專(zhuān)題09勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用(原卷版+解析)

專(zhuān)題09勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)綜合題型.例：如圖，在ΔABC中，E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，且有BD=1，CD=3，BC=，AD=.求DE的長(zhǎng).分析：根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出線(xiàn)段AC長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)求出即可.解：∵+=∴BD2+CD2=BC2.△BDC為直角三角形，∠BDC=90°在RT△ADC中，∵CD=3，AD=,∴AC2=32+(）2=16,∴AC=4，∵E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，∴DE=AC=2.題型精煉題型精煉 一、單選題1．如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)處，若將ΔABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（

） B． C． D．2．如圖，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，則EF的最小值為（

）A．5 B．4.8 C．3 D．2.43．甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口出發(fā)，甲以16海里/時(shí)的速度向北偏東的方向航行，它們出發(fā)1.5小時(shí)后，兩船相距30海里，若乙以12海里/時(shí)的速度航行，則它的航行方向?yàn)椋?/p>

）A．北偏西 B．南偏西75°C．南偏東或北偏西 D．南偏西或北偏東4．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有()①Rt△ABC中，已知兩邊分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5；②三角形的三邊分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則∠A=90°；③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，則這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形；④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立，則M=4xy．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)5．下列條件中，不能判斷一個(gè)三角形為直角三角形的是（）A．三個(gè)角的比是1：1：2 B．三條邊的比是2：3：4C．三條邊滿(mǎn)足關(guān)系a2=c2-b2 D．三個(gè)角滿(mǎn)足關(guān)系∠B+∠C=∠A6．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，，垂足為E，，，．則AE的長(zhǎng)為（）B．3C．D．二、填空題7．如圖所示，一個(gè)半徑為1的圓過(guò)一個(gè)半徑為的圓的圓心，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．

“我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題：“問(wèn)有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問(wèn)這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=0.5千米，則該沙田的面積為_(kāi)_______________平方千米．9．如圖，在中，，，．繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑為弧，點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．（結(jié)果保留）10．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線(xiàn)上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行12nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行9nmile，它們離開(kāi)港口兩個(gè)小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿北偏東50°方向航行，那么“海天”號(hào)沿______的方向航行．三、解答題11．如圖1，有一張矩形紙條，邊、的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，為上一點(diǎn)，．（1）連接，，試說(shuō)明．（2）如圖2，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，上，邊與邊交于點(diǎn)．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求到的距離．②在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，求點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（路程）．12．省耕文化公園是昭陽(yáng)區(qū)城市的新名片，公園內(nèi)有一塊四邊形ABCD草坪．如圖所示，∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，CD＝120米，AD＝130米，求四邊形ABCD草坪的面積．13．△ABC在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示（1）以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC的位似圖形，使ABC與的位似比為1：2，且位于點(diǎn)C的異側(cè)；（2）作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；14．如圖，某小區(qū)有兩個(gè)噴泉A，B，兩個(gè)噴泉的距離長(zhǎng)為250m．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM，BM，供水點(diǎn)M在小路AC上，供水點(diǎn)M到AB的距離MN的長(zhǎng)為120m，BM的長(zhǎng)為150m．（1）求供水點(diǎn)M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)；（2）求噴泉B到小路AC的最短距離．15．如圖所示，已知拋物線(xiàn)在坐標(biāo)系中的頂點(diǎn)為，且與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為點(diǎn)．（相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)圖中標(biāo)示）（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）求△的面積；（3）在軸上求作一點(diǎn)使△得周長(zhǎng)最小，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．16．如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線(xiàn)上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？17．如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成6×6的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．四邊形ABCD的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)．僅用無(wú)刻度尺的直尺在給定網(wǎng)格中畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線(xiàn)表示，按步驟完成下列問(wèn)題：（1）直接寫(xiě)出四邊形ABCD的形狀；（2）在BC邊上畫(huà)點(diǎn)F，連接EF，使得四邊形AEFB的面積為5；（3）畫(huà)出點(diǎn)E繞著B(niǎo)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G；（4）在CD邊（端點(diǎn)除外）上畫(huà)點(diǎn)H，連接EH，使得EH＝AE+CH．18．如圖，在筆直的公路AB旁有一座山，為方便運(yùn)輸貨物現(xiàn)要從公路AB上的D處開(kāi)鑿隧道修通一條公路到C處，已知點(diǎn)C與公路上的停靠站A的距離為15km，與公路上另一?？空綛的距離為20km，?？空続、B之間的距離為25km，且CD⊥AB．(1)求修建的公路CD的長(zhǎng)；(2)若公路CD修通后，一輛貨車(chē)從C處經(jīng)過(guò)D點(diǎn)到B處的路程是多少？19．埃及人曾用下面的方法得到直角，如圖1，他們用13個(gè)等距的結(jié)將一根繩子分成等長(zhǎng)的12段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第13個(gè)結(jié)兩個(gè)助手分別握住第4個(gè)結(jié)和第8個(gè)結(jié)，拉緊繩子就會(huì)得到一個(gè)直角三角形，其直角在第4個(gè)結(jié)處．（1）你能說(shuō)說(shuō)其中的道理嗎？（可設(shè)相鄰兩個(gè)結(jié)點(diǎn)之間的距離為a）（2）仿照上面的方法用31個(gè)等距的結(jié)將一根繩子分成等長(zhǎng)的30段，一個(gè)工匠同時(shí)握住繩子的第1個(gè)結(jié)和第31個(gè)結(jié)，兩個(gè)助手分別握住第6個(gè)結(jié)和第18個(gè)結(jié)，拉緊繩子，將得到一個(gè)直角三角形其直角在第6個(gè)結(jié)處，請(qǐng)你在圖2中，畫(huà)出示意圖即可．專(zhuān)題09勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)導(dǎo)航知識(shí)導(dǎo)航必備知識(shí)點(diǎn)勾股定理逆定理的實(shí)際應(yīng)用主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)綜合題型.例：如圖，在ΔABC中，E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，且有BD=1，CD=3，BC=，AD=.求DE的長(zhǎng).分析：根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠BDC=90°，求出線(xiàn)段AC長(zhǎng)，根據(jù)直角三角形斜邊上中線(xiàn)性質(zhì)求出即可.解：∵+=∴BD2+CD2=BC2.△BDC為直角三角形，∠BDC=90°在RT△ADC中，∵CD=3，AD=,∴AC2=32+(）2=16,∴AC=4，∵E點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，題型精煉∴DE=AC=2.題型精煉一、單選題1．如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)處，若將ΔABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理逆定理得出ΔCDB是直角三角形，以及銳角三角函數(shù)關(guān)系進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：如圖，連接BD，，由網(wǎng)格利用勾股定理得：是直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、余弦等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．2．如圖，在ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，D為邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，則EF的最小值為（

）A．5 B．4.8 C．3 D．2.4【答案】B【分析】根據(jù)三個(gè)角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形EDFB是矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)相等，得EF=BD，則EF的最小值即為BD的最小值，根據(jù)垂線(xiàn)段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．【詳解】如圖，連接BD．∵在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，即∠ABC=90°．又∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，∴四邊形EDFB是矩形，∴EF=BD．∵BD的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即4.8，∴EF的最小值為4.8，故選：B．【點(diǎn)睛】此題綜合運(yùn)用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，要能夠把要求的線(xiàn)段的最小值轉(zhuǎn)換為便于分析其最小值的線(xiàn)段．3．甲、乙兩艘輪船同時(shí)從港口出發(fā)，甲以16海里/時(shí)的速度向北偏東的方向航行，它們出發(fā)1.5小時(shí)后，兩船相距30海里，若乙以12海里/時(shí)的速度航行，則它的航行方向?yàn)椋?/p>

）A．北偏西 B．南偏西75°C．南偏東或北偏西 D．南偏西或北偏東【答案】C【分析】先求出出發(fā)1.5小時(shí)后，甲乙兩船航行的路程，進(jìn)而可根據(jù)勾股定理的逆定理得出乙船的航行方向與甲船的航行方向垂直，進(jìn)一步即可得出答案．【詳解】解：出發(fā)1.5小時(shí)后，甲船航行的路程是16×1.5=24海里，乙船航行的路程是12×1.5=18海里；∵，∴乙船的航行方向與甲船的航行方向垂直，∵甲船的航行方向是北偏東75°，∴乙船的航行方向是南偏東15°或北偏西15°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理和方位角，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．4．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的有()①Rt△ABC中，已知兩邊分別為3和4，則第三邊的長(zhǎng)為5；②三角形的三邊分別為a、b、c，若a2+b2=c2，則∠A=90°；③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，則這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形；④若(x﹣y)2+M=(x+y)2成立，則M=4xy．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理以及逆定理即可解答．【詳解】①分兩種情況討論：當(dāng)3和4為直角邊時(shí)，斜邊為5；當(dāng)4為斜邊時(shí)，另一直角邊是，所以錯(cuò)誤；②三角形的三邊分別為a、b、c，若a2+b2=c2，應(yīng)∠C=90°，所以錯(cuò)誤；③最大角∠C=×6=90°，這個(gè)三角形是一個(gè)直角三角形，正確；④若（x-y）2+M=（x+y）2成立，則M=（x+y）2-（x-y）2=4xy，正確．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．勾股定理的逆定理：若三角形三邊滿(mǎn)足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．5．下列條件中，不能判斷一個(gè)三角形為直角三角形的是（）A．三個(gè)角的比是1：1：2 B．三條邊的比是2：3：4C．三條邊滿(mǎn)足關(guān)系a2=c2-b2 D．三個(gè)角滿(mǎn)足關(guān)系∠B+∠C=∠A【答案】B【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，排除錯(cuò)誤答案.【詳解】A.三個(gè)角的比為1:1:2,設(shè)最小的角為x,則x+x+2x=180°,x=45°,2x=90°，故正確；B.三條邊的比為2:3:4,22+32≠42，故錯(cuò)誤；C.三條邊滿(mǎn)足關(guān)系a2=c2-b2，故正確；D.三個(gè)角滿(mǎn)足關(guān)系∠B+∠C=∠A,則∠A為90°，故正確.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理逆定理的應(yīng)用，直角三角形的判定，解題關(guān)鍵在于利用各性質(zhì)定義.6．如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，，垂足為E，，，．則AE的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．【答案】D【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知，對(duì)角線(xiàn)互相平分，則得到AO=3，BO=5，而AB=4，三邊長(zhǎng)滿(mǎn)足勾股定理，則三角形AOB是直角三角形，∠BAC=90°，則三角形BAC也是直角三角形，再用等面積法求AE.【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形∴又AB=4滿(mǎn)足故三角形ABO是直角三角形，∠BAC=90°即三角形BAC也是直角三角形在三角形BAC中，∴而三角形的BAC面積=BA×AC×=BC×AE×則可得：4×6×=×AE×故AE=故選D【點(diǎn)睛】本題綜合性考察了直角三角形三邊的關(guān)系，解題關(guān)鍵在于熟悉常見(jiàn)的勾股數(shù)，例如（3，4，5）（6，8，10），（5，12，13），熟悉后能夠更快的判斷出直角三角形.題中涉及到求直角三角形斜邊的高，可以用到等面積法靈活處理.二、填空題7．如圖所示，一個(gè)半徑為1的圓過(guò)一個(gè)半徑為的圓的圓心，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．

【答案】1【分析】如圖，連OA，OB，OC，AB由OA＝，CA＝CB＝1，則有，得到△OCA為直角三角形，則∠AOC＝45°，同理可得∠BOC＝45°，得到AB為⊙C的直徑．所以S陰影部分＝S半圓AB﹣S弓形AB＝S半圓AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB），然后根據(jù)圓、扇形和三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得到陰影部分的面積．【詳解】解：⊙O的半徑為，⊙C的半徑為1，點(diǎn)O在⊙C上，連OA，OB，OC，AB，如圖：由OA＝，CA＝CB＝1，則有，∴OA2＝CA2＋CB2，∴△OCA為直角三角形，∴∠AOC＝45°，同理可得∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°，∴AB為⊙C的直徑．∴S陰影部分＝S半圓AB﹣S弓形AB＝S半圓AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB）＝＝1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，直徑所對(duì)的圓心角是直角，扇形面積公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．8．“我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書(shū)九章》里記載有這樣一道題：“問(wèn)有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題講的是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，問(wèn)這塊沙田面積有多大？題中“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位，1里=0.5千米，則該沙田的面積為_(kāi)_______________平方千米．【答案】7.5【分析】直接利用勾股定理的逆定理進(jìn)而結(jié)合直角三角形面積求法得出答案．【詳解】解：∵52+122=132，∴三條邊長(zhǎng)分別為5里，12里，13里，構(gòu)成了直角三角形，∴這塊沙田面積為：×5×500×12×500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）．故答案為7.5．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，正確得出三角形的形狀是解題關(guān)鍵．9．如圖，在中，，，．繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到，點(diǎn)A經(jīng)過(guò)的路徑為弧，點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的路徑為弧，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_____．（結(jié)果保留）【答案】##【分析】設(shè)與AC相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，根據(jù)勾股定理逆定理可得為直角三角形，根據(jù)三邊關(guān)系可得，根據(jù)題意及等角對(duì)等邊得出，在中，利用正弦函數(shù)可得，結(jié)合圖形，利用扇形面積公式及三角形面積公式求解即可得．【詳解】解：設(shè)與AC相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為點(diǎn)E，∵，，，∴，∴為直角三角形，∴，∵繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到，∴，∴，∴，在中，，∴，∴，∴，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】題目主要考查勾股定理逆定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等角對(duì)等邊的性質(zhì)，正切函數(shù)，扇形面積等，理解題意，結(jié)合圖形，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．10．如圖，某港口P位于東西方向的海岸線(xiàn)上，“遠(yuǎn)航”號(hào)、“海天”號(hào)輪船同時(shí)離開(kāi)港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行12nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行9nmile，它們離開(kāi)港口兩個(gè)小時(shí)后分別位于點(diǎn)Q，R處，且相距30nmile．如果知道“遠(yuǎn)航”號(hào)沿北偏東50°方向航行，那么“海天”號(hào)沿______的方向航行．【答案】北偏西40°【分析】分別求出PR和PQ，再利用勾股定理逆定理求出∠QPR=90°，最后求出∠NPR，即可完成求解．【詳解】解：∵“遠(yuǎn)航”號(hào)每小時(shí)航行12nmile，“海天”號(hào)每小時(shí)航行9nmile，∴，，∵兩船相距30nmile，∴，∵，∴，∴∠QPR=90°，∵“遠(yuǎn)航”號(hào)沿北偏東50°方向，∴∠NPQ=50°，∴∠NPR=90°－50°=40°，∴“海天”號(hào)沿北偏西40°方向航行，故答案為：北偏西40°．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理逆定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是求出PQ和PR，通過(guò)計(jì)算得到三角形的三邊滿(mǎn)足其中兩邊的平方之和等于第三邊的平方，進(jìn)而求出∠QPR，同時(shí)本題還需要學(xué)生理解方位角的概念，能正確的表述方位．三、解答題11．如圖1，有一張矩形紙條，邊、的長(zhǎng)分別是方程的兩個(gè)根，為上一點(diǎn)，．（1）連接，，試說(shuō)明．（2）如圖2，為邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將四邊形沿折疊，使點(diǎn)，分別落在點(diǎn)，上，邊與邊交于點(diǎn)．①如圖3，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求到的距離．②在點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，求點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)（路程）．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②【分析】（1）解方程x2-7x+10=0得AB=5，BC=2，再由勾股定理和勾股定理的逆定理得∠AEB=90°即可；（2）①先證AN=EN，設(shè)AN=EN=x，則DN=DE-EN=4-x，在Rt△ADN中，由勾股定理得出方程，求出，再由勾股定理得，設(shè)N到ME的距離為h，然后由三角形面積得，即可求解；②當(dāng)M與點(diǎn)A重合時(shí)，；當(dāng)MB'⊥AB時(shí)，EN=AD=2；當(dāng)B'在CD上，N與B'重合，，即可求解．【詳解】解：（1）證明：如圖1，解方程得或，，，四邊形是矩形，，，，，，，，是直角三角形，；（2）解：①四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，在中，由勾股定理得：，設(shè)到的距離為，則，，即到的距離為；②當(dāng)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖3所示：此時(shí)；當(dāng)時(shí)，如圖4所示，此時(shí)；當(dāng)在上，與重合，如圖5所示：此時(shí)；點(diǎn)相應(yīng)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：．【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．12．省耕文化公園是昭陽(yáng)區(qū)城市的新名片，公園內(nèi)有一塊四邊形ABCD草坪．如圖所示，∠B＝90°，AB＝30米，BC＝40米，CD＝120米，AD＝130米，求四邊形ABCD草坪的面積．【答案】3600米2【分析】連接AC，根據(jù)勾股定理可求得AC，再根據(jù)勾股定理的逆定理，可證得∠ACD＝90°，最后由S四邊形ABCD＝S△BAC+S△ADC，即可求得．【詳解】解：連接AC，如圖所示：在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2＝302+402＝2500，∵AC＞0，∴AC＝50，在△CAD中，AC2+CD2＝2500+14400＝16900＝AD2，∴AC2+CD2＝AD2，∴∠ACD＝90°，∴S四邊形ABCD＝S△BAC+S△ADCAB?BCAC?DC，30×4050×120＝3600(米2)，答：這塊四邊形草坪ABCD的面積是3600米2．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理及其逆定理，作出輔助線(xiàn)，證得∠ACD＝90°是解決本題的關(guān)鍵．13．△ABC在邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格中如圖所示（1）以點(diǎn)C為位似中心，作出△ABC的位似圖形，使ABC與的位似比為1：2，且位于點(diǎn)C的異側(cè)；（2）作出△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形；【分析】（1）根據(jù)位似的性質(zhì)，結(jié)合正方形網(wǎng)格和位似比作圖，即可得到答案；（2）結(jié)合正方形網(wǎng)格，根據(jù)勾股定理逆定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得、，再根據(jù)位似的性質(zhì)作圖，即可得到答案．【詳解】（1）如下圖：即為所求；（2）如下圖：∵邊長(zhǎng)為1的正方形網(wǎng)格∴，∴∴即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了位似、旋轉(zhuǎn)、勾股定理逆定理的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握位似的性質(zhì)，從而完成求解．14．如圖，某小區(qū)有兩個(gè)噴泉A，B，兩個(gè)噴泉的距離長(zhǎng)為250m．現(xiàn)要為噴泉鋪設(shè)供水管道AM，BM，供水點(diǎn)M在小路AC上，供水點(diǎn)M到AB的距離MN的長(zhǎng)為120m，BM的長(zhǎng)為150m．（1）求供水點(diǎn)M到噴泉A，B需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)；（2）求噴泉B到小路AC的最短距離．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）先在中，利用勾股定理可得的長(zhǎng)，從而可得的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理可求出的長(zhǎng)，由此即可得出答案；（2）先根據(jù)勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短即可得．【詳解】解：（1）在中，，，，，在中，，，答：供水點(diǎn)到噴泉需要鋪設(shè)的管道總長(zhǎng)為；（2），，是直角三角形，且，即，由垂線(xiàn)段最短可知，即為所求的最短距離，答：噴泉到小路的最短距離為．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的應(yīng)用、垂線(xiàn)段最短等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．15．如圖所示，已知拋物線(xiàn)在坐標(biāo)系中的頂點(diǎn)為，且與坐標(biāo)軸交點(diǎn)為點(diǎn)．（相關(guān)數(shù)據(jù)見(jiàn)圖中標(biāo)示）（1）求該拋物線(xiàn)的解析式；（2）求△的面積；（3）在軸上求作一點(diǎn)使△得周長(zhǎng)最小，求出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）或?yàn)?；?）；（3）點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）.【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法利用頂點(diǎn)式即可求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC為直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的面積計(jì)算公式計(jì)算即可；（3）過(guò)y軸作C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與y軸交于，此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，求出直線(xiàn)的解析式，即可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線(xiàn)的解析式為：，將（3，0）代入得：，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為：或?yàn)?；?）當(dāng)時(shí)，，即，如下圖所示，，，,∴,△ABC為直角三角形，∴；（3）如下圖，過(guò)y軸作C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接與y軸交于，此時(shí)的周長(zhǎng)為最小，設(shè)直線(xiàn)的解析式為，則，解得，∴，點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，3）.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和一次函數(shù)解析式，軸對(duì)稱(chēng)與最短路徑問(wèn)題，勾股定理的逆定理．（1）中注意此題中用頂點(diǎn)式較為簡(jiǎn)單；（2）能得出△ABC為直角三角形是解題關(guān)鍵；（3）掌握軸對(duì)稱(chēng)與最短路徑問(wèn)題是解題關(guān)鍵．16．如圖，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線(xiàn)上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．（1）問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求新路CH比原路CA少多少千米？【答案】解：(1)是，理由見(jiàn)詳解；(2)新路CH比原路CA少0.05千米．【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理驗(yàn)證△CHB為直角三角形，進(jìn)而得到CH⊥AB，再根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短即可解答；(2)在△ACH中根據(jù)勾股定理解答即可．【詳解】解：(1)是，理由如下：在△CHB中，∵CH2+BH2=1.22+0.92=2.25=1.52=BC2，即CH2+BH2=BC2，∴△CHB為直角三角形，且∠CHB=90°，∴CH⊥AB，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離垂線(xiàn)段最短可知，CH是從村莊C到河邊AB的最近路；(2)設(shè)AC=x千米，在Rt△ACH中，由已知設(shè)AC=x，AH=x-0.9，CH=1.2，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2∴x2=(x-0.9)2+1.22，解得x=1.25，即AC=1.25，故AC-CH=1.25-1.2=0.05（千米）答：新路CH比原路CA少0.05千米．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理的應(yīng)用，熟練掌握勾股定理及逆定理是解決本題的關(guān)鍵．17．如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成6×6的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．四邊形ABCD的頂點(diǎn)都是格點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AD與網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)．僅用無(wú)刻度尺的直尺在給定網(wǎng)格中畫(huà)圖，畫(huà)圖過(guò)程用虛線(xiàn)表示，畫(huà)圖結(jié)果用實(shí)線(xiàn)表示，按步驟完成下列問(wèn)題：（1）直接寫(xiě)出四邊形ABCD的形狀；（2）在BC邊上畫(huà)點(diǎn)F，連接EF，使得四邊形AEFB的面積為5；（3）畫(huà)出點(diǎn)E繞著B(niǎo)點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G；（4）在CD邊（端點(diǎn)除外）上畫(huà)點(diǎn)H，連接EH，使得EH＝AE+CH．【分析】（1）利用勾股定理和勾股定理的逆定理可證明四邊形ABCD為正方形；（2）延長(zhǎng)EO交BC于F，則根據(jù)正方形為中心對(duì)稱(chēng)圖形得到AE＝CF，則可根據(jù)梯形的面積公式計(jì)算出四邊形AEFB的面積為5；（3）延長(zhǎng)DC交過(guò)B點(diǎn)的鉛垂線(xiàn)于G點(diǎn)，通過(guò)證明△BAE≌△BCG得到BG＝BE；（4）利用網(wǎng)格特點(diǎn)，作∠EBG的平分線(xiàn)交CD于H點(diǎn)，證明△BEH≌△BGH，則EH＝HG，則AE＝CG，則有EH＝AE+CH．【詳解】解：（1）∵AB＝BC＝CD＝AD＝＝，∴四邊形ABCD為菱形，∵BD＝＝2，∴AD2+AB2＝BD2，∴∠BAD＝90°，所以四邊形ABCD為正方形；（