=J,

設OD=OE=OF=r,

：.AB=AD+BD=13,AC=AF+FC=14,BC=BE+EC=15,

'：BM±AC,

：.ZBMA=NBMC=90°,

，AABM與ACBM為直角三角形，

根據(jù)勾股定理可得：BM2=AB2-AM2,BM1=BC--CM',

即AB2-AM2^BC2-CM2,

132-AM2=152-(14-AAf)2,

解得：AM—5,

則BM=4AB?-AM?=12,

=-x14x12=84,

=-ABxr+-ACxr+-BCxr

222

=-x(13+14+15)xr

2'7

=21r

21r=84,解得：r=4,

在RtAAOD和RtAAOF中,

：.RtAAOZ^RtAAOF(HL),

ZAOD=ZAOF=-ZDOF,

DF=DF>

:.ZDEF=-ZDOF,

2

:.ZAOD=NDEF,

：.tanZDEF-tanZAOD=-^-=-,故A正確.

OD42

故選：A.

4.（2022?浙江浙江?一模）如圖，AD是。。的直徑，B4,尸5分別切。。于點A,B,弦BC〃AD當CQ的

度數(shù)為126。時，則NP的度數(shù)為（）

A.54°B.55°C.63°D.64°

【答案】A

【詳解】如圖，連接A3,CO,BO,

A.

CD的度數(shù)為126。，

ZCOD=126°.

CO=DO,

ZCDO=-(180°-ZCOD)=27。.

2

BCAD,

ZBCD=ZCDA=27°.

BD=BD，

.?./BAD=/BCD=27°,ZBOD=2ZBAD=54°,

ZAOB=126°.

PA,反是。。的切線，

ZPOA=ZPOB=63°,NB4O=90。，ZAPO=ZBPO,

ZAPS=2ZAPO=2(90°-ZPOA)=2x27。=54°.

故選A.

5.(2021?廣東?廣州市第二中學南沙天元學校九年級階段練習)如圖，B4,總是。。的切線，CD切。。于

點、E,△PCD的周長為12,ZAOB=120°,則A3=.

【答案】6

【詳解】解：???外,尸8是。。的切線，CO切。。于點

「?PA=PB,CA=CE,DB=DE,

'??△PC。的周長為12,

尸C+CE+尸。+DE=PC+CA+PD+DB=PA+PB=12，

:.PA=PB=6,

,：PA,PB是。。的切線，

：.ZPAO=ZPBO=90°,

；ZA(?B=120°,

：.ZP=60°,

：./\PAB是等邊三角形，

.,.AB=PA=6,

故答案為：6.

6.(2022.全國?九年級專題練習)如圖，42為。。的切線，B為切點，過點8作垂足為點E,交

。。于點C,延長CO與的延長線交于點。.

(1)求證：AC為。。的切線；

(2)若0c=2,OD=5,求線段AD和AC的長.

【答案】(1)證明見解析

⑵g""；三國

【詳解】(1)證明：連接02,則OC=OB,如圖所示:

'：OA.LBC,

：.EC=BE,

是CB的垂直平分線,

：.AC=AB,

:在△CA。和△BAO中

AO=AO

<AC=AB,

OC=OB

：./\CAO^/\BAO(SSS),

：.ZOCA^ZOBA.

,.?AB為。。的切線，B為切點,

：.ZABO=90°,

/OC4=90°,EPAC±OC,

；.AC是。。的切線.

(2)解：：OC=2,OD=5,

：.OB=2,CD=OC+OD=1,

'：ZOBD=90°,

BD=yJoD2-OB2=V52-22=V2T，

設AC=x,貝！IAC=AB=x,

'.'CCP+AC^Ab2,

：.X2+72=(X+A/21)2,

解得x⑸

AC=-y/21,

3

25

???AO=A3+5O=AC+3O=一回+V21=-V21.

33

7.(2022?湖北武漢?二模)如圖，必與。。相切于點A,A8是直徑，點。在。。上，連接C8,CP,2ZB+ZP

180°.

(1)求證：PC是。。的切線；

⑵過。作0O〃PC,交AP于點。，若AB=8,/49。=30。.求由線段E4,PC及弧AC所圍成陰影部分

的面積.

【答案】(1)見解析

⑵由線段PA,PC及弧AC所圍成陰影部分的面積為16方-華萬

【詳解】(1)證明：連接℃,

??OB=OC,

：.ZB=ZOCB,

：.ZAOC=2ZB

?/2NB+NP=180。，

ZAOC+ZP=180°,

ZOAP+ZOCP=360°-(ZAOC+ZP)=180°

又以是。的切線，

則/。4P=90。，

，ZOCP=90°

?1.PC是二。的切線

(2)連接OP,

由N。4P=90。，NAO￡>=30。知，ZADO=60°

?/OD//PC,則ZAPC=ZADO=60°

又由(1)知RI,PC是。的切線

ZAPO=NCPO=30°,則ZAOP=NCOP=60°

VAB=8,則04=4,AP=4y/3,則以"。=84

同理，SACP°=8C

,?*ZAOC=180°-ZAPC=120°,OA=4,

則無吟。。=翔"號萬