2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：階段滾動檢測（二）

階段滾動檢測（二）

120分鐘150分

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.（2024?鄭州模擬）已知i為虛數(shù)單位復(fù)數(shù)z滿足zi-i=z+l廁|z+l|=（）

A.^/2B.lC，V5D.2

【解析】選A.因為zi-i=z+1，則-2（l-i）=l+i,

故|z+l|=|l-i|=J12+（-］）2=$，故A正確

2.（2023?北京模擬）在八18。中，若a=2bcos。，則ZU5。一定是（）

A.正三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等腰三角形

222

a+bc

【解析】選D.由a=2bcosC及余弦定理得:a=2Z?x—————=>a2=a2+d2-c2^d2=c2,

即b=c.

3.（2023?襄陽模擬）設(shè)z￡C,則在復(fù)平面內(nèi)3<|z|<5所表示的區(qū)域的面積是（）

A.5兀B.9TIC.16TID.25TI

【解析】選C.滿足條件|z|=3的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓

心,半徑為3的圓，滿足條件|z|=5的復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)

為圓心，半徑為5的圓,則在復(fù)平面內(nèi)3<|z|<5所表示的區(qū)域為圓環(huán)，如圖中陰影部

分區(qū)域所示：

所以，在復(fù)平面內(nèi)3<|z|<5所表示的區(qū)域的面積是兀*（52-32）=16兀

4TC

4.(2024?江西模擬)已知向量a=(log23,sin—),Z>=(log38,m),^a_Lb，則m=()

A.-2GB.-73C.2PD.3也

【解析】選C.因為小"所以“力=0,

即Iog23xlog38+加sin1=0,

所以log28-g加=0,所以m=2聒

【加練備選】

(2024?咸陽模擬)已知向量”=(1廣1)/=(加,2),若(“+/>)〃”,則2ab=()

A.-8B.-7C.7D.8

【解析】選A.由向量”=（1廣1）/=（加,2｝得“+〃=（加+1,1）,由（“+〃）〃/得（加+1）+1=0,

解得加=-2,于是6=(-2,2),所以2a必=2x(22尸-8.

5.(2024?西安模擬)已知向量”=(1,0)/=(4,總?cè)?2adi不超過3,則m的取值范圍

為()

A.[-A/3，A/3]B.[-V5，V5]

C.[-3,3]D.[-5,5]

【解析】選B.由題意知,2“岳(-2,-加)，

所以2“-臼=加工n7S3得4+m2<9,

即加2s5,解得-加

即實數(shù)m的取值范圍為[-更，計].

6.將函數(shù)尸sin(2%M的圖象沿x軸向右平圖個單位后彳導(dǎo)到一個偶函數(shù)的圖象,

則(P的取值可為()

IT_n/n_3ir

A--4B-4C-2DT

【解析】選B.將函數(shù)產(chǎn)sin(2%M的圖象沿x軸向右平稼個單位后，

得到產(chǎn)sin[2(x-》夕]=sin(2%T-0),若此時函數(shù)為偶函數(shù)的圖象，則；0=左兀+黑WZ,

得0=-E-[,左WZ,當(dāng)仁-1時,0=71-乎J

7.已知向量”=(1,3),“+〃=(-1,7),則向量?在向量b方向上的投影向量為()

A.(4，|)B.(-l,2)

C.(-75,275)D.(|,-|)

【解析】選B.由題知，向量兒4=(-1,7)-(1,3尸(-2,4),所以“3-2+12=10.

又回=產(chǎn)門石=2&,所以向量a在向量b方向上的投影向量為(-1,2).

8.(2024?貴州聯(lián)考)如圖，甲秀樓位于貴州省貴陽市南明區(qū)，是該市的標(biāo)志性建筑之

一.甲秀樓上下三層，白石為欄，層層收進(jìn).某研究小組將測量甲秀樓最高點(diǎn)離地面

的高度，選取了與該樓底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與。，現(xiàn)測得

Z5CD=23°,ZCD5=30°,CD=11.2m,在。點(diǎn)測得甲秀樓頂端/的仰角為72.4。,則

甲秀樓的高度約為(參考數(shù)據(jù):tan72.4°^3.15,sin53%0.8)()

A.20mB.21mC.22mD.23m

【解析】選C由題意可知,/38=23。,/。m=30。,

所以NC3ZA127。,又因為CD=11.2m,

由正弦定^^而CB

sinag

可得W，解得CBFm,

又因為N405=72.4。,所以^5=5CtanZ^C5-7x3.15-22(m).

二、選擇題:本題共3小題,每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得6分,部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.(2023?長沙模擬)已知復(fù)數(shù)z的共期復(fù)數(shù)為萬,則下列說法正確的是()

A.z2=|z|2

B.z+萬一定是實數(shù)

C.若復(fù)數(shù)Z1/2；兩足匕1+Z2ImZ1-Z2I，貝[]Z1'Z2—0

D.若復(fù)數(shù)z的平方是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)z的實部和虛部相等或者互為相反數(shù)

【解析】選BD.當(dāng)復(fù)數(shù)z=i時/2=-1,肝=1,故A錯；

設(shè)z=a+bi(a,b￡R)廁萬=a-6i,

所以z+5=2a￡R,故B對；

設(shè)zi=a]+bii(ai,bi￡即/2=。2+的(。2,3GR),由|zi+z2|=|z「Z2|可得

222222\

必1+Z2)=(4+a2)+@1+上2)=IZ1-Z2\=(。1-a2)+(%-匕2)，所以的2+6也=0,

而Z1Z2=(41+61i)(a2+Z?2i)=?1?2-^1b2+{ai3+bia2)i=2aiz+S13+"奧瓦不一定為0,故

C錯;

設(shè)z=a+bi(a,b￡R),則z2=a2-b2+2abi為純虛數(shù).

所以卜I一ft。，則質(zhì)夏瑪故口對.

2abW0(twwU

10.(2024?濰坊模擬)已知向量a=(-l,3)/=(%,2),且(a-2Z>)±”,則下列選項正確的

是()

A.?,Z?能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底

B.m<3是“=(-1,3)與c=(加,1)夾角是銳角的充要條件

C.向量a與向量b的夾角是45°

D.向量b在向量a上的投影向量坐標(biāo)是(-1,3)

【解析】選AC.因為4=(-1,3)力=(%,2),

所以a-2Z>=(-l-2x,-l),

則(?-2Z>)-a=1+2x-3=0,

解得％=1,所以Z>=(1,2),

可得a,b不共線，故A正確；

當(dāng)a,c平行時，

1

可得-1x1-3x加=0,解得加=-?所以B錯誤；

.CL'b-1+65yf2

由COS<“,(>^=J(_回X在小

因為0。3<“力>480。,故向量a與向量b的夾角是45。,所以C正確；

向量b在向量”上的投影向量為魯，彩(-肅),所以D錯誤?

11.(2024?大連模擬)在ZU5C中角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若acosB+bsinA^c,

a^2.y/10,a2+b2-c2^absin。,則()

A.tanC=2B.Z、

C力=6裾D.ZU5C的面積為12^/2

【解析】選AC.由余弦定理可得a2+b2-c2^2abcosC^absinC,解得tan。=2,故A

正確;

由acosB+bsin4=c及正弦定理，可得sinAcosB+sinBsin4=sinC=sin(/+5),化簡

可得sinBsin4=cosAsinB.

因為5￡(0m),所以sin5>0,

所以sin/=cos4即tan4=1.

因為4￡(0,兀),所以力4故B錯誤；

因為tanC=2,所以cosOO且sinC=2cosC代入sin2C+cos2C=l,

可得5cos2。=1,解得cosC=g,sin

因為a=2^/10sinC=-g-,

,-2A/5

QsinCx-r~

所以由正弦定理si可n/i得7v4=8,

T

2/g

由a2+b2-c2^absinC,可得(2^/IU)2+b2-82=2^/I^bx-^-,

化簡可得按一4遂尻24=0,解得b=6j或42招(舍去)，故C正確；

11/2

Szu3c^6csinZ=^x6^/5x8x^^24,故D錯誤

三、填空題:本題共3小題,每小題5分，共15分.

12.若復(fù)數(shù)z滿足團(tuán)=1廁聲(l-i)z|(i為虛數(shù)單位)的最小值為.

答案:"-1

【解析】因為|z|=l,

所以Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓,

又因為匕㈤二㈤㈤,

所以聲(1-i)z|=|z"z+1』=匕+11+i)|的幾何意義為圓上的點(diǎn)到尸(-1,1)的距離,

如圖，

所以z2+(l-i)zHz-(-l+i)|的最小值為|0尸卜1=7屋/彳

13.(2023?鎮(zhèn)江模擬)在&43C中力8=34),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).若存在實數(shù)2,

林使得AE=AAB+而3,則丸+〃=(請用數(shù)字作答).

1—1??*T****3

【解析】因為E是。。的中點(diǎn)，

所以AE=AC+CE=AC+|CD

因為所以AD=|AB,

所以由"Ak+i無，所以花卻，即"〃=|4=|.

O乙。乙O乙。

14.(2024?天津模擬)在AX8C中,/5/。=120。,|4引=|4。|=2,AB=2AE,AF=AAC

(/>0),EF=2前目畫修，則A=;BF-五的值為.

尸尸一323

塔宗?一-一

1=1木，22

【解析】因為AB=2AE,AF=1AC(2>0),EF=2EM,

所以AM=|(AE+AF)=|(|AB+；AC)=|AB+j2AC,

/y

又I血I得，在ZU5c中,/"。=120。,依引=|4。|=2,

、I”?A?A]AAA?

所以AC-AB=|AC|-|AB|cosZ5^C=2x2x(--)=-2,1AMI2=(-AB)2+-AC-AB+(-AC)2

△%2上

4249

3

即2方43=0,解得丸與或丸=-1(舍去)，

故丸的值為1.

---A--->---?---?---?---?---A---A---?1---?

又BF=BA+AF=-AB+2AC,CE=CA+AE=-AC+-AB,

BF-CE=(-AB+^AC)-(-AC+|AB)

=(l+1)AB-AC-|(AB)24(西2=(i4(-2)24i=-4￡=§，故癡.國勺值為彳

A

四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步

驟.

15.（13分）（2023?長春模擬）已知復(fù)數(shù)z=（加2-1）+（源加2）i,m￡R.

⑴若z是純虛數(shù)，求m的值；

【解析】（D若z是純虛數(shù),

則［y-l=°,

m-m-20

所以加=1,則m的值為1;

(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y+l=O上，求m的值；

【解析】(2)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x-y+l=O上，則m2-l-(m2-m-2)+l=0,

解得m=-2;

(3)若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的取值范圍.

2

【解析】⑶若Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，則,了-1>°,

m-m-2<0

所以1<相<2,則m的取值范圍為(1,2).

16.(15分)(2023?洛陽模擬)已知向量a=(l,2),b=(3,-2).

⑴求心臼；

【解析】⑴由題知所(1,2))=(3,-2),

所以a-b=(-2,4),

所以+16=2依

⑵已知|c|=g,且(2a+c)_Lc,求向量a與向量c的夾角.

【解析】(2)由題知,“=(1,2),\c\=y/10,(2a+c)±c,

所以同=G，(2“+C>C=0,

所以2ac+c2=0,

所以21aMeos<?,c>+|c|2=0,

所以Zx@x^/IUxcos<?,c>+10=0,

所以COS<?,c>=-^y,

因為<的>￡[0,田,所以向量a與向量c的夾角為季

17.（15分）（2024?長沙模擬）在ZU5C中角4瓦。所對的邊長分別為。也c,且滿足

sinB+sinC=2sinAcosB.

（1）證明:以挾多。；

【解析】（D因為sin5+sinC=2sinAcosB,

由正弦定理可得b+c=2acosB,

22,2

再由余弦定理得計。=2。尸2：；，

整理得a2-b2^bc.

⑵如圖，點(diǎn)。在線段的延長線上，且即|=3,|">|=1,當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動時，探究8卜

|C4|是否為定值.

【解析】（2）因為互補(bǔ),

所以cosZABC+cosZCBD=G,

結(jié)合余弦定理可得

2,222,,2

a+c-bza+\BorD4\l-\CD\

-2ac12a-\BD\，

因為c=[4引=3,內(nèi)。|=1,

2222

曰刈+9-ba+1-\CD\

則一§一^?——若匚°，

整理得4a2-Z72+12-3|CZ)|2=0,

又a2^b2+bc^b2+3b,

1

故|C7)HC4|=2為定值.

18.(17分)已知向量a=(cos(-6>),sin(-0),Z>=(cos(^-6>),sin(^-6>)).

(1)求證:Q_LZ>;

ITTT

【解析】(l)a=(cos(-9),sin(-6))/=(cos(2-6),sin(2-6)).

=a=(cos仇-sin0),b=(sin3,cosff)

=a?〃=cos夕sinasin6*cos0=0,

故aA-b.

Zz_Lt2

(2)若存在不為。的實數(shù)上和，，使x=“+(P+3)〃產(chǎn)■+色滿足x_L■試求此時

的最小值.

【解析】(2)顯然⑷=|〃=Jcos2。+sin2e=lMA=?=[a+(P+3M]?(-hz+/Z0=O,

故可得次同2+《產(chǎn)+3）網(wǎng)2+上次（產(chǎn)+3）W必=0,

即-上+(「+3)=0=仁/(尸+3),

2

Mfc+t、-/1、。11

所cr以l一丁=〃+什3=?+5)-+彳,

LL4,

k+t2.11

T,

19.（17分）（2024?衡陽模擬）在澳臺。中,CD為AB邊上的高，已知AC+BC^AB+CD.

⑴若/5=2CZ),求tan：的值;

【解析】⑴設(shè)a,b,c分別為A45C中角A,B,C所對的運(yùn)CQ=/z,則a+b^c+h.

2,,22,?入、22,,,.22

a-￥b-c(a+b)-c-Q2abz(c+n)-ch2+2ch

在A45C中,由余弦定理得cosC=

2ab2ab2ab2ab,

由;absinojc"得ab一

乙乙o111

2

r-r-i\11+cosCh+2ch_h

所以1

si.nCr=2nchb=+▼2c-

因為43=28,所以c=2/z,于是一魯=1*,

.cc

C2sin2C0S2sinC4

mJtan-------“二’—廣m

202c14-cosC5

2cos2

⑵若AB=kCD,k>0,求tanC的最小值及tanC取最小值時k的值.

hI

【解析】（2）方法一:由⑴知

LC.G

tan2

如圖，在八45。中過B作AB的垂線防，且使EB=2h,

貝UCE=C5=a,貝UAC+CE^a+b>AE^c2+4憂