七年級數(shù)學下冊專項訓練：平行線的性質(zhì)（一題三變系列）（解析版）

專題03平行線的性質(zhì)-（一題三變）

【思維導圖】

◎考點題型1兩直線平行，同位角相等

例.（2022?全國?七年級）一個學員在廣場上駕駛汽車，兩次拐彎后，行駛的方向與原來的方向相同，這兩

次拐彎的角度可能是（）

A.第一次向右拐50°,第二次向左拐130°B.第一次向右拐50°,第二次向右拐130°

C.第一次向左拐50°,第二次向左拐130°D.第一次向左拐30°,第二次向右拐30°

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意可得兩直線平行則同位角相等，據(jù)此分析判斷即可.

【詳解】

解：???兩次拐彎后，按原來的相反方向前進，

???兩次拐彎的方向相同，形成的角是同位角，

故答案為：D

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?重慶南岸?八年級期末）如圖，川電，倒。與Na互補的是（)

【答案】D

【解析】

【分析】

如圖，先證明￡）3=02,再證明02=€）5,可得￡）a=D5,再利用鄰補角的定義可得答案.

【詳解】

解：如圖，Q/3///4,

\Da=D2,

（H〃/2，

\02=05,

\Da=D5,

QD5+D4=180°,

\Da+D4=180°,

所以與Na互補的是￡>4.

故選D

【點睛】

本題考查的是平行線的性質(zhì)，鄰補角的定義，掌握“兩直線平行，同位角相等”是解本題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?廣東深圳?八年級期末）下列說法中正確的有（）

（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角相等；

（2）若/1+/2+/3=90。，則Nl,Z2,23互余；

（3）相等的兩個角是對頂角；

（4）從直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距離.

A.0個B.1個C.2個D.3個

【答案】A

【解析】

【分析】

兩條平行直線被第三條直線所截時，同位角相等；兩個和為90。的角互為余角；兩相交線的對頂角相等;

從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離.

【詳解】

（1）兩條直線被第三條直線所截，同位角不一定相等，故錯誤；

（2）兩個角的和為90。，這兩個角互為余角，故錯誤；

（3）相等的兩個角不一定是對頂角，對頂角一定相等，故錯誤；

（4）從直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做這點到直線的距離，故錯誤；

故選：A.

【點睛】

本題考查了同位角，余角，對頂角以及點到直線的距離.解題的關(guān)鍵在于正確理解各名詞的定義.

變式3.（2022?廣東海豐?八年級期末）如圖，AB//CD,AA=45°,ZC=30°,則NE的度數(shù)是

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)求出關(guān)于NDOE,然后根據(jù)外角的性質(zhì)求解.

【詳解】

解:-：AB//CD,乙4=45°,

：.ZA=ZDOE=45°,

'：ZDOE=ZC+ZE,

又,:ZC=30°,

/.AE=ADOE-ZC=15°.

故選：B

【點睛】

本題比較簡單，考查的是平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系.掌握兩直線平行，內(nèi)錯角相等；三角

形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和是解題關(guān)鍵.

◎考點題型2兩直線平行，內(nèi)錯角相等

例.（2022?四川巴中?八年級期末）如圖，直線/八為分別與A/BC的兩邊48、8c相交，且川區(qū)，若乙8=

35°,41=105。，則42的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.40°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)三角形內(nèi)角和定理球場43的度數(shù)，利用平行線的性質(zhì)求出答案.

【詳解】

解：??28=35°,41=105°,

.?.z3=180-zl-z5=40°,

—=40°,

故選：C.

A

w

【點睛】

此題考查三角形內(nèi)角和定理，兩直線平行內(nèi)錯角相等的性質(zhì)，熟記三角形內(nèi)角和等于180度及平行線的性

質(zhì)并熟練解決問題是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?吉林寬城?七年級期末）直線22、BC、CD、EG如圖所示.若N1=N2,則下列結(jié)論錯誤

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等逐項判斷即可.

【詳解】

解：?.21=42,

.■.ABWCD,故A正確，不符合題意；

.-.z4=z5,故C正確，不符合題意；

“EFB與乙3是對頂角，

.-.AEFB=^3,故B正確，

無法判斷43=45,故D錯誤，符合題意，

故選：D.

【點睛】

本題考查平行線的判定與性質(zhì)、對頂角相等，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵.

變式2.（2022?廣東福田?八年級期末）如圖，ABIICD,BF交CD于點、E,AEA.BF,NCEF=34。，則

的度數(shù)是（）

A.34°B.66°C.56°D.46°

【答案】C

【解析】

【分析】

由余角的定義得出ZAEC的度數(shù)，由兩直線平行內(nèi)錯角相等即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：■-AE1BF,ZCEF=34°,

■■ZAEC=90°-34°=56°,

■：ABIICD,

；?NA=NAEC=56°,

故選：C

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)和余角，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題.

變式3.（2021?吉林凈月高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)?七年級期末）如圖，若要使1與4平行，則4繞點。至少旋轉(zhuǎn)

的度數(shù)是（)

1

o

80°V

%

A.38°B.42°C.80°D.138°

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”進行計算.

【詳解】

解：如圖，

汕眄，

；.UOB=〃）BC=42°,

.-.80°-42°=38°,

即//繞點。至少旋轉(zhuǎn)38度才能與力平行.

故選：A.

【點睛】

考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到〃1。3=4。8。=42。是解題的關(guān)鍵，難度不大.

◎考點題型3兩直線平行，同旁內(nèi)角互補

例.（2022?云南廣南?八年級期末）如圖，直線4BIICD,直線48、CD被直線即所截，交點分別為點M、

點、N,若乙4回￡=130。，貝I］乙，W的度數(shù)為（）

■E

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】C

【解析】

【分析】

由對頂角得到乙8初「130。，然后利用平行線的性質(zhì)，即可得到答案.

【詳解】

解：由題意，

“BMN與乙4ME是對頂角，

.?/BMN=UME=13Q°,

■.■AB\\CD,

■■■/^MN+Z.DNM=180°,

.?.HW=50°；

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，對頂角相等，解題的關(guān)鍵是掌握所學的知識，正確得到的W=130。.

變式1.(2021?西藏?九年級專題練習)如圖，把長方形/BCD沿環(huán)對折，若Nl=50。，則4IE尸的度數(shù)為

()

A.110°B.115°C.120°D.130°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)及N1=50?？汕蟪鲆?斤￡的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)即可得到乙4￡斤的度數(shù).

【詳解】

解：根據(jù)折疊以及乙1=50。，得

乙BFE==KBFG=L（180°-Z1）=65°.

22

■■■ADWBC,

山￡尸=180°-4BFE=M5。.

故選：B.

【點睛】

本題考查的是平行線的性質(zhì)及圖形翻折變換的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形

的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和對應角相等.

變式2.（2021?黑龍江綏棱?七年級期末）如圖，AB//CD,Zl=120°,Z2=80°,則/3的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

延長CK交48于點尸，由4BIICD知Nl+—FE=180。，據(jù)此得乙〃^=60。，再根據(jù)42=43+乙4FE■可得答

案.

【詳解】

解：如圖，延長CE交于點R

D

■■■ABWCD,Mzl=120°,

??.zl+^7^=180°,

“尸￡=180°-41=60°,

XVZ2=Z3+ZL47^,且42=80°,

??23=乙2-乙4尸￡=20。，

故選：B.

【點睛】

本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補及三角形外角的性質(zhì).

變式3.（2021?黑龍江道里?七年級期末）如圖，ABWCD,平分乙13C且過點。，NCD￡=160。，則NC的

A.110°B.120°C.130°D.140°

【答案】D

【解析】

【分析】

首先根據(jù)鄰補角互補可得NC￡>3=180。-160。=20。，然后再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙48￡>=NCD2=20。,

進而得到NC2O=20。，再利用三角形內(nèi)角和定理算出/C的度數(shù).

【詳解】

解：?.zCDE=160°,

.-.zCZ）S=180o-160°=20°,

■■ABWCD,

:.UBD=LCDB=2。。,

■■■BE平分ZJ8C,

:.乙CBE=UBE=20°,

.?4=180°-20°-20°=140°,

故選D

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行和內(nèi)錯角相等.

◎考點題型4根據(jù)性質(zhì)探究角的關(guān)系

例.（2021?江蘇?宜興市實驗中學七年級階段練習）如圖：已知"=42,下列結(jié)論：①43=44；②Z3與

N5互補；③"=44；④/3=22；⑤N1與45互補，正確的有（）

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)分別對每一項進行分析即可得出答案.

【詳解】

解：???Zl=Z2,

a//b,

-：Z4=Z2,

Z3=Z4,

???N2與N5互補,

；.23與N5互補,

???N4與N5互補，

N1與25互補；

，正確的有5個;

故選：A.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行同位角相等，同旁內(nèi)角互補.

變式1.（2021?安徽省安慶市外國語學校八年級開學考試）如圖，ABHCD,UBE=34EBF,乙DCE=:

乙ECF,設"lBE=a,/￡=￡,LF=y,則a,￡,y的數(shù)量關(guān)系是（）

A.4/?-a+y=360。B.36-a+y=360。

C.4/3-a-y=360°D.3夕-2a-y=360°

【答案】A

【解析】

【分析】

過E作ENUAB,過F作FQMB,根據(jù)已知條件得出乙48尸=3葭，3CF=44ECD,求出ABHENUCD,

ABHFQHCD,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙45E=MEN=a,乙ECD—CEN,乙45尸+乙8/0=180。，

乙DCF+NCF0=18O。，求出a+/￡CD=B，3a+y+4乙DC￡=360。，再求出答案即可.

【詳解】

解：過.E作ENHAB,過尸作破例8,

■：Z-ABE=y/.EBF,乙DCE=g乙ECF,zABE=a,

；.UBF=3a,/JDCF=4^ECD,

-AB//CD,

.■■ABHENHCD,ABI/FQI/CD,

:.乙4BE—BEN=a,4ECD=^CEN,^ABF+^BFQ=\^0,ADCF+NCF0=180°,

；.乙ABE+乙ECD=LBEN+乙CEN=4BEC,UBF+乙BFQ+乙CFQ+乙DCF=180°+180°=360°,

即a+z￡CZ)=p,3a日+4乙。?！?360。，

???"C7)=B-a,

.--3a+y+4(p-a)=360°,

即4|3-a+Y=360°,

故選A.

DC

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握平行線的性質(zhì).

變式2.（2021?陜西?隴縣教學研究室七年級期末）如圖，已知A8//CD,BC平分ZABE,ABED=64°,

則NC的度數(shù)是（）

A.26°B.32°C.48°D.54°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用平行線的性質(zhì)，角平分線的定義即可解決問題.

【詳解】

解：；AB//CD,ABED=64°,BC平分ZABE,

ZABE=64°,NABC=ZEBC=-NABE=-x64°=32°,

22

-：AB//CD,

ZC=ZABC=32°,

故選：B.

【點睛】

本題考查平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

變式3.（2021?湖北新春?七年級期中）如圖，ABWCD,zFG8=146。，F(xiàn)G平分乙EFD,則乙4所的度數(shù)等

)

EG

AB

F----------------D

A.34°B.68°C.46°D.92°

【答案】B

【解析】

【分析】

先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得〃FG=34。，再根據(jù)角平分線的定義可得㈤*=2〃）PG=68。，然后根據(jù)平行線的

性質(zhì)即可得.

【詳解】

?：AB//CD,ZFGB=146°,

???〃尸G=1800-"G5=34°,

■:FG平分乙EFD,

；/EFD=2乙DFG=68。,

又?:AB//CD,

：.AAEF=AEFD=68°,

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

◎考點題型5根據(jù)性質(zhì)探究求角的度數(shù)

例.（2022?廣東?深圳市寶安中學（集團）八年級期末）生活中常見的探照燈、汽車大燈等燈具都與拋物線

有關(guān).如圖，從光源尸點照射到拋物線上的光線P4P8等反射以后沿著與直線放平行的方向射出，若

ZCAP=a°,ZDBP=[3°,則N/P5的度數(shù)為()°

C.a+(3D.j(a+0

【答案】c

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)可得"PA=APAC,NEPB=NPBD,進而根據(jù)ZAPB=NAPE+ZBPE即可求解

【詳解】

解：VPF//AC,PF//BD

NEPA=APAC,NEPB=ZPBD

ZAPB=NAPE+ZBPE=a+4

故選C

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?河南?鄭州外國語中學八年級期末）一把直尺與一塊直角三角板按下圖方式擺放，若

A.52°B.53°C.54°D.63°

【答案】B

【解析】

【分析】

過三角板的直角頂點作直尺兩邊的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同位角相等）即可求解.

【詳解】

解：如圖，過三角板的直角頂點作直尺兩邊的平行線,

???直尺的兩邊互相平行,

.-.Z3=Z2=37°,Zl=Z4,

.?.Z4=90°-Z3=53°,

.-lZ1=Z4=53°,

故選B.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?四川省遂寧市第二中學校七年級期末）如圖，已知直線4DII2C,2E平分442C交直線ZX4

于點E,若乙048=54。，貝亞E等于（）

A.25°B.27°C.29°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可求442c=54。，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可求NMC=27。，再根據(jù)兩直線平

行，內(nèi)錯角相等可求NE.

【詳解】

解：???皿山C

乙4BC=3AB=54°,/.EBC=Z.E,

■■■BE平分乙48C,

；"BC=gUBC=27°,

."=27。.

故選：B.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線，關(guān)鍵是求出N￡8C=27。.

變式3.（2022?黑龍江香坊?七年級期末）如圖，ADWBC,4c=30。，UDB：乙BDC=1：2,@2=72。,

以下四個說法：

①40）k=30°；②乙4DB=50。；

③480=22°；（4）zCW=108°

其中正確說法的個數(shù)是（）

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)NDI由C,ZC=3O°,利用內(nèi)錯角相等得出"DC=NC=30。，可判斷①正確；根據(jù)鄰補角性質(zhì)可求

乙4ZXM80。-4廠。。=180。-30。=150。，根據(jù)乙乙BDC=l：2,得出方程3乙408=150。，解方程可判斷②

正確；根據(jù)㈤8=72。，可求鄰補角皿4加=180。-乙以2=180。-72。=108。，利用三角形內(nèi)角和可求

zJ3D=180。-Z■N4D乙4。2=180。-：108。-50。=22。可判斷③正確，利用ADWBC,同位角相等的

乙CBN=KDAN=108?？膳袛啖苷_即可.

【詳解】

解：-ADWC,ZC=3O°,

.-.z77)C=zC=30o,故①正確;

.-.Z^Z）C=180o-zFZ）C=180o-30o=150o,

Z.ADB：Z.BDC=1：2,

；/BDC=2UDB,

?"DC=UDB+乙BDC=，4DB+2乙4DB=3乙4DB=150°,

解得乙403=50。，故②正確

,:乙EAB=12。,

.?.ZD/N=18O°j/3=180°-72°=108°,

/-ABD=\80°-^AD-1LADB=180°-108°-50°=22°,故③正確

■■■ADWBC,

；/CBN=3AN=l08°,故④正確

其中正確說法的個數(shù)是4個.

故選擇D.

【點睛】

本題考查平行線性質(zhì)，角的倍分，鄰補角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，一元一次方程，掌握平行線性質(zhì)，鄰補角

性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，一元一次方程地解題關(guān)鍵.

◎考點題型6性質(zhì)的生活中的應用

例.（2021?山東濰坊?中考真題）如圖，一束水平光線照在有一定傾斜角度的平面鏡上，若入射光線與出射

光線的夾角為60。，則平面鏡的垂線與水平地面的夾角a的度數(shù)是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

作C?1平面鏡，垂足為G,根據(jù)EF1平面鏡，可得CD//M,根據(jù)水平線與底面所在直線平行，進而可得

夾角a的度數(shù).

【詳解】

解：如圖，作。1平面鏡，垂足為G,

???￡尸1平面鏡，

■■.CD//EF,

■■■Z-AGC=Z.CDH=a,

■■■^AGC=a,

?：AAGC=-ZAGB=-x60°=30°

22f

???a=300.

故選：B.

【點睛】

本題考查了入射角等于反射角問題，解決本題的關(guān)鍵是法線CG平分乙4GB.

變式1.（2021?浙江浙江?七年級期末）如圖，Z402的兩邊均為平面反光鏡，ZAOB=35°,在02

上有一點E,從￡點射出一束光線經(jīng)。4上的點。反射后，反射光線。C恰好與03平行，這里

NODE=NADC,則NDE8的度數(shù)是（）

A.35°B.70°C.110°D.120°

【答案】B

【解析】

【分析】

過點。作。咒L4。交于點工根據(jù)題意知，。尸是NCDE的角平分線，可得41=43；然后又由兩直線

CDII08推知內(nèi)錯角41=42；最后由三角形的內(nèi)角和定理求得乙）班的度數(shù)是70。.

【詳解】

解：過點。作。尸L4O交08于點?

???入射角等于反射角，

?■?z.l=z3,

■■■CDWOB,

?■.zl=z2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）；

.?22=乙3（等量代換）；

在MADO9中，乙ODF=90°,乙402=35。,

.?22=55。；

:.在4DEF中,3EB=180°-2z2=70°.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì).解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到法線，然后由法線的性質(zhì)來解答問題.

變式2.（2022?全國?七年級）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的//=120。,

第二次拐的N3=150。，第三次拐的NC,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則NC是

A.120°B.130°C.140°D.150°

【答案】D

【解析】

【分析】

過點3作直線AD與第一次拐彎的道路平行，由題意可得44=120。，進而可得4D8C=30。，然

后問題可求解.

【詳解】

解：過點8作直線3。與第一次拐彎的道路平行，如圖所示：

???第三次拐的NC,這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，

二直線BD與第三次拐彎的道路也平行，

■.■ZA=120°,

.-.ZA=ZABD=120°,NDBC+ZC=180°,

???Z5=150o,

ZDBC=30°,

.-.ZC=150°；

故選D.

【點睛】

本題主要考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?安徽阜南?七年級期末）光線在不同介質(zhì)中的傳播速度不同，因此當光線從水中射向空氣

時，要發(fā)生折射.由于折射率相同，所以在水中平行的光線，在空氣中也是平行的.如圖，當21=45。，

A.58°,122°B.45°,68°C.45°,58°D.45°,45°

【答案】C

【解析】

【分析】

先根據(jù)EGIIFH得出43的度數(shù)，再由ABHCD得出NECD的度數(shù)，根據(jù)CE||DF即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：vEGIIFH,41=45°,

.?23=41=45°.

???ABHCD,Z2=122°,

.-.ZECD=18O°-122°=58°.

???CEIIDF,

.-.Z4=ZECD=58°.

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補.

◎考點題型7根據(jù)判定和性質(zhì)求角度

例.（2021?北京?七年級期末）如圖，點E,B,C,。在同一條直線上，ZA=/4CF,ZDCF=50°,則

4的度數(shù)是（）

A.50°B.130°C.135°D.150°

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)NN=NACF推出AB//CF,求出ZABC的度數(shù)即可求出答案.

【詳解】

NA=NACF,

AB//CF,

■：ZDCF=50°,

NABC=50°,

:.ZABE=130°.

故選：B.

【點睛】

此題考查了平行線的判定及性質(zhì)，熟記平行線的判定定理：內(nèi)錯角相等兩直線平行是解題的關(guān)鍵.

變式1.（2021?全國?七年級單元測試）如圖，點。是N8上的一點，點E是NC邊上的一點，且48=70。,

A.70°B.80°C.100°D.110°

【答案】B

【解析】

【分析】

先證明DE//BC,根據(jù)平行線的性質(zhì)求解.

【詳解】

解：因為乙8=乙4。￡=70。

所以DE〃BC,

所以乙DEC+NC=180。，所以NC=80。.

故選：B.

【點睛】

此題主要考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知同位角相等，兩直線平行.

變式2.（2021?浙江慈溪?七年級期末）如圖，若Nl=89。，Z2=91°,Z3=88°,則N4的度數(shù)是（）

h

A.88°B.89°C.91°D.92°

【答案】D

【解析】

【分析】

由N5=N1=89。，Z2=91°,可知N5+N2=180。，根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，即可求得?！ㄒ?；根據(jù)

兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，即可求得44的度數(shù).

【詳解】

解：如圖：

???45=41=89°,42=91°,

.?25+乙2=180°,

：13H14,

.?23+26=180°,

???43=88°,

.?26=92°,

.,Z4=N6=92°.

故選：D.

【點睛】

此題考查了平行線的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）與

平行線的性質(zhì)（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）.

變式3.（2021?河南湯陰?七年級期末）如圖，AB,CD,EF,MN均為直線，N2=N3=70。,

/GPC=80°,GH平分■NMGB,則Nl=（）

A.35°B.40°C.45°D.50°

【答案】D

【解析】

【分析】

由42=43=70。，根據(jù)平行線的判定可得出4B//CD,則可得乙8Gp=NGPC,進而可得ABG"=100。，由G77

平■分乙MGB即可求得N1.

【詳解】

Z2=Z3=70°,

ABHCD,ZBGP=NGPC,

?；/GPC=80°,

:"BGP=80°,

ZBGM=180°-/BGP=100°,

■:GH平分/MGB,

.-.Zl=-ZBGM=50°,

2

故選：D.

【點睛】

本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，補角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

◎考點題型8根據(jù)判定和性質(zhì)證明

例.（2021?黑龍江?哈爾濱德強學校七年級期中）如圖，點E在4D的延長線上，下列條件中能使4B//CD

的是（）

B

B.乙ADB=ACBD

C.々C=KCDED.zC+zUr>C=180°

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的判定定理分別進行分析即可.

【詳解】

解：???乙4BD=￡CDB,

.-.ABWCD,故選項/符合題意；

■：^ADB=ACBD,

■■ADWBC,故選項2不合題意；

.:乙C=KCDE,

.■.ADWBC,故選項C不合題意；

???zC+A4Z）C=180o,

■.ADWBC,故選項。不合題意，

故選/.

【點睛】

本題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等，兩直線平行.內(nèi)錯角相等，兩直線平行.同旁內(nèi)

角互補，兩直線平行.

變式1.（2021?廣西?南寧市第八中學七年級階段練習）如圖，給出下列條件：①一=/2；②N3=N4；

@AB\\CE,且ZADC=AB,@AB\\CE,且N2CD=N24D；其中能推出2cli4D的條件為（）

A.①②B.②④C.②③D.②③④

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的判定條件逐一進行排除即可.

【詳解】

解:①力=Z2,

.■.AB^CD,不符合題意；

②乙3=44,

：.BC\[AD,故符合題意；

."+42CZ）=180°,

??,UDC=cB,

.-.zS4Z）C+z5CD=180o,

.■.BCWAD,符合題意;

?"+480）=180°,

-Z-BCD=Z-BAD,

???48+乙胡。=180。，

：.BCUD,符合題意；

???能推出BCUD的條件為②③④；

故選D.

【點睛】

本題主要考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2021?山東?曹縣教學研究室七年級期末）如圖，在四邊形48。中，若N48C+NC=180。則下

列結(jié)論正確的是（）

A.Z1=Z2B.N2=N3C.Z1=Z3D./2=，4

【答案】D

【解析】

【分析】

由四邊形中N/8C+NC=180。，根據(jù)同旁內(nèi)角互補兩直線平行，可證得/8//0C,再根據(jù)平行線的

性質(zhì)可得答案.

【詳解】

解：；四邊形48CD中/48C+/C=180。，

ABHDC,

Z2=Z4.

故選：D.

【點睛】

此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，此題難度不大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用.

變式3.（2021?青海治多?七年級期中）如圖，能判定4B//CD的是（）

A.Nl=/4B.Z1=Z3C.Z1=Z2D.N2=N3

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)兩直線平行的判定定理，順次推導就可以得到正確答案.

【詳解】

解：A、/1=N4,內(nèi)錯角相等，ABIICD,選項正確；

B、Z1=Z3,不能判定4BIICD,故該選項錯誤；

C、Z1=Z2,只能說明8。是442c的角平分線，選項錯誤；

D、/2=/3,互為內(nèi)錯角，ADHBC,選項錯誤.

故選：A

【點睛】

本題考查的是兩直線平行的判定定理，角平分線的定義、等底對等腰等知識點，根據(jù)定理內(nèi)容進行判斷是

解題關(guān)鍵.

◎考點題型9求平行線間的距離

例.（2021?全國?八年級期中）已知直線加〃力如圖，下列哪條線段的長可以表示直線機與”之間的距離

)

A.只有4BB.只有/EC.48和CD均可D./E和CF均可

【答案】C

【解析】

【分析】

由平行線之間的距離的定義判定即可得解.

【詳解】

解：???從一條平行線上的任意一點到另一條平行線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離，

???線段AB和CD都可以示直線m與n之間的距離，

故選：C.

【點睛】

本題考查了平行線之間的距離，解題的關(guān)鍵是熟記平行線之間的距離的概念.

變式1.（2021?遼寧建昌?八年級期中）如圖，已知直線a//6〃c,直線d與直線a,b,c分別垂直，垂足是

點C,B,A.若48=2,NC=5,則直線a,6的距離是（）

毛d

A.2B.3

C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

利用線段的差計算即可.

【詳解】

解：直線a//6//c,直線d與直線a,b,c分別垂直，

：.AB的長為平行線b與c的距離，AC的長為平行線a與c的距離，

直線a,b的距離是BC=AC-AB=5-2=3.

故選擇B.

【點睛】

本題考查平行線間的距離，線段的和差計算，掌握平行線間的距離與線段的和差計算是解題關(guān)鍵.

變式2.（2021?河北?平泉市教育局教研室八年級期末）如圖，在YNBCO中，AELBC,下列說法不正確的

是（）

A./E表示的是/、￡兩點間的距離B.4E表示的是N點到8c的距離

C.4E■表示的是4D與3c間的距離D.4E表示的是4B與CD間的距離

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)兩點之間的距離，點到直線的距離，平行線之間的距離的定義進行逐一判斷即可.

【詳解】

解：A、/￡表示的是/、E兩點間的距離，正確；

B、NE表示的是/點到的距離，正確；

C、/￡表示的是40與2c間的距離，正確；

D、/E表示的是/。與3C間的距離，錯誤.

故選D.

【點睛】

本題主要考查了兩點之間的距離，點到直線的距離，平行線之間的距離的定義，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練

掌握相關(guān)知識進行求解.

變式3.（2021?山東日照?七年級期中）已知在同一平面內(nèi)，直線。，b,c互相平行，直線。與6之間的距

離是3cm,直線6與c之間的距離是5cm,那么直線。與c的距離是（）cm.A.8B.2C.8

或2D.無法確定

【答案】C

【解析】

【分析】

畫出圖形(1)(2),根據(jù)圖形進行計算即可.

【詳解】

解：有兩種情況，如圖：

(1)(2)

(1)直線a與c的距離是3厘米+5厘米=8厘米；

(2)直線。與c的距離是5厘米-3厘米=2厘米；

故選：C.

【點睛】

本題主要考查對平行線之間的距離的理解和掌握，能求出所有情況是解此題的關(guān)鍵.

◎考點題型10利用平行線間的距離解決問題

例.(2021?陜西陳倉?八年級期中)如圖，在4x5的方格紙中，每個小正方形的邊長均為1,點。，A,B

在方格紙的格點上，在第四象限內(nèi)的格點上找點C,使V/8C的面積為3,則這樣的點C共有()

VA

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【解析】

【分析】

先找到一個使三角形面積為3的點，再過這個點作的平行線，可找到符合題意的格點.

【詳解】

解：設點C到48的距離為九,“3=3,

??.SV，BC=；x3x〃=3，

h=2,

又???點C在第四象限，

二滿足條件的點共有3個.

故選：C.

【點睛】

本題主要考查坐標系下三角形的面積，找到一個符合條件的點，作平行線即可.

變式1.(2021?河北順平?八年級期末)如圖，四邊形中，AD\\BC,NC與AD相交于點O,若S/8O=

5cm2,SQCO為()

A.5cm2B.4cm2C.3cm2D.2cm2

【答案】A

【解析】

【分析】

分別過點A、。作4E_LBC、DbLBC,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/E=D尸，根據(jù)三角形的面積求得

'△ABO=S&DCO,即可求解.

【詳解】

解：分別過點A、。作月E1,BC、DFLBC,如下圖:

.??AE=DF

^■.SAABC=-BCXAE,S.DCB=-BCXDF

?'■S&ABC=S&DCB

S&ABO=S&ABC—S&CBO，*^ADCO=^ADCB-^ACBO

??S/XABO=S△DC。-5cm

故選A

【點睛】

此題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)及三角形的面積公式推

出S4ABo=S&DCO?

變式2.（2021?浙江杭州?八年級期末）如圖，mlln,ADIIBC,CD-.CF=2A.若ACE尸的面積為5,則四邊形

/BCD的面積為（）

A.10B.20C.30D.不能確定

【答案】B

【解析】

【分析】

設C尸=x,加與〃之間的距離為〃，貝|CD=2x,再根據(jù)三角形的面積公式求出x/z的值，進而可得出結(jié)論.

【詳解】

解：CD：CF=2：1,

?,.設CF=x,心與〃之間的距離為〃，則CD=2x,

???△CE/的面積為5,

；CF*h=5,即yxh=5,解得xh=10,

"ADWC,

二四邊形N8CD是平行四邊形，

■■Sgg^ABCD=CD*h=2xh=2x10=20.

故選B.

【點睛】

本題考查的是平行線間的距離，熟知平行線間的距離處處相等是解答此題的關(guān)鍵.

變式3.（2021?全國?九年級專題練習）如圖，A、P是直線m上的任意兩個點，B、C是直線n上的兩個定

點，且直線m||n；則下列說法正確的是（

A.ABHPCB.AABC的面積等于ABCP的面積

C.AC=BPD.AABC的周長等于ABCP的周長

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線之間的距離及三角形的面積即可得出答案.

【詳解】

解:AB不一定平行于PC,A不正確；

???平行線間的距離處處相等，

.?.△ABC的面積等于ABCP的面積，B正確；

AC不一定等于BP,C不正確；

△ABC的周長不一定等于ABCP的周長，D不正確，

故選：B.

【點睛】

本題考查平行線之間的距離；三角形的面積.解題的關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)和判定.

◎考點題型11真假命題

例.（2021,重慶,七年級期末）下列命題是真命題的是（）

A.內(nèi)錯角相等

B.過一點有且只有一條直線與已知直線垂直

C.相等的角是對頂角

D.過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)、垂直的判定、對頂角和平行線的判定進行判斷即可.

【詳解】

解：A、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，原命題是假命題；

B、在同一平面上，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，原命題是假命題；

C、相等的角不一定是對頂角，原命題是假命題；

D、過直線外一點，有且只有一條直線與已知直線平行，是真命題；

故選：D.

【點睛】

本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)、垂直的判定、對頂角和平行線的判定.

變式1.（2021?北京市海淀區(qū)清華附中稻香湖學校七年級期末）下面命題：①同位角相等；②對頂角相

等；③若N=產(chǎn)，則》="④互補的角是鄰補角.其中真命題有（）個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)平行線的性質(zhì)、對頂角、乘方的意義和鄰補角判斷解答即可.

【詳解】

①兩直線平行，同位角相等，原命題是假命題；

②對頂角相等，是真命題；

③若式=/，則工=?或芯=-外原命題是假命題；

④互補的角不一定是鄰補角，原命題是假命題；

故選：A.

【點睛】

本題考查了命題的真假，解題的關(guān)鍵是了解平行線的性質(zhì)、對頂角、乘方的意義和鄰補角，難度不大.

變式2.（2021?重慶市兩江中學校七年級期中）下列命題中真命題的個數(shù)有（）

①有公共頂點且相等的兩個角叫對頂角；②過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行；③平行于

同一條直線的兩條直線平行；④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；⑤直線外一點到已知直線的垂

線段就是該點到直線的距離.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】A

【解析】

【分析】

根據(jù)對頂角的定義（有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的兩個角稱為對頂角）可判斷①；同一平面

內(nèi)，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，可判斷②；平行于同一條直線的兩條直線平行，根

據(jù)平行線的判定可判斷③；同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直，可判斷④；直線外一

點到已知直線的垂線段長度就是該點到直線的距離，可判斷⑤，綜合即可得出選項.

【詳解】

解：根據(jù)對頂角的定義（有公共頂點且兩條邊都互為反向延長線的