浙江省杭二中2025屆數學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

浙江省杭二中2025屆數學高二上期末學業(yè)水平測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數的圖象如圖所示，則該函數的圖象是（）A. B.C. D.2．設橢圓C：的右焦點為F，過原點O的動直線l與橢圓C交于A，B兩點，那么的周長的取值范圍為（）A. B.C. D.3．已知數列為遞增等比數列，，則數列的前2019項和（）A. B.C. D.4．已知直線與圓交于A，B兩點，O為原點，且，則實數m等于（）A. B.C. D.5．已知雙曲線：，直線經過點，若直線與雙曲線的右支只有一個交點，則直線的斜率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．在各項都為正數的數列中，首項為數列的前項和，且，則（）A. B.C. D.7．已知雙曲線的離心率為2，且與橢圓有相同的焦點，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.8．拋物線的焦點到直線的距離（）A. B.C.1 D.29．已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．直線的一個法向量為（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點坐標A. B.C. D.12．在等差數列{an}中，a1＝2，a5＝3a3，則a3等于（）A.－2 B.0C.3 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若、是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.14．若直線l經過A(2，1)，B(1，)兩點，則l的斜率取值范圍為_________________；其傾斜角的取值范圍為_________________.15．我國古代，9是數字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇家建筑中包含許多與9相關的設計．例如，北京天壇圓丘的底面由扇環(huán)形的石板鋪成（如圖），最高一層是一塊天心石，圍繞它的第一圈有9塊石板，從第二圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈，則前9圈的石板總數是__________16．已知為平面的一個法向量，為直線的方向向量.若，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為直角梯形，，平面ABCD，，.（1）求點B到平面PCD的距離；（2）求二面角的平面角的余弦值.18．（12分）已知等差數列滿足，，的前項和為.（1）求及；（2）令，求數列的前項和.19．（12分）設p：；q：關于x的方程無實根.（1）若q為真命題，求實數k的取值范圍；（2）若是假命題，且是真命題，求實數k的取值范圍.20．（12分）已知數列和滿足，（1）若，求的通項公式；（2）若，，證明為等差數列，并求和的通項公式21．（12分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，BC//AD，AD＝2BC＝2PA＝2AB＝2，E，F，G分別為線段AD，DC，PB的中點.（1）證明：直線PF//平面ACG；（2）求直線PD與平面ACG所成角的正弦值.22．（10分）如圖甲，平面圖形中，，沿將折起，使點到點的位置，如圖乙，使.（1）求證：平面平面；（2）若點滿足，求點到直線的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用導數與函數的單調性之間的關系及導數的幾何意義即得.【詳解】由函數f(x)的導函數y＝f′(x)的圖像自左至右是先減后增，可知函數y＝f(x)圖像的切線的斜率自左至右先減小后增大，且，在處的切線的斜率為0，故BCD錯誤，A正確.故選：A.2、A【解析】根據橢圓的對稱性橢圓的定義可得，結合的范圍求的周長的取值范圍.【詳解】的周長，又因為A，B兩點為過原點O的動直線l與橢圓C的交點，所以A，B兩點關于原點對稱，橢圓C的左焦點為，則，所以，又因為三點不共線，所以，所以的周長的取值范圍為，故選：A.3、C【解析】根據數列為遞增的等比數列，，利用“”法求得，再代入等比數列的前n項和公式求解.【詳解】因為數列為遞增等比數列，所以，解得：，所以.故選：C【點睛】本題主要考查等比數列的基本運算，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.4、A【解析】根據給定條件求出，再求出圓O到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心O，半徑，因，則，而，則，即是正三角形，點O到直線l的距離，因此，，解得，所以實數m等于.故選：A5、D【解析】以雙曲線的兩條漸近線作為邊界條件，即可保證直線與雙曲線的右支只有一個交點.【詳解】雙曲線：的兩條漸近線為和兩漸近線的傾斜角分別為和由經過點的直線與雙曲線的右支只有一個交點，可知直線的傾斜角取值范圍為，故直線的斜率的取值范圍是故選：D6、C【解析】當時，，故可以得到，因為，進而得到，所以是等比數列，進而求出【詳解】由，得，得，又數列各項均為正數，且，∴，∴，即∴數列是首項，公比的等比數列，其前項和，得，故選：C.7、B【解析】求出焦點，則可得出，即可求出漸近線方程.【詳解】由橢圓可得焦點為，則設雙曲線方程為，可得，則離心率，解得，則，所以漸近線方程為.故選：B.8、B【解析】由拋物線可得焦點坐標，結合點到直線的距離公式，即可求解.【詳解】由拋物線可得焦點坐標為，根據點到直線的距離公式，可得，即拋物線的焦點到直線的距離為.故選：B.9、B【解析】由雙曲線的漸近線方程以及即可求得離心率.【詳解】由已知條件得，∴，∴，∴，∴，故選：.10、B【解析】直線化為，求出直線的方向向量，因為法向量與方向向量垂直，逐項驗證可得答案.【詳解】直線的方向向量為，化為，直線的方向向量為，因為法向量與方向向量垂直，設法向量為，所以，由于，A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；故選：B.11、B【解析】由拋物線方程知焦點在x軸正半軸，且p=4，所以焦點坐標為，所以選B12、A【解析】利用已知條件求得，由此求得.【詳解】a1＝2，a5＝3a3，得a1＋4d＝3(a1＋2d)，即d＝－a1＝－2，所以a3＝a1＋2d＝－2.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因為△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點，，B為雙曲線上一點，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率，常常不能經過條件直接得到a，c的值，這時可將或視為一個整體，把關系式轉化為關于或的方程，從而得到離心率的值.14、①.②.【解析】根據直線l經過A(2，1)，B(1，)兩點，利用斜率公式，結合二次函數性質求解；設其傾斜角為，，利用正切函數的性質求解.【詳解】因為直線l經過A(2，1)，B(1，)兩點，所以l的斜率為，所以l的斜率取值范圍為，設其傾斜角為，，則，所以其傾斜角的取值范圍為，故答案為：，15、405【解析】前9圈的石板數依次組成一個首項為9，公差為9的等差數列，16、##【解析】根據線面平行列方程，化簡求得的值.【詳解】由于，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標系，用點到面的距離公式即可算出答案；（2）先求出兩個面的法向量，然后用二面角公式即可.【小問1詳解】∵平面平面∴PB⊥AB,PB⊥BC,又兩兩互相垂直,所以，以點為坐標原點，分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，D(3,6,0),A(0,6,0)設平面的一個法向量所以n?PD令，可得記點到平面的距離為，則d=【小問2詳解】由(1)可知平面的一個法向量為平面的一個法向量為設二面角的平面角為由圖可知，18、（1），；（2）.【解析】（1）根據等差數列的通項公式及已知條件，，解方程組可得，，進而可得等差數列的通項公式，再利用等差數列的前項和公式可得；（2）將數列的通項公式代入可得的通項公式，利用錯位相減法求和可得結果.【詳解】（1）設等差數列的首項為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因為，所以，故，，兩式相減得，所以.【點睛】本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數列{an}是等差數列，{bn}是等比數列，求數列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數列{bn}的公比，然后作差求解.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據命題的真假，結合一元二次方程無實根，列出的不等式，即可求得結果；（2）求得命題為真對應的的范圍，結合命題一個為真命題一個為假命題，即可列出的不等式組，求解即可.【小問1詳解】若q為真命題，則，解得，即實數k的取值范圍為.【小問2詳解】若p為真，，解得，由是假命題，且是真命題，得：p、q兩命題一真一假，當p真q假時，或，得，當p假q真時，，此時無解.綜上的取值范圍為.20、（1）（2）證明見解析，，【解析】（1）代入可得，變形得構造等比數列求的通項公式；（2）先由已知得，先分別求出，的通項公式，然后合并可得的通項公式，進而可得的通項公式【小問1詳解】當，時，，所以，即，整理得，所以是以為首項，為公比的等比數列故，即【小問2詳解】當時，由，，得，所以因為，所以，則是以為首項，2為公差的等差數列，，；是以為首項，2為公差的等差數列，，綜上所述，所以，，故是以2為首項，1為公差的等差數列當時，，且滿足，所以21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）連接EC，設EB與AC相交于點O，結合已知條件利用線面平行的判定定理可證得OG//平面PEF，再由三角形中位線定理結合線面垂直的判定定理可得AC//平面PEF，從而由面面垂直的判定可得平面PEF//平面GAC，進而可證得結論，（2）由已知可證得PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量求解即可【小問1詳解】證明：連接EC，設EB與AC相交于點O，如圖，因為BC//AD，且，AB⊥AD，所以四邊形ABCE為矩形，所以O為EB的中點，又因為G為PB的中點，所以OG為△PBE的中位線，即OG∥PE，因為OG平面PEF，PE?平面PEF，所以OG//平面PEF，因為E，F分別為線段AD，DC的中點，所以EF//AC，因為AC平面PEF，EF?平面PEF，所以AC//平面PEF，因為OG?平面GAC，AC?平面GAC，AC∩OG＝O，所以平面PEF//平面GAC，因為PF?平面PEF，所以PF//平面GAC.【小問2詳解】因為PA⊥底面ABCD，AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，因為AB⊥AD，所以PA、AB、AD兩兩互相垂直，以A為原點，AB，AD，AP所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示：則A（0，0，0），，C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1），所以，設平面ACG的法向量為，則，所以，令x＝1，可得y＝﹣1，z＝﹣1，所以，設直線PD與平面ACG所成角為θ，則，所以直線PD與平面ACG所成角的正弦值為.22、（1）證明見解析（2）【解析】(1)利用給定條件可得平面，再證即可證得平