導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第07講 同構(gòu)法妙解不等式恒成立問題（含答案及解析）

第07講同構(gòu)法妙解不等式恒成立問題【典型例題】例1．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．例2．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，例3．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，，不等式恒成立，則的最大值為A． B． C． D．例4．設(shè)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．例5．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是A． B． C． D．例6．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若不等式，對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．例7．已知函數(shù)，．（1）若的最大值是0，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若對于定義域內(nèi)任意，恒成立，求的取值范圍．例8．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有交點(diǎn)，求的最大值；（3）若的最小值為0，求的最大值．【同步練習(xí)】一．選擇題1．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．2．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，3．若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．4．對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．5．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，6．已知是方程的實(shí)根，則關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確的是A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，函數(shù)，若，對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．二．填空題8．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是．三．解答題9．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．10．已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．11．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對任意，恒有不等式成立．①求實(shí)數(shù)的值；②證明：．12．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求的最小值．13．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．14．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若對，都，，使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．15．已知函數(shù)，．（1）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，求的最小值；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，若恒成立，求的取值范圍．

第07講同構(gòu)法妙解不等式恒成立問題【典型例題】例1．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，即為，設(shè)，，，令，可得，由指數(shù)函數(shù)和反比例函數(shù)在第一象限的圖象，可得和有且只有一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減．即有在處取得極小值，且為最小值．即有，令，可得，．則當(dāng)時(shí)，不等式恒成立．則的最小值為．另解1：由于與互為反函數(shù)，故圖象關(guān)于對稱，考慮極限情況，恰為這兩個(gè)函數(shù)的公切線，此時(shí)斜率，再用導(dǎo)數(shù)求得切線斜率的表達(dá)式為，即可得的最小值為．另解2：不等式恒成立，即為，即有，可令，可得在遞增，由選項(xiàng)可得，所以，若，則，所以，即有，由的導(dǎo)數(shù)為，當(dāng)時(shí)，遞減．時(shí)，遞增，可得時(shí)，取得最大值．則，的最小值為．故選：．例2．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C．， D．，【解析】解：因?yàn)?，不等式成立，即，轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即恒成立，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，設(shè)，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)，函數(shù)取得最大值（e），所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，，故選：．例3．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，，不等式恒成立，則的最大值為A． B． C． D．【解析】解：因?yàn)閷θ我獾?，，不等式恒成立，所以，即，令，，則，故在上單調(diào)遞增，由題意得，所以，即對任意的，恒成立，故只需，易得在，上單調(diào)遞增，故（e），所以．故選：．例4．設(shè)，若對任意的，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：對任意的，不等式恒成立，即恒成立，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，原問題等價(jià)于，則，設(shè)，則，令，解得，易知，，故．故選：．例5．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的最大值是A． B． C． D．【解析】解：由題意，令，則在是恒大于0的，在，是遞增函數(shù)，可得為（e）在恒成立即可．實(shí)數(shù)，在，是遞減函數(shù)，（e），即．解得：．的最大值為．故選：．例6．已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）若不等式，對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?，，?分）令，則，（2分）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（3分）時(shí)，取得極小值即最小值（1），在恒成立，（4分）在單調(diào)遞增；（5分）（Ⅱ）不等式等價(jià)于，（6分）設(shè)，即，，（7分）當(dāng)，，在是減函數(shù)，，，在是增函數(shù)，（8分），，（9分）當(dāng)時(shí)，，且在是減函數(shù)，則式，令，則，（10分）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，（11分）（e），，又，（12分）例7．已知函數(shù)，．（1）若的最大值是0，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）若對于定義域內(nèi)任意，恒成立，求的取值范圍．【解析】解：（1）的導(dǎo)數(shù)為，由的最大值是0，可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，可得在處取得最大值，且為，即，則，導(dǎo)數(shù)為，可得函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，且（e），可得在處的切線方程為，化為；（2）由于在恒成立，即為，即在恒成立，設(shè)，，設(shè)，，即在遞增，由，（1），即存在，，使得，即，當(dāng)時(shí)，，，遞減；當(dāng)時(shí)，，，遞增．則，又因?yàn)?，可得，則，可得，考慮函數(shù)在遞增，可得，即，所以，即有，所以的取值范圍是，．例8．已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最值；（2）若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與的圖象有交點(diǎn)，求的最大值；（3）若的最小值為0，求的最大值．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以的最小值為（1），無最大值．（2）由題意得方程有正實(shí)數(shù)解，兩邊同取對數(shù)得：，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以（e），所以的最大值為．（3）方法一由題得恒成立，且能取等號，即且可取等號，由（2）解法提示，令，兩邊同取對數(shù)得，所以恒成立，且等號成立，由（1）可知（1）且當(dāng)時(shí)等號成立，即時(shí)，且可取等號，由（2）結(jié)論可知，．方法二由題得恒成立，且能取等號，即且可取等號，下面證明不等式令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，所以，即，當(dāng)時(shí)取等號，所以，當(dāng)，即時(shí)取等號，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以（e），所以．【同步練習(xí)】一．選擇題1．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的正實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為A． B． C． D．【解析】解：，，，即，當(dāng)時(shí)，，恒成立，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，恒成立，當(dāng)時(shí)，遞增，則不等式恒成立等價(jià)于恒成立，即，恒成立，，設(shè)，，在，上遞增，在，遞減，（e），故選：．2．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．， B．， C．， D．，【解析】解：依題意，，即，即，設(shè)，，則在上單調(diào)遞增，在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，，則．故選：．3．若對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C．， D．【解析】解：令，則，．不等式恒成立，①當(dāng)時(shí)，，恒成立；②當(dāng)時(shí)，令，，在，單調(diào)遞增，即等價(jià)于，在，恒成立．即，在，恒成立．令，則，可得．在遞增，在遞減，（e），，的取值范圍為．故選：．4．對任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為A． B． C． D．【解析】解：對任意的，不等式恒成立，即恒成立，函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又時(shí)，，原問題等價(jià)于恒成立，則，即在恒成立，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，則（1），故．即．另解：，等價(jià)為，設(shè)，，可得在遞增，則，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，可得，可得，即有，由的導(dǎo)數(shù)為，可得時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，可得處取得最大值，所以．故選：．5．設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對恒成立，則的取值范圍為A．， B．， C．， D．，【解析】解：對恒成立，即，即，令，，則，故在單調(diào)遞增，故，故，問題轉(zhuǎn)化為，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），故，故選：．6．已知是方程的實(shí)根，則關(guān)于實(shí)數(shù)的判斷正確的是A． B． C． D．【解析】解：令，得，其中，在等式兩邊同時(shí)除以得，，即，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，根據(jù)題意，若是方程的實(shí)根，則，即，所以，，因此，，故選：．7．已知函數(shù)，，函數(shù)，若，對恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為A．， B．， C． D．【解析】解：，對恒成立，即，化為：，令，，，，可得時(shí)，函數(shù)取得極小值即最小值，（1），恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，，，即，令，，，可得時(shí)，函數(shù)取得極大值即最大值．．故選：．二．填空題8．設(shè)實(shí)數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則的取值范圍是．【解析】解：由，，時(shí)，遞增，而由，可解得，即，即的反函數(shù)為，由互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，可得不等式恒成立，只需不等式恒成立，則，即，設(shè)，，可得，則時(shí)，，遞增；時(shí)，，遞減．則在處取得極大值，且為最大值，故，故答案為：，．三．解答題9．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若，求的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，（1），（1），曲線在點(diǎn)，（1）處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，曲線在點(diǎn)，（1）處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積．（2）方法一：由，可得，即，即，令，則，在上單調(diào)遞增，，即，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），，，故的范圍為，．方法二：由可得，，，即，設(shè)，恒成立，在單調(diào)遞增，，，即，再設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），，即，則，此時(shí)只需要證，即證，當(dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不成立，綜上所述的取值范圍為，．方法三：由題意可得，，，易知在上為增函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，（1），，存在使得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，（1），不滿足題意，②當(dāng)時(shí)，，，，令，，易知在上為增函數(shù)，（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，（1），即，綜上所述的取值范圍為，．方法四：，，，，易知在上為增函數(shù)，在上為增函數(shù)，在0，上為減函數(shù)，與在0，上有交點(diǎn)，存在，使得，則，則，即，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，設(shè)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且（1），當(dāng)，時(shí)，，，時(shí)，，設(shè)，，，恒成立，在，上單調(diào)遞減，（1），當(dāng)時(shí)，，，．方法五：等價(jià)于，該不等式恒成立．當(dāng)時(shí)，有，其中．設(shè)（a），則（a），則（a）單調(diào)遞增，且（1）．所以若成立，則必有．下面證明當(dāng)時(shí)，成立．設(shè)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，即，把換成得到，，．，當(dāng)時(shí)等號成立．綜上，．10．已知函數(shù)，（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），，．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)函數(shù)，若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1），，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，故（1），又，，所以，故在上單調(diào)遞增，（2）由可得，，故，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增且（1），故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，若，因?yàn)?，若，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，所以，綜上可得，即在上恒成立，設(shè)，，，故在上單調(diào)遞增，所以（1），故的范圍11．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)恒有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若對任意，恒有不等式成立．①求實(shí)數(shù)的值；②證明：．【解析】解：（1），，則．當(dāng)時(shí)，，故單調(diào)遞增，故不可能存在兩個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，有唯一解，此時(shí)，則．注意到，因此．（2）①當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，的值域?yàn)?，不符合題意；當(dāng)時(shí)，則，也不符合題意．當(dāng)時(shí)，由（1）可知，，故只需．令，上式即轉(zhuǎn)化為，設(shè)，則，因此在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而（1），所以．因此，，從而有．故滿足條件的實(shí)數(shù)為．②證明：由①可知，因而只需證明：，恒有．注意到前面已經(jīng)證明：，因此只需證明：．當(dāng)時(shí)，恒有，且等號不能同時(shí)成立；當(dāng)時(shí)，設(shè)，則，當(dāng)，時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，且，因而，時(shí)恒有；從而，時(shí)，單調(diào)遞減，從而（1），即．故．12．已知實(shí)數(shù)，設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（Ⅱ）若對任意，不等式恒成立，求的最小值．【解析】解：（Ⅰ）時(shí)，，，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在遞增，故無極大值，極小值是；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，易知不等式恒成立，時(shí)，由題設(shè)得不等式，即恒成立，設(shè)，則由，知在遞增，于是，時(shí)，由知，即在恒成立，故所求的最小值即為函數(shù)的最大值，，故時(shí)，，遞增，時(shí)，，函數(shù)遞減，綜上，（e）．13．已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】（1），．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．從而的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，．（4分）（2），恒成立，即恒成立當(dāng)時(shí)，顯然成立；（6分）當(dāng)時(shí)，即恒成立，即恒成立，即，即，（8分）由知，，由①可知，，即．令，，，即在，上為增函數(shù)，（e），，綜上，，．（12分）14．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若對，都，，使恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】證明：（1）當(dāng)時(shí)，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，所以，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且（1），所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，有，所以當(dāng)時(shí)，．解：（2）因?yàn)?，，使恒成立，令（b），只需（b），即在上恒成立，整理得．，設(shè)，則，設(shè)，又，可得時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，有最小值，所以在上單調(diào)遞增