高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三角函數(shù) 專項(xiàng)練習(xí)（原卷版+解析）

綜合訓(xùn)練05三角函數(shù)（16種題型60題專練）

一.扇形面積公式（共3小題）

1.（2022?甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長度的“會圓術(shù)”.如

圖，篇是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是A8的中點(diǎn)，。在篇上，“會圓術(shù)”給出篇的

2

弧長的近似值s的計(jì)算公式：S=AB+C5當(dāng)。4=2,ZAOB=60°時，s=（）

B.*4aC9-3?

AI"我D.

,22~172

2.（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，已知在扇形OAB中，半徑。4=。2=3,,圓01內(nèi)切于扇形。12（圓01

和。4,OB,弧AB均相切），作圓。2與圓Oi,OA,08相切，再作圓。3與圓。2,OA,。8相切，以此

類推.設(shè)圓。1,圓。2,…的面積依次為Si,S2…，那么Si+S2+-+S〃=.

3.（2023?柳州模擬）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂.作為最杰出的文藝復(fù)

興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特點(diǎn)之一就是窗門處使用尖拱造型，

其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如圖，菽所在圓的圓心。在線段A8上，若/C4B=

a,\AC\^m,則扇形O4C的面積為.

二.任意角的三角函數(shù)的定義（共2小題）

4.（2023?重慶模擬）若點(diǎn)M（sin^L,cos豆二）在角a的終邊上，貝ijcos2a=

66

5.（2023?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（3,—將線段繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)三得

553

到線段08,則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為

三.三角函數(shù)線（共1小題）

6.（2022?甲卷）已知。=旦1,Z>=cos—,c=4sin—,則（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

四.三角函數(shù)的周期性（共4小題）

7.（2023?日照一模）已知函數(shù)f（x）=2sin（Sx+?）（3>0,|<修-TT）的最小正周期為m其圖

象關(guān)于直線x上對稱，則f（工）=.

64

8.（2023?佛山一模）已知函數(shù)/（x）=sin（a）x+<p）（其中3>0,）.T為f（x）的最小正周期，且滿足.若

函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,n）上恰有2個極值點(diǎn)，則3的取值范圍是.

9.（2023?河南模擬）已知函數(shù)f（x）=Asin2（3x*）（A>0，3>0）的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，其最

小正周期為T,且變則3的值為.

22

10.（2023?浙江模擬）寫出一個滿足下列條件的正弦型函數(shù)，/（%）=.

①最小正周期為7T；

②于（X）在上單調(diào)遞增；

③Vx€R,\f（x）|W2成立.

五.運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值（共1小題）

11.（2023?韶關(guān)二模）已知銳角a滿足，貝Usin（n-a）=.

六.正弦函數(shù)的圖象（共12小題）

12.（2023?咸陽模擬）已知函數(shù)f（x）=V^sin（4xW~）.對于下列四種說法：

①函數(shù)/（X）的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱；

②函數(shù)/（X）在（-71,H）上有8個極值點(diǎn)；

③函數(shù)/G）在區(qū)間［工，工］上的最大值為我；

88

④函數(shù)/（X）在區(qū)間（一看，上單調(diào)遞增.

其中正確的序號是

13.（2023?北海模擬）已知函數(shù)f（x）=sin（4x+。）（號<Q<0）的圖象關(guān)于點(diǎn)（=，0）對稱，則

（P=?

14.（2023?新疆模擬）以函數(shù)y=sin3x（3>0）的圖象上相鄰三個最值點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是正三角形，則

0）=.

（x）=sin（3x《）（3〉0）的非負(fù)零點(diǎn)按照從小到大的順序分別記為小

皿，…，xn,若，則物的值可以是.（寫出符合條件的一個值即可）

16.（2023?攀枝花一模）若函數(shù)（3>0）在（個，冗）上單調(diào)，且在上存在極值點(diǎn)，則3的取值范圍

為.

17.（2023?株洲一模）已知/（x）=sin3x（（OCN+）,若在區(qū)間上存在兩個不相等的實(shí)數(shù)a,b,滿足/（a）

討（b1=2,則3可以為.（填一個值即可）

18.（2022?全國）已知函數(shù)/（無）=sin（2x+（p）.若/（3-）—f（--5-）=」，則<p=（）

332

TTIT

A.2kn+—（髭Z）B.2hr+—（依Z）

23

C.2Ht--（^GZ）D.2hr--（）teZ）

32

19.（2022?新高考I）記函數(shù)/（x）=sin（3x+子）+b（w>0）的最小正周期為T.若甘且y

=/（無）的圖像關(guān)于點(diǎn)（之，2）中心對稱，則/（三）=（）

22

A.1B.旦C.$D.3

22

20.（2022?甲卷）設(shè)函數(shù)/（x）=sin（3x+《-）在區(qū)間（0,it）恰有三個極值點(diǎn)、兩個零點(diǎn)，則3的取值

范圍是（）

A.但，區(qū)）B.但，Ai）C.（烏當(dāng)D.（烏Ai]

36366366

21.（2023?金昌二模）若函數(shù)f（x）=2sin（3x月）（3>0），又A（a,2）,B（p,0）是函數(shù)/（尤）

的圖象上的兩點(diǎn)，且|48|的最小值為，則”①）的值為_________.

6

22.（2023?榆林三模）已知函數(shù)/（x）=tan2x與g（x）=sin（x』）的圖象在區(qū)間LmE上的交點(diǎn)個數(shù)

6

為m,直線x+y=2與/（x）的圖象在區(qū)間[0,川上的交點(diǎn)的個數(shù)為外則徵+〃=

23.（2023?山西模擬）已知函數(shù)/（x）=Asin（cox+（p）（A>0,w>0）的圖象是由的圖象向右平移個單

位長度得到的.

(1)若了(無)的最小正周期為m求/(無)的圖象與y軸距離最近的對稱軸方程;

兀

(2)若/(無)在［三,3］上有且僅有一個零點(diǎn)，求3的取值范圍.

r

七.正弦函數(shù)的單調(diào)性(共7小題)

24.(2023?長沙模擬)已知函數(shù)〉=5111(o)x+(p)(a)>0,cpE(0,2n))的一條對稱軸為％二一且/(x)

6

在上單調(diào)，則o)的最大值為.

25.(2023?湖南模擬)已知函數(shù)f(x)=sir」(3x)+^-sin(2^x)(3>0)，在心若f(7^)=^_,

且/(x)在上單調(diào)遞增，則0)的值為.

26.(2023?吉林模擬)規(guī)定：設(shè)函數(shù)/(x)=MQx{sino)x,cosoox}(co>0),若函數(shù)/(%)在(；一，二丁)上

單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)3的取值范圍是.

27.(2023?湛江二模)若函數(shù)f(x)=sin((0x-Ky)((0〉0)在(f-，羽)上具有單調(diào)性，且x上含

為/(x)的一個零點(diǎn)，則/(%)在(工，工)上單調(diào)遞____(填增或減)，函數(shù)>=/(尤)-/gx的

618

零點(diǎn)個數(shù)為.

?22

28.(2023?汕頭二模)已知函數(shù)f(x)_tanxtan2xW3(sinx-cosx)-

tan2x-tanx

(1)求函數(shù)/(x)的定義域;

(2)若，求函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間.

29.(2023?南京二模)已知/(%)=sino)x-J^cosou,a)>0.

(1)若函數(shù)/(x)圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離為子，求了(等)的值；

(2)若函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于(；，0)對稱，且函數(shù)/(x)在［0,工］上單調(diào)，求3的值.

34

30.（2023?全國）已知函數(shù)，則（

A.（二2）上單調(diào)遞增B.（蔣，看）上單調(diào)遞增

、20207

C.懵，亮）上單調(diào)遞減D喻,畀上單調(diào)遞增

八.正弦函數(shù)的奇偶性和對稱性（共2小題）

31.（2023?四川模擬）寫出曲線的一條對稱軸的方程：.

32.（2023?湖北模擬）已知函數(shù)/（x）=sin（3x+（p）（3>0）,若X吟是函數(shù)y=/（x）的圖像的一條對稱

軸，（今，0）是函數(shù)y=/（x）的圖像的一個對稱中心，則3的最小值為.

九.余弦函數(shù)的圖象（共5小題）

33.（2023?綿陽模擬）已知函數(shù)/（x）=4cos（2x+—）-3,則/（無）在（-工，且L）上的零點(diǎn)個數(shù)

6126

為.

34.（2023?安康模擬）已知函數(shù)/（無）=cos3x（3>0）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且在區(qū)間單調(diào)，則3的一個取

值是.

35.（2023?山東模擬）若G（x,y）是函數(shù)y=cos無圖象上的任意一點(diǎn)，貝^（x工，2y）是函數(shù)=

6

Acos（a）x+（p）（A>0,a）>0,0<（p<ir）圖象上的相應(yīng)的點(diǎn)，那么f（3-）=_______.

3

36.（2023啦薩一模）已知函數(shù)f（x）=3cos（（W>0）在[-冗，0]上有且僅有兩個零點(diǎn).若如

ra￡[0,TT],且/（加）</（〃）,對任意的xe[0,IT],都有（x）-f（m）][/（x）-f（n）]W0,則滿足條

件的根的個數(shù)為.

37.（2023?承德模擬）己知3>1,函數(shù).

（1）當(dāng)3=2時，求/（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若/（尤）在區(qū)間[二，二]上單調(diào)，求3的取值范圍.

63

一十.正切函數(shù)的奇偶性與對稱性（共1小題）

38.（2023?石家莊模擬）曲線-彳）=半到三曳江（cosxWO）的一個對稱中心為（答

sinx-cosx

案不唯一）.

一H\函數(shù)y=Asin（a）x+（p）的圖象變換（共7小題）

39.（2023?咸陽模擬）已知函數(shù)/（x）=sin（ji）xcos（ji）x-a）x（a）＞0）的最小正周期為n,對于下列說法：

①3=1；

@f（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為2k冗，需+2卜兀］，aez）；

③將f（X）的圖象向左平移工個單位長度后所得圖象關(guān)于y軸對稱；

④f（：+x）+f=-V3-

oo

其中正確的序號是.

40.（2023?烏魯木齊三模）已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+Q）（A〉0，①＞0,〈三）的部分圖象

如圖所示，若將函數(shù)/（x）圖象上所有的點(diǎn)向右平移十個單位長度得到函數(shù)g（x）的圖象，則名吁）

的值為.

41.（2023?龍巖模擬）已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若asinA-6sin8=2sin（A-B）,

且aWb.

（1）求c；

（2）把＞=511^的圖象向右平移工個單位長度，再把所得圖象向上平移C個單位長度，得到函數(shù)y=/

4

（x）的圖象，若函數(shù)（u）x）（a）＞0）在xE（0,IT）上恰有兩個極值點(diǎn)，求3的取值范圍.

42.（2023?濟(jì)南三模）已知/（x）=sina尤（3＞0）,其圖象相鄰對稱軸間的距離為三，若將其圖象向左平

移需個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象.

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式及圖象的對稱中心；

(2)在鈍角△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若f(且)=g(人工)，求生一^_的

226bcosA

取值范圍.

43.(2023?濟(jì)寧二模)已知函數(shù)f(x)=c。s'x-sin'x+sin(2x-T-)■

6

(1)求函數(shù)/(無)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)將函數(shù)/(x)的圖象向左平移$(0<@<子)個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象，若函數(shù)g

(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，在［一看，Ct］上的值域?yàn)椋?，1］,求a的取值范圍.

44.(2022?甲卷)將函數(shù)/(x)=sin(a)x+—)(<n>0)的圖像向左平移，^個單位長度后得到曲線C,若

O乙

C關(guān)于y軸對稱，則3的最小值是()

A.AB.AC.工D.A

6432

45.（2022?浙江）為了得到函數(shù)y=2sin3x的圖象，只要把函數(shù)y=2sin（3x+^-）圖象上所有的點(diǎn)（）

A.向左平移三個單位長度

5

B.向右平移三個單位長度

5

c.向左平移2L個單位長度

15

D.向右平移三個單位長度

15

一十二.由y=Asin（a）x+（p）的部分圖象確定其解析式（共3小題）

46.（2023?威海二模）已知偶函數(shù)f（x）=Msin（3x+0）（見>0,①>0,|。|《三）的部分圖象如

圖所示，A,B,C為該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)，且。為圖象的一個最高點(diǎn).

（1）證明：2AOsin/AD2=Cr）sin/BDC；

（2）若AD=2/7CD=2,,求/（x）的解析式.

47.（2023?全國二模）已知函數(shù)f（x）=Asin（3x+0）（A>0，w>0,0<。<丁）的部分圖像如

圖所示，其中了（無）的圖像與x軸的一個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-二三.

12

（1）求這個函數(shù)的解析式；

（2）若函數(shù)g（x）=f（x）-a在區(qū)間［一去，需］上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

48.（2023?南昌二模）如圖是函數(shù)f（x）=sinOx+O）（3〉0,0＜。＜手）的部分圖象，已知

AB*AC=2-

（1）求3;

（2）若，求cp.

一十三.三角函數(shù)的最值（共2小題）

49.（2023?佛山模擬）已知函數(shù)￡5）=&＞*+7^。5乂）2-2在區(qū)間［令，a）上存在最大值，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍為.

50.（2023?蕪湖模擬）已知函數(shù)/（x）=asin2x+cos2x,且.

（1）求/（尤）的最大值；

（2）從①②中任選一個作答.若選擇多個分別作答.按第一個解答計(jì)分.

①A為函數(shù)/(x)圖象與無軸的交點(diǎn)，點(diǎn)8,C為函數(shù)/(x)圖象的最高點(diǎn)或者最低點(diǎn)，求△ABC面積的

最小值.

②0為坐標(biāo)原點(diǎn)，復(fù)數(shù)zi=-2-4i,z2=-2+f(/)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,求△048面積

的取值范圍.

一十四.兩角和與差的三角函數(shù)(共5小題)

51.(2023?天津一模)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為°,b,c.已知a=l,c=2,sinB=2sinA.

(1)求cosC的值；

(2)求sinA的值；

(3)求sin(2C-A)的值.

52.(2023?天津模擬)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為°,b,c(a>c),已知bcosC=(3a-c)

cosB,.

(1)求cosB；

(2)求a,c的值；

(3)求sin(B-C)的值.

(多選)53.(2023?海口模擬)已知銳角a,p,丫滿足a+B+Y=ir,則()

A.tana,tan0可能是方程7-3%-4=0的兩根

B.若a>P，則sina>sin0

c28?2a/

C?cos-^--sin0

D.tana+tanp+tany=tana?tan0?tany

54.(2。23?杭州模擬)已知銳角a,B滿足，t什tanfF，則。邛=----------------------

55.(2022?新高考H)若sin(a+0)+cos(a+0)=2A/2COS(a+2-)sin0,貝!J()

4

A.tan(a-p)=1B.tan(a+p)=1

C.tan(a-0)=-1D.tan(a+0)=-1

一十五.三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用(共1小題)

56(2023?安徽模擬)已知函數(shù)

f(x)=[sin(3x+。)-Vscos(①x+。)]cos(3x+?)(3>0,0<0為奇函數(shù),

且其圖象相鄰兩對稱軸間的距離為三.

2

(1)求3和中；

(2)當(dāng)xE[——,兀]時，記方程23f(x+■山=ir的根為Xi，X2,無3(xi<x2<x3),求m,一----

122Xj-x3

的范圍.

一十六.三角函數(shù)應(yīng)用（共4小題）

57.（2023?寶雞三模）我國第一高樓上海中心大廈的阻尼器減震裝置，被稱為“定樓神器”，如圖1.由物

理學(xué)知識可知，某阻尼器的運(yùn)動過程可近似為單擺運(yùn)動，其離開平衡位置的位移y（相）和時間f（s）的

函數(shù)關(guān)系為尸Sin（3f+cp）（3>0,|<p|<n）,如圖2.若該阻尼器在擺動過程中連續(xù)三次到達(dá)同一位置

的時間分別為九，⑵f3（0<h<f2</3）,且〃+也=2,Z2+f3=5,貝！I1分鐘內(nèi)阻尼器由其它位置擺動經(jīng)過

平衡位置的次數(shù)最多為（）

圖1

A.19D.41

58.（2023?濱州二模）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得

到使用.假設(shè)在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做逆時針勻速圓周運(yùn)動.現(xiàn)將筒車抽象

為一個幾何圖形，如圖所示，圓。的半徑為4米，盛水筒M從點(diǎn)Po處開始運(yùn)動，OPo與水平面的所成

角為30°,且每分鐘恰好轉(zhuǎn)動1圈，則盛水筒〃距離水面的高度H（單位；m）與時間單位：s）之

間的函數(shù)關(guān)系式的圖象可能是（）

59.（2023?廣東模擬）如圖，均勻的圓面繞圓心。作逆時針方向的勻速旋轉(zhuǎn)，圓面上一初始位置為A點(diǎn)，f

秒后轉(zhuǎn)到點(diǎn)2,旋轉(zhuǎn)的角速度為①喻（rad/s），在旋轉(zhuǎn)圓面的右側(cè)有一固定相機(jī)C（C，。兩點(diǎn)分別

在42的異側(cè)），且。4=5，〃，AC=lm.

(1)記旋轉(zhuǎn)角為e,若ee((2n+l)n,2(n+1)TT)(?￡N),求才的取值范圍及弦AB的長度;

(2)在(1)的條件下，若f=110s,BC=8m,求0c的長.

60.(2023?南昌一模)潮汐現(xiàn)象是地球上的海水在太陽和月球雙重引力作用下產(chǎn)生的全球性的海水的周期性

變化人們可以利用潮汐進(jìn)行港口貨運(yùn).某港口具體時刻/(單位：小時)與對應(yīng)水深y(單位：米)的函

數(shù)關(guān)系式為y=3sinA?+10(0<Z<24)某艘大型貨船要進(jìn)港，其相應(yīng)的吃水深度(船底與水面的距離)

為7米，船底與海底距離不小于4.5米時就是安全的，該船于2點(diǎn)開始卸貨(一次最長時間不超過8小

時)，同時吃水深度以0.375米/小時的速度減少，該船8小時內(nèi)沒有卸貨，要及時駛?cè)肷钏畢^(qū)域，則該船

第一次停止卸貨的時刻為

綜合訓(xùn)練05三角函數(shù)（16種題型60題專練）

扇形面積公式（共3小題）

1.（2022?甲卷）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長

度的“會圓術(shù)”.如圖，篇是以。為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點(diǎn)，。在標(biāo)

上，。。，人艮“會圓術(shù)”給出右的弧長的近似值s的計(jì)算公式：S=AB+支■.當(dāng)04=

0A

2,ZAOB=60°時，s=（）

A11-3V3R11-4V3「9-3V39-4V3

A.-------------D.-------------C.-----------Un.-----------

2222

【分析】由已知求得AB與CO的值，代入s=AB+處得答案.

0A

【解答】解："：OA=OB=2,ZAOB=60a,：.AB=2,

是A2的中點(diǎn)，。在第上，CD±AB,

延長。C可得。在。C上，CD=OD-OC=2-

.?”A8+尤=2+（23）2=2+7-4禽=11-4禽

0A222

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查扇形及其應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

2.（2023?青羊區(qū)校級模擬）如圖，已知在扇形。43中，半徑OA=OB=3,,圓。1內(nèi)切于

扇形048（圓01和04,0B,弧A3均相切），作圓02與圓01,0A,02相切，再作圓

。3與圓。2,0A,相切，以此類推.設(shè)圓。1,圓。2,…的面積依次為Si,S2…，那

么S1+S2+…+%=（1--）.

―8—9n—

【分析】如圖，設(shè)圓01,圓。2,圓。3,…，圓?！ǖ陌霃椒謩e為r1,n,73,???,rn-根

據(jù)圓切線的性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的定義可得｛%｝是以廠1=1為首項(xiàng)，以能為公比的等比數(shù)

列，由圓的面積公式可知｛S〃｝是以兀r?=兀為首項(xiàng)，以工為公比的等比數(shù)列，利用等比

數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.

【解答】解：如圖，設(shè)圓。1與弧A8相切于點(diǎn)。，

圓。1,圓。2與。4分別切于點(diǎn)C,E,則。iC_L04,0iC±0A,OiELOA.

設(shè)圓01,圓。2,圓。3,…，圓0〃的半徑分別為ri,n,⑶…，rn.

因?yàn)?，所?在RtZXOOi。中，001=3-n,

貝iJOiCjoO］，即解得0=1.

乙乙

在RtA0（?2E中，002=3-n-2n,

貝即'解得r2Hl'廠

1

乙Z乙oo

同理可得，raUr2，

所以是以ri=l為首項(xiàng)，以￡為公比的等比數(shù)列.

又圓的面積為S=nJ,

所以面積Si,S2,S3,…，S構(gòu)成一個以?！?；=兀為首項(xiàng)，以/為公比的等比數(shù)列，

兀［1嗎）09兀1

則S1+S2+S3+…+S/-------J-F（1不）.

1時

故答案為："（1」-）.

8Qn

【點(diǎn)評】本題考查扇形面積公式，屬于中檔題.

3.（2023?柳州模擬）圣彼得大教堂坐落在梵蒂岡城內(nèi)，是世界上最大的天主教教堂.作為

最杰出的文藝復(fù)興建筑和世界上最大的教堂，它是典型的哥特式建筑，哥特式建筑的特

點(diǎn)之一就是窗門處使用尖拱造型，其結(jié)構(gòu)是由兩段不同圓心的圓弧組成的對稱圖形.如

圖，立所在圓的圓心。在線段A8上，若/CAB=a,\AC\=m,則扇形。4c的面積為

(兀-2a)IR2

8cos2a

【分析】根據(jù)已知條件將R表示出來，直接打入扇形OAC的面積公式即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)C作CZ5LA8,設(shè)踴所在圓的半徑為R,

則|AO|=|OC|=R,在Rt^AOC中，ZCAD=a,\AC\=m,

所以\AD\=mcosa,\CD\=msina,

所以，e￡)|=R-機(jī)cosa.

在RtZkOOC中，有|CD|2+|OZ)|2=eq2,

(msina)2+(R-mcosa)2=解,

整理可得，R=——,

2cosa

因?yàn)閨AO|=|OC|=R,所以NCO4=ir-2a,

2

所以，扇形。4c的面積為S=」（it-2a）.=一'、」二叱吧.

28cos/a

故答案為：產(chǎn)后

8cos'a

【點(diǎn)評】本題考查扇形的面積，屬于中檔題.

二.任意角的三角函數(shù)的定義（共2小題）

4.（2023?重慶模擬）若點(diǎn)從cos旦匚）在角a的終邊上，則cos2a=_,_.

662

【分析】由題意，利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得cosa的值，再利用二倍角的余弦

公式求得cos2a的值.

【解答】解：因?yàn)辄c(diǎn)M（sir2L,cosF），即二應(yīng)）在角a的終邊上，且

6622

\OM\=\,

所以,貝Ucos2a=2cos2a-1=3

故答案為：_1.

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了二倍角公式的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

5.（2023?江蘇模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)人（金，生），將線段OA繞原點(diǎn)順

55

時針旋轉(zhuǎn)21得到線段QB,則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+4愿.

3—10—

【分析】利用三角函數(shù)定義可知，射線OA對應(yīng)的角a滿足，再利用任意角的關(guān)系和兩

角差的余弦公式即可得點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3+4愿.

10

【解答】解：易知A（3,匡）在單位圓上，記終邊在射線04上的角為a,如下圖所示:

55

根據(jù)三角函數(shù)定義可知，,

OA繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)三得到線段OB,則終邊在射線OB上的角為，

3

所以點(diǎn)8的橫坐標(biāo)為.

故答案為：3+?3.

10

【點(diǎn)評】本題主要考查了任意角的三角函數(shù)的定義，考查了兩角和與差的三角函數(shù)公式,

屬于基礎(chǔ)題.

三.三角函數(shù)線（共1小題）

6.（2022?甲卷）已知Z?=cos—,c=4sin—,貝。（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

2

【分析】構(gòu)造函數(shù)/(x)=COSX+-i-x-,(O<X<1),可得C0S」>3L,即/?>〃，利

2432

,1

sirry-

用三角函數(shù)線可得taiix>x,BPtan—>—,即----丁>7，可得°〉人.

4414

c。無

【解答】解：設(shè)/(x)=cosx+~^~x2-l，(0<x<l),則/(x)=x-sinx,

設(shè)g(無)=x-situ-(0<x<l),g'(x)=1-cosx>0,

故g(x)在(0,1)單調(diào)遞增，即g(無)>g(0)=0,

即(無)>0,故/(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

所以/(工)>/(0)=0,可得cos上>"，故6>a,

4432

利用三角函數(shù)線可得x)時，tanx>x,

.1

sirry1

/.tan—>—,即----1>：,.'.4sin—,故c>6.

44°J44

co百

綜上：c>b>a,

故選：A.

【點(diǎn)評】本題考查了三角函數(shù)不等式的證明與應(yīng)用，考查了運(yùn)算能力，屬難題.

四.三角函數(shù)的周期性(共4小題)

7.(2023?日照一模)已知函數(shù)f(x)=2sin(3x+Q)(CO>0,|0|<g-)的最小正

周期為m其圖象關(guān)于直線對稱，則f(三)=禽.

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，以及對稱軸的性質(zhì)，求出了(無)，再

將尤=生代入上式，即可求解.

4

【解答】解：函數(shù)f(x)=2sin(Sx+Q)(3>0,|0|<三)的最小正周期為n,

其圖象關(guān)于直線對稱，

x6

TTTT

G)+0=+k兀，k￡Z

62

...3=2,

中6

故/（x）=2sin（2x->^-）,即f（-^-）=2sin

故答案為：V3.

【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題.

8.（2023?佛山一模）已知函數(shù)/（X）=sin（3x+（p）（其中3>0,）.T為于3的最小正周

期，且滿足.若函數(shù)/（%）在區(qū)間（0,TT）上恰有2個極值點(diǎn)，則3的取值范圍是

/H17-|

CT,T］--

【分析】根據(jù)題意可得為八無）的一條對稱軸，即可求得。=工，再以Wx—

1233

為整體分析可得3兀<3冗—n，運(yùn)算求解即可得答案.

232

【解答】解：由題意可得：/（%）的最小正周期丁上立，

且，則—々T為了（X）的一條對稱軸,

212

3X得-T+Q=卷兀+。=kK（kEZ）>解得?=k兀-今（k€Z）,

又：。€（今，子），則，

故，

VxG（0,it）,貝U（T,3冗-三），

333

若函數(shù)/（x）在區(qū)間（0,TT）上恰有2個極值點(diǎn)，則3兀<3兀工《互兀，解得,

23個2

故3的取值范圍是（2L,1L

（66

故答案為：（包，工］.

66

【點(diǎn)評】本題考查正弦型函數(shù)y=Asin（a）x+（p）的性質(zhì)問題，屬于中檔題.

TT

9.（2023?河南模擬）已知函數(shù)f（x）=Asin?（3x”［）（A>0，3>0）的圖象關(guān)于點(diǎn)

中心對稱，其最小正周期為T,且工<T<2E，則3的值為A.

22-4一

'A=4

【分析】先化簡/（x）,然后由關(guān)于點(diǎn)中心對稱可得到|1,廣、，結(jié)合

aj+k（k€z）

三<T<之立即可求解.

22

【解答】解：f(x);Asin2(3x-^-)=~--cos(23卷'

占2

2

因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，所以."廣，所以

JT7TTT

23X〒二丁+k兀(k€Z)

'A=4

37k(k€z)

所以f(x)=-2cos(23X4)+2,

又因?yàn)樽钚≌芷跒門,且生<T<3三,所以可得生<22L<竺，則2<3<2,

22220)23

所以當(dāng)左=1時，3的值為S.

4

故答案為：—.

4

【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)解析式的確定，考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

10.(2023?浙江模擬)寫出一個滿足下列條件的正弦型函數(shù)，/(x)=_2sin(兀―)(答

案不唯一).

①最小正周期為m

②于3在上單調(diào)遞增；

③VxeR,If(x)|W2成立.

【分析】設(shè)/(x)=Asin((ox+cp),w>0,根據(jù)VxeR,\f(x)|W2,則可設(shè)A=2,根據(jù)

最小正周期為TT,可得3=2,通過整體換元法則可得到，取即可.

【解答】解：設(shè)/(x)=Asin(ou+(p),3>o,因?yàn)閂xeR,，(x)|W2,

所以f(X)maxW2,f(X)min2-2,

所以|A|W2,不妨設(shè)A=2,

因?yàn)榱?尤)最小正周期為n,所以T=H=—,3=2

3

f(x)=2sin(2x+。)>x€［0,子］，2x+@E［。，,

因?yàn)?(x)在上單調(diào)遞增，所以，

所以兀<。《24兀，

當(dāng)依=0時，，不妨設(shè)，

所以滿足條件之一的.

故答案為：2sin（2xT）（答案不唯一）.

【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

五.運(yùn)用誘導(dǎo)公式化簡求值（共1小題）

11.（2023?韶關(guān)二模）己知銳角a滿足，則sin（Tr-a）=當(dāng)叵.

—5―

【分析】利用二倍角的正切公式化簡已知等式可得2tan2a-3tana-2=0,解方程可求tana

的值，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式即可求解.

【解答】解：因?yàn)殇J角a滿足tan2a=上巫^=工，整理可得2tan2a-3tana-2=

1-tan2a3

0,

所以tana=siRa=2或一a_（舍去），

cosa2

可得cosa=—sina,

2

2

所以sin2a+cos2a=sin2（x+（Asina）=lf解得sina=小巧,

25

則sin（ii-a）=sina=.

5

故答案為：漢豆.

5

【點(diǎn)評】本題考查了二倍角的正切公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式在三角

函數(shù)求值中的應(yīng)用，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.

六.正弦函數(shù)的圖象（共12小題）

12.（2023?咸陽模擬）已知函數(shù)f（x）=V^sin（4x吟）.對于下列四種說法:

①函數(shù)/（x）的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱；

②函數(shù)/（X）在（-TT,TT）上有8個極值點(diǎn)；

③函數(shù)/co在區(qū)間［_3，二］上的最大值為J5；

④函數(shù)y（x）在區(qū)間（一看，—_）上單調(diào)遞增.

其中正確的序號是②③.

【分析】對于①，f（3）#o,則函數(shù)/（X）的圖像不關(guān)于點(diǎn)成中心對稱；對于②，由

3

X的范圍，得出4x吟的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得取到極值點(diǎn)的位置；對于③，

由X的范圍，得出4x4的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得出函數(shù)的最值；對于④，由

x的范圍，得出的范圍，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.

【解答】解：對于①，：f（（■）sin（當(dāng)