競(jìng)賽專題4方程競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練

【初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題大全】競(jìng)賽專題4方程（競(jìng)賽真題強(qiáng)化訓(xùn)練）一、單選題1．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）從1分、2分、5分3種硬幣中取出100枚，總計(jì)3元，其中2分硬幣枚數(shù)的可能情況有（

）種．A．13 B．16 C．17 D．19【答案】C【解析】【分析】【詳解】設(shè)1分、2分和5分的硬幣分別取了x枚、y枚和z枚，依題意得，得，可見(jiàn)y是4的倍數(shù)，設(shè)，則，解得．因?yàn)閤為非負(fù)整數(shù)，故，即可取中任何一個(gè)，有17種取法，從而y可取中任何一個(gè)，也有17種取法，故選C．2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）小明把棱長(zhǎng)為4的正方體分剖成29個(gè)棱長(zhǎng)為整數(shù)的小正方體，則其中棱長(zhǎng)為1的小正方體有（

）個(gè)．A．22 B．23 C．24 D．25【答案】C【解析】【分析】【詳解】解法一

若分割出棱長(zhǎng)為3的正方體，則余下的均是棱長(zhǎng)為1的正方體，有個(gè)，不滿足題目要求．設(shè)棱長(zhǎng)為2的正方體有x個(gè)，棱長(zhǎng)為1的正方體有y個(gè)，則．故選C．解法二

設(shè)棱長(zhǎng)為的正方體分別有個(gè)，依題意得．因?yàn)槔忾L(zhǎng)為3的正方體至多只有1個(gè)，所以或．當(dāng)時(shí)，上述方程組化為．當(dāng)時(shí)，上述方程組化為，此方程組無(wú)非負(fù)整數(shù)解．故選C．3．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若兩個(gè)不同的自然數(shù)a，b組成的數(shù)對(duì)滿足它們的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)均為兩位數(shù)，且A和G中的一個(gè)可由另一個(gè)交換個(gè)位和十位數(shù)字得到，則稱這樣的自然數(shù)對(duì)為“好數(shù)對(duì)”．那么，滿足條件的好數(shù)對(duì)有（

）對(duì)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】【詳解】解

選A．理由：由題意得則a，b是關(guān)于x的一元二次方程的兩根．解得．從而，是自然數(shù)．設(shè)，則．．要使為完全平方數(shù)，必須或．但，故．所以，．又，故．這就要求是完全平方數(shù)，而，則可能有或．當(dāng)時(shí)，p，q均不為整數(shù)，故．當(dāng)時(shí)，得，此時(shí)，A，G分別為65和56．進(jìn)而求得為．故滿足條件的好數(shù)對(duì)只有1對(duì)．4．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)是（

）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】【詳解】令，則，代入原方程得，即．解出得：．注意到，及，有由①，，即．因，故得，

③或．

④綜合③④，，或．注意到m為整數(shù)，知．代入可得相應(yīng)的四個(gè)值，．可得原方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解：．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）口袋中有20個(gè)球，其中白球9個(gè)，紅球5個(gè)，黑球6個(gè)．現(xiàn)從中任取10個(gè)球，使得白球不少于2但不多于8個(gè)，紅球不少于2個(gè)，黑球不多于3個(gè)，那么上述取法的種數(shù)是（

）．A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】【分析】【詳解】設(shè)取出的球中白球、紅球、黑球的個(gè)數(shù)分別為x，y，z，則，，，．按，1，2，3依次枚舉可得等于，，，；，，，；，，，；，，，共16組解．故選B．二、填空題6．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）在一個(gè)圓形時(shí)鐘表面，表示秒針，表示分針（O為兩針的旋轉(zhuǎn)中心）．若現(xiàn)在的時(shí)間恰好是12點(diǎn)整，則經(jīng)過(guò)__________秒后，的面積第一次達(dá)到最大．【答案】【解析】【分析】【詳解】設(shè)中，邊上的高為h，則，所以．當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的面積最大．設(shè)經(jīng)過(guò)t秒后，與第一次垂直，因?yàn)槊腌?秒旋轉(zhuǎn)，分鐘1秒旋轉(zhuǎn)，故有，解得．故應(yīng)填．7．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）方程的所有正整數(shù)解組為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】【詳解】因?yàn)?08是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方被4除余0，奇數(shù)的平方被4除余1，所以，x，y都是偶數(shù)．設(shè)，則．同上可知，a，b都是偶數(shù)．設(shè)，則．所以，c，d都是偶數(shù)．設(shè)，則．于是，，其中，s，t都是偶數(shù)．所以，．由此，可能為1，3，5，7，9，進(jìn)而為337，329，313，289，257，故只能是．因此，．于是，．所以，．8．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）a，b，c都是正整數(shù)，且滿足，則的最大值是_________．【答案】3982【解析】【分析】【詳解】由條件，得，

①．

②因?yàn)?993是質(zhì)數(shù)，所以由②，得．將代入①，得，即，解得．從而得到．所以兩組解是：．因此，的最大值是．9．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若a，b，c，d為非負(fù)整數(shù)，且，則_________．【答案】56【解析】【分析】【詳解】因?yàn)?993是質(zhì)數(shù)，與都是正整數(shù)，所以與分別取值1與1993．若．（1）．可知或．因此．（2）．若，則．所以c，d中至少有一個(gè)大于31．又由于．因此，若設(shè)c為c，d中較大的一個(gè)，則．依次取，可得只有是完全平方數(shù)．所以或，則．因此，．當(dāng)，同樣可得所求和為56．10．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若x為整數(shù)，，且是一個(gè)完全平方數(shù)，則整數(shù)x的值等于______________．【答案】20或119【解析】【分析】【詳解】設(shè)，則．令，則．其為佩爾方程，其基本解為．其全部正整數(shù)解可由得到．其中，．故或119．11．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）m，n為自然數(shù)，且滿足，則________．【答案】84【解析】【分析】【詳解】原方程可化為，即．因?yàn)榕c奇偶性相同，且，所以解得．12．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)方程的整數(shù)解為，則________．【答案】993012【解析】【分析】【詳解】由方程可知，可得或或或解得或或或所以．13．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）整數(shù)x，y滿足，則________．【答案】960【解析】【分析】【詳解】理由：原方程可化為，即．因?yàn)椴荒鼙?整除，不能被3整除，所以即從而．14．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）整數(shù)a，b滿足，則________．【答案】15【解析】【分析】【詳解】原方程可化為，即．因?yàn)閍，b均為整數(shù)，所以亦為整數(shù)．又因?yàn)椴荒鼙?整除，不能被2整除．所以，只有解得．故．15．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知a，b為整數(shù)，且滿足，則_______．【答案】3【解析】【分析】【詳解】化簡(jiǎn)方程，得，則．因?yàn)閍，b為整數(shù)且不相等，所以只可能取值1，4或．不妨設(shè)，則或所以．故．16．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）方程的整數(shù)解_________．【答案】或【解析】【分析】【詳解】因?yàn)?，所以等于兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的積．當(dāng)時(shí)，x與互質(zhì)，且不存在兩個(gè)完全立方數(shù)使它們的差為1，所以原方程無(wú)解．同理，時(shí)，原方程也無(wú)解．于是x只能取，0，1．經(jīng)試驗(yàn)可知，原方程有兩組解：或．17．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）方程中的x，y均取正整數(shù)時(shí)，得出的解叫做方程的一個(gè)正整數(shù)解，則這個(gè)方程的正整數(shù)解有_______個(gè)．【答案】3【解析】【分析】【詳解】理由：原方程可化為，得，即或或所以共有3個(gè)整數(shù)解．18．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）方程有________組正整數(shù)解．【答案】2【解析】【分析】【詳解】理由：由原方程，得，則，所以是6的約數(shù)．因?yàn)榛?，則可得所以共有2組正整數(shù)解．19．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）不同的3個(gè)質(zhì)數(shù)a，b，c滿足，則________．【答案】222【解析】【分析】【詳解】由，得，所以2000能被a整除．又因?yàn)閍是質(zhì)數(shù)，所以a只能取2或5．當(dāng)時(shí)，，即．所以．當(dāng)時(shí)，．因?yàn)?，所以b，c無(wú)整數(shù)解．所以．20．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知正整數(shù)m和n有大于1的最大公約數(shù)，并且滿足，則________．【答案】196【解析】【分析】【詳解】理由：設(shè)k是m，n的最大公約數(shù)，則m和n可以表示為（，a，b均為正整數(shù)）．于是，．因?yàn)榍?與53都是質(zhì)數(shù)，，所以且，即．由a，b是正整數(shù)，得．所以．故．21．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）方程的正整數(shù)解共有__________對(duì)．【答案】4【解析】【分析】【詳解】理由：，即．顯然不滿足方程，故．因此．從而．由于，故取，分別可得相應(yīng)的正整數(shù)y，故共有4對(duì)正整數(shù)解．22．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若正整數(shù)x，y滿足方程，則_________．【答案】63【解析】【分析】【詳解】理由：不妨設(shè)x為奇數(shù)，y為偶數(shù)．因?yàn)榈膫€(gè)位數(shù)字是7，所以的個(gè)位數(shù)字必是1，6．則x，y的個(gè)位數(shù)字必是1，4或1，6或9，4或9，6．又1997被4除余1，則x，y除以4的余數(shù)必為1，0．由知，因此x的可能值是1，9，21，29，41．經(jīng)檢驗(yàn)，僅當(dāng)時(shí)，有．此時(shí)．23．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）若是整數(shù)，則整數(shù)a的最小值是________．【答案】－500【解析】【分析】【詳解】理由：先考慮a是自然數(shù)的情況．設(shè)，則，即．由于與的奇偶性相同，而它們的乘積為偶數(shù)，因此與同為偶數(shù)．而是唯一能分解成兩個(gè)偶數(shù)乘積的情況，則解得因?yàn)闈M足是整數(shù)的最大自然數(shù)是500，所以滿足是整數(shù)的最小整數(shù)是．24．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)a，b，c，d為正整數(shù)，且，則等于________．【答案】601【解析】【分析】【詳解】理由：因?yàn)椋裕驗(yàn)閍，b，c，d為正整數(shù)，所以可設(shè)，其中m，n為正整數(shù)，則，即有．又，則解得因此，從而．25．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）方程的所有不同的整數(shù)解共有________組．【答案】4【解析】【分析】【詳解】理由：不妨先設(shè)，原方程變形為．因，所以，解得，無(wú)整數(shù)解．同理，均無(wú)整數(shù)解．而有整數(shù)解有整數(shù)解若，還有兩組整數(shù)解所以，共有4組整數(shù)解．26．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知三個(gè)質(zhì)數(shù)m，n，p的乘積等于這三個(gè)質(zhì)數(shù)的和的5倍，則________．【答案】78【解析】【分析】【詳解】根據(jù)題意，得．因?yàn)閙，n，p都是質(zhì)數(shù)，所以必有一個(gè)是5，不妨設(shè)，則，即．從而有或解得或因此，．27．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）表示不大于x的最大整數(shù)，方程的所有實(shí)數(shù)解為_(kāi)______．【答案】，．【解析】【分析】【詳解】由及已知方程得．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，．解得．經(jīng)檢驗(yàn)，只有是已知方程的解．三、解答題28．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都是整數(shù)，并且其面積數(shù)與周長(zhǎng)數(shù)恰好相等，求它的長(zhǎng)和寬．【答案】長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6，寬為3【解析】【分析】【詳解】設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，根據(jù)題意，得，即．因?yàn)閍，b都是正整數(shù)，且，所以解得．因此，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為6，寬為3．29．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）有若干個(gè)戰(zhàn)士，恰好組成一個(gè)八列長(zhǎng)方形隊(duì)列．若在隊(duì)列中再增加120人或從隊(duì)列中減去120人，都能組成一個(gè)正方形隊(duì)列，問(wèn)原方形隊(duì)列共有多少戰(zhàn)士？【答案】原有戰(zhàn)士904人或136人【解析】【分析】【詳解】設(shè)原有戰(zhàn)士人，則由已知與均為完全平方數(shù)，可得其中m，n為正整數(shù)．兩式相減，得，即．由原方程組可知，m，n能被4整除，所以與能被4整除，則可得或解得或從而可求得分別為904和136．故原有戰(zhàn)士904人或136人．30．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）用正方形的地磚不重疊、無(wú)縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長(zhǎng)為x厘米規(guī)格的地磚，恰需n塊；若選用邊長(zhǎng)為y厘米規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用124塊，已知x，y，n都是整數(shù)，且x，y互質(zhì)，試問(wèn)這塊地有多少平方米？【答案】【解析】【分析】【詳解】設(shè)這塊地的面積為S，則，即．因?yàn)閤，y，n都是自然數(shù)，所以，且被整除．又x，y互質(zhì)，則互質(zhì)，從而互質(zhì)．故124被整除．由于，注意到與具有相同的奇偶性，且．因此或因?yàn)閤，y互質(zhì)，所以．于是．所以．這塊地有．31．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）甲、乙兩個(gè)糧庫(kù)原各存有整數(shù)袋的糧食，如果從甲庫(kù)調(diào)90袋到乙?guī)?，則乙?guī)齑婕Z是甲庫(kù)的2倍；如果從乙?guī)煺{(diào)若干袋到甲庫(kù)，則甲庫(kù)存糧是乙?guī)斓?倍．問(wèn)甲庫(kù)原來(lái)最少存糧多少袋？【答案】153【解析】【分析】【詳解】假設(shè)甲庫(kù)原來(lái)存糧a袋，乙?guī)煸瓉?lái)存糧b袋，依題意得．

①假設(shè)乙?guī)煺{(diào)c袋到甲庫(kù)，則甲庫(kù)存糧是乙?guī)斓?倍，即．

②由①得．

③將③代入②，并整理得，于是．又a，c是正整數(shù)，從而，即；并且7整除，又因4與7互質(zhì)，所以7整除．經(jīng)檢驗(yàn)知a的最小值是153，所以甲庫(kù)原來(lái)最少存糧153袋．32．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）某歌舞團(tuán)在銀星劇院演出的票價(jià)為5元到10元多種．某團(tuán)體需購(gòu)票價(jià)為8元和10元的票共160張，其中票價(jià)為10元的票數(shù)不少于票價(jià)為8元的票數(shù)的2倍．問(wèn)：這兩種票各買多少?gòu)埶璧腻X最少？最少需要多少錢？【答案】購(gòu)買8元票53張，10元票107張時(shí)所花的錢最少，最少需要1974元．【解析】【分析】【詳解】設(shè)購(gòu)買8元的票為x張，則購(gòu)買10元的票為張，依題意，得，．要使買票的錢最少，必須8元的票買得最多，但8元的票最多只能買53張，從而10元的票買107張，所需的錢為（元）．故購(gòu)買8元票53張，10元票107張時(shí)所花的錢最少，最少需要1974元．33．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）數(shù)碼不同的兩位數(shù)將其數(shù)碼順序交換后，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，這兩個(gè)兩位數(shù)的平方差是完全平方數(shù)．求所有這樣的兩位數(shù)．【答案】65或56【解析】【分析】【詳解】設(shè)原兩位數(shù)為，由題意得，其中k是自然數(shù)．則，故有解得或因此所求的兩位數(shù)是65或56．34．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）設(shè)一菱形的邊長(zhǎng)是一個(gè)兩位數(shù)對(duì)調(diào)這個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)碼與十位數(shù)碼的位置得到的新數(shù)恰為該菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)的一半．若該菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)也是整數(shù)則該菱形的邊長(zhǎng)為_(kāi)________．【答案】65【解析】【分析】【詳解】理由：菱形的對(duì)角線互相垂直，若設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)分別為m，n，則，即．設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為，則菱形的一條對(duì)角線長(zhǎng)的一半為．而，x，y是自然數(shù)，且菱形的另一條對(duì)角線長(zhǎng)也是整數(shù)，因此一定是完全平方數(shù)．因?yàn)?，所以可以?1或44．當(dāng)時(shí)，解得當(dāng)時(shí)，沒(méi)有滿足條件的解．所以該菱形的邊長(zhǎng)為65．35．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知p，q均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個(gè)正整數(shù)m，n，使得，則的值為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】【詳解】因?yàn)閝為質(zhì)數(shù)，且，所以m，n中必有一個(gè)為1．不妨設(shè)，則．所以q，p是連續(xù)自然數(shù)，又都是質(zhì)數(shù)，因此．于是，從而．36．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）一塊地能被n塊相同的正方形地磚所覆蓋，如果所用較小的相同正方形地磚，那么需塊這樣的地磚才覆蓋該塊地．已知n及地磚的邊長(zhǎng)都是整數(shù)，求n．【答案】324【解析】【分析】【詳解】設(shè)大的地磚的邊長(zhǎng)為x，小的地磚的邊長(zhǎng)為y，則x，y均為正整數(shù)，，且滿足：．

①若x，y有公因數(shù)d，設(shè)，則都是正整數(shù)，且互質(zhì)．所以①式變成，即，所以．又與互質(zhì)，則是的約數(shù)．而與的奇偶性相同，且，所以或因?yàn)榛ベ|(zhì)，所以，則．解得．37．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長(zhǎng)度是1997，問(wèn)另一條直角邊的長(zhǎng)是多少？【答案】1994004【解析】【分析】【詳解】設(shè)另一條直角邊長(zhǎng)是x，斜邊長(zhǎng)是y，則，即．由于y，x均為自然數(shù)，又1997為質(zhì)數(shù)，，且同奇偶，因此解得．所以另一條直角邊長(zhǎng)是1994004．38．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）求方程的正整數(shù)解．【答案】共有15組解，具體見(jiàn)解析【解析】【分析】【詳解】因?yàn)閤，y，z是正整數(shù)，并且，所以x，y，z都大于1．不妨設(shè)，則，

于是，即，得．從而有或3．當(dāng)時(shí)．，即，得．所以或5或6．當(dāng)時(shí)，由，得，所以．所以或4．于是，有因此，當(dāng)時(shí)，共有四組解．從而得到下表中所列的15組解：x22441212266336344y41221242662363434z1241222462663344339．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）求方程的正整數(shù)解．【答案】，，【解析】【分析】【詳解】將原方程看作x的二次方程，則．因?yàn)榉匠逃袑?shí)數(shù)解，所以，，即．又，則．取正整數(shù)得．當(dāng)時(shí)，原方程化為，即，解得（舍去）或，得當(dāng)時(shí)，原方程化為，即，解得或．得40．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）試求滿足方程的非負(fù)整數(shù)x，y，z．【答案】【解析】【分析】【詳解】若，則．當(dāng)時(shí)，．求得一組解．若，設(shè)（，且a為整數(shù)），，則，．因此，或，此時(shí)原方程無(wú)整數(shù)解．以上考查了x是非負(fù)奇數(shù)．設(shè)（，且a為整數(shù)）．．則有．所以．因此當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，設(shè)（，b為整數(shù)），則，所以，得．因此．41．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）當(dāng)時(shí)，求方程的正整數(shù)解．【答案】方程的正整數(shù)解為：和【解析】【分析】【詳解】首先，有，且．故．從而，或3．若，則．故．從而，．由，相應(yīng)得（舍去）．若，則．故．從而，（舍去）．由，相應(yīng)得（舍去）．故方程的正整數(shù)解為：和．42．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）已知關(guān)于x，y的方程組有整數(shù)解．求滿足條件的質(zhì)數(shù)p．【答案】．【解析】【分析】【詳解】由及p為質(zhì)數(shù)知或或或（1）當(dāng)時(shí)，將其代入中，得，即．解得或（舍）．（2）當(dāng)或或時(shí)，經(jīng)計(jì)算可知沒(méi)有符合條件的質(zhì)數(shù)p．所以，符合條件的質(zhì)數(shù)．43．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）求所有的正整數(shù)m，n，使得是一個(gè)質(zhì)數(shù)，且．【答案】當(dāng)或4時(shí)，或17均為質(zhì)數(shù)，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的n為7或13．【解析】【分析】【詳解】由已知條件知．注意到是一個(gè)質(zhì)數(shù)，且或，故不是3的倍數(shù)．因此，（1）若將兩式相減得，不可能．（2）若將兩式相減得，故．（3）若將兩式相減得，故．（4）若將兩式相減得，故．當(dāng)或4時(shí)，或17均為質(zhì)數(shù)，此時(shí)，對(duì)應(yīng)的n為7或13．故滿足條件的．將兩式相減得，不可能．44．（2021·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）解方程．【答案】．【解析】【分析】【詳解】設(shè)，則有，即．

①，即．

②而原方程化為．

③由觀察法知③有特解，故③的一般解為