2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊（配湘教版）第2章測評

第2章測評(時間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.直線2x+3y+1=0的斜率和它在y軸上的截距分別為()A.2,1 B.23,13 C.-32,-12 D2.已知直線l經(jīng)過點(3,1),且直線l的一個法向量是(1,1),則l的方程是()A.y=-x+4 B.y=x-2 C.y=-x+2 D.y=x+23.若圓C1:x2+y2-2x-4y-4=0,圓C2:x2+y2-6x-10y-2=0,則圓C1,C2的公切線條數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.44.已知圓的一條直徑的端點分別是A(-1,0),B(3,-4),則該圓的方程為()A.(x+1)2+(y-2)2=8 B.(x-1)2+(y+2)2=8C.(x+1)2+(y-2)2=32 D.(x-1)2+(y+2)2=325.經(jīng)過兩條直線2x+y+2=0和3x+4y-2=0的交點,且垂直于直線3x-2y+4=0的直線方程為()A.2x+3y-2=0 B.2x+3y+3=0C.3x+2y-2=0 D.3x+2y+3=06.經(jīng)過點A(1,2)可作圓x2+y2+mx-2y+4=0的兩條切線,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-∞,-23)∪(23,+∞) B.(-5,-23)∪(23,+∞)C.(-∞,-22)∪(22,+∞) D.(-5,-22)∪(22,+∞)7.已知圓C1與圓C2:(x+2)2+(y-1)2=4關(guān)于直線y=x對稱,則圓C1的方程為()A.(x+1)2+(y-2)2=4 B.(x-1)2+(y-2)2=4C.(x+1)2+(y+2)2=4 D.(x-1)2+(y+2)2=48.阿波羅尼斯證明過這樣一個命題:平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點的軌跡是圓,后人將該圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點A,B間的距離為2,動點P滿足|PA||PB|=2,當(dāng)P,A,B不共線時A.22 B.2 C.223 D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分.9.已知直線l的一個方向向量為u=-36,12,且直線l經(jīng)過點(1,-2),則下列結(jié)論中正確的是(A.直線l的傾斜角等于150°B.直線l在x軸上的截距等于2C.直線l與直線3x-3y+2=0垂直D.直線l與直線3x+y+2=0平行10.已知直線l1:x-y-1=0,動直線l2:(k+1)x+ky+k=0(k∈R),則下列結(jié)論正確的是()A.存在k,使得直線l2的傾斜角為90°B.對任意的k,直線l1與l2都有公共點C.對任意的k,直線l1與l2都不重合D.對任意的k,直線l1與l2都不垂直11.已知實數(shù)x,y滿足方程x2+y2-2x-4y+1=0,則下列說法正確的是()A.x2+y2的最大值為2+5B.(x+2)2+(y+1)2的最大值為22+122C.x+y的最大值為3+22D.4x-3y的最大值為8三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.我國古代名著《墨經(jīng)》中給出了圓的定義為“一中同長也”.已知O為坐標(biāo)原點,P(-1,3),若☉O,☉P的“長”分別為1,r(r>0),且兩圓相切,則r=.

13.已知直線l:mx-y=1,若直線l與直線x-my-1=0平行,則實數(shù)m的值為.動直線l被圓C:x2+y2+2x-24=0截得弦長的最小值為.

14.一個圓過圓C:x2+y2-2x=0與直線l:x+2y-3=0的交點,且圓心在y軸上,則這個圓的方程為.

四、解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)已知直線l1:ax+2y+6=0和l2:x+(a-1)y+a2-1=0(a≠1),試求a為何值時,(1)l1∥l2;(2)l1⊥l2.16.(15分)[2024甘肅蘭州西北師大附中高二期末]已知圓C1:(x-4)2+(y-2)2=4和圓C2:(x-1)2+(y-3)2=9.(1)試判斷兩圓的位置關(guān)系,若相交,求出公共弦所在的直線方程;(2)若直線l過點(1,0)且與圓C1相切,求直線l的方程.17.(15分)已知△ABC的頂點A(4,2),AB邊上的中線CM所在直線方程為x-y-3=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x+2y-2=0.求:(1)頂點C的坐標(biāo);(2)點B到直線AC的距離.18.(17分)已知圓C經(jīng)過(2,4),(1,3)兩點,圓心C在直線x-y+1=0上,過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C相交于M,N兩點.(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若OM·ON=12(O為坐標(biāo)原點),求直線l19.(17分)已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(6,8),端點A在圓x2+y2=16上運動,M是線段AB的中點,且直線l過定點(1,0).(1)求點M的軌跡方程;(2)記(1)中求得的圖形的圓心為C,若直線l與圓C交于P,Q兩點,求△CPQ面積的最大值,并求此時直線l的方程.

第2章測評1.D將2x+3y+1=0化為斜截式,得y=-23x-13,所以直線的斜率為-23,在y軸上的截距為-132.A由直線l的一個法向量為(1,1)可知直線l的斜率為-1.因為直線l經(jīng)過點(3,1),且直線l的斜率為-1,所以根據(jù)直線的點斜式可得直線l的方程是y-1=-(x-3),整理得y=-x+4,故選A.3.B依題意,圓C1:(x-1)2+(y-2)2=9,圓心為C1(1,2),半徑為r1=3,圓C2:(x-3)2+(y-5)2=36,圓心為C2(3,5),半徑為r2=6.因為|C1C2|=4+9=13,且r2-r1<13<r1+r2,所以圓C1,C2相交,則圓C1,C2有2故選B.4.B由題意可知,線段AB的中點為(1,-2),即該圓的圓心為(1,-2).又圓的半徑為r=12|AB|=12(-1-3)2+(0+4)2=22,故圓的方程為(x-5.A聯(lián)立方程組3x+4y-2=0,2x因為所求直線垂直于直線3x-2y+4=0,所以所求直線的斜率k=-23.故所求直線方程為y-2=-23(x+2),即2x+3y-2=0.故選6.B由x2+y2+mx-2y+4=0整理得x+m22+(y-1)2=m24-∴m24-3>0,解得m<-23或m>2由題意知點A在圓外,∴1+4+m-4+4>0,解得m>-5.綜上可得,-5<m<-23或m>23.故選B.7.D設(shè)圓心C2(-2,1)關(guān)于直線y=x的對稱點C1的坐標(biāo)為(a,b),則線段C1C2的中點為a-22,b+12,且kC1C2=b-1a+2因為兩圓關(guān)于直線對稱,所以兩圓的半徑相等,即圓C1的半徑為2,所以圓C1的方程為(x-1)2+(y+2)2=4.故選D.8.A如圖所示,以經(jīng)過A,B兩點的直線為x軸,線段AB的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則點A(-1,0),B(1,0).設(shè)點P(x,y),因為|PA所以(x整理得x2+y2-6x+1=0,即(x-3)2+y2=8.因為P,A,B三點不共線,所以當(dāng)P點在直線x=3上時,△PAB面積最大,此時三角形的高為22,所以△PAB面積的最大值是12×2×22=22.故選A9.CD因為直線l的一個方向向量為u=-36,1所以直線l的斜率為k=12-3設(shè)直線l的傾斜角為α(0≤α<π),則tanα=-3,所以α=2π3=120°,故A因為直線l經(jīng)過點(1,-2),所以直線l的方程為y+2=-3(x-1),令y=0,則x=-233+1,所以直線l在x軸上的截距為-233+1,因為直線3x-3y+2=0的斜率為33,直線l的斜率為-3,所以-3×33=-1,所以直線l與直線3x-3y+2=0垂直,因為直線3x+y+2=0的斜率為-3,直線l的斜率也為-3,且兩直線截距不等,所以兩直線平行,故D正確.故選CD.10.ABD當(dāng)k=0時,直線l2斜率不存在,此時l2的傾斜角為90°,故A正確;由x-y-1=0,(k+1)x+ky+k=0,可得x(2k+1)=0,對于任意的k,此方程組都有解當(dāng)k=-12時,直線l2:12x-12y-12=0,即x-y-1=0,此時直線l1與l2重合,由x-y-1=0可得直線l1的斜率為1,若直線l2與l1垂直,則直線l2的斜率為-(k+1)k=-1,此方程無解,所以對任意的k,直線l1與l2都不垂直,故D正確11.BCD方程x2+y2-2x-4y+1=0整理可得(x-1)2+(y-2)2=4,則方程x2+y2-2x-4y+1=0表示的圖形是以點C(1,2)為圓心,2為半徑的圓,如圖所示.代數(shù)式x2+y2表示圓C上的點P(x,y)到原點O的距離的平方,當(dāng)點P為直線OC與圓C的交點,且C在線段OP上時,|OP|取得最大值,即|OP|max=|OC|+2=2+5,所以(x2+y2)max=(2+5)2=9+45,由于代數(shù)式(x+2)2+(y+1)2表示圓C上的點Q(x,y)到點A(-2,-1)的距離的平方,當(dāng)點Q為直線AC與圓C的交點,且點C在線段AQ上時,|AQ|取得最大值,即|AQ|max=|AC|+2=(-2-1)2+(-所以[(x+2)2+(y+1)2]max=(32+2)2=22+122設(shè)x+y=k,則直線x+y-k=0與圓C有公共點,所以圓心到直線的距離|1+2-解得3-22≤k≤3+22,所以x+y的最大值為3+22,故C正確;設(shè)4x-3y=t,則直線4x-3y-t=0與圓C有公共點,所以|4-6-t|42+(-3)2=|t+2|5≤故選BCD.12.1或3由題意,O為坐標(biāo)原點,P(-1,3).根據(jù)圓的定義可知,☉O的圓心為O(0,0),半徑為1,☉P的圓心為P(-1,3),半徑為r.因為兩圓相切,則有|PO|=r+1或|PO|=|r-1|.因為|PO|=(-1)2+(3)2=2,則有r+解得r=1或3.13.-1223由題意得m×(-m)-(-1)×1=0,所以m=±1.當(dāng)m=1時,兩直線重合,舍去,故m=-1.因為圓C的方程x2+y2+2x-24=0可化為(x+1)2+y2=25,即圓C的圓心為C(-1,0),半徑為5.由于直線l:mx-y-1=0過定點P(0,-1),所以過點P且與PC垂直的弦的弦長最短,|PC|=(-1則最短弦長為2×52-(2)14.x2+(y+2)2=10由x解得x所以圓C與直線l的交點為A95,35,B因為直線AB的斜率為-12,線段AB的中點為75,所以線段AB的垂直平分線的斜率為2,則可得y-45=2x-75,即y=2x-2.又因為圓心在y軸,所以圓心為(0,-2),半徑為圓心到交點B的距離(0-1)2+(-2-1)215.解(1)若l1∥l2,則a(a-1)-1(2)若l1⊥l2,則a+2(a-1)=0,解得a=2316.解(1)由題意得C1(4,2),r1=2,C2(1,3),r2=3,∴|C1C2|=10,r2-r1<|C1C2|<r1+r2,∴兩圓相交,兩圓的方程相減得6x-2y-15=0,即為公共弦所在直線的方程.(2)依題意可知直線l的斜率存在.設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0,由題意得2=|4k-2-k|1+∴直線l的方程為y=0或12x-5y-12=0.17.解(1)設(shè)C(m,n),由于AB邊上的中線CM所在直線方程為x-y-3=0,AC邊上的高BH所在直線方程為x+2y-2=0.則m-n-3=0,n-(2)設(shè)B(a,b),則a解得a則可得B點坐標(biāo)為103,-23.由(1)可得直線AC的方程為y-20-2=x-故點B到直線AC的距離d=2×18.解(1)設(shè)圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則由題意可得(解得a所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-2)2+(y-3)2=1.(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+1,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),將y=kx+1代入(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,x1+x2=4(1+k)1+k2,OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8=12,即4k(1+k)19.解(1)設(shè)M(x,y)