導(dǎo)數(shù)壓軸專題突破-第29講 三次函數(shù)問題（含答案及解析）

第29講三次函數(shù)問題【典型例題】例1．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對稱中心．若函數(shù)，則A． B． C．8084 D．8088例2．設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，，其中滿足．（1）函數(shù)的對稱中心為；（2）現(xiàn)已知當(dāng)直線和的圖象交于，，，，，三點(diǎn)時(shí)，的圖象在點(diǎn)，點(diǎn)處的切線總平行，則過點(diǎn)可作的條切線．例3．已知函數(shù)．（1）求在區(qū)間，上的最大值；（2）若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍．例4．已知函數(shù)，其中，為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在，上的最小值為，求的值；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若曲線上存在一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處的切線與經(jīng)過點(diǎn)的另一條切線互相垂直，求的取值范圍．例5．已知函數(shù)，．（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（2）若，且有三個(gè)不同的零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若，，試討論是否存在，，，使得．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知直線與曲線相交，交點(diǎn)依次為，，，且，則直線的方程為A． B． C． D．2．已知函數(shù)，若，且和的零點(diǎn)均在集合，1，中，則函數(shù)的極小值為A．0 B．0或 C． D．32二．填空題3．對于三次函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算．三．解答題4．設(shè)函數(shù)，，，，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零點(diǎn)均在集合，1，中，求的極小值；（3）若，，，且的極大值為，求證：．5．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（3）用，表示，中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若過兩點(diǎn)，，，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值．7．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若過兩點(diǎn)，，，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由．9．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，上的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由．10．已知函數(shù)且．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，上的最小值為，最大值為0，若存在，試求出實(shí)數(shù)，，若不存在，說明理由．11．在上定義運(yùn)算：、是常數(shù)），已知，，．①如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；②求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點(diǎn)；③記的最大值為，若對任意的、恒成立，試求的取值范圍．（參考公式：12．在上定義運(yùn)算、為實(shí)常數(shù)）．記，，．令．（Ⅰ）如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；（Ⅱ）求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點(diǎn)；（Ⅲ）記的最大值為．若對任意的、恒成立，試求的最大值．13．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，過點(diǎn)和．（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，極大值點(diǎn)為；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅲ）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，請直接寫出的值．14．已知函數(shù)．（1）求的極大值點(diǎn)；（2）當(dāng)，時(shí)，若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍．15．已知，，函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率是3，求，的值；（2）若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且，時(shí)，的最小值為，求的值．16．已知函數(shù)，，．（1）若，①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值（用表示）；②若有三個(gè)相異零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由；（2）函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線與的圖象相交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線為，直線，的斜率分別為，，且，求，滿足的關(guān)系式．17．設(shè)函數(shù)，其中（Ⅰ）當(dāng)曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率（Ⅱ）已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，，，且．若對任意的，，（1）恒成立，求的取值范圍．18．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有極值點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之間的距離不小于，求的取值范圍．19．設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍．20．設(shè)函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)，處的切線方程；（2）設(shè)，若函數(shù)有三個(gè)不同零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）求證：是有三個(gè)不同零點(diǎn)的必要而不充分條件．

第29講三次函數(shù)問題【典型例題】例1．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對稱中心．若函數(shù)，則A． B． C．8084 D．8088【解析】解：因?yàn)楹瘮?shù)，則，，令，解得，且（1），由題意可知，的拐點(diǎn)為，故的對稱中心為，所以，所以．故選：．例2．設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對稱中心，，其中滿足．（1）函數(shù)的對稱中心為；（2）現(xiàn)已知當(dāng)直線和的圖象交于，，，，，三點(diǎn)時(shí)，的圖象在點(diǎn)，點(diǎn)處的切線總平行，則過點(diǎn)可作的條切線．【解析】解：（1）的導(dǎo)數(shù)為，，由，可得，，可得的對稱中心為；（2）曲線在點(diǎn)，點(diǎn)處的切線總是平行的，，兩點(diǎn)關(guān)于的對稱中心對稱，故而為的對稱中心，又直線橫過點(diǎn)，的對稱中心為，即，．①由可得，令可得，②由①②可得，．曲線的方程為：，，曲線在點(diǎn)，的切線方程為，把代入上式，整理得，即，有兩解，即過點(diǎn)的切線有2條．故答案為：，2．例3．已知函數(shù)．（1）求在區(qū)間，上的最大值；（2）若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍．【解析】解：（1）由得．令，得或．因?yàn)?，，，?），所以在區(qū)間，上的最大值為．（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，，則，且切線斜率為，所以切線方程為，因此．整理得．設(shè)，則“過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有3個(gè)不同零點(diǎn)”．，與的情況如下：0100所以，是的極大值，（1）是的極小值．當(dāng)，即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間，和上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以至多有2個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)（1），即時(shí)，此時(shí)在區(qū)間和，上分別至多有1個(gè)零點(diǎn)，所以至多有2個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)且（1），即時(shí)，因?yàn)?，?），所以分別在區(qū)間，，，和，上恰有1個(gè)零點(diǎn)，由于在區(qū)間和上單調(diào)，所以分別在區(qū)間和，上恰有1個(gè)零點(diǎn)．綜上可知，當(dāng)過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí)，的取值范圍是．例4．已知函數(shù)，其中，為常數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在，上的最小值為，求的值；（2）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若曲線上存在一點(diǎn)，使得曲線在點(diǎn)處的切線與經(jīng)過點(diǎn)的另一條切線互相垂直，求的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞減，（2分）由（1），即，解得．（4分）（2）的圖象是開口向上的拋物線，其對稱軸為，因?yàn)椤鳎袃蓚€(gè)不等實(shí)根，（5分）①當(dāng)方程在區(qū)間上無實(shí)根時(shí)，有解得．（6分）②當(dāng)方程在區(qū)間，與上各有一個(gè)實(shí)根時(shí)，有：（a），或，解得．（8分）③當(dāng)方程在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，有，解得．綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，在區(qū)間，上是單調(diào)增函數(shù)當(dāng)時(shí)，在區(qū)間，，上是單調(diào)增函數(shù)，在區(qū)間，上是單調(diào)減函數(shù)．（3）設(shè)，，則點(diǎn)處的切線斜率，又設(shè)過點(diǎn)的切線與曲線相切于點(diǎn)，，，則點(diǎn)處的切線方程為，所以，化簡，得．（12分）因?yàn)閮蓷l切線相互垂直，所以，即．令，則關(guān)于的方程在，上有解，（14分）所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），解得，故的取值范圍是．（16分）例5．已知函數(shù)，．（1）若，且在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求的值；（2）若，且有三個(gè)不同的零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）若，，試討論是否存在，，，使得．【解析】解：（1），函數(shù)，，令，可得或，因?yàn)闀r(shí)，，由三次函數(shù)的圖象可知，，在內(nèi)沒有零點(diǎn)，所以，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，可得，可得，解得．（2），當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在三個(gè)相異零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)，，△，有兩個(gè)根，，要使有三個(gè)不同零點(diǎn)，極大值與極小值乘積小于0，，不妨設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)為，，，且，則，，①，②，③②①得，，，④同理，⑤⑤④得，，，又，，，，即，即，，，因?yàn)楹瘮?shù)的極小值為：．存在這樣實(shí)數(shù)滿足條件．（3）．若存在，，，使得，即，則關(guān)于的方程在，，，內(nèi)必有實(shí)數(shù)解．，△，方程的兩根為，即，，，依題意有，且，即，且，，且，得，且．當(dāng)，，時(shí)，存在唯一的，，，使得．成立；當(dāng)，，時(shí)，不存在，，，使得．成立．【同步練習(xí)】一．選擇題1．已知直線與曲線相交，交點(diǎn)依次為，，，且，則直線的方程為A． B． C． D．【解析】解：直線與曲線相交，交點(diǎn)依次為，，，且，可知直線經(jīng)過曲線的對稱中心，，可得，，令，解得，所以曲線的對稱中心，顯然滿足或，排除選項(xiàng)、．不妨直線方程為：與曲線，聯(lián)立消去，可得：，化為，可得另2個(gè)解：，或，對應(yīng)點(diǎn)分別為，，此時(shí)滿足，所以則直線的方程為：．故選：．2．已知函數(shù)，若，且和的零點(diǎn)均在集合，1，中，則函數(shù)的極小值為A．0 B．0或 C． D．32【解析】解：因?yàn)?，所以，令，解得：或，令，解得：或；因?yàn)椋?，都在集合?，中；所以，，，所以，，當(dāng)，即時(shí)，有極小值為（1），故選：．二．填空題3．對于三次函數(shù)給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)，為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．某同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個(gè)三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．給定函數(shù)，請你根據(jù)上面探究結(jié)果，計(jì)算．【解析】解：，令得，（1），所以的對稱中心為，所以，則，所以．故答案為：4038．三．解答題4．設(shè)函數(shù)，，，，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零點(diǎn)均在集合，1，中，求的極小值；（3）若，，，且的極大值為，求證：．【解析】解：（1），，（4），，，解得．（2），，設(shè)．令，解得，或．．令，解得，或．和的零點(diǎn)均在集合，1，中，若：，，則，舍去．，，則，舍去．，，則，舍去．．，，則，舍去．，，則，舍去．，，則，因此，，，可得：．．可得時(shí)，函數(shù)取得極小值，（1）．（3）證明：，，，．．△．令．解得：，．，，，可得時(shí)，取得極大值為，，令，可得：．，．令，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，．．．函數(shù)在上單調(diào)遞增，．5．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若函數(shù)存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（3）用，表示，中的最小值，記函數(shù)，，若函數(shù)有且僅有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，令得，，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2），，函數(shù)存在極值點(diǎn)，，令得，，不妨設(shè)，，，其中，，即，又，，即，分解因式得：，又，；（3）①當(dāng)時(shí)，，，，故函數(shù)在時(shí)無零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，（1），（1），若，則（1），（1），故是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（1），，故不是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，③當(dāng)時(shí)，，因此只需考慮在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可，，令得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，而，在上恒成立，函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，而，（1），函數(shù)在上有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，若，即時(shí)，在內(nèi)無零點(diǎn)，若，即時(shí)，在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，若，即時(shí)，由，（1），當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)．6．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若過兩點(diǎn)，，，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值．【解析】解：（1）．①當(dāng)時(shí)，，且僅當(dāng)，時(shí)，，所以是上的增函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，，有兩個(gè)根，，，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)．（2）由題意，，是方程的兩個(gè)根，故有，，，因此，同理．因此直線的方程為：．設(shè)與軸的交點(diǎn)為，得，，由題設(shè)知，點(diǎn)，在曲線上，故，解得，或或7．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；（2）討論的單調(diào)性；（3）設(shè)有兩個(gè)極值點(diǎn)，，若過兩點(diǎn)，，，的直線與軸的交點(diǎn)在曲線上，求的值．【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，則；令得，或；100增9減增當(dāng)時(shí)，的極大值為9，當(dāng)時(shí)，的極小值為．（2）；①當(dāng)時(shí)，，是上的增函數(shù)，②當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)根，，；當(dāng)，時(shí)，；故的單調(diào)增區(qū)間為，，；當(dāng)時(shí)，；故的單調(diào)減區(qū)間為，；（3）由題設(shè)知，，是的兩個(gè)根，，且，；，同理，，則直線的解析式為；設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，，則，解得，；代入得，；，在軸上，，解得，或或．8．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，說明理由．【解析】解：（1）．令，解得，或．①時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增．②時(shí)，函數(shù)在，，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．③時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減．（2）由（1）可得：①時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞增．則，（1），解得，，滿足條件．②時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減．，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減．則，（1），解得，，滿足條件．③，即時(shí)，函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增．則最小值，化為：．而，（1），最大值為或．若：，，解得，矛盾，舍去．若：，，解得，或0，矛盾，舍去．綜上可得：存在，，使得在區(qū)間，的最小值為且最大值為1．，的所有值為：，或．9．已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，上的最小值為且最大值為1？若存在，求出，的所有值；若不存在，請說明理由．【解析】解：（1），當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得，故函數(shù)在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，同理得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，，上單調(diào)遞增，（2）假設(shè)存在滿足條件的，，①當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，所以，若，則，（舍，若，則（舍，②當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，，③當(dāng)時(shí)，由（1）知，在，上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以，，綜上，，或，10．已知函數(shù)且．（1）討論的單調(diào)性；（2）是否存在，，使得在區(qū)間，上的最小值為，最大值為0，若存在，試求出實(shí)數(shù)，，若不存在，說明理由．【解析】解：（1），由得或，由．得．當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)．當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)．綜上，時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)；時(shí)，在上為減函數(shù)；時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，上為減函數(shù)；（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在，單調(diào)遞增，，無解；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又，結(jié)合題設(shè)，則有，即，令，則，則有時(shí)，單調(diào)遞減．時(shí)單調(diào)遞減，，在上無零點(diǎn)，方程組無解；當(dāng)時(shí)，由（1）可知在，單調(diào)遞減，，，解得，，綜上，．11．在上定義運(yùn)算：、是常數(shù)），已知，，．①如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；②求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點(diǎn)；③記的最大值為，若對任意的、恒成立，試求的取值范圍．（參考公式：【解析】解：①依題意，解得或．若，，，在上單調(diào)遞減，在處無極值；若，，，直接討論知，在處有極大值，所以為所求．②解得或，切點(diǎn)分別為、，相應(yīng)的切線為或．解得或；解即得或．綜合可知，時(shí)，斜率為的切線只有一條，與曲線的公共點(diǎn)只有，時(shí)，斜率為的切線有兩條，與曲線的公共點(diǎn)分別為、和、．③．若，則在，是單調(diào)函數(shù)，，（1），，因?yàn)椋?）與之差的絕對值（1），所以．若，在，取極值，則，（1），（b），（b）．若，（1）；若，（1）（b），，（b）．當(dāng)，時(shí)，在，上的最大值．所以，的取值范圍是．12．在上定義運(yùn)算、為實(shí)常數(shù)）．記，，．令．（Ⅰ）如果函數(shù)在處有極值，試確定、的值；（Ⅱ）求曲線上斜率為的切線與該曲線的公共點(diǎn)；（Ⅲ）記的最大值為．若對任意的、恒成立，試求的最大值．【解析】解：依題意：已知，，．得，解得或．若得，，，在上單調(diào)遞減，在處無極值；若，，，直接討論知，在處有極大值，所以即為所求；（Ⅱ）得或，切點(diǎn)分別為、，相應(yīng)的切線為或．解，得或；解，即得或．綜合可知，時(shí)，斜率為的切線只有一條，與曲線的公共點(diǎn)只有，時(shí)，斜率為的切線有兩條，與曲線的公共點(diǎn)分別為、和、（Ⅲ）．若，則在，是單調(diào)函數(shù)，因?yàn)?，所以函?shù)的對稱軸位于區(qū)間，之外，所以在，上的最值在兩端點(diǎn)處取得．故應(yīng)是（1）和中較大的一個(gè)．假設(shè)，則，（1），將上述兩式相加得：，導(dǎo)致矛盾，所以．若，在，取極值，則，（1），（b），（b）；若，（1）（b）則（1），（b）（1）（b）若，（1）（b），，（b）（b）當(dāng)，時(shí)，在，上的最大值．所以，的取值范圍是，．的最大值為．13．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，過點(diǎn)和．（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，極大值點(diǎn)為；（Ⅱ）求實(shí)數(shù)，的值；（Ⅲ）若恰有兩個(gè)零點(diǎn)，請直接寫出的值．【解析】解：（Ⅰ）導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，過點(diǎn)和．可得：時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值點(diǎn)為．故答案為：，．（Ⅱ），由題意知，即解得（Ⅲ）由可得：，由可得：為極大值點(diǎn)，1為極小值點(diǎn)．恰有兩個(gè)零點(diǎn)，，或（1），或0．14．已知函數(shù)．（1）求的極大值點(diǎn)；（2）當(dāng)，時(shí)，若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，求的取值范圍．【解析】解：（1），令，得或，若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的極大值點(diǎn)為；若，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)的極大值點(diǎn)為；若，在上單調(diào)遞增，無極值．（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與曲線相切于點(diǎn)，，則，且切線斜率，所以切線方程為，因此，整理得，構(gòu)造函數(shù)，則“若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切”等價(jià)于“有三個(gè)不同的零點(diǎn)”，，與的關(guān)系如下表：100極大值極小值所以的極大值為，極小值為（1），要使有三個(gè)解，即且（1），解得，因此，當(dāng)過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切時(shí)，的取值范圍是．15．已知，，函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在點(diǎn)處的切線斜率是3，求，的值；（2）若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且，時(shí)，的最小值為，求的值．【解析】解：（1），由題意可得，解得，，；（2），由題知，即有，由韋達(dá)定理得另一極值點(diǎn)為，故，解得．在內(nèi)遞增，在內(nèi)遞減，在內(nèi)遞增，①當(dāng)，即時(shí)，在，上單調(diào)遞減，（2），得，舍去．②當(dāng)，即時(shí)，，得，或（舍去）綜上，．16．已知函數(shù)，，．（1）若，①當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值（用表示）；②若有三個(gè)相異零點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)使得這三個(gè)零點(diǎn)成等差數(shù)列？若存在，試求出的值；若不存在，請說明理由；（2）函數(shù)圖象上點(diǎn)處的切線與的圖象相交于另一點(diǎn)，在點(diǎn)處的切線為，直線，的斜率分別為，，且，求，滿足的關(guān)系式．【解析】解：（1）①函數(shù)，，．，，，令，解得，或．由知，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，，，，單調(diào)遞增，的極大值為，的極小值為．②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不存在三個(gè)相異零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與①同理可得的極小值為，的極大值為．要使有三個(gè)不同零點(diǎn)，則必須有，即或．不妨設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)為，，，且，則，，①，②，③②①得，，，④同理，⑤⑤④得，，，又，．，即，即，存在這樣實(shí)數(shù)滿足條件．（2）設(shè)，，，，則，，又，由此可得，化簡得，，，．17．設(shè)函數(shù)，其中（Ⅰ）當(dāng)曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率（Ⅱ）已知函數(shù)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)0，，，且．若對任意的，，（1）恒成立，求的取值范圍．【解析】解：時(shí)，，，（1）．當(dāng)曲線在點(diǎn)，（1）處的切線斜率．由題設(shè)，，方程有兩個(gè)相異的實(shí)根，，故，且△，，解得，，，故．①當(dāng)時(shí)，（1），而，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，對任意的，，都有，，，則，又，所以在，上的最小值為0，于是對任意的，，（1）恒成立的充要條件是（1），解得，，即有的取值范圍是．18．已知函數(shù)．（1）若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，且，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，，證明：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)一定有極值點(diǎn)；（3）在（2）的條件下，若函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)之間的