貴州省清鎮(zhèn)市某中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級下冊期末考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

貴州省清鎮(zhèn)市貴化中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)

學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

4

1.設(shè)Z=“.、2，則歸=（）

（1-1）

A.1B.2C.3D.4

2.下列說法錯誤的是（）

A.任一非零向量都可以平行移動B.q,e2是單位向量，則同=同

若|萬卜|麗則德＞而

C.國=|比ID.

3.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為300,450,250,500件，為檢

驗產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取90件進(jìn)行檢驗，則應(yīng)從

丙種型號的產(chǎn)品中抽取件數(shù)為（）

A.15B.18C.27D.30

4.某廣場內(nèi)設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到

的，如圖所示，若被截正方體的棱長是2-則石凳的體積為（）

C.—aD.7a3

3

5.兩條直線和一個平面所成的角相等是這兩條直線平行的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

6.已知方=（2,1）,|可=2,且）工不，則@一3與萬的夾角的余弦值為（）

試卷第1頁，共4頁

A2岔“亞rV5nV5

?-----------D?--------x_/?----U?--------

5346

7.正方體/BCD-44GA的棱長為26，則平面48G到平面的距離為（）

A.1B.2C.3D.4

8.已知點0、N、尸在V4BC所在平面內(nèi)，且|。/卜|礪卜|反「NA+NB+NC=Q，

PAPB=PBPC=PCPA，則點。、N、尸依次是V48c的()

A.外心、重心、垂心B.重心、外心、垂心

C.重心、外心、內(nèi)心D.外心、重心、內(nèi)心

二、多選題

9.設(shè)復(fù)數(shù)z的共輾復(fù)數(shù)為三"為虛數(shù)單位，則下列命題正確的是()

A.若復(fù)數(shù)z=3+4i,則I在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

B.復(fù)數(shù)z=3+4i的模目=5

C.若n=1,則z=±i或±1

D.若復(fù)數(shù)+3〃?-4)+(僅2-2〃?-24)i是純虛數(shù)，則機(jī)=1或機(jī)=T

10.過大小為120°二面角0-/一月內(nèi)一點尸向半平面a作上垂足為A,向半平面夕作

PBL/3,垂足為B,且/8=百，則下列說法正確的是()

A./_!_平面P48

B.的面積的最大值為2百

4

C.點尸至心的距離為2

D.若二面角一"的半平面〃過直線及，半平面"過直線P8,則二面角〃一夕

的大小為60°或120°

三、填空題

II.已知向量Z=(2,X),B=(1,3),Z_L(Z-B),則》=.

12.若某校高一年級10個班參加合唱比賽的得分分別為89,91,90,92,87,93,96,94,

96,95,則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是；中位數(shù)是.

試卷第2頁，共4頁

13.長方形/BCD中，AB=4,AD=3,沿對角線ZC把平面/CD折起，使平面平

面4BC,則折疊后/BCD的余弦值為.

14.已知V/5C中角42,C所對的邊分別為。,6,c,p=—7，則V/8C的面積

S=^p(p-a)(p-b)(p-c),該公式稱作海倫公式，最早由古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德得出.若

V/8C的周長為18,(sin+sin5):(sin5+sinC):^inC+sin)=5:7:6,則VN8C的面積

為.

15.在一個棱長為4的正方體封閉容器內(nèi)放入一個半徑為1的小球，搖晃容器使得小球在容

器內(nèi)朝著任意方向自由運動，則容器內(nèi)小球不可能到達(dá)的容積為.

四、解答題

—?1—?—?2—,

16.在V/BC中，已知3c=4,/C=3,P在線段2。上，^,BP=-BC,AQ=-AB,設(shè)

⑵若N/C2=60。，求瓦.詼.

17.如圖，在四面體/BCD中，平面BC。，”是的中點，尸是的中點，點。

在線段/C上，S.AQ=3QC.

(1)求證：尸。〃平面BCD.

(2)若三角形8cZ)為邊長為2的正三角形，BD=DA,求異面直線即/和NC所成角的余弦

值.

試卷第3頁，共4頁

18.記V48c的內(nèi)角4民C的對邊分別為“，b,c,已知

(sinC+sin8)(c-b)=a(sin/-sin8).

⑴求角C的大??；

⑵設(shè)c=3,CA.CB=\,求VN3c的周長.

19.如圖，四棱錐S—4BCD中，底面48c。為菱形，ZABC=6Q°,SA=SD=AB=2,側(cè)

面SAB±側(cè)面SBC,M為的中點.

(1)求證：平面平面S3C；

⑵若AB與平面SBC成30°角時，求二面角Z-SC-。的大小，

20.閱讀下面的兩個材料：

材料一：我國南宋的數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了“三斜求積術(shù)”：若把三角形的三

條邊分別稱為小斜、中斜和大斜，記小斜為。，中斜為b,大斜為。，則三角形的面積為

S=.這個公式稱之為秦九韶公式；

材料二：希臘數(shù)學(xué)家海倫在其所著的《度量論》或稱《測地術(shù)》中給出了用三角形的三條邊

長表示三角形的面積的公式，即已知三角形的三條邊長分別為。,仇。，則它的面積為

S=yjp(p-a)(p-b)(p-c),其中p=g(a+b+c),這個公式稱之為海倫公式

請你解答下面的兩個問題：

⑴已知V/2C的三條邊為。=17,6=18,c=19,求這個三角形的面積S；

(2)請從秦九韶公式和海倫公式中任選一個公式進(jìn)行證明.(如果多做，則按所做的第一個證

明記分)

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDACBBBAABABC

1.B

【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除運算，化簡復(fù)數(shù)z,由復(fù)數(shù)模的公式求胤

444i

【詳解】2=^^=萬=與r=2i,所以目=2.

故選：B.

2.D

【分析】根據(jù)題意，由向量的定義以及相關(guān)概念對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為非零向量是自由向量，可以自由平移移動，故A正確;

由單位向量對于可知，同=同，故B正確；

因為國=-況，所以|麗卜|方4,故C正確;

因為兩個向量不能比較大小，故D錯誤;

故選：D

3.A

【分析】利用分層抽樣的方法計算即可.

250

【詳解】由題意可知丙產(chǎn)量占全部的比重為

300+450+250+5006

所以抽取90件有丙產(chǎn)品90x3=15件

6

故選：A

4.C

【分析】正方體體積減去截去的八個四面體體積即可.

113

【詳解】截去的四面體體積匕=9!””“=幺，正方體體積匕=（2。）3=8〃，

326

所以石凳的體積為憶=匕-8匕=81-8乂《=嗎3.

63

故選：C.

5.B

【分析】根據(jù)直線所處不同位置可以分析充分性，再根據(jù)兩直線平行，可判斷與面所成角相

答案第1頁，共12頁

等即可判斷必要性.

【詳解】由題意，當(dāng)直線與平面所成的角相等時，兩條直線可能平行、相交或異面,

則充分性不成立，

當(dāng)兩條直線平行時，此時與平面所成的角相等的，必要性成立，

所以兩條直線和一個平面所成的角相等是這兩條直線平行的必要不充分條件.

故選：B

6.B

【分析】根據(jù)模長公式可得歸-q=3,即可由夾角公式求解.

【詳解】由題意，同=歷1=6,網(wǎng)=2,又皿,所以萬方=0

\a-b\=y/a2-2a-b+b2=75-0+4=3,

/一(萬一斗。a2-b'a5V5

期…=5^=同不X=T-

故選：B.

7.B

【分析】證明及。，平面43G，片。，平面40。，等體積法求月點到平面43G的距離和

。點到平面AD.C的距離，可得平面4BG到平面AD'C的距離.

【詳解】連接B.D,BR,正方體中，平面44GA,AGU平面44G2，則DD1±4G,

正方形44GA中，有BR14。,

DR,BQ]u平面DRB],DDtC\BtDt=Dt,所以4G■平面百，

BQu平面DDR,則有4G工BQ,

同理有43,耳。，4G，4Bu平面MB。，4Gn4B=4，

所以與D,平面4BC],同理有用。，平面/z)c，

正方體棱長為2c,則44=4G=網(wǎng)=2c,4G=4B=2V6,

設(shè)點4到平面48cl的距離為場,由q—BBG二七一4g，

答案第2頁，共12頁

W—x—X(2A/3)=—x—x2A/6X2\/6xh,解得〃=2,

321,322

即點Bx到平面48G的距離為2,同理點。到平面AD.C的距離為2,

監(jiān)=J(2G『+(26j+(20=6,

則平面43G到平面AD,C的距離為6-2-2=2.

故選：B.

8.A

【分析】利用三角形外心、重心、垂心的定義和性質(zhì)判定即可.

【詳解】因為|明=\0B\=\0C\,即。到V/8C各頂點距離相等，所以。為V/2C的外心;

取AB,AC,BC的中點分別為D,E,F,連接ND,NE,NF,

則有屜+覺=2標(biāo)=-麗,加+祝=2屜=-麗,屜+福=2福=-配，

所以4N、尸三點共線，C、N、。三點共線，B、N、￡三點共線，

即N為V48c的重心；

由莎?麗=麗?京n而?伊-定）=0=而,即尸8L/C,同理尸

所以尸為V4BC垂線的交點，故尸為V/2C的垂心.

故選：A

9.AB

【分析】利用復(fù)數(shù)模的含義，純虛數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的幾何意義可得答案.

答案第3頁，共12頁

【詳解】因為z=3+4i,所以三=3-4i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(3,—4),位于第四象限，A

正確；

若z=3+4i,則忖=J9+16=5,B正確；

因為Z='+立i,目=1,所以C不正確；

22

....I2-I__4—0

因為疝+3〃?-4+/-2加-24i是純虛數(shù)，所以：

、/、'm--2m-24^0

解得機(jī)=1,D不正確.

故選：AB

10.ABC

【分析】A選項，由線線垂直證明線面垂直；B選項，由余弦定理，求出尸4PB的最大值,

可求AP/8的面積的最大值；C選項，利用正弦定理求三角形外接圓半徑，得點P至曙的距

離；D選項，結(jié)合二面角的定義判斷.

【詳解】PAla,lua,則尸/，/；PBV/3,Iu/3,則尸3，/,

PACPB=P,P4收u平面尸4B,所以平面尸48,A選項正確；

平面交直線/于點O,連接N。1。，則有NP4O=420=90°，

/A夕/_L平面P/8,/O,5Ou平面尸4B,則有/_L/。，IVBO,

所以//08=120°,ZAPB=60°,

△尸/g中，AB=s5,由余弦定理/82=92+網(wǎng)2-22/?28405//尸8,

則有3=PA。+PB?-PA-PB22PA-PB-PA-PB=PA-PB,

即尸當(dāng)且僅當(dāng)尸/=P8=Q時等號成立，

所以風(fēng)研=；川?尸"sinZAPBW乎，即AP/8的面積的最大值為:百，B選項正確;

/_L平面P48,尸Ou平面尸/B,則有尸OU,

ZPAO=ZPBO=90°＞則尸，4。,2四點共圓，尸。為圓的直徑,

答案第4頁，共12頁

,4B_6

△尸48中，AB=Vs'Z.APB=60°,由正弦定理有sinZ.APB，

了

所以點P至卜的距離為2,C選項正確；

若二面角的半平面"過直線PA,半平面6過直線PB,

只有〃//'時，才有二面角的大小為60?；?20。，D選項錯誤.

故選：ABC.

【點睛】方法點睛：

作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個半平面內(nèi)找一點作另一個半平面的垂線，再

過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平

面角.

II.1或2

【分析】根據(jù)題意，求出￡-3坐標(biāo)，結(jié)合7(13=0,列出方程，即可求解.

【詳解】由向量＞=(2,x)石=(1,3),可得H=(l,x-3),

因為a_L(a-B),可得a.(a-1)=2+x(x-3)=0,BPx2-3x+2=0,

解得x=1或x=2.

故答案為：1或2.

12.96,92.5

【分析】把數(shù)據(jù)從小到大排列，再根據(jù)相關(guān)定義求眾數(shù)和中位數(shù).

【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大排列為87,89,90,91,92,93,94,95,96,96,

96出現(xiàn)的次數(shù)最多，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是96；

中位數(shù)是92絲+詈93=92.5.

故答案為：96；92.5.

12

13.—/0.48

25

【分析】作。證明。ELBE,利用勾股定理和余弦定理求出AD,再由余弦定理

求/BCD的余弦值.

【詳解】過D作。E1/C,垂足為E,連接8E,

120

CD=AB=4,/。=3,貝！|ZC=5,DE=—,AE=-,

55

答案第5頁，共12頁

D

/：CRtA^sc4^-cosZCAB=—=~,

A--,--^/"5

~~--------ZB

193

AABE中，由余弦定理BE2=AE-+AB2-2AEAB-cosZCAB=—,

25

平面/CD_L平面/BC,平面/CZ)n_L平面Z3C=/C,

DEu平面NCD,DE1AC,則D￡J_平面48C,

337

5Eu平面48C,DELBE,貝!]+貸=——,

25

337

r,、O_L1A_-^Z

△BCD中，由余弦定理BC2+CD2-DB2y+'025口.

cos/BCD=---------------=-----------=——

2BCCD2x3x425

12

故答案為：

14.3而

【分析】由正弦定理邊角互化可求。=4,6=6,。=8,代入已知面積公式可求.

【詳解】由題意得Q+6+C=18,

(sinA+sin5):(sinB+sinC):(sinC+sin/)=(a+b):(b+c):(c+a)=5:7:6,

所以a:6:c=2:3:4,

貝lja=4,b=6,c=8,p="+，=9

所以S=dp(p-a)(p-b)(p-c)=@x5x3xl=36.

故答案為：3后.

22

15.32——7i

3

【分析】由題意，先確定小球與正方體的三個相鄰面相切時不能達(dá)到的容積，再計算小球與

正方體兩個面相切時不能達(dá)到的容積，即可得到結(jié)果.

【詳解】

如上圖所示，假設(shè)小球與正方體同一個頂點的三個相鄰面相切時對應(yīng)兩個切點為48,小

答案第6頁，共12頁

球與正方體同一個棱的兩個相鄰面相切可看成是從切點45對應(yīng)移動到。、C,移動長度

為2,

1Ajr

不難求出小球與同一個頂點的三面相切時不能到達(dá)的容積為l-嗟X：兀xl'l-F，

836

正方體有8個頂點，合計［1—￡］、8=8-3；

小球與正方體一組相鄰面相切時不能到達(dá)的容積為^l-^xl^x2=2-p

，后422

正方體有12條棱，合計［2—,）x12=24—6兀；總計8—§兀+24—6兀=32—］兀.

故答案為：32—71.

―?2一

16.(1)4P=-ci—b

13

⑵5

【分析】（1）根據(jù)向量基本定理求出答案;

____?O1_____2

（2）先求出西=+結(jié)合（1）中所求的后利用向量數(shù)量積公式求出

萬?西的值.

【詳解】（1）因為而=!就，所以屈

33

由題得后=屈-弓3=—3=-a-b；

33

（2）由已知得函=B+而=乙3+引=G5+1ps-c3卜卓+#5=\+V,

二而函=@_刊.序+；+加2_］石_；用

4,41,13

=—X42----x4x3xcos60°----x32=——.

9939

17.（1）證明見解析

⑵平

【分析】（1）取中點。，CD靠近C的四等分點〃，利用平行線分線段成比例判定線線

平行即可證明線面平行；

（2）取CZ）的中點E,將異面直線化為共面直線，解三角形即可.

【詳解】（1）如圖所示，取8。中點。，且P是中點，

答案第7頁，共12頁

A

：.OP//DM,2OP^DM,

取CO的四等分點X,使DH=3CH,且Z0=30C,

QH//DA,4QH^AD,

：.2QH=MD=IPO,QH/IPO,

四邊形OP?！睘槠叫兴倪呅?，

/.QP//OH,尸。在平面BCD外，且OHu平面BCD,

尸。//平面BCD.

(2)取CD的中點E,連接ME,易知腔//NC,

則NBME或其補角為異面直線BM和AC所成的角,

因為平面BCD,B。,CDu平面JgCD,

即BM=4i,EM=6,BE=也，

EM2+BE2=BM2,所以△BEN為直角三角形,

通過解三角形可得cosNBME=—=亞，

BM5

即異面直線BM和AC所成角的余弦值為叵.

5

71

18.(1)C=-

(2)3+715

1兀

【分析】(1)由正弦定理和余弦定理得到cosC=—,求出C=；；

23

(2)利用向量數(shù)量積公式計算出仍=2,結(jié)合余弦定理得到a+b=而，求出周長.

【詳解】(1)由(sinC+sin8)(c-b)=a(sin/-sin3)及正弦定理，

得(c+6)(c-b)=a(a-b),SPa1+b2-c1=ab>

答案第8頁，共12頁

所以cosC=4+"-c-=L

2ab2

因為Ce(O,7i),所以C=1.

(2),：CA-CB=1，

abcosC=1,

7C=i

ab=2,

c?=//—2tzZ)cosC,c—3j

9=(。+-2ab-ab,

??Q+b=Jl5,

.??V4BC的周長為3+后.

19.(1)證明見解析

(2)90°

【分析】(1)由線面垂直與面面垂直的判定定理求解即可；

(2)取3s的中點N,連接NN,由題意可得3s=26,取CS的中點E,連接

可證明//ED是二面角/-SC=。的平面角，求出角N/EZ)的大小即可求解

【詳解】(1)因為切=",又M為/。的中點，

所以SA7_L4D,

又BCIIAD,

所以6M_LBC,

又M為4D的中點，底面/5CD為菱形，AABC=60°,

所以CM_LAD,AD//2C,

所以CML8C,

因為CA/_L8C,W1SC,SMYCM^M,

SMu平面SCM,CMu平面SCW,

所以8C_L平面SCM,

因為BCu平面1sBC,

答案第9頁，共12頁

所以平面1sBe_L平面SCM,

(2)取3S的中點N,連接/N,又S4=4B,

所以/N_L8S,

又平面