2023年北京市初三二模數(shù)學試題匯編：圓解答題（第24題）

第1頁/共1頁2023北京初三二模數(shù)學匯編圓解答題（第24題）一、解答題1.（2023·北京東城·統(tǒng)考二模）如圖，的直徑與弦相交于點，且，點在的延長線上，連接．（1）求證：是的切線；（2）若，求半徑的長．2.（2023·北京西城·統(tǒng)考二模）如圖，以菱形的邊為直徑作交于點，連接交于點是上的一點，且，連接．（1）求證：；（2）求證：是的切線3．（2023·北京海淀·統(tǒng)考二模）如圖，P為☉O外一點，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，點C在☉O上，連接OA，OC，AC．（1）求證：∠AOC=2∠PAC；（2）連接OB，若AC∥OB，☉O的半徑為5，AC=6，求AP的長．4.（2023·北京朝陽·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，C為上一點，，直線與直線相交于點H，平分．（1）求證：是的切線；（2）與的交點為F，連接并延長與相交于點D，連接．若F為中點，求證：．5.（2023·北京房山·統(tǒng)考二模）如圖，A，B，C三點在⊙O上，直徑BD平分∠ABC，過點D作DE∥AB交弦BC于點E，在BC的延長線上取一點F，使得∠BFD=∠ADB。（1）求證：DF是⊙O的切線；（2）若AD=4，DE=5，求DF的長。 6.（2023·北京豐臺·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，點D是BC的中點，點E是AB的延長線上的一點，∠BCE=∠BOD，OD的延長線交CE于點F．（1）求證：CE是⊙O的切線；（2）若sinE＝，AC＝5，求DF的長．7.（2023·北京門頭溝·統(tǒng)考二模）如圖，是直徑，弦于E，點F在上，且，連接，BC．（1）求證：；（2）延長到P，使，作直線．如果．求證：直線為的切線．

8．（2023·北京順義·統(tǒng)考二模）如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，AC是⊙O的直徑．（1）求證：∠BAC=∠APB；（2）連接PO交⊙O于點D，若AC=6，cos∠BAC=，求PD的長．9．（2023·北京燕山·統(tǒng)考二模）如圖，AB為⊙O的直徑，BC為弦，射線AM與⊙O相切于點A，過點OOD∥BC交AM于點D，連接DC．(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)過點B作BE⊥AB交DC的延長線于點E，連接AC交OD于點F．若AB＝12，BE＝4，求AF的長．

參考答案1.（1）證明：連接，如圖所示：∵的直徑與弦CD相交于點E，且∴，∴，∵，∴，∴.∴∴是的切線；（2）解∵∴.∴在中，，∵解得：，∴，∴設則在中，∴∴.∴即的半徑為4．2.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角及菱形的性質得到點是的中點即可解答；（2）根據菱形的性質及全等三角形的判定得到，再根據全等三角形的性質得到，最后利用四邊形的內角和及切線的判定即可解答．【小問1詳解】解：連接，∵為的直徑，∴，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴點是的中點，∴；【小問2詳解】解：連接，∵四邊形是菱形，∴，，∴在和，，∴，∴，∵是的直徑，∴，∴，∵，∴在四邊形中，，∴，∴，∴是的切線．3.（1）證明：∵PA是O的切線，切點為A，∴OA⊥PA.∴∠OAP90°.∴∠OAC90°－∠PAC.∵OAOC，∴∠OAC=∠OCA.∴∠AOC180°－2∠OAC.∴∠AOC2∠PAC.………3分（2）解：延長AC交PB于點D，過點O作OE⊥AC于E.∴∠OEC90°.∵OAOC，∴AEEC，∠AOE∠COE.∵∠AOC2∠PAC，∴∠AOE∠AOC∠PAC.∵AC6，O的半徑為5，∴AEAC3.∴.∴cos∠AOE.∴cos∠PACcos∠AOE.∵PB是O的切線，切點為B，∴OB⊥PB.∴∠OBP90°.∵AC∥OB，∴∠ADB180°－∠OBP90°.∵∠OEC90°，∴四邊形OEDB是矩形.∴EDOB5.∴ADAE+ED8.在△APD中，∠APD90°，∴AP.…………………6分4.（1）證明：連接，∵，∴∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴是的切線；（2）∵，∴，∵F為中點，∴，∵∴∴5.（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∵BD是⊙O的直徑，∴∴∠1+∠ADB=90°。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。∵∠F=∠ADE。，∴∠2+∠F=90°∴∠FDB=∴OD∵OD是半徑，∴DF是⊙O的切線。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分（2）連接DC∵BD是⊙O的直徑，∴∵BD平分∠ABC，∴DC=DA=4.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分∵∴CE=DE2∵∴∵∴∴EB=DE=5∴CB=3+5=8.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分∴DB=又∠FDB=∠DCB=90°∴ΔFDB～ΔDCB∴DF即DF∴DF=25。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6（其他解法酌情給分）6.（1）證明：連接OC.∵D是BC的中點，∴OD⊥BC.……1分∵OC=OB，∴∠OBC=∠OCB.∵∠BOD=∠BCF，∴∠BOD+∠OBC=∠BCF+∠OCB.∴∠BCF+∠OCB=90°.……2分即∠OCE=90°.∴OC⊥CE.∵OC⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線.……3分（2）解：∵∠OCE=90°，sinE=，∴.設OC=2k，OE=3k，則BE=OE-OB=k.∴AE=AB+BE=5k.∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°∴∠ACB=∠ODB，∴AC∥OF.∴△EOF∽△EAC.……4分∴.∵AC=5,∴OF=3.……5分∵CD=BD,AO=BO,∴OD=AC=.∴DF=OF-OD=.……6分7.（1）證明：，，又∵AC，；（2）解：連接，∴∵，∴，∵弦于E∴在中，∴∴，，又∵AC，，∵OC是的半徑∴直線為的切線．8.（1）證明一：如圖，連接PO，交AB于點E．∵PA、PB為⊙O的切線，∴PA=PB，∠1=∠2=∠APB，∠PAO=90°．∴PE⊥AB，∠3+∠BAC=90°，∴∠PEA=90°．∴∠1+∠3=90°．∴∠BAC=∠1．∴∠BAC=∠APB．………………3分證明二：如圖，連接OB．∵PA、PB為⊙O的切線，∴∠PAO=∠PBO=90°．∵∠PAO+∠PBO+∠P+∠1=360°，∴∠P+∠1=180°．∵∠2+∠1=180°，∴∠P=∠2．∵OA=OB，∴∠BAC=∠3．∵∠2=∠BAC+∠3，∴∠2=2∠BAC．∴∠P=2∠BAC．即∠BAC=∠APB．………………3分（2）解：∵cos∠BAC=，∴sin∠BAC=，∴sin∠1=，∵AC=6，∴AO=3，∴OP=5，∴PD=OP-OD=2．…………………6分9.(1)證明：如圖，連接OC．∵AM與⊙O相切于點A，∴OA⊥AD．∵OD∥BC，∴∠1＝∠2，∠B＝∠3．∵OC＝OB，∴∠1＝∠B，∴∠2＝∠3．又∵OC＝OA，OD＝OD，∴△DOC≌△DOA，∴∠OCD＝∠OAD＝90°，即OC⊥DC．又∵OC是⊙O的半徑，∴DC是⊙O的切線．……………3分(2)解：如圖，連接OE．∵BE⊥AB，∴BE為⊙O的切線．∵EC也為⊙O的切線，∴EC＝EB．又∵OC＝OB，∴OE⊥BC．∵AB是⊙O的直徑，AB＝12，∴OA＝OB＝6，∠ACB＝9