山東省煙臺市福山第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGE17-福山第一中學(xué)2024-2025學(xué)年其次學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)試卷一、選擇題1.雙曲線和有（）A.相同焦點 B.相同漸近線 C.相同頂點 D.相等的離心率【答案】A【解析】【分析】對于已知的兩條雙曲線，有，則半焦距相等，且焦點都在軸上，由此可得出結(jié)論.【詳解】解：對于已知的兩條雙曲線，有，半焦距相等，且焦點都在軸上，它們具有相同焦點.故選：A.【點睛】本題考查雙曲線的定義與性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2.已知是雙曲線：上的一點，，是的兩個焦點，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題知，，所以==，解得，故選A.考點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；向量數(shù)量積坐標(biāo)表示；一元二次不等式解法.3.平面內(nèi)有兩個定點和，動點滿意，則動點的軌跡方程是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知條件知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，從而寫出軌跡的方程即可.【詳解】解：由可知，點的運動軌跡是以，為焦點的雙曲線右支，，，，.所以動點的軌跡方程是.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線的定義，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于基礎(chǔ)題.4.已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關(guān)系，進而得雙曲線的離心率方程.【詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.【點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡潔幾何性質(zhì)應(yīng)用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.5.已知橢圓的離心率為.雙曲線的漸近線與橢圓有四個交點，以這四個焦點為頂點的四邊形的面積為16，則橢圓的方程為A. B.C. D.【答案】D【解析】【詳解】由題意，雙曲線的漸近線方程為，∵以這四個交點為頂點的四邊形為正方形，其面積為16，故邊長為4，∴（2，2）在橢圓C：上，∴，∵，∴，∴，∴∴橢圓方程為：.故選D.考點：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)；雙曲線的幾何性質(zhì).6.在橢圓內(nèi)，通過點，且被這點平分的弦所在的直線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】試題分析：設(shè)以點為中點的弦的端點分別為，則，又，兩式相減化簡得，即以點為中點的弦所在的直線的斜率為，由直線的點斜式方程可得，即，故選A.考點：直線與橢圓的位置關(guān)系.7.已知橢圓兩個焦點為,且,弦過點,則的周長為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計算即可得到所求值．【詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a==，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故選D．【點睛】本題考查三角形的周長的求法，留意運用橢圓的定義和方程，定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．8.已知點在橢圓上，、分別是橢圓的左、右焦點，的中點在軸上，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可得，設(shè)P，且，所以=，選A.【點睛】若，是橢圓的左、右焦點，且，則點P的坐標(biāo)為．9.設(shè)P，Q分別是圓和橢圓上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離.【詳解】圓的圓心為M(0,6)，半徑為，設(shè)，則，即，∴當(dāng)時，，故的最大值為.故選C.【點睛】本題考查了橢圓與圓的綜合，圓外隨意一點到圓的最大距離是這個點到圓心的距離與圓的半徑之和，依據(jù)圓外點在橢圓上，即可列出橢圓上一點到圓心的距離的解析式，結(jié)合函數(shù)最值，即可求得橢圓上一點到圓上一點的最大值.10.設(shè)是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點．若，則雙曲線的離心率是（）A. B.2 C. D.【答案】C【解析】試題分析：雙曲線的漸近線為，到一條漸近線的距離，則，在中，，則，設(shè)的傾斜角為，則，，在中，，在中，，而，代入化簡可得到，因此離心率考點：雙曲線的離心率；11.由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，如圖所示，其中，．由右橢圓的焦點和左橢圓的焦點，確定叫做“果圓”的焦點三角形，若“果圓”的焦點為直角三角形．則右橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)“果圓”關(guān)于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，由是直角三角形，得出，.再建立關(guān)于，，之間的關(guān)系式，求出結(jié)果.【詳解】解：連接，，依據(jù)“果圓”關(guān)于軸對稱，可得是以為底的等腰三角形，是直角三角形，，.又和分別是橢圓和的半焦距，，即.，.即，.故選：B.【點睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡潔幾何性質(zhì)，屬于中檔題.12.如圖，是橢圓與雙曲線的公共焦點，分別是在其次、四象限的公共點，若四邊形為矩形，則的離心率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】試題分析：由橢圓與雙曲線的定義可知，|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a(其中2a為雙曲線的長軸長)，∴|AF2|＝a＋2，|AF1|＝2－a，又四邊形AF1BF2是矩形，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2)2，∴a＝，∴e＝＝.考點：橢圓的幾何性質(zhì)．二、填空題13.設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，點在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為．【答案】【解析】試題分析：在中，，，設(shè)，則.考點：橢圓的定義.【易錯點晴】本題的考點是橢圓定義的考查，即的等式關(guān)系和幾何意義.由給定的條件可知三角形不僅是直角三角形，也可以得到其中一個銳角，由此可用來表示直角三角形的三個邊，再依據(jù)橢圓的定義便可建立等式關(guān)系，求得橢圓的離心率.橢圓中探討的關(guān)系不僅選擇填空會考有時解答題也會出，它是探討橢圓基礎(chǔ).14.已知的頂點，分別為雙曲線左、右焦點，頂點在雙曲線上，則的值等于__________．【答案】【解析】【分析】由題意得,，再利用正弦定理進行求解即可.【詳解】解：由題意得,，.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，結(jié)合了正弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題.15.已知雙曲線，的焦點分別在軸，軸上，漸近線方程為，離心率分別為，．則的最小值為___________．【答案】【解析】分析】依據(jù)雙曲線的漸近線方程和離心率的關(guān)系可得，，再利用基本不等式求解即可.【詳解】解：由漸近線方程為可知，，,，，.第一次取等號的條件為，即，其次次取等號條件為，即.的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查雙曲線的方程和基本性質(zhì)，離心率的求法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.16.已知點為橢圓的左焦點，點為橢圓上隨意一點，點的坐標(biāo)為，則取最大值時，點的坐標(biāo)為．【答案】【解析】試題分析：橢圓的左焦點為，右焦點為，依據(jù)橢圓的定義，，∴，由三角形的性質(zhì)，知，當(dāng)是延長線與橢圓的交點時，等號成立，故所求最大值為．考點：橢圓的定義，三角形的性質(zhì)．三、解答題17.已知、分別是橢圓左、右焦點，右焦點到上頂點的距離為，若．求此橢圓的方程;直線與橢圓交于，兩點，若弦的中點為求直線的方程．【答案】；.【解析】【分析】由已知條件得，由此求出橢圓方程；設(shè)，，再結(jié)合弦的中點為，求直線的方程.【詳解】由題意得，所以，所以．設(shè)，，，兩點在橢圓上，，，弦的中點為，，，，直線的方程為，即.【點睛】本題考查橢圓方程和直線方程的求法，屬于中檔題.18.已知橢圓左右焦點分別為，，若橢圓上的點到，的距離之和為，求橢圓的方程和焦點的坐標(biāo)；若、是關(guān)于對稱的兩點，是上隨意一點，直線，的斜率都存在，記為，，求證：與之積為定值．【答案】，焦點，；證明見解析.【解析】【分析】先依據(jù)點到到，的距離之和求得，再把點代入橢圓方程求得，則可得，進而求得橢圓的方程和焦點坐標(biāo)；設(shè)點的坐標(biāo)為，依據(jù)點的對稱性求得的坐標(biāo)，代入橢圓方程設(shè)出點的坐標(biāo)，利用斜率公式分別表示出和的斜率，求得二者乘積的表達式，把式子代入結(jié)果為常數(shù)，原式得證.【詳解】解：橢圓的焦點在軸上，由橢圓上點到到，的距離之和為，得，即.點在橢圓上，，得，則.橢圓的方程為，焦點為，.設(shè)點，則點，其中.設(shè)點，由，，可得，將和代入，得.故與之積為定值.【點睛】本題主要考查橢圓得標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，直線斜率求法，屬于中檔題.19.已知圓圓心為，定點，動點在圓上，線段的垂直平分線交線段于點．求動點的軌跡的方程；若點是曲線上一點，且，求的面積．【答案】；.【解析】【分析】由已知，故，即點軌跡是以、為焦點的橢圓，依據(jù)，，得出橢圓方程；由知，又因為，得出，進而求出，算出面積即可.詳解】由已知，故點軌跡是以、為焦點的橢圓.設(shè)其方程為則即，又，故．點的軌跡的方程為：．由知.又.有，．【點睛】本題考查橢圓得方程求法，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.20.如圖所示，橢圓，、，為橢圓的左、右頂點．設(shè)為橢圓的左焦點，證明:當(dāng)且僅當(dāng)橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值．若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．若直線與中所述橢圓相交于、兩點（、不是左、右頂點），且滿意，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．【答案】見解析；；見解析，.【解析】【分析】設(shè)點的坐標(biāo)為，令，由點在橢圓上，得，則，代入式子，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和的取值范圍，求出函數(shù)的最值以及對應(yīng)的的取值，即可求證；由已知與，得，，解得，，再由求出，進而求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；假設(shè)存在滿意條件的直線，設(shè)，，聯(lián)立直線方程和橢圓方程進行整理，化簡出一元二次方程，再利用韋達定理列出方程組，依據(jù)題意得,代入列出關(guān)于的方程，進行化簡求解.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)為，令．由點在橢圓上，得，則，代入，得，其對稱軸方程為，由