2023年人教版小升初數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料

小升初數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)資料

一、基本概念

第一章數(shù)和數(shù)的運算

一概念

（一）整數(shù)

1整數(shù)的意義

自然數(shù)和0都是整數(shù)。

2自然數(shù)

我們在數(shù)物體的時候，用來表達物體個數(shù)的1,2,3……叫做自然數(shù)。

一個物體也沒有，用0表達。0也是自然數(shù)。

3計數(shù)單位

一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10o這樣的計數(shù)法叫做十進制計數(shù)法。

4數(shù)位

計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5數(shù)的整除

整數(shù)a除以整數(shù)b（bW0）,除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整

除ao

假如數(shù)a能被數(shù)b（b手0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的因數(shù)（或a的約數(shù)）。倍數(shù)和因

數(shù)是互相依存的。

由于35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的因數(shù)。

一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是它自身。例如：10的因數(shù)有

1.2.5.10,其中最小的因數(shù)是1,最大的因數(shù)是10。

一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它自身。3的倍數(shù)有：3.6.9、12……其中最小的

倍數(shù)是3,沒有最大的倍數(shù)。

個位上是0、2.4、6.8的數(shù)，都能被2整除，例如：202.480、304,都能被2整除。。

個位上是0或5的數(shù)，都能被5整除，例如：5.30、405都能被5整除。。

一個數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個數(shù)就能被3整除，例如：12、108、204都能被3整除。

一個數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個數(shù)就能被9整除。

能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個數(shù)就能被4（或25）整除。例如：16.404.1256都能被

4整除，50、325.500、1675都能被25整除。

一個數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個數(shù)就能被8（或125）整除。例如：1168、4600、5000、

12344都能被8整除,1125、13375、5000都能被125整除。

能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。

不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

0也是偶數(shù)。自然數(shù)按能否被2整除的特性可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

一個數(shù)，假如只有1和它自身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2.3.5.7、

11.13.17、19、23.29、31.37、41.43.47、53.59、61.67、71.73.79、83.89、97。

一個數(shù)，假如除了1和它自身尚有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4.6.8、9、12都是合數(shù)。

1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假如把自然數(shù)按其因數(shù)的個數(shù)的不同

分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和I0

每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因

數(shù)，例如15=3義5,3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表達出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。

例如把28分解質(zhì)因數(shù)

幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)，例如

12的因數(shù)有1.2.3.4.6.12；18的因數(shù)有1.2.3.6.9、18。其中，1.2.3.6是12和18的公因數(shù)，6

是它們的最大公因數(shù)。

公因數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)，成互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)，有下列幾種情況：

1和任何自然數(shù)互質(zhì)。

相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)。

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)。

兩個合數(shù)的公因數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)，假如幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩

互質(zhì)。

假如較小數(shù)是較大數(shù)的因數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。

假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)就是1。

幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2

的倍數(shù)有2.4.6、8、10、12.14.16.18...

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù),6是它們的最小公倍

數(shù)。。

假如較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。

假如兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個數(shù)的公因數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。

（二）小數(shù)

1小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均提成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用

小數(shù)表達。

一位小數(shù)表達十分之幾，兩位小數(shù)表達百分之幾，三位小數(shù)表達千分之幾……

一個小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點部分組成。數(shù)中的圓點叫做小數(shù)點，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整

數(shù)部分，小數(shù)點左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進率都是10。小數(shù)部分的最高分數(shù)單位“十分之一”和整數(shù)

部分的最低單位“一”之間的進率也是10。

2小數(shù)的分類

純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。

有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：41.7、25.3、0.23都是有

限小數(shù)。

無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：4.33……3.1415926……

無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小

數(shù)。例如：n

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷反復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。

例如：3.5550.033312.109109

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷反復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：

3.99……的循環(huán)節(jié)是“9”,0.5454……的循環(huán)節(jié)是“54”。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……

寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)

字上各點一個圓點。假如循環(huán)節(jié)只有一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。例如：3.777……簡

寫作0.5302302...簡寫作。

（三）分數(shù)

1分數(shù)的意義

把單位“1”平均提成若干份，表達這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分數(shù)。

在分數(shù)里，中間的橫線叫做分數(shù)線；分數(shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表達把單位“1”平均提成多少份;

分數(shù)線下面的數(shù)叫做分子，表達有這樣的多少份。

把單位“1”平均提成若干份，表達其中的一份的數(shù)，叫做分數(shù)單位。

2分數(shù)的分類

真分數(shù)：分子比分母小的分數(shù)叫做真分數(shù)。真分數(shù)小于1。

假分數(shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分數(shù)，叫做假分數(shù)。假分數(shù)大于或等于1。

帶分數(shù)：假分數(shù)可以寫成整數(shù)與真分數(shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分數(shù)。

3約分和通分

把一個分數(shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分數(shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分數(shù)，叫做最簡分數(shù)。

把異分母分數(shù)分別化成和本來分數(shù)相等的同分母分數(shù)，叫做通分。

（四）百分數(shù)

1表達一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分數(shù),也叫做百分率或比例。百分數(shù)通常用"%”來表

達。百分號是表達百分數(shù)的符號。

二方法

（一）數(shù)的讀法和寫法

1.整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級一級地讀。讀億級、萬級時，先按照個級的讀法去讀，再在后面

加一個“億”或“萬”字。每一級末尾的0都不讀出來，其它數(shù)位連續(xù)有幾個0都只讀一個零.?

2.整數(shù)的寫法：從高位到低位，一級一級地寫，哪一個數(shù)位上一個單位也沒有，就在那個數(shù)位上寫

0.

3.小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點讀作“點”，小數(shù)部分從左向右

順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字.

4.小數(shù)的寫法：寫小數(shù)的時候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫法來寫，小數(shù)點寫在個位右下角，小數(shù)部分

順次寫出每一個數(shù)位上的數(shù)字。

5.分數(shù)的讀法：讀分數(shù)時，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來讀.

6.分數(shù)的寫法：先寫分數(shù)線，再寫分母，最后寫分子，按照整數(shù)的寫法來寫.

7.百分數(shù)的讀法：讀百分數(shù)時，先讀百分之，再讀百分號前面的數(shù)，讀數(shù)時按照整數(shù)的讀法來讀.

8.百分數(shù)的寫法：百分數(shù)通常不寫成分數(shù)形式，而在本來的分子后面加上百分號“％”來表達.

（二）數(shù)的改寫

一個較大的多位數(shù)，為了讀寫方便，經(jīng)常把它改寫成用“萬”或“億”作單位的數(shù)。有時還可以根據(jù)

需要，省略這個數(shù)某一位后面的數(shù)，寫成近似數(shù)。

1.準確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫

后的數(shù)是原數(shù)的準確數(shù).例如.改寫成以萬做單位的數(shù).12543.萬；改寫.以億做單.的.12.54.億.

2.近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來

表達.例如.省略億后面的尾數(shù).1.億.

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是.或者比4小，就把尾數(shù)去掉；假如尾數(shù)的最高位上

的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進1。例如：省.34590.萬后面的尾數(shù)約.3.萬。

省?億后面的尾數(shù)約.4.億.

4.大小比.

1.比較整數(shù)大?。罕容^整數(shù)的大小，位數(shù)多的那個數(shù)就大，假如位數(shù)相同，就看最高位，最高位上

的數(shù)大，那個數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個數(shù)就大.

2.比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分，，整數(shù)部分大的那個數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上

的數(shù)大的那個數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個數(shù)就大….

3.比較分數(shù)的大小:分母相同的分數(shù)，分子大的分數(shù)比較大；分子相同的數(shù)，分母小的分數(shù)大。分數(shù)

的分母和分子都不相同的，先通分，再比較兩個數(shù)的大小.

（三）數(shù)的互化

1.小數(shù)化成分數(shù)：本來有幾位小數(shù)，就在1的后面寫幾個零作分母，把本來的小數(shù)去掉小數(shù)點作分

子，能約分的要約分.

2.分數(shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的,

一般保存三位小數(shù).

3.一個最簡分數(shù)，假如分母中除了2和5以外，不具有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就能化成有限小數(shù)；

假如分母中具有2和.以外的質(zhì)因數(shù)，這個分數(shù)就不能化成有限小數(shù).

4.小數(shù)化成百分數(shù)：只要把小數(shù)點向右移動兩位，同時在后面添上百分號.

5.百分數(shù)化成小數(shù)：把百分數(shù)化成小數(shù)，只要把百分號去掉，同時把小數(shù)點向左移動兩位.

6.分數(shù)化成百分數(shù)：通常先把分數(shù)化成小數(shù)（除不盡時，通常保存三位小數(shù)），再把小數(shù)化成百分數(shù).

7.百分數(shù)化成小數(shù)：先把百分數(shù)改寫成分數(shù)，能約分的要約成最簡分數(shù).

（四）數(shù)的整除

1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。先用能整除這個合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止,

再把除數(shù)和商寫成連乘的形式.

2.求幾個數(shù)的最大公因數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公因

數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公因..

3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分數(shù)）的公因數(shù)去除，一直除到互質(zhì)

（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù).

4.成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互..相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì).當合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，

這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì).兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì).

（五）約分和通分

約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分數(shù)為止。

通分的方法:先求出本來的幾個分數(shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分數(shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母

的分數(shù)。

三性質(zhì)和規(guī)律

（-）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或者同時縮小相同的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化

I.小數(shù)點向右移動一位，本來的數(shù)就擴大10倍；小數(shù)點向右移動兩位，本來的數(shù)就擴大100倍；小

數(shù)點向右移動三位，本來的數(shù)就擴大1000倍….

2.小數(shù)點向左移動一位，本來的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點向左移動兩位，本來的數(shù)就縮小100倍；小

數(shù)點向左移動三位，本來的數(shù)就縮小1000倍….

3.小數(shù)點向左移或者向右移位數(shù)不夠時，要用“0”補足位.

（四）分數(shù)的基本性質(zhì)

分數(shù)的基本性質(zhì)：分數(shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分數(shù)的大小不變。

（五）分數(shù)與除法的關(guān)系

1.被除數(shù)小除數(shù).被除數(shù)/除.

2.由于零不能作除數(shù)，所以分數(shù)的分母不能為零.

3.被除.相稱于分子，除數(shù)相稱于分母.

四運算的意義

（-）整數(shù)四則運算

1整數(shù)加法：

把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分數(shù)，和是總數(shù)。

加數(shù)+加數(shù)=和一個加數(shù)=和一另一個加數(shù)

2整數(shù)減法：

已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和

差分別是部分數(shù)。

加法和減法互為逆運算。

3整數(shù)乘法：

求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0..1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù).

一個因數(shù)X一個因數(shù)=積一個因數(shù)=積+另一個因數(shù)

4整數(shù)除法：

已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運算。

在除法里，0不能做除數(shù)。由于0和任何數(shù)相乘都得0,所以任何一個數(shù)除以0,均得不到一個擬定

的商。

被除數(shù)+除數(shù)=商除數(shù)=被除數(shù)+商被除數(shù)=商乂除數(shù)

（二）小數(shù)四則運算

1.小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。

2.小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運

算.

3.小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算；一個數(shù)乘純小數(shù)的意

義是求這個數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。

4.小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的

運算。

5.乘方.

求幾個相同因數(shù)的積的運算叫做乘方。例如3X3=32

（三）分數(shù)四則運算

1.分數(shù)加法：

分數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算。

2.分數(shù)減法:

分數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運

算。

3.分數(shù)乘法：

分數(shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個相同加數(shù)和的簡便運算。

4.乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù).

5.分數(shù)除法：

分數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運

算。

（四）運算定律

1.加法互換律：

兩個數(shù)相加，互換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a。

2.加法結(jié)合律：

三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，再加上第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相加，再和第一個數(shù)相加它們

的和不變，即（a+b）+c=a+（b+c）。

3.乘法互換律：

兩個數(shù)相乘，互換因數(shù)的位置它們的積不變，即aXb=bXa。

4.乘法結(jié)合律：

三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，再乘以第三個數(shù)；或者先把后兩個數(shù)相乘，再和第一個數(shù)相乘，它

們的積不變，即（aXb）Xc=aX（bXc）。

5.乘法分派律：

兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，可以把兩個加數(shù)分別與這個數(shù)相乘再把兩個積相加，即（a+b）Xc=aXc+b

Xco

6.減法的性質(zhì)：

從一個數(shù)里連續(xù)減去幾個數(shù)，可以從這個數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-（b+c）。

（五）運算法則

1.整數(shù)加法計算法則：

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進一。

2.整數(shù)減法計算法則:

相同數(shù)位對齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并

在一起，再減。

3.整數(shù)乘法計算法則：

先用一個因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個因數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得

的數(shù)的末尾就對齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來。

4.整數(shù)除法計算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；假如不夠除，就多看一位，除到被

除數(shù)的哪一位，商就寫在哪一位的上面。假如哪一位上不夠商1,要補“0”占位。每次除得的余數(shù)

要小于除數(shù)。

5.小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點上小

數(shù)點；假如位數(shù)不夠，就用“0”補足。

6.除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點要和被除數(shù)的小數(shù)點對齊；假如除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù),

就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。

7.除數(shù)是小數(shù)的除法計算法則：

先移動除數(shù)的小數(shù)點，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點也向右移動幾位（位數(shù)不夠的補“0”），然后按

照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進行計算。

8.同分母分數(shù)加減法計算方法：

同分母分數(shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9.異分母分數(shù)加減法計算方法：

先通分，然后按照同分母分數(shù)加減法的的法則進行計算。

10.帶分數(shù)加減法的計算方法：

整數(shù)部分和分數(shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來。

11.分數(shù)乘法的計算法則：

分數(shù)乘整數(shù)，用分數(shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分數(shù)乘分數(shù)，用分子相乘的積作分子,

分母相乘的積作分母。

12.分數(shù)除法的計算法則:

甲數(shù)除以乙數(shù)(0除外)，等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

(六)運算順序

1.小數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同.

2.分數(shù)四則運算的運算順序和整數(shù)四則運算順序相同.

3.沒有括號的混合運算：

同級運算從左往右依次運算；兩級運算先算乘、除法，后算加減法。

4.有括號的混合運算：

先算小括號里面的，再算中括號里面的，最后算括號外面的。

5.第一級運算：

加法和減法叫做第一級運算。

6.第二級運算：

乘法和除法叫做第二級運算。

五應(yīng)用

(一)整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1簡樸應(yīng)用題

(1)簡樸應(yīng)用題：只具有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡樸應(yīng)用題。

(2)解題環(huán)節(jié)：

a審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問題。讀題時，不丟字不添字邊讀邊思考,

弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問題，幫助理解題意。

b選擇算法和列式計算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，規(guī)定什么著手，逐步根據(jù)

所給的條件和問題，聯(lián)系四則運算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，擬定算法，進行解答并標明對的的單位

名稱。

C檢查：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問題進行檢查看所列算式和計算過程是否對的，是否符合題意。假

如發(fā)現(xiàn)錯誤，立即改正。

2復(fù)合應(yīng)用題

(1)有兩個或兩個以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)

合應(yīng)用題。

(2)具有三個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

求比兩個數(shù)的和多(少)幾個數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。

(3)具有兩個已知條件的兩步計算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)的和(或差)。

已知兩數(shù)之和與其中一個數(shù)，求兩個數(shù)相差多少(或倍數(shù)關(guān)系)。

(4)解答連乘連除應(yīng)用題。

(5)解答三步計算的應(yīng)用題。

(6)解答小數(shù)計算的應(yīng)用題：小數(shù)計算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)

構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間具有小數(shù)。

d答案：根據(jù)計算的結(jié)果，先口答，逐步過渡到筆答。

(3)解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。

b求比一個數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。

(4)解答減法應(yīng)用題：

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)

少多少。

c求比一個數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

(5)解答乘法應(yīng)用題：

a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：己知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個數(shù)，求總數(shù)。

b求一個數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)是多少，另一個數(shù)是它的幾倍，求另一個數(shù)是多少。

(6)解答除法應(yīng)用題：

a把一個數(shù)平均提成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和把這個數(shù)平均提成幾份的，求每

一份是多少。

b求一個數(shù)里包含幾個另一個數(shù)的應(yīng)用題：已知一個數(shù)和每份是多少，求可以提成幾份。

C求一個數(shù)是另一個數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一個數(shù)的幾倍是多少，求這個數(shù)的應(yīng)用題。

（7）常見的數(shù)量關(guān)系：

總價=單價X數(shù)量

路程=速度X時間

工作總量=工作時間X工效

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量X數(shù)量

3典型應(yīng)用題

具有獨特的結(jié)構(gòu)特性的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。

（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于擬定總數(shù)量和與之相相應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相相應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量

之和小數(shù)量的個數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式（部分平均數(shù)X權(quán)數(shù)）的總和+（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標準數(shù)與各數(shù)相差之

和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)一小數(shù)）:2=小數(shù)應(yīng)得數(shù)最大數(shù)與各數(shù)之差的和+總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù)

最大數(shù)與個數(shù)之差的和+總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時100千米的速度從甲地開往乙地，又以每小時60千米的速度從乙地開往

甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以運用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“1”，則汽車行

駛的總路程為“2”，從甲地到乙地的速度為100,所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為60

千米，所用的時間是，汽車共行的時間為+=,汽車的平均速度為24-=75（千米）

（2）歸一問題：已知互相關(guān)聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律

是相同的，這種問題稱之為歸一問題。

根據(jù)求“單一量”的環(huán)節(jié)的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。

一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?/p>

兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組相應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標準，根據(jù)題

目的規(guī)定算出結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系式：單一量X份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量+單一量=份數(shù)（反歸一）

例一個織布工人，在七月份織布4774米,照這樣計算，織布6930米，需要多少天？

分析：必須先求出平均天天織布多少米，就是單一量。69304-（47744-31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），

通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。

特點：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，但是變化的規(guī)律相反，和反比例算

法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：單位數(shù)量X單位個數(shù)+另一個單位數(shù)量=另一個單位數(shù)量單位數(shù)量X單位個

數(shù)+另一個單位數(shù)量=另一個單位數(shù)量。

例修一條水渠，原計劃天天修800米，6天修完。實際4天修完，天天修了多少米？

分析：由于規(guī)定出天天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”。

不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800X6-

4=1200（米）

（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問

題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。

解題規(guī)律：（和+差）+2=大數(shù)大數(shù)一差=小數(shù)

（和一差）+2=小數(shù)和一小數(shù)=大數(shù)

例某加工廠甲班和乙班共有工人94人，因工作需要臨時從乙班調(diào)46人到甲班工作，這時乙班比

甲班人數(shù)少12人，求本來甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào)46人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成2個乙班，即94—12,

由此得到現(xiàn)在的乙班是（94-12）4-2=41（人），乙班在調(diào)出46人之前應(yīng)當為41+46=87（人）,

甲班為94-87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問

題。

解題關(guān)鍵：找準標準數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就擬定為標準數(shù)。求出

倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也也許是幾個數(shù)）與標準數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再

去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和小倍數(shù)和=標準數(shù)標準數(shù)X倍數(shù)=另一個數(shù)

例:汽車運送場有大小貨車115輛，大貨車比小貨車的5倍多7輛，運送場有大貨車和小汽車各

有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的5倍還多7輛，這7輛也在總數(shù)115輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍

相應(yīng)，總車輛數(shù)應(yīng)（115-7）輛。

列式為（115-7）+（5+1）=18（輛）,18X5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差?。ū稊?shù)-1）=標準數(shù)標準數(shù)X倍數(shù)=另一個數(shù)。

例甲乙兩根繩子，甲繩長63米，乙繩長29米，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是

乙繩長的3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的3倍，實比乙繩多（3-1）

倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。列式（63-29）4-（3-1）=17（米）…乙繩剩下的長度，17X3=51

（米）…甲繩剩下的長度，29-17=12（米）…剪去的長度。

（7）行程問題：關(guān)于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這

類問題一方面要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再

根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時同地相背而行：路程=速度和X時間。

同時相向而行：相遇時間=速度和X時間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差。

同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差義時間。

例甲在乙的后面28千米，兩人同時同向而行，甲每小時行16千米，乙每小時行9千米，甲

幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。

已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所

需要的時間。列式28+（16-9）=4（小時）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它

也是一種和差問題。它的特點重要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動的速度。

順水速度：船順流航行的速度O

逆水速度：船逆流航行的速度。

順速=船速+水速

逆速=船速一水速

解題關(guān)鍵：由于順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差

問題解答。解題時要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度=（順水速度+逆流速度）4-2

流水速度=（順流速度逆流速度）4-2

路程=順流速度X順流航行所需時間

路程=逆流速度X逆流航行所需時間

例一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行28千米，到乙地后，又逆水航行，回到甲地。

逆水比順水多行2小時，已知水速每小時4千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度

和水流速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水

比逆水少用2小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出

甲乙兩地的路程。列式為284X2=20（千米）20X2=40（千米）404-（4X2）=5（小

時）28X5=140（千米）。

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，通過一定的四則運算后所得的結(jié)果，求這個未知數(shù)的應(yīng)用題，我們

叫做還原問題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運算的方法計算推導(dǎo)出原數(shù)。

解答還原問題時注意觀測運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘掉寫括號。

例某小學(xué)三年級四個班共有學(xué)生168人，假如四班調(diào)3人到三班，三班調(diào)6人到二班，二班調(diào)

6人到一班，一班調(diào)2人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學(xué)生多少人？

分析：當四個班人數(shù)相等時，應(yīng)為168?4,以四班為例，它調(diào)給三班3人，又從一班調(diào)入2人,

所以四班原有的人數(shù)減去3再加上2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為1684-4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為168+4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式為1684-4-6+6=42（人）三班

原有人數(shù)列式為1684-4-3+6=45（人）。

（10）植樹問題：這類應(yīng)用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關(guān)

系的應(yīng)用題，叫做植樹問題。

解題關(guān)鍵：解答植樹問題一方面要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而擬定是沿線段植樹還是沿周長

植樹，然后按基本公式進行計算。

解題規(guī)律：沿線段植樹

棵樹=段數(shù)+1棵樹=總路程+株距+1

株距=總路程+（棵樹-1）總路程=株距X（棵樹-1）

沿周長植樹

棵樹=總路程小株距

株距=總路程+棵樹

總路程=株距X棵樹

例沿公路一旁埋電線桿301根，每相鄰的兩根的間距是50米。后來所有改裝，只埋了201根。

求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為50X（301-1）4-（201-1）

=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分派給

一定數(shù)量的人，在兩次分派中，一次有余，一次局限性（或兩次都有余），或兩次都局限性），已知

所余和局限性的數(shù)量，求物品適量和參與分派人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。

解題關(guān)鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分派中分派者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分派中各

次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分派者的數(shù)，進而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額+每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多余，第二次局限性，總差額=多余+局限性

第一次正好，第二次多余或局限性，總差額=多余或局限性

第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余

第一次局限性，第二次也局限性，總差額=大局限性-小局限性

例參與美術(shù)小組的同學(xué)，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，假如小組10人，則多25支，假如小組

有12人，色筆多余5支。求每人分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個同學(xué)分到的色筆相等。這個活動小組有12人，比10人多2人，而色筆多余了（25-5）

=20支，2個人多余20支，一個人分得10支。列式為（25-5）4-（12-10）=10（支）10

X12+5=125（支）。

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問題”。

解題關(guān)鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，重要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但

大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于運

用差不變的特點。

例父親48歲，兒子21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的4倍？

分析：父子的年齡差為48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的4倍，可知父子年齡的倍數(shù)

差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的4倍。

列式為：21（48-21）4-（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。通常

稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根

據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)一雞腿數(shù)義總頭數(shù)）小一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2義總頭數(shù)）4-2

假如假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4X總頭數(shù)-總腿數(shù)）4-2

兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例雞兔同籠共50個頭，170條腿。問雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)（170-2X50）+2=35（只）

雞的只數(shù)50-35=15（只）

（二）分數(shù)和百分數(shù)的應(yīng)用

1分數(shù)加減法應(yīng)用題：

分數(shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題方法基本相同，所不同的只是在

己知數(shù)或未知數(shù)中具有分數(shù)。

2分數(shù)乘法應(yīng)用題：

是指已知一個數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。

特性：已知單位“1”的量和分率，求與分率所相應(yīng)的實際數(shù)量。

解題關(guān)鍵：準確判斷單位“1”的量。找準規(guī)定問題所相應(yīng)的分率，然后根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義對

的列式。

3分數(shù)除法應(yīng)用題：

求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。

特性：已知一個數(shù)和另一個數(shù)，求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾。“一個數(shù)”是比較量，

“另一個數(shù)”是標準量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。

解題關(guān)鍵：從問題入手，搞清把誰看作標準的數(shù)也就是把誰看作了“單位一”，誰和單位一的量作比

較，誰就作被除數(shù)。

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）：甲是比較量，乙是標準量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式

（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù)。

已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾），求這個數(shù)。

特性：已知一個實際數(shù)量和它相相應(yīng)的分率，求單位“1”的量。

解題關(guān)鍵：準確判斷單位“1”的量把單位“1”的量當作x根據(jù)分數(shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分

數(shù)除法的意義列算式，但必須找準和分率相相應(yīng)的已知實際

數(shù)量。

4出勤率

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/實驗種子數(shù)X100%

小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量X100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)X100%

職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)X100%

5工程問題：

是分數(shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問題有著密切的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時

間三個數(shù)量之間互相關(guān)系的一種應(yīng)用題。

解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈

活運用公式。

數(shù)量關(guān)系式：

工作總量=工作效率義工作時間

工作效率=工作總量+工作時間

工作時間=工作總量+工作效率

工作總量+工作效率和=合作時間

6納稅

納稅就是把根據(jù)國家各種稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個人收入的一部分繳納給國家。

繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。

應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應(yīng)納稅所得額……）的比率叫做稅率。

*利息

存入銀行的錢叫做本金。

取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金X利率X時間

稅后利息=本金X利率義時間義95%

六貨幣

（-）什么是貨幣

貨幣是充當一切商品的等價物的特殊商品。貨幣是價值的一般代表，可以購買任何別的商品。

（二）常用單位

*元*角*分

（三）單位換算

*1元=10角

*1角=10分

第三章代數(shù)初步知識

一、用字母表達數(shù)

1用字母表達數(shù)的意義和作用

*用字母表達數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡明的表達出來，同時也可以表達運算的結(jié)果。

2用字母表達常見的數(shù)量關(guān)系、運算定律和性質(zhì)、幾何形體的計算公式

（1）常見的數(shù)量關(guān)系

路程用s表達，速度v用表達，時間用t表達，三者之間的關(guān)系:

s=vt

v=s4-t

t=S-rV

總價用a表達，單價用b表達，數(shù)量用c表達，三者之間的關(guān)系：

a二be

b-a-rc

c=a+b

(2)運算定律和性質(zhì)

加法互換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法互換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)

乘法分派律：(a+b)c=ac+bc

減法的性質(zhì)：a-(b+c)=a-b-c

3用字母表達數(shù)的寫法

數(shù)字和字母、字母和字母相乘時，乘號可以記作，或者省略不寫，數(shù)字要寫在字母的前面。

當“1”與任何字母相乘時，“1”省略不寫。

在一個問題中，同一個字母表達同一個量，不同的量用不同的字母表達。

用品有字母的式子表達問題的答案時，除數(shù)一般寫成分母，假如式子中有加號或者減號，要先用括

號把含字母的式子括起來，再在括號后面寫上單位的名稱。

4將數(shù)值代入式子求值

*把具體的數(shù)代入式子求值時，要注意書寫格式：先寫出字母等于幾，然后寫出原式，再把數(shù)代入

式子求值。字母表達的是數(shù)，后面不寫單位名稱。

*同一個式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、簡易方程

(一)方程和方程的解

1方程：具有未知數(shù)的等式叫做方程。

注意方程是等式，又具有未知數(shù)，兩者缺一不可。

方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個式子，它由運算符號和已知數(shù)組成，它表達未知數(shù)。方程是一個等

式，在方程里的未知數(shù)可以參與運算，并且只有當未知數(shù)為特定的數(shù)值時，方程才成立。

2方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

三、解方程

解方程，求方程的解的過程叫做解方程。

四、列方程解應(yīng)用題

1列方程解應(yīng)用題的意義

*用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。

2列方程解答應(yīng)用題的環(huán)節(jié)

*弄清題意，擬定未知數(shù)并用x表達；

*找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；

*列方程，解方程；

*檢查或驗算，寫出答案。

3列方程解應(yīng)用題的方法

*綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等

量關(guān)系，進而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過程，其思考方向是從已知到未知。

*分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未

知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過程，其思考方向是從未

知到已知。

4列方程解應(yīng)用題的范圍

小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：

a一般應(yīng)用題；

b和倍、差倍問題；

c幾何形體的周長、面積、體積計算；

d分數(shù)、百分數(shù)應(yīng)用題；

e比和比例應(yīng)用題。

五比和比例

1比的意義和性質(zhì)

(1)比的意義

兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。

“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除

以后項所得的商，叫做比值。

同除法比較，比的前項相稱于被除數(shù)，后項相稱于除數(shù)，比值相稱于商。

比值通常用分數(shù)表達，也可以用小數(shù)表達，有時也也許是整數(shù)。

比的后項不能是零。

根據(jù)分數(shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項相稱于分子，后項相稱于分母，比值相稱于分數(shù)值。

(2)比的性質(zhì)

比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)(0除外)，比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。

(3)求比值和化簡比

求比值的方法：用比的前項除以后項，它的結(jié)果是一個數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分數(shù)。

根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡樸的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個最簡比，即前、后項是互質(zhì)的

數(shù)。

(4)比例尺

圖上距離：實際距離=比例尺

規(guī)定會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表達和地面上相相應(yīng)的實際距離。

(5)按比例分派

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和平常生活中，經(jīng)常需要把一個數(shù)量按照一定的比來進行分派。這種分派的方法通常叫做

按比例分派。

方法：一方面求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。

2比例的意義和性質(zhì)

(1)比例的意義

表達兩個比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。

(2)比例的性質(zhì)

在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。

(3)解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，假如已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的此外一個未知項。求

比例中的未知項，叫做解比例。

3正比例和反比例

(1)成正比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相相應(yīng)的兩個數(shù)的比值(也就

是商)一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

用字母表達y/x=k(一定)

(2)成反比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，假如這兩種量中相相應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，

這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

用字母表達xXy=k(一定)

第四章幾何的初步知識

-線和角

(1)線

*直線

直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。

*射線

射線只有一個端點；長度無限。

*線段

線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。

*平行線

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長度都相等。

*垂線

兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，相交的點

叫做垂足。

從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

(2)角

(1)從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

(2)角的分類

銳角：小于90°的角叫做銳角。

直角：等于90°的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180。。

周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。

二平面圖形

1長方形

(1)特性

對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

(2)計算公式

長方形的長用a表達，寬用b表達，周長用c表達，面積用s表達。

c=2(a+b)

s二ab

2正方形

(1)特性：

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。

(2)計算公式

正方形的邊長a用表達，周長用c表達，面積用s表達。

c=4a

s=a2

3三角形

(1)特性

由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。

(2)計算公式

s=ah4-2

(3)分類

按角分

銳角三角形：三個角都是銳角。

直角三角形：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。

鈍角三角形：有一個角是鈍角。

按邊分

不等邊三角形：三條邊長度不相等。

等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。

等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸。

(2)計算公式

三角形的底用a表達，高用h表達，面積用s表達。

s=ah4-2

4平行四邊形

(1)特性

兩組對邊分別平行的四邊形。

相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。

(2)計算公式

平行四邊形的底a用表達，高用h表達，面積用s表達。

s二ah

5梯形

(1)特性

只有一組對邊平行的四邊形。

中位線等于上下底和的一半。

等腰梯形有一條對稱軸。

(2)公式

梯形的上底用a表達，下底b用表達，高用h表達，中位線用m表達，面積用s表達。

s=(a+b)h+2

s=mh

6圓

(1)圓的結(jié)識

平面上的一種曲線圖形。

圓中心的一點叫做圓心。一般用字母。表達。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表達。

在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表達。

同一個圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。

同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。

圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無數(shù)條對稱軸。

(2)圓的畫法

把圓規(guī)的兩腳分開，定好兩腳間的距離(即半徑)；

把有針尖的一只腳固定在一點(即圓心)上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫出一個圓。

(3)圓的周長

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母n表達。

(4)圓的面積

圓所占平面的大小叫做圓的面積。

(5)計算公式

圓的半徑用r表達，直徑用d表達，周長用c表達，面積用s表達。

c=nd=2nr

s=nr2

d=2r

d

r=-

2

7扇形

(1)扇形的結(jié)識

一條弧和通過這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。

圓上AB兩點之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。

頂點在圓心的角叫做圓心角。

在同一個圓中，扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關(guān)。

扇形有一條對稱軸。

(2)計算公式

扇形的半徑用r表達，n表達圓心角的度數(shù)，面積用s表達。

s=TInr24-360

8環(huán)形

(1)特性

由兩個半徑不相等的同心圓相減而成，有無數(shù)條對稱軸。

(2)計算公式

S=JI(R2-r2)

9軸對稱圖形

(1)特性

假如一個圖形沿著一條直線對折，兩側(cè)的圖形可以完全重合，這個圖形就是軸對稱圖形。折痕所在的

這條直線叫做對稱軸。

正方形有4條對稱軸，長方形有2條對稱軸。

等腰三角形有2條對稱軸，等邊三角形有3條對稱軸。

等腰梯形有一條對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸。

菱形有4條對稱軸，扇形有一條對稱軸。

三立體圖形

(一)長方體

1特性

六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。

相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。

有8個頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。

兩個面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點叫做頂點。

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

2計算公式

長方體的長用a表達，寬用b表達，高用h表達，表面積用s表達，體積用v表達。

v=sh

s=2（ab+ah+bh）

v=abh

（二）正方體

1特性

六個面都是正方形

六個面的面積相等

12條棱，棱長都相等

有8個頂點

正方體可以看作特殊的長方體

2計算公式

正方體的棱長用a表達，底面周長c用表達，底面積用s表達.體積用v表達.

s=6a2

v=a3

（三）圓柱

1圓柱的結(jié)識

圓柱的上下兩個面叫做底面。

圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個底面之間的距離叫做高。

進一法：實際中，使用的材料都要比計算的結(jié)果多一些，