解三角形解答題十大題型總結(jié)（解析版）-2024高考數(shù)學(xué)?？碱}型

解三角形解答題十大題型總結(jié)

【題型目錄】

題型一：利用正余弦定理面積公式解題

題型二：解三角形與三角恒等變換結(jié)合

題型三：三角形面積最大值，及取值范圍問題

題型四：三角形周長最大值，及取值范圍問題

題型五：角平分線相關(guān)的定理

題型六：有關(guān)三角形中線問題

題型七：有關(guān)內(nèi)切圓問題（等面積法）

題型八：與向量結(jié)合問題

題型九：幾何圖形問題

題型十：三角函數(shù)與解三角形結(jié)合

【典例例題】

題型一：利用正余弦定理面積公式解題

2

【例1】△A8C的內(nèi)角/、B、C的對邊分別為a、b、c,已知△NBC的面積為，一

3sin4

（1）求sin5sinC;

（2）若6cos3cosC=1,a=3,求△45。的周長.

27—

【答案】（l）sinBsinC=^（2）3+>/33.

【詳解】：（1）由題設(shè)得Lacsin5='^,即LcsinB=，一.

23sinZ23SIIL4

isin/

由正弦定理得一sinCsin5=----.

23siivl

故sinSsinC二—.

3

（2）由題設(shè)及（1）得3$3850-5111551110=-；，，即C0S（5+C）=.

所以B+C=女，故4二工.

33

[2

由題設(shè)得上bcsiih4=，一，即6c=8.

23sin/

由余弦定理得/+°2—be=9,即伍+c『—3bc=9,得b+c=屈.

故4/臺。的周長為3+屈.

【例2】A48C的內(nèi)角力.&C的對邊分別為見仇。，已知sin(Z+C)=8sin25.

(1)求cos3;

(2)若Q+C=6,A/18C面積為2,求6.

【答案】(1)—；(2)2.

17

222

【詳解】：(1)sin(^+C)=8sin^,.,.81115=4(1-0085),VsinJ8+cosJ8=b

22,

/.16(l-cos5)+cos5=1,A(170085-15)(0085-1)=0,..cosJ8=^y；

Q

(2)由(1)可知sin8=—,

17

.c1?nc.17

?ABC=Q,sinB=2,..ac=—,

]715

?*.b2=a2+c?—2accosB——2x—x—=ci^+—15=(〃+。)—Zac—15=36—17—15=4,

217')

b=2.

【例3】△ZBC的內(nèi)角力,B,C的對邊分別為a,b,c已知2cosc(QCOS5+6COS4)=C.

(1)求角c；(2)若C=J7，S^BC=號,求AA5C的周長.

【答案】(1)C=|(2)5+近

【詳解】：(1)由已知可得2cosc(sin/cos5+sin5cosA)=sinC

171

2cosCsinQ+B)=sinCncosC=—C=—

(2)SMBC=；absinCn彳6=；abnab=6

Xva2+b2-2abcosC=c2

a2+b2=13，(a+b)2=25na+Z?=5

??.AA5C的周長為5+V7

【例4】已知。，b,c分別為Az43c三個內(nèi)角A,5,C的對邊，c=y/3asinC-ccosA.

⑴求A；

(II)若a=2,AA8C的面積為百，求b,c.

JT

【答案】(1)4=§(2)b=c=2

【詳解】⑴由c=J§asinC-ccosZ及正弦定理得

V3siiL4sinC-cos?lsinC=sinC

由于sinCW0,所以sinf^4——

2

7T

又0</<〃，故4=一.

3

(II)tsABC的面積S=；bcsmA=百，故秘=4,

而=62+02-2〃ccos/故+Z?2=8,解得6=C=2

【例5】(2022?陜西?安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)(文))在A/BC中a,b,C分別為內(nèi)角4,B,。的對

A-L-C

邊.csin-------=bsinC.

2

(1)求角B的大?。?/p>

112

(2)若----+----=---~,b=2,求△45。的面積.

tanAtanCtanB

【答案】(MJ,⑵百

【分析】(1)利用正弦定理化簡求解即可.

(2)利用三角函數(shù)的和差公式，得到」+—^=sm(,+?=.smB進而利用正弦定理可求出ac,

tan4tanCsmAsmCsinAsinC

利用面積公式即可求解.

(1)

由csin-------=bsinC及正弦定理得sinCsin--------=sinBsinC,

22

因為優(yōu)Ce(0,萬)，則sinC>0且?

所以sin8=sin"十°二sin———=cos—,

222

m.BBBB1口B71LL2n萬

即2sin—cos—=cos—,貝!]sin—=一,可1"可—=一，所以3=—.

22222263

(2)

11cosAcosCcos^4sinC+cosCsinAsin(力+C)sin5

--------1--------=-------1——；=-----------；------；-------------=--------；=-------；

tanAtanCsin/sinCsin^4sinCsinAsinCsin^4sinC

22cos51n0

----=一:一—二—一-，所以sin/sinC=sinB,所以QC=/=4,

tan6sin6sin6

故S-BC=2sinB=G

【題型專練】

1.已知仇c分別為AA8C三個內(nèi)角48,C的對邊，acosC+WasinC-b-c=0

(1)求角A(2)若a=2,AA8C的面積為JJ；求仇c.

【答案】(1)6Qe⑵b=c=2

【解析】：(1)由4cosc+GsinC-b-c=0及正弦定理得

sinAcosC+A/3sinsinC-sin5-sinC=0，

因為8=%一4一。，所以百sinZsinC-cos/sinC-sinC=0-

TT177

由于sinCwO,所以sin(Z——)=-.又0</<不，故/=一.

623

(2)A/18C的面積S=LbcsinZ=,故6c=4,而/=6?+c?-2bccosZ，故〃+°2=8.

2

解得b=c=2.

2.已知d"c分別是AA8C內(nèi)角48,C的對邊，sin25=2siiL4sinC.

U)若a=6,求cosB;

(2)若3=90°，且a=J5,求AA8C的面積.

【答案】(1),；(2)1

4

【解析工(1)由題設(shè)及正弦定理可得〃=2ac

又a=b,可得6=2C,Q=2C

由余弦定理可得cosB=——=-

lac4

(2)由(1)矢口=2ac

因為3=90°，由勾股定理得"+廿二〃

故。2+c?=2ac，得。二a=V2

所以蠢.超位’的面積為1

3.(2021新高考2卷)在4/臺。中，角A、B、。所對的邊長分別為。、b、c,b=a+l,c=a+2：

(1)若2sinC=3sin4,求i48C的面積;

(2)是否存在正整數(shù)。，使得A/BC為鈍角三角形?若存在，求出。的值；若不存在，說明理由.

【詳解】(1)因為2sinC=3sinZ,則2c=2(a+2)=3a,則a=4,故Z?=5,c=6,

cosC="~+'-一°2所以，。為銳角，則sinC=Jl—cos2C=

lab88

田Nc-1A-ziC3>/7_15A/7

=

內(nèi)It匕，oAADC—absinC——x4x5x------=--------;

△ABC2284

(2)顯然c>6〉a,若△ZBC為鈍角三角形，則C為鈍角，

rhAi十一工田-T，曰「+62—c1/+(4+1)_(q+2)—2a—3

由余弦定理可得cosC=----------------=-------——/~\------」=——-------<0,

2ab2a\a+1)2a(a+1)

解得一1<Q<3,則0VQ<3,

由三角形三邊關(guān)系可得Q+Q+1〉Q+2,可得。>1,?:aeZ,故a=2.

4.(2022?廣東佛山?高三階段練習(xí))在“3。中，角/㈤。所對的邊分別為a",c,且a=GQcos3+osin5.

(1)求角4的大?。?/p>

(2)若a=2近,3sin8=2sinC,求△4BC的面積.

【答案】(1)/4

⑵6G

【分析】(1)利用正弦定理邊角轉(zhuǎn)化、和角的正弦公式進行化簡求值.

(2)利用正弦定理、余弦定理以及三角形的面積公式求解.

(1)

由正弦定理可知：a:b:c=sin/:sin5:sinC,

得GsinC=sin4cos5+sin/sinB,

因為gsinC=VJsin(Z+5)=VJsinAcosB+VJcos/sinB,

得百cos4sin5=sin/sinB，

VA,BE(0,TI),sinB^0,V3cosA=sinA,

丁?tan4=6，即4=1.

(2)

由3sinB=2sinC,得%=2c,

由余弦定理可得：a1=b2+c2-2bccosA=28

又Q=2"Z=

937

貝西+―/——b2=28,即一〃=28,解得b=4,c=6,

424

故△/BC的面積為S=，bcsinZ=』x4x6x^^=6百.

222

5.(2022?安徽省宿松中學(xué)高二開學(xué)考試)在△/BC中，角4叢。的對邊分別為

7八5\/3.2-\/3?—?n

a,b,c,tanS=,SIIL4=sinCsin5.

(1)求角。的大?。?/p>

(2)若△力5。的面積為竺且，求△45。外接圓的半徑.

196

【答案】⑴告977，⑵1

【分析】(1)由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sing,再由兩角和的正弦公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求

出tanC,即可得解；

(2)設(shè)A4BC外接圓的半徑是R,由正弦定理得到6=%8R,a=^R,再由面積公式計算可得.

77

sin856

tano=-------=------

巫<cosB11

tanB=:sin25+cos25=1

(1)解：由11得1乙)且

5G

sinB=-

解得＜或，山(舍去),

11

cosB=—cosB=-

1414

由因為siib4=4后sinCsinS,所以3sinC=7siib4,

5

因為sirU=sin(5+C),所以3sinC=7sin(8+C)=7sin5cosC+7cos5sinC,

即3sinCuW^cosC+UsinC,化簡得tanC=-6，

22

因為0<C<%,所以c=件27r.

(2)解：設(shè)A/BC外接圓的半徑是五,

因為6=2RsinB=R,a=27?siih4=—RsinC=R,

777

C_1\、,3也D、,5^D、,G_456宿紀(jì)俎D(zhuǎn)_1

/TT以S=-ubsine——x--Rx---Rx—=----，用軍R—1,

22772196

故A4BC外接圓的半徑是1.

題型二解三角形與三角恒等變換結(jié)合

【例1】A/BC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c.已知3=150。.

(1)若a=6c，6=2J7,求ANBC的面積；

L、歷

(2)若sinA+y]3sinC=---,求C

2

【答案】(1)百；(2)15°.

【分析】(1)由余弦定理可得/=28=°2+02—2ac-cosl50°=7c2，

:.c=2,a=20.AABC的面積S=；acsin8=百；

(2)?.?/+(7=30。，

sin/+百sinC=sin(30°-C)+V3sinC

=-cosC+—sinC=sin(C+30°)=-.

222

???0°<C<30°,30°<C+30°<60°,

.-.C+30°=45°,.-.C=15°.

兀5

【例2】△NBC的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知cos2(—+Z)+cosZ=—.

24

(1)求/;

同

⑵若b—c=2a，證明：△ZBC是直角三角形.

3

71

【答案】(1)A=-；(2)證明見解析

3

【分析】(1)因為cos?]工+/]+cos4=。，所以sit?N+cos4=*,

U)44

51

即1-cos9A+cosA=-解得cosA=—,又0<4<〃，

492

71

所以/=—；

3

(2)因為/=工，所以cos/="+：->=',即〃+。2—/=人①，又b-c=3②，將②代入

32bc23

①得，62+c2-3(Z)-c)2=Z)c,即2"+2c2—56c=0,而6>c，解得6=2c,

所以。=百。,故人2=/+。2,

即A/8C是直角三角形.

【例3】在A/18C中，滿足sin2A-cos2B+4lsvnAsvaB=-cos2C-

(1)求C；

/一、、兀，?3A/2cos(a+N)cos(a+8)逝..

(2)設(shè)cosZcosB=1^,—-----~------求tana的值.

5cosa5

【詳解】

(1)cos2B=1一sin2B?cos2C=1-sin2C?sin2A-cos2B+4IsinAsinB=-cos2C變形為

sin2A-(1-sin2B)+^IsinAsinB=-(1-sin2C)，

即sin2A+sin2B+42sinAsinB=sin2C，

利用正弦定理可得：a1+b2+42ab=c^由余弦定理可得cosC=—也，即?=型.

24

(2)由(1)可得cos(A+B)=^1-，A+B=—,

24

又cosAcosB=cos(N+8)+cos(2-8)=逆,可得cos(A-B)=逆，

2510

n兀、7也

同時cos(a+A)cos(a+B)=cos(2a+A+B)+cos(A-B)cos^a+4^+10，

22

S兀、［6亞r.r7也

?/?A、/?n、cos(2a+—)+-----——cos2a-sm2a+-

..cos(a+A)cos(a+B)_410_210

2cos2a2cos2a2cos2a

V2.2c.76(2.2\

——cos2a-sin6Z-2sinacosaH------kcosa+sina)

210

2cos2a

V2sinacosa

=55

2cos2a

3V2V2V2_V2

1tern2cc-tcma——

5---10-----------2------------5

tan2a-5tana+6=2，

tana=1或4.

【題型專練】

1.△NBC的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,設(shè)(sin5-sin。丁=sin?4-sin5sinC.

(1)求4；

(2)若6a+b=2c，求sinC

【答案】U)A=-；(2)sinC=^+拒.

34

【分析】【詳解】

(1)(sin5-sinC)2=sin25-2sin5sinC+sin2C=sin2A-sinBsinC

即：sin2B+sin2C-sin2A=smBsinC

由正弦定理可得：b2-^c2-a2=bc

b1+C1-a1

/.cos/二

2bc2

VA€(0,7T)：,A=^

(2)Wa+6=2c，由正弦定理得：yflsinA+sinB=2sinC

,冗

又sin5=sin(/+C)=sinAcosC+cosAsinC,A=—

3

/.V2x1cosCH■—sinC=2sinC

222

整理可得：3sinC-76=73cosC

,.esin2C+cos2C=1...（3sinC—V^）=3（1—sin2C）

+

解得：smc=&正或G也

44

因為sin5=2sinC—血51114=25畝。一'^>0所以5111。>'^，故sin。=1土叵

244

（2）法二：,:①a+b=2c，由正弦定理得：sinA+sinB=2sinC

又sinB=sin（4+C）=sin4cosc+cos4sinC,^=~

..，2x---1---cosCH—sinC—2sinC

222

整理可得：3sinC—后=J§cosC，即3sinC—右cosC=2百sinC—2=指

I6J

1萬/八2TZ_、-,7T（冗冗、匚u八I方冗冗方冗冗

由Ce（。,?。?C—%e（一%?）,所以J%=<=+%

.（兀兀、V6+V2

sinC=sin（—H——）=-------.

464

sin8

2.（2022?重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知在銳角△43。中，tan/=

1+cosB

（1）證明：B=2A；

tanB-tanA

⑵求的取值范圍.

1+tanA?tanB

【答案】（1）證明見解析

⑵

【分析】（1）化簡題干條件得到siiU=sin（8-4）,從而根據(jù)A/BC是銳角三角形，得到/=/,得到3=2/；

兀71

（2）先根據(jù)銳角三角形得到,再逆用正切的差角公式，結(jié)合第一問的結(jié)論得到

654

tanS-taib4.

---------------=taiL4G

1+taib4?tan5

(1)

、十n口,,sia4smS,

證明：由taib4=-----=----------矢口:

cos/1+cosB

sin4(l+cos5)=sinScos^,

即sia4+siiL4cos3=sin8cos/，

所以sirU=sinScos/-sirUcos5=sin(5—,

因為A48C是銳角三角形,

所以—4c

71兀

y=sinx在上單調(diào)遞增,

252

所以/=8-即8=2/.

(2)

兀=兀一71■卜

由銳角知：AE0,|,5=0,|,C=?r—4—53/￡0,1

22

解得：Ae

,,tan5-tarU/八八」

故-----------=tan(B-A\=taiL4G

1+taib4-tanS

CA3

3.在△Z5C中，已知sin/cos2—+sinCcos2一二一sin3.

222

(1)求證：a+c=2b；

（2）求角8的取值范圍.

【詳解】

CA3

證明：(1)Tsin/cos2—+sinCcos2—=—sinB

222

.,1+cosC.「1+cosZ3.八

/.sinA------------bsinC-------------smB

222

/.sin4(1+cosC)+sinC(1+cos4)=3sin3

/.sin+sinC+sinAcosC+sinCcosA=3smB

/.sin4+sinC+sin(4+C)=3sin5

'：A+C+B=7i

4+C—7i—B

sin(/+C)=sin5

/.sin24+sinC=2sin5

根據(jù)正弦定理得：a+c=2b,得證.

(2)由(1)知在中，a+c=2b

又cosB=消去6化簡得：cos5=+1)_1>6ac_J_l

"c—'=

2。。Sac4Sac42

（71

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，又8為三角形的內(nèi)角，，Be0,§

題型三：三角形面積最大值，及取值范圍問題

A

【例1】在AZBC中，角A,B,。所對的邊分別為。，6,C,若tan（8+C）=tanw，且a=2,則AZBC

的面積的最大值為

A.也B.3C.V3D.2也

32

【答案】A

A

【解析】：因為tan（B+C）=tan5,且5+。=?！猌,

2tan—/.

所以tan（B+C）=-tanZ=----------=tan—>0,所以tan—=百，貝!]/=把.

1-tan2-223

2

27r

由于a=2為定值，由余弦定理得4=〃+，—2兒cos3-,即4=〃+°2+兒.

,4

根據(jù)基本不等式得4=〃+/+Z?c22Z?c+bc=3bc，即bcW—,當(dāng)且僅當(dāng)6=c時，等號成立.

3

樂“0」?"14V3_V3

月I以S——besinA.4—x—x———?

:ARr22323

故選：A

A+Q

【例2】AA8C的內(nèi)角42C的對邊分別為仇c，已知asin-------=bsmA.

2

（1）求B；

（2）若A4BC為銳角三角形，且c=l,求A45C面積的取值范圍.

【答案】（1）B=g⑵邑當(dāng).

382

j_i_CA+C

【分析】(1)根據(jù)題意asin---=bsinA,由正弦定理得sin/sin---=sinBsin/,因為0<4<?,

/+C

故sin/〉0,消去sin/得sin-------=sinB.

2

7

j_i_f_、r,,/+C/+C

3<B<ji,0<-------〈萬因為故-----=5或者-----+B=7i,而根據(jù)題意4+3+。=〃，故

222

4+C,,LLt[/+C兀

-------+3=%不成vU,所以------=B,又因為/+5+C=;z■，代入得38=%，所以5=—

223

JI2

（2）解法一：因為△ZBC是銳角三角形，由（1）知5=1,/+5+C=?得到/+C=，

0<C<-

2

故＜，解得工＜。＜工.

八2%「九62

0<C<—

32

a

又應(yīng)用正弦定理c=1,

sinAsinC

由三角形面積公式有:

111-A&sin(--C)

=—ac-sin5=-c2—?sin5=—c2――sin5=-------------------

°4BC22c2sinC4sinC

27r27r

/rsin——cosC-cos——sinC

7333=叵/.27r12%、316

(sin------------cos——)=---------F——

4sinC43tanC38tanC8

v7m7iV3./A/331VJA/3

又因一<。<一4211。>二,故二<-------+—<—，

62388tanC82

珈M<V3

故丁<S"BC-

oZ

故S“BC的取值范圍是（立，且）

82

解法二：若A45C為銳角三角形，且c=l,

由余弦定理可得6二/+1—2〃?l?cos———a+1，

3

由三角形Z5C為銳角三角形，可得Q2+。2一Q+1>1且1+Q2一Q+1>Q2,且1+Q2〉Q2_〃+],

解得La<2,

2

可得AA8C面積S=，a?sin￡=e（如，—）.

23482

【例3】在△/BC中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,C的對邊，若a+c=4,2sin3=sinN+sinC,貝！JZX/BC

的面積的最大值為（）

A.V3B.2C.273D.4

【答案】A

【解析】

因為2sin5=sin4+sinC,所以2b=a+c,因a+c=4,所以Z>=2,

22_j2（a+c）2-2ac-b2

由余弦定理得COSB=a+c—D16-2。。-412-2ac

2aclaclaclac

所以2accos5=12-2。。，所以cosB=^~~竺，所以

ac

1（6-ac）2_J（ac）2-（6-ac）2

sin5=Jl-cos2B=

\（ac）2ac

因%Ec=；acsin5=1Jac-36+l2ac-ac1/i

■—ac------------------------------------=—\Ylac-36=73ac-9

2ac2

因為a+c22?Z，所以acV（"=4，=yj3ac-9<V12-9=V3

注：此題也可用橢圓軌跡方程做

【例4】在△Z5C中，a,b,c分別為內(nèi)角4,B,。的對邊，若〃=2,b=&,則的面積的最

大值為（）

A.6B.2C.2百D.4

【答案】A

【解析】

因為。=2,bfc，由余弦定理得cosN=?+°2―4一”丁

2bc273c.e2&2

2244242

CCII.,r--------L（4c-4）|12C-16C+32C-167-4c+32c-16

所以sinZ=41-cos4=.J->「《=J------------------j-------------=--------------；=-；---------

]（2信2]V12c426c2

因SMBC=；besin4=；73c2-|V-c4+8c2-4

設(shè)/=''則S3；I：+8"4=/"：『E6

注：此題也可用圓軌跡方程做

【題型專練】

1.已知a：Rc分別為盛雅巍:三個內(nèi)角乜及C的對邊，a=2,且(2+b)(sin.4-血8)=(c-b)如C,則

■&超四?面積的最大值為.

【答案】6

【解析】：由a=3且(2+6)(血工-sin3)=(c-b)sinC,故(a+b)(sz力N—szk5)=(c—b)sz力C,又根

據(jù)正弦定理，得(a+6)(a—b)=(c—b)c,化簡得，b2+c2-a2=bc<故。。必=之^—所以

2bc2

/=60°，y.b2+c2-be=4>be>故S2出=；bcsi〃A工粗?

2.已知a,b,c分別為△ABC角4B,C的對邊,cos2A—cos2S—cos2C=cosAcosB+cosC-cos2B,且c=V3,

則下列結(jié)論中正確的是()

A.C=gB.C=y

C.△ABC面積的最大值為@D.△ABC面積的最大值為這

44

【答案】BC

【解答】解??,cos?4—COS2B—cos2c=cosAcosB+cosC-cos2B,???(1-sin27l)—(1—sin2B)—(1—sin2C)

=cosAcosB-cos(X+B)—(1—2sin2^),???sinZsinB+sin2B+sin2/—sin2c=0,

由正弦定理可得ab+b2+a2—c2=0,...cosC=*-.=—又0<C<7T,C=4，

2ab23

即c2=3=a2+b2-2abeos笥=a2+Z?2+ab>2ab+ab=3ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時取等號，

ab&l,/.S—5absinC^.

故選：BC.

3.AABC的內(nèi)角4§,C的對邊分別為a,b,c,已知a=bcosC+csin3.

(I)求5；

(II)若b=2,求△ZBC面積的最大值.

【詳解】（l）;a=Z）cosC+csin5

由正弦定理知sin/=sinBcosC+sinCsinB①

在三角形45。中，（8+C）

sinA=sin（5+C）=sinBcosC+sinCsinB②

由①和②得sin5sinC=cosBsinC

而。￡（0,"），.'sinCwO,sinB=cosB

22

（2）S.ARr=—acsinB=ac，由已知及余弦定理得：4=a+c-2accos—>2ac-2acx,

2442

4

整理得：―當(dāng)且僅當(dāng)〃=C時，等號成立,

則4ABC面積的最大值為YZx—4——xV2x（2+V2）=+1

222-V22,）

4.Z\45C的內(nèi)角4,B,。的對邊分別是Q,b,c,設(shè)siib4cos5=sin5(2-cos4).

(1)若b+c=遮。，求/;

(2)若Q=2,求△45。的面積的最大值.

【解析】(1)VsiiL4cosB^sinB(2-cosA),

結(jié)合正、余弦定理，可得=加(2-竺學(xué)注)，

化簡得，c=2b,代入b+c=百。，得。=百6,

+A吃小工田上門A—板+。2—。2—板+462-362_1..、?n

，COSTI—2bc=2b2b=2，?4￡CO,兀)，??4二可.

(2)由(1)知,c=2b,

b2+c2-a25b2—451

由余弦定理知，cosA=

2bc4b24報'

?**/\ABC的面積S=^bcs\x\A——cos^A=肝?,1—-^0?="?J-+,需2-

=卜觸+押—1=］一磊(爐一等)2+竽,

當(dāng)乂=等時，S取得最大值，為，

5.在A4BC中，內(nèi)角4B、。所對的邊分別為見仇。，。是4g的中點，若CD=1且

(a-；6)sin/=(c+/?)(sinC-sin5),則AA8C面積的最大值是.

【答案】41

5

如圖，設(shè)NC￡U=。，則NCD5=〃—。，

在NCDA和MD8中，分別由余弦定理可得cos6=2----------,cos(〃-。)=---------,

CC

2

兩式相加，整理得］+2—(/+/)=。，???/=2(/+/?2)—4.①

(J>(J>

由a——bsiih4=(c+卜(sinC-sin5)及正弦定理得a——ba=(c+Z))(c-b),

I2J\2J

整理得=皿，②

2

由余弦定理的推論可得cosC=a+'—°=-,所以sin。=匹.

2ab44

把①代入②整理得a2+b2+—=4,

2

又1+〃22融，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立，所以422仍+”=當(dāng)，故得

225

所以見說=-?^sinC<—X—=?

皿22545

即A4BC面積的最大值是YE.故答案為理.

55

6.(2023,全國?高三專題練習(xí))在A48C中，角4民。的對邊分別為a,6,c,且0-6cosc=6csin8.

⑴求B；

(2)若a=2,且A48C為銳角三角形，求A/3C的面積S的取值范圍.

;712A/3

【答案】⑴8=7,⑵〒，

67

【分析】(1)由正弦定理邊角互化得sin4=J5sinCsin5+sin5cosC,再結(jié)合三角恒等變換得tanB

3

進而得答案;

2sinC

冗冗b=

⑵結(jié)合題意得“c_,再根據(jù)正弦定理得,進而根據(jù)面積公式與三

sin

6

1

S=

角恒等變換得1若，再求范圍即可.

---------------1--------

2tanC2

(1)

解：a-bcosC=CcsinB,

由正弦定理可得：sin^4=V3sinCsin5+sinBcosC,

又sinA=sin(5+C)=sinBcosC+cos5sinC,

***V3sinCsin5+sin5cosC=sin5cosC+cos5sinC，即：百sinCsinB=sinCeos民

*.*B,C￡(O,?),sinCwO,

tanB=，即Bg

36

(2)

一兀

解：△/BC為銳角三角形，所以0<c<,解得？<C<一,

l2

八5萬「乃

0<------C<—

62

2bc

2b

'a=2,由正弦定理得即smA?。一LsinC，

sinAsinBsinC

62

12sinC

b=

sin紅.csinJ--C

6I6

5萬sinCsinCtanC1

S=—Z?csin=—Zjcsin|--C

226sinf^-C