4.2指數(shù)函數(shù)教學(xué)設(shè)計-2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

《指數(shù)函數(shù)》第一課時教學(xué)設(shè)計教材分析內(nèi)容分布指數(shù)函數(shù)內(nèi)容位于2019年人教A版數(shù)學(xué)教材必修第一冊第四章第二節(jié)。本單元包括指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，共2課時，第1課時的主要內(nèi)容是指數(shù)函數(shù)的概念，第2課時的主要內(nèi)容是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。本節(jié)教學(xué)內(nèi)容為第1課時指數(shù)函數(shù)的概念。內(nèi)容解析本節(jié)是再函數(shù)的概念和性質(zhì)、冪函數(shù)、指數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)。指數(shù)函數(shù)作為基本初等函數(shù)之一，是函數(shù)內(nèi)容的重要組成部分；是對數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、概率統(tǒng)計、導(dǎo)數(shù)等高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)，其思想方法與其他數(shù)學(xué)內(nèi)容還有緊密的聯(lián)系；同時作為重要的函數(shù)模型還有廣泛的應(yīng)用，又是分析和解決大量數(shù)學(xué)問題和實際問題的重要工具。指數(shù)函數(shù)是一類具體的函數(shù)，有了研究冪函數(shù)的經(jīng)驗，便可以按研究一個函數(shù)的基本方法去研究指數(shù)函數(shù)的主要內(nèi)容。指數(shù)函數(shù)的概念體現(xiàn)了指數(shù)函數(shù)變量間對應(yīng)關(guān)系的本質(zhì)，是研究其圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)。指數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)應(yīng)該在函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)揭示指數(shù)增長或衰減的規(guī)律：在自變量增加1個單位，相應(yīng)的函數(shù)值之比為常數(shù)，這反映了指數(shù)函數(shù)變化規(guī)律的特征。在教學(xué)時要引導(dǎo)學(xué)生通過實例抽象概括出這個特點(diǎn)。在指數(shù)函數(shù)中，教科書通過表格、圖象，學(xué)生能直觀地感受指數(shù)函數(shù)地變化規(guī)律。教科書以兩地景區(qū)游客流量變化的問題為例，首先利用表格中的數(shù)據(jù)反映了游客人次的增長變化。再通過圖象，A景區(qū)呈現(xiàn)線性增長，B景區(qū)呈現(xiàn)非線性增長。然后為了定量刻畫變化規(guī)律，教科書引導(dǎo)學(xué)生通過減法和除法發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的規(guī)律，一種變化的本質(zhì)是相鄰兩年的增量不變，另一種變化的本質(zhì)是相鄰兩年的增長率不變。這兩種規(guī)律分別是線性增長和指數(shù)增長，將指數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)直線增長的進(jìn)行對比，引入指數(shù)函數(shù)，突出指數(shù)函數(shù)爆炸性增長的特點(diǎn)，體現(xiàn)學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的必要性。再以碳14的衰減的問題為例，介紹指數(shù)函數(shù)衰減的特點(diǎn)，以幫助學(xué)生更好地把握指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律。學(xué)情分析已有基礎(chǔ)學(xué)生已經(jīng)在第三章中學(xué)習(xí)過函數(shù)的概念和性質(zhì)，并且已經(jīng)學(xué)習(xí)過冪函數(shù)，體會了“概念—圖象—性質(zhì)”的研究具體函數(shù)的一般思路。在上一節(jié)中學(xué)習(xí)了指數(shù)，已將指數(shù)的范圍擴(kuò)展到全體實數(shù)。能力發(fā)展通過具體實例引入，引導(dǎo)學(xué)生從實際情境中抽象出指數(shù)函數(shù)，培養(yǎng)分析、歸納問題的能力，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提升數(shù)學(xué)抽象的能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想方法，滲透直觀想象的素養(yǎng)。教學(xué)目標(biāo)目標(biāo)通過具體的兩個實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念；通過對指數(shù)函數(shù)概念的研究，學(xué)生能夠從實際問題中通過觀察、數(shù)學(xué)運(yùn)算、歸納、數(shù)形結(jié)合等方法抽象出數(shù)學(xué)概念，提升數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)。目標(biāo)解析能結(jié)合教材中游客增長和碳14衰減的問題，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其中具體的增長和衰減規(guī)律，體會實際問題中的變量間的關(guān)系。從實例中知道指數(shù)函數(shù)的有關(guān)特征，知道指數(shù)函數(shù)的含義和表示，能夠從具體情境中辨認(rèn)出指數(shù)函數(shù)，并能闡述出指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)之間的區(qū)別，清楚其定義域和底數(shù)a的取值范圍。通過具體實例抽象為具體函數(shù)、再由具體函數(shù)概括為指數(shù)函數(shù)的過程中，提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。借助圖象觀察函數(shù)變化趨勢，通過對比一次函數(shù)發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)爆炸性增長的特點(diǎn)，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。重、難點(diǎn)抽象、概括指數(shù)函數(shù)的概念是本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)。因為學(xué)生需要通過觀察、分析、探究等一系列的思維活動，由具體的問題和圖象進(jìn)行歸納、演繹，并通過抽象概括得出其本質(zhì)，從而得到指數(shù)函數(shù)的概念，所以在這個過程中學(xué)生可能會遇到困難。在實例1中不僅要能想到將游客人次的變化用圖象直觀表示，還要能結(jié)合圖象對已知數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算后發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律，并能根據(jù)實例1和實例2得到的兩個解析式概括出統(tǒng)一的函數(shù)關(guān)系式。這些對學(xué)生的思維能力要求較高。所以在教學(xué)中，教師要給學(xué)生探索和發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，給予學(xué)生恰當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)。當(dāng)學(xué)生不能從實例1的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)游客人次的變化規(guī)律時，可引導(dǎo)學(xué)生先根據(jù)已知數(shù)據(jù)作出圖象進(jìn)行觀察，然后啟發(fā)學(xué)生對數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算，通過運(yùn)算得到每年與上一年旅游人次的比例為常數(shù)，從而結(jié)合圖象發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律的本質(zhì)。在這里，對數(shù)據(jù)進(jìn)行哪些運(yùn)算才有利于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，是學(xué)生已有知識經(jīng)驗中缺乏的，教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生注意，并對“增加量”“增長率”的作用的強(qiáng)調(diào)。教學(xué)設(shè)計問題驅(qū)動，情境導(dǎo)入實例1：請閱讀下面的信息，回答問題。隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式。由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對措施，A地提高了景區(qū)門票價格，B地則取消了景區(qū)門票。表1給出了A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次。時間/年A景區(qū)B景區(qū)人次/萬次年增加量/萬次人次/萬次年增加量/萬次20016002782002609930931200362011344352004631113833920056411042744200665094754820076611152853200867110588602009681106556720106911072974201170211811822012711990392201372110100510220147321111181132015743111244126問題1：比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？學(xué)生活動預(yù)測：讓學(xué)生先從表格中獲得一些感性的認(rèn)識，學(xué)生可能會發(fā)現(xiàn)：兩地的游客每年都在增加，A景區(qū)增加的速度比較均衡，B景區(qū)的游客增加速度比A景區(qū)要快等，然后引導(dǎo)學(xué)生對定量刻畫數(shù)據(jù)變化規(guī)律的思考。追問：（1）能否更加直觀地呈現(xiàn)這些數(shù)據(jù)？學(xué)生活動預(yù)測：在函數(shù)的三種表示中，圖象法是最直觀的，學(xué)生不難想到。追問：（2）根據(jù)圖象并結(jié)合增加量，說明兩地游客人次的變化情況。教師活動：教師可借助GGB畫出散點(diǎn)圖，用圖象直觀呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律。根據(jù)圖象學(xué)生可發(fā)現(xiàn)，A景區(qū)的散點(diǎn)圖基本呈一條直線，可以用一次函數(shù)模型來刻畫（要多問一句，為什么要用一次函數(shù)刻畫它？僅僅是因為函數(shù)圖象呈一條直線嗎？更重要的是它們的增加量為同一個常數(shù)，符號一次函數(shù)的特點(diǎn)）；B景區(qū)的散點(diǎn)圖是一條曲線，這里比較難確定，學(xué)生可能會認(rèn)為是二次函數(shù)，可以讓學(xué)生先嘗試寫出二次函數(shù)的解析式，再發(fā)現(xiàn)其余點(diǎn)不符合二圖2B景區(qū)散點(diǎn)圖圖1A景區(qū)散點(diǎn)圖次函數(shù)解析式。然后教師再引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)進(jìn)行定量分析。圖2B景區(qū)散點(diǎn)圖圖1A景區(qū)散點(diǎn)圖追問：（3）我們發(fā)現(xiàn)，用“增加量”不能刻畫B景區(qū)游客人次的變化規(guī)律，能不能換一個量來刻畫？學(xué)生活動預(yù)測：學(xué)生或許想不到利用“增長率”，教師可適當(dāng)?shù)亟榻B“增長率”。追問：（4）在常見地一些數(shù)據(jù)統(tǒng)計中，比如，國民收入、經(jīng)濟(jì)增長、工業(yè)產(chǎn)量等，除了考慮增加量外，還會進(jìn)一步分析增加的速度，即增長率。從2001年起，將B景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，看看能否發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？可以借助計算器計算。學(xué)生活動預(yù)測：學(xué)生通過運(yùn)算能夠得到，B景區(qū)游客人次年增長率為常數(shù)，進(jìn)而將其用函數(shù)來描述。教師活動：教師在黑板上利用數(shù)學(xué)符號語言表示出得到這個等式的過程。設(shè)經(jīng)過年后游客人次為2001年的倍，則圖3函數(shù)圖象圖3函數(shù)圖象【設(shè)計意圖】選擇這一實際情境，一是基于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀、信息表征能力以及了解國家經(jīng)濟(jì)水平的現(xiàn)狀；二是引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)據(jù)作出定性和定量的分析，這是數(shù)學(xué)建模的第一步；三是為了通過該實例的解決，回答“指數(shù)函數(shù)是怎樣的函數(shù)模型”這一問題。圖5良渚遺址圖4良渚遺址實例2：展示良渚遺址的圖片，作簡單介紹。圖5良渚遺址圖4良渚遺址（有關(guān)良渚遺址的視頻，在課程結(jié)束后可觀看）圖7良渚遺址出土的玉琮圖6良渚遺址出土文物圖7良渚遺址出土的玉琮圖6良渚遺址出土文物良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)良渚和瓶窯鎮(zhèn)，1936年首次發(fā)現(xiàn)。這里的巨型城址，面積近630萬平方米，包括古城、水壩和多處高等級建筑?？脊艑W(xué)家推測出古城存在時期為公元前3300年—2300年。你知道考古學(xué)家是通過什么來測定遺址的年代嗎？補(bǔ)充課外知識：在考古界通過碳14含量來測定生物樣本的年代已經(jīng)是一種成熟的技術(shù)手段。因為碳14的衰變極有規(guī)律，其精確性可以稱為自然界的“標(biāo)準(zhǔn)時鐘”，當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率）。追問：（1）若衰減率為p，能否刻畫出生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間的關(guān)系嗎？學(xué)生活動預(yù)測：學(xué)生能根據(jù)已知條件，設(shè)死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，把剛死亡的生物體內(nèi)碳14含量看成1個單位，則死亡n年后，生物體內(nèi)碳14含量為。追問：（2）科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，當(dāng)生物死后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”。根據(jù)半衰期的時間，你能確定出p的值嗎？學(xué)生活動預(yù)測：學(xué)生能夠根據(jù)已知條件得出，生物死亡5730年后體內(nèi)的碳14含量為，則，可求出，從而。在這個問題中，生物死亡時間x與碳14含量y之間的函數(shù)解析式為。追問：（3）在這個函數(shù)中，x的取值范圍是什么？學(xué)生活動預(yù)測：學(xué)生能夠根據(jù)x的實際含義知道，。教師可利用GGB畫出函數(shù)圖象。課外知識補(bǔ)充：國家文物局指出:良渚遺址群將成為實證中華五千年文明史的圣地。2012年良渚遺址被列入《中國世界文化遺產(chǎn)預(yù)備名單》。2019年“良渚古城遺址”申報世界文化遺產(chǎn)成功，自此中國世界遺產(chǎn)總數(shù)位居世界第一。目前，在杭州開發(fā)了開放了良渚博物院和美麗州公園，大家有機(jī)會要去參觀一下，親身感受中華五千年的文明。【設(shè)計意圖】通過碳14衰減的規(guī)律，引出用函數(shù)刻畫指數(shù)衰減的問題，為抽象得到指數(shù)函數(shù)作準(zhǔn)備。同時向?qū)W生普及課外知識，進(jìn)行課程思政教育，增強(qiáng)國家文化自信！概念生成，辨析探究教師提問：（1）通過以上兩個實例的分析，從游客人次增長和碳14衰減的圖象看，它們的變化有什么共同特征？教師提問：（2）我們得到了兩個函數(shù)，。它們有什么共同特征？學(xué)生活動預(yù)測：學(xué)生能通過函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)指數(shù)增長和衰減的特點(diǎn)，并通過解析式進(jìn)行歸納概括出指數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，抽象出指數(shù)函數(shù)的定義。在這個過程中學(xué)生可能會聯(lián)想到冪函數(shù)，這時教師可將冪函數(shù)當(dāng)作先行組織者，讓學(xué)生自己總結(jié)出二者的區(qū)別，并形成指數(shù)函數(shù)的定義。教師提問：（3）指數(shù)函數(shù)其中的底數(shù)a的范圍是什么？學(xué)生活動預(yù)測：學(xué)生也許不能一下子準(zhǔn)確的說出指數(shù)函數(shù)底數(shù)a的取值范圍，因此教師要進(jìn)行引導(dǎo)。當(dāng)a=0時，會出現(xiàn)什么情況？當(dāng)a<0時，又會出現(xiàn)什么情況？通過共同分析得出指數(shù)函數(shù)底數(shù)a的取值范圍?！驹O(shè)計意圖】通過分析、比較兩個實例，概括出它們的共同本質(zhì)特征，從而得到指數(shù)函數(shù)概念的本質(zhì)屬性，得出指數(shù)函數(shù)的概念。例題示范，概念運(yùn)用例1：已知指數(shù)函數(shù)【設(shè)計意圖】通過求函數(shù)解析式，并根據(jù)函數(shù)解析式求出不同函數(shù)值，從指數(shù)函數(shù)的對應(yīng)關(guān)系和變化規(guī)律的角度理解指數(shù)函數(shù)的概念。練習(xí)1：判斷下列函數(shù)是否為指數(shù)函數(shù)（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【設(shè)計意圖】通過辨析，呈現(xiàn)正例和反例促進(jìn)學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的深刻理解。練習(xí)2：已知函數(shù)，,求函數(shù)解析式?！驹O(shè)計意圖】利用函數(shù)的不同表達(dá)形式，從不同角度推動學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的理解，進(jìn)一步明確概念，學(xué)會表示指數(shù)函數(shù)。變式訓(xùn)練，鞏固概念例2：（1）在實例1中，如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，A景區(qū)的門票價格為150元，比較15年間A,B兩地旅游收入變化的情況。（2）在實例2中，某生物死亡后，過了10000年，它體內(nèi)碳14的含量衰減為原來的百分之幾？【設(shè)計意圖】在引入概念的兩個實例的基礎(chǔ)上，利用指數(shù)函數(shù)概念進(jìn)一步解決與兩個實例有關(guān)的問題，從問題出發(fā)又回到問題，從而鞏固對概念的理解，體現(xiàn)出課程的完整性。練習(xí)3：設(shè)一位學(xué)生原有的知識含量為1,若該學(xué)生每天可以基于前一天的知識量增長1%，試求出一年后（365天）該學(xué)生的知識量。若該學(xué)生每天基于前一天的知識量下降1%，試求出一年后（