黑龍江省哈爾濱市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知角的終邊過點(diǎn)，若，則A.-10 B.10C. D.2．函數(shù)與g(x)＝－x＋a的圖象大致是A. B.C. D.3．已知是定義域?yàn)榈膯握{(diào)函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為（）A.0 B.C. D.14．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，.則（）A.2 B.1C.-1 D.-25．與函數(shù)的圖象不相交的一條直線是（）A. B.C. D.6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A. B.C. D.7．下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又是在區(qū)間上是增函數(shù)是A. B.C. D.8．若圓錐的底面半徑為2cm，表面積為12πcm2，則其側(cè)面展開后扇形的圓心角等于（）A. B.C. D.9．在某次測(cè)量中得到的樣本數(shù)據(jù)如下：.若樣本數(shù)據(jù)恰好是樣本數(shù)據(jù)都加2后所得數(shù)據(jù)，則兩樣本的下列數(shù)字特征對(duì)應(yīng)相同的是（）A.眾數(shù) B.平均數(shù)C.標(biāo)準(zhǔn)差 D.中位數(shù)10．如圖，四面體ABCD中，CD=4，AB=2，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若EF⊥AB，則EF與CD所成的角的大小是（）A.30° B.45°C.60° D.90°二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若，是夾角為的兩個(gè)單位向量，則，的夾角為________.12．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則___________13．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表.其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積=（弦矢+）.弧田（如圖），由圓弧和其所對(duì)弦所圍成，公式中“弦”指圓弧所對(duì)弦長(zhǎng)，“矢”等于半徑長(zhǎng)與圓心到弦的距離之差.現(xiàn)有圓心角為，弦長(zhǎng)等于9m的弧田.按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田的面積是________.14．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上的截距相等的直線的方程為__________15．在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－中，E，F(xiàn)，G，H分別為棱，，，的中點(diǎn)，將該正方體挖去兩個(gè)大小完全相同的四分之一圓錐，得到如圖所示的幾何體，現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①CG//平面ADE；②該幾何體的上底面的周長(zhǎng)為；③該幾何體的的體積為；④三棱錐F－ABC的外接球的表面積為其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________16．函數(shù)(且)的圖象恒過定點(diǎn)_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設(shè)圓的圓心在軸上，并且過兩點(diǎn).(1)求圓的方程；(2)設(shè)直線與圓交于兩點(diǎn)，那么以為直徑的圓能否經(jīng)過原點(diǎn)，若能，請(qǐng)求出直線的方程；若不能，請(qǐng)說明理由.18．已知函數(shù)（，且）（1）求的值及函數(shù)的定義域；（2）若函數(shù)在上的最大值與最小值之差為3，求實(shí)數(shù)的值19．化簡(jiǎn)求值（1）；（2）.20．已知函數(shù)，其中(1)求函數(shù)的定義域；(2)判斷的奇偶性，并說明理由；(3)若，求使成立的的集合21．已知非空集合，.（1）當(dāng)時(shí)，求，；（2）若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，得，故選A.2、A【解析】因?yàn)橹本€是遞減，所以可以排除選項(xiàng)，又因?yàn)楹瘮?shù)單調(diào)遞增時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)B,此時(shí)兩函數(shù)的圖象大致為選項(xiàng)，故選A.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考查函數(shù)的指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，利用排除法，將不合題意的選項(xiàng)一一排除.3、B【解析】令，可以求得，即可求出解析式，進(jìn)而求出函數(shù)值.【詳解】根據(jù)題意，令，為常數(shù)，可得，且，所以時(shí)有，將代入，等式成立，所以是的一個(gè)解，因?yàn)殡S的增大而增大，所以可以判斷為增函數(shù)，所以可知函數(shù)有唯一解，又因?yàn)?，所以，即，所?故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)的表示方法，屬于中檔題.4、D【解析】由奇函數(shù)定義得，從而求得，然后由計(jì)算【詳解】由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，而當(dāng)時(shí)，，所以，所以當(dāng)時(shí)，，故.由于為奇函數(shù)，故.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查奇函數(shù)的定義，掌握奇函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．5、C【解析】由題意求函數(shù)的定義域，即可求得與函數(shù)圖象不相交的直線.【詳解】函數(shù)的定義域是，解得：，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的圖象不相交的一條直線是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的定義域，屬于簡(jiǎn)單題型.6、A【解析】根據(jù)的圖象求得，求得，再根據(jù)，求得，求得的值，即可求解.【詳解】根據(jù)函數(shù)的圖象，可得，可得，所以，又由，可得，即，解得，因?yàn)?，所?故選：A.7、A【解析】對(duì)于，函數(shù)，定義域是，有，且在區(qū)間是增函數(shù)，故正確；對(duì)于，函數(shù)的定義域是，是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)的定義域是，有，在區(qū)間不是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；對(duì)于，函數(shù)的定義域是，有，是偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故錯(cuò)誤故選A8、D【解析】利用扇形面積計(jì)算公式、弧長(zhǎng)公式及其圓的面積計(jì)算公式即可得出【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r=2，母線長(zhǎng)為R，其側(cè)面展開后扇形的圓心角等于θ由題意可得：，解得R=4又2π×2=Rθ∴θ=π故選D【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積計(jì)算公式、弧長(zhǎng)公式及其圓的面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題9、C【解析】分別求兩個(gè)樣本的數(shù)字特征，再判斷選項(xiàng).【詳解】A樣本數(shù)據(jù)是：，樣本數(shù)據(jù)是：，A樣本的眾數(shù)是48，B樣本的眾數(shù)是50，故A錯(cuò)；A樣本的平均數(shù)是，B樣本的平均數(shù)是，故B錯(cuò)；A樣本的標(biāo)準(zhǔn)差B樣本的標(biāo)準(zhǔn)差，，故C正確；A樣本的中位數(shù)是，B樣本的中位數(shù)是，故D錯(cuò).故選：C10、A【解析】取BC的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG.先證明出（或其補(bǔ)角）即為EF與CD所成的角.在直角三角形△EFG中，利用正弦的定義即可求出的大小.【詳解】取BC的中點(diǎn)G,連結(jié)FG,EG.由三角形中位線定理可得：AB∥EG，CD∥FG.所以（或其補(bǔ)角）即為EF與CD所成的角.因?yàn)镋F⊥AB,則EF⊥EG.因?yàn)镃D=4,AB=2,所以EG=1,FG=2,則△EFG是一個(gè)斜邊FG=2,一條直角邊EG=1的直角三角形,所以,因?yàn)闉殇J角，所以，即EF與CD所成的角為30°.故選:A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】由題得，，再利用向量的夾角公式求解即得解.【詳解】由題得，所以.所以，的夾角為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的模和數(shù)量積的計(jì)算，考查向量的夾角的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.12、【解析】由圖象可得最小正周期的值，進(jìn)而可得，又函數(shù)圖象過點(diǎn)，利用即可求解.【詳解】解：由圖可知，因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，又，所以，故答案為：.13、.【解析】如下圖所示，在中，求出半徑，即可求出結(jié)論.【詳解】設(shè)弧田的圓心為，弦為，為中點(diǎn)，連交弧為，則，所以矢長(zhǎng)為，在中，，，所以，，所以弧田的面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題以數(shù)學(xué)文化為背景，考查直角三角形的邊角關(guān)系，認(rèn)真審題是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14、或【解析】根據(jù)題意將問題分直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況求解，然后結(jié)合待定系數(shù)法可得到所求的直線方程【詳解】（1）當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可設(shè)直線方程為，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴直線方程為，即（2）當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程，∵點(diǎn)在直線上，∴，∴，∴直線方程為，即綜上可得所求直線方程為或故答案為或【點(diǎn)睛】在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)形式的直線方程，并注意各種形式的方程所適用的條件，由于截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點(diǎn)的直線，故在解題時(shí)若采用截距式，應(yīng)注意分類討論，判斷截距是否為零，分為直線過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況求解．本題考查直線方程的求法和分類討論思想方法的運(yùn)用15、①③④【解析】由面面平行的性質(zhì)判斷①；由題設(shè)知兩段圓弧的長(zhǎng)度之和為，即可得上底周長(zhǎng)判斷②；利用正方體體積及圓錐體積的求法求幾何體體積判斷③；首先確定外接球球心位置，進(jìn)而求出球體的半徑，即可得F－ABC的外接球的表面積判斷④.【詳解】因?yàn)槊婷?，面，所以CG//平面，即CG//平面ADE，①正確；依題意知，弧EF與弧HG均為圓弧，且這兩段圓弧的長(zhǎng)度之和為，所以該幾何體的上底面的周長(zhǎng)為，該幾何體的體積為8－，②錯(cuò)誤，③正確；設(shè)M，N分別為下底面、上底面的中心，則三棱錐F－ABC的外接球的球心O在MN上設(shè)OM＝h，則，解得，從而球O的表面積為，④正確.故答案為：①③④16、【解析】令對(duì)數(shù)的真數(shù)為，即可求出定點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再代入求值即可；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)(且)，令，解得，所以，即函數(shù)恒過點(diǎn)；故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)或.【解析】（1）圓的圓心在的垂直平分線上，又的中點(diǎn)為，，∴的中垂線為.∵圓的圓心在軸上，∴圓的圓心為，因此，圓的半徑，（2）設(shè)M,N的中點(diǎn)為H，假如以為直徑的圓能過原點(diǎn)，則.，設(shè)是直線與圓的交點(diǎn)，將代入圓的方程得：.∴.∴的中點(diǎn)為.代入即可求得，解得.再檢驗(yàn)即可試題解析：(1)∵圓的圓心在的垂直平分線上，又的中點(diǎn)為，，∴的中垂線為.∵圓的圓心在軸上，∴圓的圓心為，因此，圓的半徑，∴圓的方程為.(2)設(shè)是直線與圓的交點(diǎn)，將代入圓的方程得：.∴.∴的中點(diǎn)為.假如以為直徑的圓能過原點(diǎn)，則.∵圓心到直線的距離為，∴.∴，解得.經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，直線與圓均相交，∴的方程為或.點(diǎn)睛：直線和圓的方程的應(yīng)用，直線和圓的位置關(guān)系，務(wù)必牢記d與r的大小關(guān)系對(duì)應(yīng)的位置關(guān)系結(jié)論的理解.18、（1）0；；（2）或.【解析】（1）代入計(jì)算得，由對(duì)數(shù)有意義列出不等式求解作答.（2）由a值分類討論單調(diào)性，再列式計(jì)算作答.【小問1詳解】函數(shù)，則，由解得：，所以的值是0，的定義域是.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，，于是得，即，解得，則，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，，于是得，即，解得，則，所以實(shí)數(shù)的值為或.19、（1）109；（2）.【解析】（1）利用指數(shù)冪運(yùn)算和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的轉(zhuǎn)化，化簡(jiǎn)求值即可；（2）利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】解：（1）原式；（2）原式.20、（1）（2）奇函數(shù)（3）【解析】(本小題滿分14分)(1)由，得∴函數(shù)的定義域?yàn)?…4分（2）函數(shù)