黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題含解析

黑龍江省哈爾濱第九中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，在正四棱柱中，，點是平面內(nèi)的一個動點，則三棱錐的正視圖和俯視圖的面積之比的最大值為A B.C. D.2．已知原點到直線的距離為1，圓與直線相切，則滿足條件的直線有A.1條 B.2條C.3條 D.4條3．用b，表示a，b，c三個數(shù)中的最小值設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的最大值為A.4 B.5C.6 D.74．“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的烏龜，驕傲起來，睡了一覺．當它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已晚，烏龜還是先到達了終點．用，分別表示烏龜和兔子所行的路程(為時間)，則下圖與故事情節(jié)相吻合的是（）A. B.C. D.5．在空間四邊形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，E為對角線AC的中點，下列判斷正確的是()A平面ABC⊥平面BED B.平面ABC⊥平面ABDC.平面ABC⊥平面ADC D.平面ABD⊥平面BDC6．函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為A. B.C. D.7．函數(shù)（）的零點所在的一個區(qū)間是（）A. B.C. D.8．已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當時，，則函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為（）A. B.C. D.9．設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系是A. B.C. D.10．冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上是增函數(shù)，則的值為（）A. B.C. D.和二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．一個棱長為2cm的正方體的頂點都在球面上，則球的體積為_______cm3.12．函數(shù)fx=13．如圖，在中，，，若，則_____.14．某次學(xué)科測試成績的莖葉圖和頻率分布直方圖都受到不同程度的污損，可見部分如圖.則參加測試的總?cè)藬?shù)為______，分數(shù)在之間的人數(shù)為______.15．為了解某校高三學(xué)生身體狀況，用分層抽樣的方法抽取部分男生和女生的體重，將男生體重數(shù)據(jù)整理后，畫出了頻率分布直方圖，已知圖中從左到右前三個小組頻率之比為1:2:3，第二小組頻數(shù)為12，若全校男、女生比例為3:2，則全校抽取學(xué)生數(shù)為________16．若，則=_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)的一系列對應(yīng)值如下表：（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)的一個解析式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，若函數(shù)周期為，當時，方程恰有兩個不同的解，求實數(shù)的取值范圍.18．設(shè)在區(qū)間單調(diào)，且都有（1）求的解析式；（2）用“五點法”作出在的簡圖，并寫出函數(shù)在的所有零點之和.19．如圖，在長方體中，，是與的交點.求證：（1）平面；（2）平面平面.20．如圖，平行四邊形中，，分別是，的中點，為與的交點，若,，試以，為基底表示、、21．已知全集.（1）求；（2）求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】由題意可知，P在正視圖中的射影是在C1D1上，AB在正視圖中，在平面CDD1C1上的射影是CD，P的射影到CD的距離是AA1=2，所以三棱錐P﹣ABC的正視圖的面積為三棱錐P﹣ABC的俯視圖的面積的最小值為，所以三棱錐P﹣ABC的正視圖與俯視圖的面積之比的最大值為，故選B點睛：思考三視圖還原空間幾何體首先應(yīng)深刻理解三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.2、C【解析】由已知，直線滿足到原點的距離為，到點的距離為，滿足條件的直線即為圓和圓的公切線，因為這兩個圓有兩條外公切線和一條內(nèi)公切線.故選C.考點：相離兩圓的公切線3、B【解析】在同一坐標系內(nèi)畫出三個函數(shù)，，的圖象，以此確定出函數(shù)圖象，觀察最大值的位置，通過求函數(shù)值，解出最大值【詳解】如圖所示：則的最大值為與交點的縱坐標，由，得即當時，故選B【點睛】本題考查了函數(shù)的概念、圖象、最值問題利用了數(shù)形結(jié)合的方法關(guān)鍵是通過題意得出的簡圖4、B【解析】分別分析烏龜和兔子隨時間變化它們的路程變化情況,即直線的斜率變化即可.【詳解】解：對于烏龜，其運動過程分為兩段：從起點到終點烏龜沒有停歇，一直以勻速前進，其路程不斷增加；到終點后，等待兔子那段時間路程不變；對于兔子，其運動過程分三段：開始跑的快,即速度大，所以路程增加的快；中間由于睡覺，速度為零，其路程不變；醒來時追趕烏龜，速度變大，所以路程增加的快；但是最終是烏龜?shù)竭_終點用的時間短.故選：B【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象對實際問題進行刻畫，是基礎(chǔ)題.5、A【解析】利用面面垂直的判定定理逐一判斷即可【詳解】連接DE，BE．因為E為對角線AC的中點，且AB＝BC，AD＝CD，所以DE⊥AC，BE⊥AC因為DE∩BE＝E，所以AC⊥面BDEAC?面ABC，所以平面ABC⊥平面BED，故選A【點睛】本題主要考查了面面垂直的判定，要求熟練掌握面面垂直的判定定理6、A【解析】，所以．故選A7、C【解析】將各區(qū)間的端點值代入計算并結(jié)合零點存在性定理判斷即可.【詳解】由，，，所以，根據(jù)零點存在性定理可知函數(shù)在該區(qū)間存在零點.故選：C8、D【解析】推導(dǎo)出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，可得出，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象交點橫坐標之和，數(shù)形結(jié)合可得出結(jié)果.【詳解】由于函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，且該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，可得，則函數(shù)在區(qū)間上的零點之和為函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上圖象交點橫坐標之和，如下圖所示：由圖象可知，兩個函數(shù)的四個交點有兩對關(guān)于點對稱，因此，函數(shù)在區(qū)間上的所有零點之和為.故選：D.【點睛】本題考查函數(shù)零點之和，將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點，結(jié)合函數(shù)圖象的對稱性來求解是解答的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.9、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，，，可比較大小，【詳解】解：，，；故選D【點睛】在比較冪或?qū)?shù)大小時，一般利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性，有時還需要借助中間值與中間值比較大小，如0,1等等10、D【解析】分別代入的值，由冪函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)增減性即可.【詳解】因為，，所以當時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是減函數(shù)；所以當時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，在上是常函數(shù)；所以當時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱,在上是增函數(shù)；所以當時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得，圖象關(guān)于y軸對稱,在上是增函數(shù)；故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】因為一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長為2，所以正方體的外接球的直徑就是正方體的對角線的長度：2所以球的半徑為：所求球的體積為=故答案為：12、(0.+∞)【解析】函數(shù)定義域為R，∵3x>0∴3考點：函數(shù)單調(diào)性與值域13、【解析】根據(jù)平面向量基本定理，結(jié)合向量加法、減法法則，將向量、作為基向量,把向量表示出來，即可求出.【詳解】即：【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用問題，解題時根據(jù)向量加法與減法法則將所求向量用題目選定的基向量表示出來，是基礎(chǔ)題目.14、①.25②.4【解析】根據(jù)條件所給的莖葉圖看出分數(shù)在[50，60)之間的頻數(shù)，由頻率分布直方圖看出分數(shù)在[50，60)之間的頻率和[90，100)之間的頻率一樣，繼而得到參加測試的總?cè)藬?shù)及分數(shù)在[80，90)之間的人數(shù).【詳解】成績在[50，60)內(nèi)的頻數(shù)為2，由頻率分布直方圖可以看出，成績在[90，100]內(nèi)同樣有2人，由，解得n=25，成績在[80，90)之間的人數(shù)為25-(2+7+10+2)=4人，所以參加測試人數(shù)n=25，分數(shù)在[80，90)的人數(shù)為4人.故答案為：25；4【點睛】本題主要考查莖葉圖、頻率分布直方圖，樣本的頻率分布估計總體的分布，屬于容易題.15、80【解析】頻率分布直方圖中，先根據(jù)小矩形的面積等于這一組的頻率求出四與第五組的頻率和，再根據(jù)條件求出前三組的頻數(shù)，再依據(jù)頻率的和等于1，求出前三組的頻率，從而求出抽取的男生數(shù)，最后按比例求出全校抽取學(xué)生數(shù)即可【詳解】根據(jù)圖可知第四與第五組的頻率和為（0.0125+0.0375）×5=0.25∵從左到右前三個小組頻率之比1：2：3，第二小組頻數(shù)為12∴前三個小組的頻數(shù)為36，從而男生有人∵全校男、女生比例為3：2，∴全校抽取學(xué)生數(shù)為48×=80故答案為80【點睛】本題考查頻數(shù)，頻率及頻率分布直方圖，考查運用統(tǒng)計知識解決簡單實際問題的能力，數(shù)據(jù)處理能力和運用意識16、【解析】分析和的關(guān)系可知，然后用余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】∵，∴.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象，求出、和、的值，寫出的解析式即可；（2）由函數(shù)的最小正周期求出的值，再利用換元法，令，結(jié)合函數(shù)的圖象求出方程恰有兩個不同的解時的取值范圍【詳解】解：(1)繪制函數(shù)圖象如圖所示：設(shè)的最小正周期為，得．由得又解得,令，即，，據(jù)此可得：，又，令可得所以函數(shù)的解析式為(2)因為函數(shù)的周期為，又，所以令，因為，所以在上有兩個不同的解，等價于函數(shù)與的圖象有兩個不同的交點，，所以方程在時恰好有兩個不同的解的條件是，即實數(shù)的取值范圍是【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)與方程的應(yīng)用問題，屬于中檔題18、（1）（2）圖象見解析，所有零點之和為【解析】（1）依題意在時取最大值，在時取最小值，再根據(jù)函數(shù)在單調(diào)，即可得到，即可求出，再根據(jù)函數(shù)在取得最大值求出，即可求出函數(shù)解析式；（2）列出表格畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)函數(shù)的對稱性求出零點和；【小問1詳解】解：依題意在時取最大值，在時取最小值，又函數(shù)在區(qū)間單調(diào)，所以，即，又，所以，由得，即，又因為，所以，，所以.【小問2詳解】解：列表如下0001所以函數(shù)圖象如下所示：由圖知的一條對稱軸為有兩個實數(shù)根，記為，則由對稱性知，所以所有實根之和為.19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】⑴連結(jié)交于點，連結(jié)，推導(dǎo)出，又因為平面，由此證明平面⑵推導(dǎo)出，，從而平面，由此證明平面平面解析：（1）連結(jié)交于點，連結(jié)，∵，∴.∴.又∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面.∴.∵,∴∵與相交，∴平面∵平面.∴平面平面.點睛：本題考查了立體幾何中的線面平行及面面垂直，在證明的過程中依據(jù)其判定定理證得結(jié)果，在證明平行中需要做輔助線，構(gòu)造平行四邊形或者三角形中位線證得線線平行，從而證得線面平行20、【解析】分析：直接利用共線向量的性質(zhì)、向量加法與減法的三角形法則求解即可.詳解：由題意，如圖，，連接，則是的重心，連接交