2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)之四邊形

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之四邊

選擇題（共10小題）

1.如圖，在四邊形ABC。中，ZA+ZD=a,/ABC的平分線與的平分線交于點(diǎn)P,則/尸=（）

2.如圖，在矩形ABC。中，AB=4,BC=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將aABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形

內(nèi)點(diǎn)尸處，連接CF,則的長(zhǎng)為（）

1

3.如圖，nABCZ）的對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O,AE平分/BAO交8C于點(diǎn)E,且NAOC=60°,AB=產(chǎn),

連接。E.下列結(jié)論：

①/CW=30°；

②S°ABCD=AB?AC；

?OB=AB-,

④OE=JBC,成立的個(gè)數(shù)有（）

41

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

5.如圖，在正方形A8C。的外側(cè)，作等邊三角形ADE,AC.BE相交于點(diǎn)F,則N8FC為（）

C.60°D.75°

6.如圖，四邊形A8CD是菱形，AC=8,DB=6,于H,則。H等于（)

C.5D.4

7.如圖，將□ABC。沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在2,處,若N1=N2=44°,則N2為(

D.124°

8.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（

A.四邊形B.五邊形C,六邊形D.八邊形

9.如圖，口48。的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，AB±AC,若A2=4,AC=6,則8。的長(zhǎng)是（

10.如圖，菱形ABCZ）的對(duì)角線AC,8。相交于。點(diǎn)，E,尸分別是A3,BC邊上的中點(diǎn)，連接跖.若

EF=W,BD=4,則菱形A8CD的周長(zhǎng)為（）

A.4B.4V6C.4V7D.28

二.填空題（共5小題）

11.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC與BO相交于點(diǎn)。，AC=8,BD=6,OE±BC,垂足為點(diǎn)E,則

0E=

12.如圖，E,尸是正方形ABC。的邊A。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足?連接C尸交2。于點(diǎn)G,連接8E

交AG于點(diǎn)H.若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段。“長(zhǎng)度的最小值是.

13.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，乙4=60°,M是邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，將△AMV

沿所在直線翻折得到△&'MN,連接A'C,則A'C長(zhǎng)度的最小值是.

14.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4西,。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（2點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方

CDEF,連接BE,則面積的最大值為

E

15.如圖，在DABCD中，AD=2AB,尸是的中點(diǎn)，作CE_LAB,垂足E在線段AB上，連接EF、CF,

則下列結(jié)論中一定成立的是.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)

16.己知，正方形A3CD中，ZMAN=45°,NMAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交C8、DC(或

它們的延長(zhǎng)線)于點(diǎn)M、N,AHLMN于點(diǎn)、H.

(1)如圖①,當(dāng)/MAN繞點(diǎn)、A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系:；

(2)如圖②，當(dāng)/M4N繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BMWON時(shí)，(1)中發(fā)現(xiàn)的AH與43的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如

果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；

(3)如圖③，已知NMAN=45°,AHLMN于點(diǎn)H,且MH=2,NH=3,求A8的長(zhǎng).(可利用(2)

得到的結(jié)論)

圖①圖②圖③

17.如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,AB^AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分過(guò)點(diǎn)C

作CELAB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接OE.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)AB=V5,BD=2,求0E的長(zhǎng).

DC

18.在RtZ\ABC中，ZBAC=90°,。是BC的中點(diǎn)，E是A。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作A/〃BC交BE的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)F.

(1)求證：4AEF咨ADEB；

(2)證明四邊形AOCF是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCE的面積.

19.如圖，分別以Rt^ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△AC。及等邊△ABE.已知N8AC=30°,

EF±AB,垂足為R連接。H

(1)試說(shuō)明AC=EF；

(2)求證：四邊形AOFE是平行四邊形.

20.如圖，點(diǎn)〃是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AM,點(diǎn)E是線段AM上一點(diǎn)，/COE的平分線交

AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)足

(1)如圖1,若點(diǎn)E為線段AM的中點(diǎn)，BM-.CM=\-.2,BE=V10,求AB的長(zhǎng);

(2)如圖2,若DA=DE,求證：BF+DF=V2AF.

圖1圖2

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)熱搜題速遞之四邊形(2024年7月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共10小題)

1.如圖，在四邊形4BCD中，ZA+ZD=a,/4BC的平分線與的平分線交于點(diǎn)P,則NP=()

111

A.90°一加B.90°+如C.-aD.3600-a

222

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角；三角形內(nèi)角和定理.

【專題】幾何圖形問(wèn)題.

【答案】C

【分析】先求出NABC+N3C。的度數(shù)，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理求解NP的

度數(shù).

【解答】解：：四邊形A3C。中，ZABC+ZBCD^360°-CZA+ZD)=360°-a,

；PB和PC分別為/ABC、ZBCD的平分線，

i1i

AZPBC+ZPCB=(NABC+NBCD)=.(360°-a)=180°-ja,

則NP=180°-(NPBC+NPCB)=180°-(180°-1a)=1a.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了多邊形的內(nèi)角和外角以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題.

2.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,8C=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)8落在矩形

內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF,則CF的長(zhǎng)為()

【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；翻折變換(折疊問(wèn)題).

【答案】D

【分析】連接BF,根據(jù)三角形的面積公式求出BH,得到BF,根據(jù)直角三角形的判定得到/2月。=90°,

根據(jù)勾股定理求出答案.

【解答】解：連接BR

：8C=6,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，

:.BE=3,

又YA"%

：.AE=7AB2+BE?=5,

由折疊知，BFLAE（對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線必垂直于對(duì)稱軸）

,皿ABXBE12

.?2代=虧’

則BF=曾，

?；FE=BE=EC,

：.ZBFC=90°,

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊

前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵.

1

3.如圖，nABCZ）的對(duì)角線AC、8。交于點(diǎn)O,AE平分/BAD交BC于點(diǎn)E,且NAOC=60°,AB=產(chǎn),

連接。E.下列結(jié)論：

①/CW=30°；

②S°ABCD=AB?AC；

?OB=AB-,

@0E=\BC,成立的個(gè)數(shù)有（）

AD

O

BEC

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角

三角形.

【專題】壓軸題.

【答案】C

【分析】由四邊形4BCD是平行四邊形，得到/ABC=/AOC=60°,ZBAD=120°,根據(jù)AE平分

ABAD,得到N8AE=NE4O=60°推出△ABE是等邊三角形，由于48=抑7,得到AE=抑7,得到

△ABC是直角三角形，于是得到/。4。=30°,故①正確；由于AC1AB,得到S^ABCD=AB-AC,故

11

②正確，根據(jù)AB=2BC,OB=?BD,且得到A2W02,故③錯(cuò)誤；根據(jù)三角形的中位線定

理得到于是得到0￡=品。，故④正確.

【解答】解：：四邊形48。是平行四邊形，

ZABC^ZADC^60°,NBA。=120°,

:AE平分NBA。，

：.ZBAE^ZEAD^60°

.?.△ABE是等邊三角形，

'.AE—AB—BE,

1

?；AB=^BC,

1

：.AE=”。，

：.ZBAC=90°,

：.ZCAD=30°,故①正確；

VAC±AB,

S^ABCD=AB9AC,故②正確，

11

9：AB=^BC,OB=^BD,

?：BD>BC,

：.AB^OB,故③錯(cuò)誤；

,:CE=BE,CO^OA,

：.OE=^AB,

1

.1.OE==rBC,故④正確.

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的

面積公式，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵.

4.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是900。，則這個(gè)多邊形是()

A.五邊形B.六邊形C.七邊形D.八邊形

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【專題】計(jì)算題.

【答案】C

【分析】設(shè)這個(gè)多邊形是“邊形，內(nèi)角和是(n-2)-180°,這樣就得到一個(gè)關(guān)于”的方程，從而求出

邊數(shù)n的值.

【解答】解：設(shè)這個(gè)多邊形是〃邊形，

則("-2)780°=900°,

解得：n=7,

即這個(gè)多邊形為七邊形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理，求邊數(shù)的問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為解方程的問(wèn)題來(lái)解決.

5.如圖，在正方形ABC。的外側(cè)，作等邊三角形ADE,AC、BE相交于點(diǎn)R則N8FC為()

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【答案】C

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)求出/山狙=15°,ZBAC=45°,再求/BBC.

【解答】解：???四邊形ABO是正方形，

C.AB^AD,

又???△AOE是等邊三角形，

：.AE=AD=DE,ZDAE=6Q°,

C.AB^AE,

:./ABE=/AEB,NBAE=90°+60°=150°,

：.ZABE=(180°-150°)4-2=15°,

又：/8AC=45°,

AZBFC=45°+15°=60°.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要是考查正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用正方形和等邊三角形各

邊相等的性質(zhì)及等邊對(duì)等角求出15°.

6.如圖，四邊形A8CO是菱形，AC=8,DB=6,OH_LA8于H,則。〃等于()

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】等腰三角形與直角三角形；矩形菱形正方形；運(yùn)算能力.

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形性質(zhì)求出4。=4,0B=3,ZAOB=90°,根據(jù)勾股定理求出AB,再根據(jù)菱形的面

積公式求出即可.

【解答】解：設(shè)AC交于0,

:四邊形ABC。是菱形，

C.AO^OC,B0=0D,AC±BD,

VAC=8,DB=6,

；.A0=4,02=3,ZAOB=90°,

由勾股定理得：AB=V32+42=5,

1

■:S菱形ABCQ=2xACxBD=ABxDH,

1

x8x6=5xDH,

2

24

：.DH=g,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理和菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)菱形的性質(zhì)得出S菱形=

ABxDH是解此題的關(guān)鍵.

7.如圖，將□ABC。沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落在"處，若Nl=/2=44°,則為（）

C.114°D.124°

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì).

【答案】C

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得出AC,由三角形的外角性質(zhì)求出

1

ZBAC^ZACD^ZB'AC=jZl=22",再由三角形內(nèi)角和定理求出即可.

【解答】解：：四邊形ABC。是平行四邊形，

J.AB//CD,

：.ZACD^ZBAC,

由折疊的性質(zhì)得：ZBAC^ZB'AC,

1

：.ZBAC=ZACD=ZB'AC=^Z1=22°,

.*.ZB=180°-Z2-ZBAC=180°-44°-22°=114°；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理；熟練

掌握平行四邊形的性質(zhì)，求出/BAC的度數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

8.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，這個(gè)多邊形是（）

A.四邊形B.五邊形C,六邊形D.八邊形

【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角.

【答案】C

【分析】此題可以利用多邊形的外角和和內(nèi)角和定理求解.

【解答】解：設(shè)所求多邊形邊數(shù)為小由題意得

（〃-2）780°=360°X2

解得n=6.

則這個(gè)多邊形是六邊形.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和、方程的思想.關(guān)鍵是記住內(nèi)角和的公式與外角和的特征:

任何多邊形的外角和都等于360°邊形的內(nèi)角和為（n-2）-180°.

9.如圖，nABCZ）的對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,ABLAC,若A2=4,AC=6,則8。的長(zhǎng)是（）

A------------------D

丁

A.8B.9C.10D.11

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；勾股定理.

【答案】C

【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理易求80的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出BD的長(zhǎng).

【解答】解：ABC。的對(duì)角線AC與相交于點(diǎn)。，

；.BO=DO,AO^CO,

,：AB1AC,42=4,AC=6,

：.ZBAO=90°,OA=3

BO=V32+42=5,

???82）=280=10,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理的運(yùn)用,是中考常見(jiàn)題型，比較簡(jiǎn)單.

10.如圖，菱形A8CZ）的對(duì)角線AC,8。相交于。點(diǎn)，E,尸分別是A3,邊上的中點(diǎn)，連接跖.若

EF=V3,BD=4,則菱形ABC。的周長(zhǎng)為（)

A.4B.4V6C.4V7D.28

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；三角形中位線定理.

【答案】C

【分析】首先利用三角形的中位線定理得出AC,進(jìn)一步利用菱形的性質(zhì)和勾股定理求得邊長(zhǎng)，得出周

長(zhǎng)即可.

【解答】解：歹分別是ASBC邊上的中點(diǎn)，EF=W,

:.AC=2EF=2?

???四邊形ABCO是菱形，

：.AC±BD,OA=V3,OB=1B￡>=2,

：.AB=y/OA2+OB2=V7,

菱形ABCD的周長(zhǎng)為4V7.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查菱形的性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，掌握菱形的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

二.填空題（共5小題）

11.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC與BO相交于點(diǎn)O,AC=8,BD=6,0E1BC,垂足為點(diǎn)E,則

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

11

【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得AC_L3Q,OB=OD=^BD=3,0A=0C=^AC=4f再在RtZXOBC中利

用勾股定理計(jì)算出BC=5,然后利用面積法計(jì)算0E的長(zhǎng).

【解答】解：??,四邊形A3CD為菱形，

11

：.AC±BDf0B=0D=^BD=3,OA=OC=^AC=4,

在RtZ^OBC中，V0B=3,OC=4,

：.BC=V32+42=5,

OELBC,

11

：LOE?BC=3OB?OC,

22

門(mén)口

■.-OE=-3x4=T12-

故答案為苦.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條

對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.也考查了勾股定理和三角形面積公式.

12.如圖，E,尸是正方形ABC。的邊A。上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足?連接C尸交2。于點(diǎn)G,連接8E

交AG于點(diǎn)若正方形的邊長(zhǎng)為2,則線段。以長(zhǎng)度的最小值是—逐-」.

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).

【專題】壓軸題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB=AD=CD,/BAD=NCDA,ZADG=ZCDG,然后利用“邊角

邊”證明AABE和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得Nl=/2,利用“SAS”證明△AOG

和△CDG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得/2=/3,從而得到/1=/3,然后求出NAH8=90°,

取42的中點(diǎn)0,連接。8、0D,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得。H=32=1,利

用勾股定理列式求出。。，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知當(dāng)。、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，OH的長(zhǎng)度最小.

【解答】解：在正方形ABC。中，AB=AD=CD,NBAD=NCDA,/ADG=NCDG,

在△ABE和中,

AB=CD

乙BAD—/.CDA,

AE=DF

：.AABE^ADCF(SAS),

.*.Z1=Z2,

在△AOG和△COG中，

AD=CD

Z.ADG=Z.CDG，

DG=DG

：.AADG^ACDG(SAS),

；.N2=N3,

；./l=N3,

?/ZBAH+Z3=ZBAD=90°,

：.Zl+ZBAH=90°,

AZAHB=180°-90°=90°,

取AB的中點(diǎn)。，連接OH、OD,

r,1

則OH=AO=揶=1,

在RtAAOD中，OD=y/AO2+AD2=Vl2+22=V5,

根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，OH+DH>OD,

...當(dāng)。、。、H三點(diǎn)共線時(shí)，。”的長(zhǎng)度最小，

最小值=。。-08=有一1.

(解法二：可以理解為點(diǎn)H是在A8直徑的半圓通上運(yùn)動(dòng)當(dāng)O、H、。三點(diǎn)共線時(shí)，DH長(zhǎng)

度最小)

故答案為：V5-1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一

半的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，確定出QH最小時(shí)點(diǎn)”的位置是解題關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

13.如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，ZA=60°,M是A。邊的中點(diǎn)，N是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)，WAAW

沿MN所在直線翻折得到△&'MN,連接A'C,則A'C長(zhǎng)度的最小值是一夕T

【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問(wèn)題）.

【答案】V7-1.

【分析】根據(jù)題意，在N的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A'在以"為圓心、為直徑的圓上的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A'

C取最小值時(shí)，由兩點(diǎn)之間線段最短知此時(shí)加、A'、C三點(diǎn)共線，得出A'的位置，進(jìn)而利用銳角三

角函數(shù)關(guān)系求出A'C的長(zhǎng)即可.

【解答】解：如圖所示：是定值，A,C長(zhǎng)度取最小值時(shí)，即A'在MC上時(shí)，

過(guò)點(diǎn)M作MFLDC于點(diǎn)F,

?在邊長(zhǎng)為2的菱形ABC。中，ZA=60°,M為A。中點(diǎn)，

：.2MD=AD=CD^2,ZFDM=60°,

：.ZFMD=3Q°,

11

：.FD=^MD=J,

.?.FM=DMXcos30°=苧，

：.MC^VFM2+CF2=V7,

"C=MC-MA'=V7-1.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，得出A'點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵.

14.如圖，在△ABC中，AB=AC=5,BC=4層,。為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（2點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方

形CDEF,連接BE,則面積的最大值為8

E

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】矩形菱形正方形.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CGL3A于點(diǎn)G,作于點(diǎn)X,作于點(diǎn)由AB=AC=5,BC=

4V5,得到BM=CM=2萌，易證求得GB=8,設(shè)BD=x,貝!|Z)G=8-x,易證

111

且4DCG,EH=DG=8-x,所以SABDE=?EH=彳久(8—無(wú))=一訝Q-4尸+8,當(dāng)尤=4時(shí)，△

面積的最大值為8.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CGLBA于點(diǎn)G,作EHA.AB于點(diǎn)H,作AMLBC于點(diǎn)M.

'：AB=AC=5,BC=4V5,

:.BM=CM=2底

：.LAMBsACGB,

.BMAB

??=,

GBCB

2V55

即=-尸

GB4V5

???G3=8,

設(shè)則。G=8-x,

■:ED=DC,NEHD=NDGC,ZHED=ZGDCf

:?△EDH咨ADCG(AAS),

：.EH=DG=8-x,

111

S^BDE—2BD-EH=2x(8—x)——2(x—4)+8,

當(dāng)x=4時(shí)，△BDE面積的最大值為8.

故答案為8.

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形，熟練運(yùn)用正方形的性質(zhì)與相似三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在DABCD中，AD=2AB,E是的中點(diǎn)，作CE_LA8,垂足E在線段AB上，連接EF、CF,

則下列結(jié)論中一定成立的是①②④.(把所有正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上)

【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線.

【專題】幾何圖形問(wèn)題；壓軸題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AE/FADMP(ASA),得出

對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案.

【解答】解：①是的中點(diǎn)，

C.AF^FD,

:在DABCD中，AD=2AB,

：.AF=FD=CD,

：.ZDFC=ZDCF,

,JAD//BC,

ZDFC=ZFCB,

:./DCF=/BCF,

ZDCF=^ZBCD,故①正確；

延長(zhǎng)交CD延長(zhǎng)線于

,/四邊形ABCD是平行四邊形,

：.AB//CD,

：./A=/MDF,

??,方為A0中點(diǎn)，

：.AF=FD.

在AAE/和中，

’4=ZFDM

'AF=DF，

^AFE=Z-DFM

：.AAEF^ADMF(ASA),

:.FE=MF,NAEF=NM,

丁CELAB,

：.ZAEC=90°,

AZAEC=ZECD=90°,

?：FM=EF,

：?FC=FM,故②正確；

③?；EF=FM,

??S/\EFC=S^CFM,

?；MC>BE,

SABEC<2SAEFC

故5kBEC=2SaCE尸錯(cuò)誤，即③錯(cuò)誤；

④設(shè)N/EC=x,則N尸CE=x,

：.ZDCF=ZDFC=90°-x,

：.ZEFC=180°-2x,

:?/EFD=9U°-x+180°-2x=270°-3x,

VZAEF=90°-x,

:?/DFE=3/AEF,故④正確.

故答案為：①②④.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△AEFg

是解題關(guān)鍵.

三.解答題（共5小題）

16.己知，正方形中，ZMAN^45°,/MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交C2、0c（或

它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N,于點(diǎn)H.

（1）如圖①,當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM=DN時(shí),請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系:AH=AB；

（2）如圖②，當(dāng)/MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到8WWON時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與A8的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如

果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；

（3）如圖③，已知NMAN=45°,AHLMN于懸H,且MH=2,NH=3,求A//的長(zhǎng).（可利用（2）

解一元二次方程-因式分解法；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.

【專題】證明題；壓軸題；探究型.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】（1）由三角形全等可以證明

（2）延長(zhǎng)CB至E,使.BE=DN,證明絲/XANM,能得到

（3）分別沿AM、AN翻折△43和△ANH,得到△ABM和△AM）,然后分別延長(zhǎng)和DN交于點(diǎn)C,

得正方形設(shè)則MC=JC-2,NC=x-3,在Rtz\MCN中，由勾股定理，解得x.

【解答】解：（1）如圖①

（2）數(shù)量關(guān)系成立.如圖②，延長(zhǎng)CB至E,使BE=DN.

,「ABC。是正方形，

：.AB=AD,ND=NABE=90°,

AB=AD

在RtAAEB和RtAAND中，UABE=乙ADN,

BE=DN

：.RtAAEB^RtAAND(SAS),

:?AE=AN,NEAB=/NAD,

'：ZDAN+ZBAM=45°,

：.ZEAB+ZBAM=45°,

：.ZEAM=45°,

ZEAM=ZNAM=45°,

AE=AN

在△AEM和AANM中，^EAM=4NAM，

AM=AM

：.AAEM^AANM(SAS).

ASMEM=S/\ANMIEM=MN,

9：AB.A”是△AEM和△A7VM對(duì)應(yīng)邊上的高，

(3)如圖③分別沿AM、AN翻折△AMH和△ANH,得到和△AND,

：.BM=2,DN=3,NB=ND=NBAD=90°.

分別延長(zhǎng)BM和DN交于點(diǎn)C,得正方形ABCD,

由(2)可知，AH=AB=BC=CD=AD.

設(shè)AH=x,則MC=x-2,NC=x-3,

在RtZXMCN中，由勾股定理，得MM=Md+NC2

：.52=(x-2)2+(x-3)2

解得Xl=6,X2=-1.(不符合題意，舍去)

：.AH=6.

AD

圖②

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正方形的性質(zhì)和三角形全等的判斷，難度中等.

17.如圖，在四邊形ABC。中，AB//DC,AB=AD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,AC平分NBA。，過(guò)點(diǎn)C

作交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接0E.

(1)求證：四邊形ABC。是菱形；

(2)^AB=V5,BD=2,求的長(zhǎng).

【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；角平分線的定義；平行線的性質(zhì)；勾股定理.

【專題】計(jì)算題；推理能力.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)先判斷出/048=/。。!，進(jìn)而判斷出得出CD=AD=AB,即可得出

結(jié)論；

(2)先判斷出。E=0A=0C,再求出02=1,利用勾股定理求出。4,即可得出結(jié)論.

【解答】(1)證明：

J.ZOAB^ZDCA,

〈AC為NDA3的平分線，

：.ZOAB=ZDAC,

：.ZDCA=ZDAC,

：.CD^AD^ABf

U：AB//CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

'：AD=ABf

?*?nABCD是菱形；

(2)解：:四邊形ABC。是菱形，

：.OA=OC,BDLAC,OB=加=1,

VCE1AB,

.?.OE=OA=OC,

在RtZWOB中，AB=V5,OB=1,

OA=7AB2—OB?=2,

：.OE=OA=2.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，勾股定理,

判斷出CZ)=AD=AB是解本題的關(guān)鍵.

18.在RtzXABC中，/A4c=90°,。是BC的中點(diǎn)，E是A。的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作A/〃BC交BE的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)F.

(1)求證：LAEF出4DEB；

(2)證明四邊形AOC尸是菱形；

(3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCE的面積.

【考點(diǎn)】菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理.

【專題】證明題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)根據(jù)AAS證

(2)利用①中全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AF=BD.結(jié)合已知條件，利用“有一組對(duì)邊平行且相等

的四邊形是平行四邊形”得到AOb是菱形，由“直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半”得到

DC,從而得出結(jié)論；

(3)由直角三角形ABC與菱形有相同的高，根據(jù)等積變形求出這個(gè)高，代入菱形面積公式可求出結(jié)論.

【解答】(1)證明：@'：AF//BC,

：./AFE=ZDBE,

是AD的中點(diǎn)，。是BC的中點(diǎn)，

：.AE=DE,BD=CD,

在△AFE和△D8E中，

^AFE=/DBE

■/.FEA=乙BED，

ME=DE

:.AAFE咨ADBE(AAS)；

(2)證明：由(1)知，AAFE^ADBE,貝！JAE=DB.

,:DB=DC,

C.AF^CD.

,JAF//BC,

...四邊形ADCF是平行四邊形，

VZBAC=90°,。是3C的中點(diǎn)，

1

：.AD=DC=7C,

???四邊形AOC/是菱形;

(3)連接￡>F,

\'AF//BD,AF=BD,

四邊形ABDF是平行四邊形，

：.DF=AB=5,

..?四邊形AZXT是菱形，

S菱形ADCF=|AC-DF=1X4X5=10.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的判定，菱形的判定的應(yīng)用，菱形的面積計(jì)

算，主要考查學(xué)生的推理能力.

19.如圖，分別以RtA48C的直角邊AC及斜邊A8向外作等邊及等邊△A8E.已知N8AC=30°,

EFLAB,垂足為F,連接。足

(1)試說(shuō)明AC=EP；

(2)求證：四邊形ADFE是平行四邊形.

【考點(diǎn)】平行四邊形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).

【專題】證明題.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)首先中，由/B4C=30°可以得到AB=2BC,又因?yàn)椤鰽BE是等邊三角形，EF

±AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后即可證明△AFEgZXBCA,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

即可證明AC=EB

(2)根據(jù)(1)知道EF=AC,而△ACQ是等邊三角形，所以跖=AC=AD,并且AZ)_L45,而E/QL

AB,由此得到跖〃A。，再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADEE是平行四邊形.

【解答】證明：(1)?.?及△ABC中，ZBAC=30°,

：.AB=2BC,

又「△ABE是等邊三角形，EF±AB,

：.AB=2AF

：.AF=BC,

在RtAAFE和RtABCA中，

(AF=BC

VAE=BA'

.?.RtAAF￡^RtABCA(HL),

：.AC=EF；

(2);△AC。是等邊三角形，

AZZ)AC=60°,AC=AD,

：./DAB=ZDAC+ZBAC=90°

5L'：EFLAB,

C.EF//AD,

'：AC=EF,AC=AD,

：.EF=AD,

，四邊形ADFE是平行四邊形.

【點(diǎn)評(píng)】此題是首先利用等邊三角形的性質(zhì)證明全等三角形，然后利用全等三角形的性質(zhì)和等邊三角形

的性質(zhì)證明平行四邊形.

20.如圖，點(diǎn)〃是正方形ABC。的邊BC上一點(diǎn)，連接AM,點(diǎn)E是線段AM上一點(diǎn)，/COE的平分線交

AM延長(zhǎng)線于點(diǎn)反

(1)如圖1,若點(diǎn)E為線段AM的中點(diǎn)，BM：CM=1：2,BE=V10,求AB的長(zhǎng);

(2)如圖2,若DA=DE,求證：BF+DF=V2AF.

圖1圖2

【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

【專題】綜合題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想；等腰三角形與直角三角形.

【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容

【分析】(1)設(shè)則MC=2x,由此得到4B=BC=3x,在RtZvlBM中，根據(jù)直角三角形斜邊上

的中線等于斜邊的一半，可求AM長(zhǎng)，再利用勾股定理可求長(zhǎng)；

(2)要證明的三條線段沒(méi)有組成一個(gè)三角形或一條線段，所以延長(zhǎng)即交過(guò)點(diǎn)A作垂直于AE的直線

于“點(diǎn)，證明△ABFgAAOH,把轉(zhuǎn)化到。H,從而三條線段放在了等腰直角三角形中便解決了問(wèn)

題.

【解答】解：(1)設(shè)則CM=2x,BC=3x,

；8A=BC,：.BA^3x.

在RtZXABM中，￡為斜邊AM中點(diǎn)，

：.AM=2BE=2410.

由勾股定理可得4序=及出2+&82,

即40=/+9X2,解得X=2.

.\AB=3x=6.

(2)延長(zhǎng)F0交過(guò)點(diǎn)A作垂直于Ab的直線于H點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作。尸，A尸于尸點(diǎn).

,:DF平分/CDE,

.\Z1=Z2.

?；DE=DA,DP±AF

???N3=N4.

VZ1+Z2+Z3+Z4=9O°,

???N2+N3=45°.

：.ZDFP=90°-45°=45°.

：.AH=AF.

'：ZBAF+ZDAF^90°,ZHAD-^-ZDAF=90°,

：.ZBAF=ZDAH.

又AB=AZ),

AABF^AADH(SAS).

：.AF=AH,BF=DH.

9：RtAE4H是等腰直角三角形，

：.HF=V2AF.

'：HF=DH+DF=BF+DF,

：.BF+DF=V2AF.

F

H

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理,

綜合性較強(qiáng)，正確作出輔助線，把三條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)卡片

1.解一元二次方程-因式分解法

(1)因式分解法解一元二次方程的意義

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法.

因式分解法就是先把方程的右邊化為0,再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩

個(gè)因式的值就都有可能為0,這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一

元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了(數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想).

(2)因式分解法解一元二次方程的一般步驟：

①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得

到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解.

2.角平分線的定義

(1)角平分線的定義

從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線.

(2)性質(zhì)：若OC是NAOB的平分線

1

貝此4。。=/8。。=力乙402或4408=2/&。。=2/2。。.

(3)平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐.

3.平行線的性質(zhì)

1、平行線性質(zhì)定理

定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同位角相等.

定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ).簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ).

定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等.簡(jiǎn)單說(shuō)成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

2、兩條平行線之間的距離處處相等.

4.三角形內(nèi)角和定理

(1)三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角.每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大

于0°且小于180°.

(2)三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

(3)三角形內(nèi)角和定理的證明

證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角.在轉(zhuǎn)化中借助平

行線.

(4)三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用

主要用在求三角形中角的度數(shù).①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法

求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角.

5.全等三角形的判定與性質(zhì)

(1)全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三角形全等時(shí)，

關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件.

(2)在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角

形.

6.等腰三角形的性質(zhì)

(1)等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

(2)等腰三角形的性質(zhì)

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個(gè)底角相等.【簡(jiǎn)稱：等邊對(duì)等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合.【三線合一】

(3)在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線.以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)

元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論.

7.等腰三角形的判定與性質(zhì)

1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的

重要手段.

2、在等腰三角形有關(guān)問(wèn)題中，會(huì)遇到一些添加輔助線的問(wèn)題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中

線是常見(jiàn)的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時(shí)，有時(shí)作哪條線都可以，有時(shí)不同的做法引起解

決問(wèn)題的復(fù)雜程度不同，需要具體問(wèn)題具體分析.

3、等腰三角形性質(zhì)問(wèn)題都可以利用三角形全等來(lái)解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的

思維定勢(shì)，凡可以直接利用等腰三角形的問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)優(yōu)先選擇簡(jiǎn)便方法來(lái)解決.

8.等邊三角形的性質(zhì)

(1)等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形.

①它可以作為判定一個(gè)三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關(guān)系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況.在等邊三角形中，腰和底、頂

角和底角是相對(duì)而言的.

(2)等邊三角形的性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，且都等于60°.

等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對(duì)邊，三邊的垂直平分線

是對(duì)稱軸.

9.等邊三角形的判定與性質(zhì)

(1)等邊三角形是一個(gè)非常特殊的幾何圖形，它的角的特殊性給有關(guān)角的計(jì)算奠定了基礎(chǔ)，它的邊角性

質(zhì)為證明線段、角相等提供了便利條件.同是等邊三角形又是特殊的等腰三角形，同樣具備三線合一的性

質(zhì)，解題時(shí)要善于挖掘圖形中的隱含條件廣泛應(yīng)用.

(2)等邊三角形的特性如：三邊相等、有三條對(duì)稱軸、一邊上的高可以把等邊三角形分成含有30°角的

直角三角形、連接三邊中點(diǎn)可以把等邊三角形分成四個(gè)全等的小等邊三角形等.

(3)等邊三角形判定最復(fù)雜，在應(yīng)用時(shí)要抓住已知條件的特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)呐卸ǚ椒?，一般地，若從?/p>

般三角形出發(fā)可以通過(guò)三條邊相等判定、通過(guò)三個(gè)角相等判定;若從等腰三角形出發(fā),則想法獲取一個(gè)60°

的角判定.

10.含30度角的直角三角形

(1)含30度角的直角三角形的性質(zhì)：

在直角三角形中，30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

(2)此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問(wèn)題中常

用來(lái)求邊的長(zhǎng)度和角的度數(shù).

(3)注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角(30°)的特殊定理，非直角三角形或一般直角

三角形不能應(yīng)用；

②應(yīng)用時(shí)，要注意找準(zhǔn)30°的角所對(duì)的直角邊，點(diǎn)明斜邊.

11.直角三角形斜邊上的中線

(1)性質(zhì)：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.(即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn))

(2)定理：一個(gè)三角形，如果一邊上的中線等于這條邊的一