高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用 3.1 函數(shù)的單調(diào)性與極值 函數(shù)的最大值與最小值教案2 北師大版選修2-2

高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的最大值與最小值教案2北師大版選修2-2學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課的主要教學(xué)內(nèi)容是北師大版選修2-2高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)應(yīng)用3.1節(jié)中的“函數(shù)的單調(diào)性與極值，函數(shù)的最大值與最小值”。內(nèi)容包括：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，探討函數(shù)的極值和最值問題，以及解決實(shí)際生活中的優(yōu)化問題。

教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生已有知識(shí)的聯(lián)系在于，學(xué)生已經(jīng)掌握了導(dǎo)數(shù)的定義、計(jì)算規(guī)則及其與函數(shù)圖像的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上，本節(jié)課將引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析函數(shù)的單調(diào)性，理解極值與最值的含義，并學(xué)會(huì)尋找函數(shù)的最大值與最小值。這將有助于學(xué)生將導(dǎo)數(shù)的概念與實(shí)際問題相結(jié)合，如物理運(yùn)動(dòng)中的速度與加速度問題，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的最優(yōu)化問題等，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)概念的同時(shí)，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)本節(jié)課的核心素養(yǎng)目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。通過學(xué)習(xí)函數(shù)的單調(diào)性與極值，以及最大值與最小值的概念，學(xué)生能夠抽象出數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，運(yùn)用邏輯推理分析函數(shù)性質(zhì)，建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念深度理解，提高其在實(shí)際問題中運(yùn)用導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行科學(xué)分析和決策的能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，為未來進(jìn)一步學(xué)習(xí)和工作中遇到的問題解決奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）函數(shù)單調(diào)性的判斷：熟練掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，理解導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，并能準(zhǔn)確描述函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

舉例：對(duì)于函數(shù)f(x)，當(dāng)f'(x)>0時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)f'(x)<0時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間單調(diào)遞減。

（2）極值和最值的求解：掌握求解函數(shù)極值和最值的方法，理解極值點(diǎn)與最值點(diǎn)之間的關(guān)系，并能應(yīng)用于實(shí)際問題。

舉例：求解函數(shù)f(x)在給定區(qū)間的最大值和最小值，首先找到函數(shù)的臨界點(diǎn)（導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(diǎn)），然后比較臨界點(diǎn)及其端點(diǎn)的函數(shù)值。

（3）應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題：學(xué)會(huì)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決最優(yōu)化問題。

舉例：在實(shí)際問題中，如成本最小化、收益最大化等，建立目標(biāo)函數(shù)并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最優(yōu)解。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系：學(xué)生容易混淆導(dǎo)數(shù)符號(hào)與單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，需要通過實(shí)例和圖像加深理解。

突破方法：借助圖像和具體函數(shù)示例，讓學(xué)生觀察導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化與函數(shù)圖像單調(diào)性的關(guān)系。

（2）極值點(diǎn)與最值點(diǎn)的判斷：在求解極值和最值時(shí)，學(xué)生容易忽略端點(diǎn)處的函數(shù)值，以及導(dǎo)數(shù)為0但不是極值點(diǎn)的特殊情況。

突破方法：通過具體例題，強(qiáng)調(diào)求解過程中對(duì)端點(diǎn)值的比較，以及利用二階導(dǎo)數(shù)判斷極值點(diǎn)的穩(wěn)定性。

（3）實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模：將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型是學(xué)生的一大難點(diǎn)，需要引導(dǎo)學(xué)生分析問題的本質(zhì)，建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

突破方法：結(jié)合生活實(shí)例，指導(dǎo)學(xué)生如何從實(shí)際問題中提取關(guān)鍵信息，建立數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解。教學(xué)方法與手段1.教學(xué)方法

（1）講授法：對(duì)于函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的基本概念與理論，采用講授法進(jìn)行系統(tǒng)講解，確保學(xué)生掌握核心知識(shí)。

-通過生動(dòng)的語言和形象的表達(dá)，將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，便于學(xué)生理解。

-結(jié)合具體函數(shù)示例，講解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，使學(xué)生能夠直觀感受到數(shù)學(xué)理論的實(shí)際意義。

（2）討論法：針對(duì)特定問題，組織學(xué)生進(jìn)行小組討論，促進(jìn)學(xué)生的思考和交流，提高解決問題的能力。

-在討論過程中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析問題，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理和數(shù)學(xué)建模能力。

-教師巡回指導(dǎo)，及時(shí)解答學(xué)生疑問，幫助學(xué)生突破難點(diǎn)。

（3）實(shí)驗(yàn)法：利用數(shù)學(xué)軟件或圖形計(jì)算器等工具，進(jìn)行函數(shù)圖像的繪制和導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，讓學(xué)生在實(shí)踐中掌握知識(shí)。

-通過觀察函數(shù)圖像的變化，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，加深對(duì)理論知識(shí)的理解。

-通過實(shí)際操作，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用價(jià)值。

2.教學(xué)手段

（1）多媒體設(shè)備：利用PPT、教學(xué)視頻等多媒體資源，展示函數(shù)圖像、導(dǎo)數(shù)計(jì)算過程等，提高教學(xué)形象性和直觀性。

-使用動(dòng)畫效果展示函數(shù)單調(diào)性的變化，使學(xué)生更容易理解導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系。

-通過視頻講解，展示實(shí)際問題的數(shù)學(xué)建模過程，幫助學(xué)生掌握建模方法。

（2）教學(xué)軟件：運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、MATLAB等）輔助教學(xué)，讓學(xué)生在課堂上實(shí)時(shí)觀察函數(shù)圖像和導(dǎo)數(shù)變化。

-教師現(xiàn)場(chǎng)演示軟件操作，指導(dǎo)學(xué)生如何利用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行問題求解。

-學(xué)生在軟件環(huán)境中自主探索，提高數(shù)學(xué)建模和問題解決能力。

（3）網(wǎng)絡(luò)資源：利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，提供豐富的學(xué)習(xí)資源，便于學(xué)生預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)和拓展知識(shí)。

-推薦優(yōu)秀的教學(xué)博客、在線課程等，讓學(xué)生在課后自主學(xué)習(xí)和鞏固知識(shí)。

-建立班級(jí)群組，鼓勵(lì)學(xué)生在網(wǎng)絡(luò)上討論問題，分享學(xué)習(xí)心得，提高學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性。教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.導(dǎo)入新課（5分鐘）

目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生興趣，引出本節(jié)課主題。

過程：通過生活中的實(shí)例，如氣溫變化圖、股票走勢(shì)圖等，讓學(xué)生觀察并思考這些圖形中的單調(diào)變化和極值點(diǎn)。引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這些現(xiàn)象與數(shù)學(xué)中的函數(shù)單調(diào)性和極值有關(guān)，從而引出本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容。

2.理論講解（10分鐘）

目標(biāo)：使學(xué)生理解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

過程：利用PPT和板書，講解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的理論，通過具體函數(shù)示例，讓學(xué)生直觀感受導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

3.實(shí)例分析（20分鐘）

目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題的能力。

過程：以實(shí)際問題為背景，如最優(yōu)化問題，引導(dǎo)學(xué)生建立目標(biāo)函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解最大值或最小值。在此過程中，講解極值和最值的求解方法，強(qiáng)調(diào)端點(diǎn)值和臨界點(diǎn)的比較。

4.學(xué)生小組討論（10分鐘）

目標(biāo)：促進(jìn)學(xué)生的合作交流，提高解決問題的能力。

過程：將學(xué)生分為小組，針對(duì)某一具體問題，討論如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求解。教師巡回指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問，引導(dǎo)學(xué)生深入探討。

5.課堂展示與點(diǎn)評(píng)（15分鐘）

目標(biāo)：鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的表達(dá)和點(diǎn)評(píng)能力。

過程：邀請(qǐng)部分小組展示解題過程和答案，其他學(xué)生進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。教師對(duì)學(xué)生的解答進(jìn)行總結(jié)和評(píng)價(jià)，強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)知識(shí)和解題技巧。

6.課堂小結(jié)（5分鐘）

目標(biāo)：幫助學(xué)生梳理本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，加深記憶。

過程：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)函數(shù)單調(diào)性、極值和最值的概念、判斷方法以及實(shí)際應(yīng)用。提醒學(xué)生課后進(jìn)行復(fù)習(xí)和鞏固，為下一節(jié)課的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性》：《數(shù)學(xué)分析》相關(guān)章節(jié)，介紹導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，深化學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的理解。

-《極值與最值的應(yīng)用》：選自《應(yīng)用數(shù)學(xué)》相關(guān)文章，探討極值與最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域。

-《導(dǎo)數(shù)與最優(yōu)化問題》：《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》相關(guān)解讀，闡述導(dǎo)數(shù)在最優(yōu)化問題中的應(yīng)用，拓展學(xué)生對(duì)最優(yōu)化方法的認(rèn)識(shí)。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-研究導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用，如運(yùn)動(dòng)物體的速度、加速度與位移之間的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)在描述物理現(xiàn)象中的意義。

-探索導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用，如成本最小化、收益最大化等問題，學(xué)會(huì)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)建立數(shù)學(xué)模型，解決實(shí)際問題。

-分析生活中的實(shí)例，如氣溫變化、人口增長(zhǎng)等，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合和分析，預(yù)測(cè)未來趨勢(shì)。

-學(xué)習(xí)利用數(shù)學(xué)軟件（如GeoGebra、MATLAB等）繪制函數(shù)圖像，觀察導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的關(guān)系，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

-研究導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖像的幾何意義，如切線斜率、曲率等，理解導(dǎo)數(shù)在幾何圖形中的應(yīng)用。典型例題講解例題1：求函數(shù)f(x)=x^3-3x^2-9x+5的單調(diào)區(qū)間。

解答：

首先求導(dǎo)數(shù)f'(x)=3x^2-6x-9。

令f'(x)=0，解得x=-1和x=3。

當(dāng)x<-1時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)在(-∞,-1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)-1<x<3時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)在(-1,3)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>3時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)在(3,+∞)上單調(diào)遞增。

例題2：求函數(shù)g(x)=x^2-2ax+a^2-3的單調(diào)區(qū)間。

解答：

求導(dǎo)數(shù)g'(x)=2x-2a。

令g'(x)=0，解得x=a。

當(dāng)x<a時(shí)，g'(x)<0，函數(shù)在(-∞,a)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>a時(shí)，g'(x)>0，函數(shù)在(a,+∞)上單調(diào)遞增。

例題3：求函數(shù)h(x)=x^3-6x^2+9x+1的極大值和極小值。

解答：

求導(dǎo)數(shù)h'(x)=3x^2-12x+9。

令h'(x)=0，解得x=1和x=3。

計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)h''(x)=6x-12。

當(dāng)x=1時(shí)，h''(1)=-6<0，函數(shù)在x=1處取得極大值；

當(dāng)x=3時(shí)，h''(3)=6>0，函數(shù)在x=3處取得極小值。

計(jì)算得極大值h(1)=3，極小值h(3)=-1。

例題4：求函數(shù)F(x)=x^4-4x^3+4x^2的最小值。

解答：

求導(dǎo)數(shù)F'(x)=4x^3-12x^2+8x。

令F'(x)=0，解得x=0和x=2。

計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)F''(x)=12x^2-24x+8。

當(dāng)x=0時(shí)，F(xiàn)''(0)=8>0，函數(shù)在x=0處取得局部極小值；

當(dāng)x=2時(shí)，F(xiàn)''(2)=8>0，函數(shù)在x=2處取得局部極小值。

比較兩個(gè)極小值，得F(0)=0，F(xiàn)(2)=0，故最小值為0。

例題5：某商品的成本函數(shù)為C(x)=3x^2+2x+10，其中x為生產(chǎn)數(shù)量。求成本最小值。

解答：

求導(dǎo)數(shù)C'(x)=6x+2。

令C'(x)=0，解得x=-1/3。

由于生產(chǎn)數(shù)量不能為負(fù)，故取x=0和x=-1/3之間的端點(diǎn)值進(jìn)行比較。

計(jì)算得C(0)=10，C(-1/3)=10+7/3=31/3。

因此，成本最小值為10，當(dāng)生產(chǎn)數(shù)量為0時(shí)取得。教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋1.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度、積極性和理解程度。評(píng)價(jià)學(xué)生在課堂提問、互動(dòng)討論和思考問題時(shí)的表現(xiàn)，鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)提出問題，表達(dá)自己的觀點(diǎn)。

-對(duì)積極參與課堂活動(dòng)的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)，提高學(xué)生的自信心和參與感。

-對(duì)表現(xiàn)欠佳的學(xué)生，及時(shí)給予指導(dǎo)和鼓勵(lì)，幫助他們克服困難，提高學(xué)習(xí)興趣。

2.小組討論成果展示：評(píng)估各小組在討論過程中的合作程度、問題解決能力和成果展示效果。

-對(duì)小組討論中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生給予肯定，鼓勵(lì)他們繼續(xù)發(fā)揮團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。

-對(duì)展示成果不足的小組，提出改進(jìn)意見，指導(dǎo)學(xué)生如何提高問題分析和解決能力。

3.隨堂測(cè)試：通過課堂練習(xí)、小測(cè)驗(yàn)等形式，檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的掌握程度。

-對(duì)測(cè)試成績(jī)優(yōu)異的學(xué)生，給予表?yè)P(yáng)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

-對(duì)測(cè)試成績(jī)不理想的學(xué)生，分析原因，給予個(gè)性化的輔導(dǎo)和指導(dǎo)。

4.課后作業(yè)：布置適量的課后作業(yè)，旨在鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

-關(guān)注學(xué)生作業(yè)完成情況，對(duì)按時(shí)完成且質(zhì)量較高的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)。

-對(duì)作業(yè)中存在的問題，及時(shí)進(jìn)行反饋，幫助學(xué)生糾正錯(cuò)誤，提高解題能力。

5.教師評(píng)價(jià)與反饋：針對(duì)學(xué)生在課堂、討論、測(cè)試和作業(yè)等方面的表現(xiàn)，進(jìn)行全面評(píng)價(jià)。

-定期與學(xué)生進(jìn)行溝通，了解他們的學(xué)習(xí)需求和困難，針對(duì)性地調(diào)整教學(xué)策略。

-結(jié)合學(xué)生的反饋，不斷完善教學(xué)方法和手段，以提高教學(xué)效果和學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。反思改進(jìn)措施-在理論講解中，結(jié)合具體函數(shù)示例，讓學(xué)生直觀感受到導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。

-引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)分析實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模和問題解決能力。

2.存在主要問題：

-部分學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系理解不夠深入，需要進(jìn)一步加強(qiáng)講解和實(shí)例分析。

-在小組討論中，部分學(xué)生參與度不高，需要鼓勵(lì)學(xué)生更加積極地參與討論和交流。

3.改進(jìn)措施：

-針對(duì)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系的理解不足，可以通過增加實(shí)例分析和練習(xí)題，讓學(xué)生在實(shí)踐中加深理解。

-針對(duì)學(xué)生參與度不高的問題，可以