蘇科版2024-2025學年度八年級（上）單元提優(yōu)訓練第2章軸對稱圖形（含答案）

蘇科版2024-2025學年度八年級（上）單元提優(yōu)訓練第2章軸對稱圖形

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.（3分）下列圖案中，軸對稱圖形是（）

A.Hb*c.@,開

2.（3分）在中，/B,NC平分線的交點尸恰好在3c邊的高4D上，則△48C一定是（）

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

3.（3分）如圖是一臺球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞

①點尸在的平分線上；

②點尸在/C8E的平分線上；

③點P在/BCD的平分線上；

④點、P在NR4C,NCBE,的平分線的交點上.

其中正確的是（）

第1頁（共29頁）

E

B

A.①②③④B.①②③C.④D.②③

5.（3分）如圖，A4BC中,AB=AC,ZA=50°,P是△48C內(nèi)一點，且則/APC

6.（3分）如圖，△NBC中，AB=AC,DE垂直平分48,BELAC,AFLBC,則下面結(jié)論錯誤的是（

A.BF=EFB.DE=EFC./EFC=45°D./BEF=/CBE

7.（3分）如圖，D為△48C內(nèi)一點，CD平分/ACB,AELCD,垂足為點D,交BC于點、

E,NB=/BAE,若BC=5,NC=3,則的長為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

8.（3分）張萌和小平兩人打算各用一張正方形的紙片/BCD折出一個等邊三角形，兩人作法如下：張萌:

如圖1,將紙片對折得到折痕跖，沿點8翻折紙片，使點/落在EF上的點M處，連接CM,叢BCM

即為所求；小平：如圖2,將紙片對折得到折痕斯，沿點8翻折紙片，使點C落在即上的點M處，

連接即為所求，對于兩人的作法，下列判斷正確的是（）

第2頁（共29頁）

A.小平的作法正確，張萌的作法不正確

B.兩人的作法都不正確

C.張萌的作法正確，小平的作法不正確

D.兩人的作法都正確

二、填空題（每題2分，共20分）

9.（2分）如圖，在3義3的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知圖中，，8兩個格點，請在圖中

再尋找另一個格點C,使△/8C成為等腰三角形，則滿足條件的點C有個.

10.（2分）一個等腰三角形周長是16,其中一邊長是6,則另外兩條邊長分別是.

11.（2分）等腰三角形有一個外角是100°,這個等腰三角形的底角是.

12.（2分）如圖，ZUBC是等邊三角形，D,E,尸分別是N8,BC,。邊上一點，且

AD=BE=CF.則ADEF的形狀是.

13.（2分）如圖，在△48C中，AB=AC,CD平分N4CB,ZA=36°,則4BDC的度數(shù)為

ADB

第3頁（共29頁）

14.（2分）如圖，在△/BC中，/8=/C,點E在C4延長線上，EPL2C于點尸，交AB于點、F,若

AF=2,BF=3,則CE的長度為

15.（2分）如圖，在△NBC中，AB=AC,/N=90°,Nl=/2,DE工BC于點、E,若BC=a,則4

DEC的周長是.

16.（2分）如圖，在△4BC中，AB=AC,N/=80°,E,F,尸分別是AC,8c邊上一點，且

17.（2分）如圖，ZX/BC中，AB=AC,NA4c=54°,N8NC的平分線與的垂直平分線交于點。,

將NC沿E7（E在BC上，尸在NC上）折疊，點C與點。恰好重合，則/OEC為度.

18.（2分）如圖，等邊△45C的邊長為6,NABC,N/CB的角平分線交于點。，過點。作斯〃BC,

交AB、CZ）于點E、F,則￡尸的長度為.

第4頁（共29頁）

A

三、解答題（共76分）

19.（6分）以直線為對稱軸，畫出下列圖形的另一部分使它們成為軸對稱圖形.

20.（8分）已知：如圖，OC是的平分線，尸是0c上一點，PD±OA,垂足為點。，PELOB,

垂足為點E,點M,N分別在線段和射線即上，PM=PN,ZAOB=68°,求NVPN的度數(shù).

21.（8分）己知，如圖，點。在等邊三角形/2C的邊上，點尸在邊/C上，連接。尸并延長交

的延長線于點￡,EF=FD.

求證：AD—CE.

22.（10分）如圖所示，在Rt448C中，NACB=9Q°,AC=BC,。為BC邊上的中點，CE_L/。于點

E,2尸〃/C交CE的延長線于點尸，求證：48垂直平分。下.

第5頁（共29頁）

D

23.(10分)如圖，△NBC中，4B=AC,AD1BC,CE1AB,AE=CE.求證:

(1)AAEF出ACEB；

(2)AF=2CD.

BDC

24.（12分）如圖，已知△48C為等邊三角形，延長8C到。，延長8/到E,并且使連接

CE,DE.求證：EC=ED.

25.（10分）如圖，N/O8平分線上一點C作CD〃O8交。/于點。，￡是線段OC的中點，請過點E

畫直線分別交射線CD,于點M,N,探究線段。。，ON,DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

第6頁（共29頁）

26.（12分）（1）如圖1,點C是線段AB上一點，分別以NC,2C為邊在48的同側(cè)作等邊三角形/CM

和等邊三角形CBN,連接NN,BM.分別取NN的中點E,F,連接CE,CF,EF.觀察并猜想

△CEF的形狀，并說明理由.

（2）若將（1）中的“以/C,8C為邊在的同側(cè)作等邊三角形/CM和等邊三角形CBN”改為

“以NC,3c為腰在48的同側(cè)作等腰三角形/CM和等腰三角形CBN,且//CM=/3CNW60°”，

其他條件不變，如圖2所示，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請加以證明；若不成立，請說

明理由.

第7頁（共29頁）

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題3分，共24分）

1.（3分）下列圖案中，軸對稱圖形是（）

.H

Ab*c.@寸

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷后即可求解.

【解答】解：/、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

2、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤；

。、是軸對稱圖形，故此選項正確；

故選：D.

【點評】本題考查了軸對稱圖形，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱

軸.

2.（3分）在△4BC中，/B,/C平分線的交點P恰好在3c邊的高40上，則△48C一定是（）

是

BDC

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)判斷出ND是△NBC的角平分線，然后利用“角邊角”證明和

△4CD全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得從而證明△NBC一定是等腰三角形.

【解答】解：與/NC8的平分線的交點尸恰好在8c邊的高ND上，

ZBAD=ZCAD,

，ZBAD=ZCAD

在△/加＞和△/CD中，＜AD=AD，

LZADB=ZADC=90°

.?.△ABDmLACD（ASA）,

：.AB=AC,

：.LABC一定是等腰三角形.

第8頁（共29頁）

故選：c.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定：在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.

3.（3分）如圖是一臺球桌面示意圖，圖中小正方形的邊長均相等，黑球放在如圖所示的位置，經(jīng)白球撞

擊后沿箭頭方向運動，經(jīng)桌邊反彈最后進入球洞的序號是（）

A.①B.②C.⑤D.⑥

【分析】入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角，動手操作即可.

【解答】解：如圖，求最后落入①球洞；

【點評】本題主要考查了生活中的軸對稱現(xiàn)象；結(jié)合軸對稱的知識畫出圖形是解答本題的關(guān)鍵.

4.（3分）如圖，已知點P到/￡,AD,的距離相等，有下列說法:

①點P在/B4C的平分線上；

②點尸在NCBE的平分線上；

③點P在/BCD的平分線上；

④點尸在NA4C,ZCBE,/BCD的平分線的交點上.

其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③C.④D.②③

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理進行判斷即可.

第9頁（共29頁）

【解答】解：：點尸到NE,的距離相等，

...點P在/8/C的平分線上，①正確；

..?點尸到工￡,2c的距離相等，

...點P在/CBE的平分線上，②正確；

，.?點尸到40,2C的距離相等，

.?.點P在N8CD的平分線上，③正確；

點尸在NR4C,ZCBE,N3CD的平分線的交點上，④正確，

故選：A.

【點評】本題考查的是角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點在的平分線上相等是解題的

關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵.

5.（3分）如圖，△NBC中，AB=AC,N/=50°,P是△4BC內(nèi)一點，S.ZPBC=ZPCA,則N3PC

的度數(shù)等于（）

A

【分析】由已知條件根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等邊對等角的性質(zhì)，求得N/8C=//C8=65°,再

根據(jù)和三角形的內(nèi)角和定理即可求解.

【解答】解：：/臺=/。，ZA=50°,

：.ZABC=ZACB=65°.

,：/PBC=ZPCA,

：.Z5PC=180°-（/PBC+/PCB）=180°-（/PCA+NPCB）=180°-ZACB=U5°.

【點評】此題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì).對相等的角進行等量代換轉(zhuǎn)化為

一個角是解答本題的關(guān)鍵.

6.（3分）如圖，△N8C中，AB=AC,垂直平分48,BE工AC,AFLBC,則下面結(jié)論錯誤的是（

第10頁（共29頁）

)

A.BF=EFB.DE=EFC.ZEFC=45°D.NBEF=/CBE

【分析】根據(jù)等腰三角形的三線合一得到根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷4根據(jù)直角三角形

的性質(zhì)判斷8；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)判斷C,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)判斷。.

【解答］解：\'AB^AC,AFLBC,

:.BF=FC,

'：BE±AC,

：.EF=1.BC=BF,/不合題意；

2

;DE=LB,EF=LC,不能證明。E=斯，3符合題意；

22

垂直平分N2,

：.EA=EB,XBELAC,

：.ZBAC^45°,

.?.ZC=67.5°,又FE=FC,

:.NEFC=45°,C不合題意；

；FE=FB,

：.NBEF=NCBE；

故選：B.

【點評】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，掌握線段的

垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

7.（3分）如圖，。為△N3C內(nèi)一點，CD平分/4CB,AELCD,垂足為點D,交BC于點、

E,NB=/BAE,若2c=5,NC=3,則的長為（）

A.1B.1.5C.2D.2.5

第11頁（共29頁）

【分析】由已知條件判定的等腰三角形，且NC=CE；由等角對等邊判定則易求

AD=1AE=1.BE=1-（BC-CE\

222

【解答】解：：CD平分//C8,AE±CD,

：.AC=CE.

又,:/B=/BAE,

：.AE=BE.

:.AD=1AE=XBE=1.（BC-AC）.

222

,:BC=5,NC=3,

C.AD=—（5-3）=1.

2

故選：A.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì).注意等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的運用.

8.（3分）張萌和小平兩人打算各用一張正方形的紙片/BCD折出一個等邊三角形，兩人作法如下：張萌:

如圖1,將紙片對折得到折痕ER沿點8翻折紙片，使點/落在￡尸上的點M處，連接CM,4BCM

即為所求；小平：如圖2,將紙片對折得到折痕斯，沿點8翻折紙片，使點C落在即上的點M處，

連接即為所求，對于兩人的作法，下列判斷正確的是（）

A.小平的作法正確，張萌的作法不正確

B.兩人的作法都不正確

C.張萌的作法正確，小平的作法不正確

D.兩人的作法都正確

【分析】在圖1中，由2"=22尸推出N2MR=30°,所以斤=60°,再根據(jù)等邊三角形的判定

方法即可證明.在圖2中，證明方法類似.

【解答】解：圖1中，：四邊形是正方形，

:.AB=AD=BC

第12頁（共29頁）

"：AE=ED=BF=FC,AB=BM,

:.BM=2BF,

■:/MFB=90°,

:.NBMF=30°,

ZMBF=900-NBMF=60°,

,:MB=MC,

:AMBC是等邊三角形，

張萌的作法正確.

在圖2中，,:BM=BC=2BF,/MFB=90°,

:.NBMF=30°,

:./MBF=90°-ZBMF=60°,

,:MB=MC

:.叢MBC是等邊三角形,

小平的作法正確.

故選：D.

【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、翻折不變性、直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是在一個直角三角形

中如果斜邊是直角邊的兩倍那么這條直角邊所對的銳角是30度.

二、填空題（每題2分，共20分）

9.（2分）如圖，在3X3的網(wǎng)格中，每個網(wǎng)格線的交點稱為格點.已知圖中/,2兩個格點，請在圖中

再尋找另一個格點C,使△N3C成為等腰三角形，則滿足條件的點C有8個.

第13頁（共29頁）

【分析】分N2是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出一個小正方形與/、3頂點相對的頂點，連接即可得到

等腰三角形，N5是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，N8垂直平分線上

的格點都可以作為點C,然后相加即可得解.

【解答】解：如圖，N8是腰長時，紅色的4個點可以作為點C,

是底邊時，黑色的4個點都可以作為點C,

所以，滿足條件的點C的個數(shù)是4+4=8.

故答案為8.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)的特點是解題的關(guān)鍵，要注意分是腰

長與底邊兩種情況討論求解.

10.（2分）一個等腰三角形周長是16,其中一邊長是6,則另外兩條邊長分別是4,6或者5,5.

【分析】要確定等腰三角形的另外兩邊長，可根據(jù)已知的邊的長，結(jié)合周長公式求解，由于長為6的

邊已知沒有明確是腰還是底邊，要分類進行討論.

【解答】解：???等腰三角形的周長為16,

.?.當6為腰時，它的底長=16-6-6=4,4+4>6,能構(gòu)成等腰三角形；

當6為底時，它的腰長=（16-6）+2=5,5+5>6能構(gòu)成等腰三角形，

即它的另外兩邊長分別為4,6或者5,5.

故答案為：4,6或者5,5.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；注意養(yǎng)成檢驗三邊長能否組成三角形的

好習慣，把不符合題意的舍去.

11.（2分）等腰三角形有一個外角是100°,這個等腰三角形的底角是50°或是。.

【分析】由等腰三角形的一個外角是100。，可分別從①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰

角；②若100。的外角是此等腰三角形的底角的鄰角去分析求解，即可求得答案.

【解答】解：①若100°的外角是此等腰三角形的頂角的鄰角，

第14頁（共29頁）

則此頂角為：180°-100°=80°,

則其底角為：(180°-80°)4-2=50°；

②若100°的外角是此等腰三角形的底角的鄰角，

則此底角為：180°-100°=80°；

故這個等腰三角形的底角為：50°或80°?

故答案為：50°或80°.

【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì).此題比較簡單，解題的關(guān)鍵是注意分類討論思想的應(yīng)用，小

心別漏解.

12.(2分)如圖，△/8C是等邊三角形，D,E,尸分別是AB,BC,。邊上一點，且

AD=BE=CF.則叢DEF的形狀是等邊三角形.

【分析】根據(jù)等邊△N8C中4D=8E=CR證得△/￡)尸之■即可得出：△￡)斯是等邊三

角形.

【解答】解：:△/Be為等邊三角形，且

:.AF=BD,N/=N3=60°,

.?.在△/￡>尸與ABED中，

'AF=BD

-ZA=ZB>

kAD=BE

:.△ADF當ABED(SAS).

同理證得匹之△CFE(SAS),

：.AADF^/\BED△CFECSAS),

：.DF=ED=EF,

：.叢DEF是一個等邊三角形.

故答案為：等邊三角形.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和全等三角形判定，根據(jù)已知得出△/。尸也4

BED冬4CFE是解題關(guān)鍵.

第15頁(共29頁)

13.（2分）如圖，在△/5C中，AB=AC,CD平分N4CB,//=36°,則N2DC的度數(shù)為72°

【分析】由/8=NC,CD平分/4CB,ZA=36°,根據(jù)三角形內(nèi)角和180°可求得等于/NC8,

并能求出其角度，在△D2C求得所求角度.

【解答】解：'：AB=AC,CD平分/ACB,ZA=36°,

：.ZB=（180°-36°）4-2=72°,ZDCB=36°.

:./BDC=72°.

故答案為:720.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，本題根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180度，在△CD8中從而求得

NBDC的角度.

14.（2分）如圖，在△N8C中，AB=AC,點￡在。4延長線上，￡P(guān)_L8C于點P,交4B于點、F,若

AF=2,BF=3,則CE的長度為7.

【分析】根據(jù)等邊對等角得出NB=NC,再根據(jù)EP_L3C,得出/C+/￡=90°,ZB+ZBFP=90°,

從而得出再根據(jù)對頂角相等得出最后根據(jù)等角對等邊即可得出答案.

【解答】證明：在△/BC中，

；AB=AC,

：./B=/C,

；EP_LBC,

：.ZC+ZE^90°,/B+/BFP=9Q°,

：.NE=ZBFP,

又：ZBFP=ZAFE,

第16頁（共29頁）

/.ZE=ZAFE,

:.AF=AE,

尸是等腰三角形.

又尸=2,BF=3,

：.CA=AB=5,AE=2,

:.CE=1.

【點評】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明注意等邊對等角，以

及等角對等邊的使用.

15.（2分）如圖，在△4BC中，AB^AC,NZ=90°,N1=N2,DELBC于點E,若BC=a,則4

￡>EC的周長是a.

【分析】由已知條件易得△/AD0ZXEAD,結(jié)合其它已知得到2E=/C,而/C=DE+DC于是得到4

OEC的周長等于的長.

【解答】解：VZ1=Z2,N4=/BED=90°,BD=BD,

：.△48。之△EBD,

：.BE=AB=AC,

又//=90°,Z1=Z2,DE±BC,

：.AD=DE,

貝U△DEC的周^z=DE+CD+CE=AD+CD+CE=AC+CE=BE+CE=BC=a.

故填a.

【點評】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及三角形全等的判定.對線段進行有效

的等量代換，把要求的周長轉(zhuǎn)化為BC的長度是解答本題的關(guān)鍵.

16.（2分）如圖，在△48C中，AB=AC,ZA=80°,E,F,尸分別是AC,8c邊上一點，且

BE=BP,CP=CF,則50度.

第17頁（共29頁）

B--------p--------C

【分析】根據(jù)在△/BC中，AB=AC,//=80°,利用三角形內(nèi)角和定理求出N3=NC=5（T,再利

用BE=BP,求出/￡尸8,然后即可求得/EPF,同理，可求出NFPC,即可解題.

【解答】解：,在△N5C中，AB=AC,N/=80°,

AZB=ZC=50°,

,;BE=BP,

:./BEP=NEPB=65°,

同理，/FPC=65°,

NEPF=18Q°-65°-65°=50°.

故答案為：50.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識點的理解和掌握，難度不大，屬于

基礎(chǔ)題.

17.（2分）如圖，ZUBC中，AB=AC,ZBAC=54°,/A4C的平分線與48的垂直平分線交于點。，

將NC沿斯（E在2c上，尸在/C上）折疊，點。與點。恰好重合，則NOEC為108度.

【分析】連接08、OC,根據(jù)角平分線的定義求出/胡。根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出//3C,

再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得04=03,根據(jù)等邊對等角可得

ZABO^ZBAO,再求出N02C,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得02=0C,根據(jù)等邊對等角求出

NOC8=NO8C,根據(jù)翻折的性質(zhì)可得OE=CE,然后根據(jù)等邊對等角求出/COE,再利用三角形的

內(nèi)角和定理列式計算即可得解.

【解答】解：如圖，連接。2、OC,

；/B4c=54°,NO為NA4c的平分線，

/.ZBAO=1-ZBAC=^X54O=27°,

22

第18頁（共29頁）

又；4B=4C,

：.ZABC=1.(180°-NBAC)=A(180°-54°)=63°,

22

；DO是4B的垂直平分線，

：.OA=OB,

:.NABO=NBAO=27°,

：.ZOBC=ZABC-ZABO=63°-27°=36°,

為NR4c的平分線，AB=AC,

：.^AOB^^AOC(”S),

C.OB^OC,

：.ZOCB=ZOBC=-36°,

:將/C沿M(E在8c上，尸在NC上)折疊，點C與點。恰好重合，

：.OE=CE,

:.NCOE=NOCB=36°,

在△OCE中，NOEC=180°-ZCOE-ZOCS=180°-36°-36°=108

【點評】本題考查了線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的

性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，以及翻折變換的性質(zhì)，綜合性較強，難度較大，作輔助線，構(gòu)造出等腰三

角形是解題的關(guān)鍵.

18.（2分）如圖，等邊△48C的邊長為6,/ABC,//C8的角平分線交于點。，過點。作即〃3C,

交48、CD于點E、F,則斯的長度為4.

【分析】根據(jù)BD和CD分別平分/N8C和//C8,和EF//BC,利用兩直線平行，內(nèi)錯角相等和等量

第19頁（共29頁）

代換，求證出DF=FC.然后即可得出答案.

【解答】解：如圖，連接AD,

??,在△45。中，5。和CD分別平分N45c和NACB,

：.ZEBD=ZDBC,/FCD=NDCB,

■:EF//BC,

:?NEBD=NDBC=NEDB,NFCD=/DCB=/FDC,

:?BE=DE,DF=FC,

■:BD和CD分別平分N45C和N4C5,

：.AD平分/BAC,

：.ZBAD=ZCAD=30°,

又??Z5=4C,

C.ADLBC,

■:EF//BC,

：.AD±EF,

；?AE=2ED,AF=2DF,

'：AB=AC=6,

:?BE+AE=6,AF+CF=6,

：.BE=CF=2,

:.DE=DF=2,

：.EF=DE+DF=4

故答案為：4

【點評】此題主要考查學生對等邊三角形的判定與性質(zhì)，平行線段性質(zhì)的理解和掌握，此題關(guān)鍵是求

證BE=DE,DF=FC.

第20頁（共29頁）

三、解答題（共76分）

19.（6分）以直線為對稱軸，畫出下列圖形的另一部分使它們成為軸對稱圖形.

【分析】從各點分別向直線引垂線并延長相同長度找到對應(yīng)點，順次連接即可.

【解答】解；如圖所示：

【點評】本題主要考查了軸對稱圖形的定義.作軸對稱變換找對應(yīng)點是關(guān)鍵.

20.（8分）已知：如圖，OC是的平分線，尸是OC上一點，PDLOA,垂足為點。，PELOB,

垂足為點E,點〃，N分別在線段。。和射線匹上，PM=PN,//。8=68°,求NMPN的度數(shù).

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和可以得出/DPE的值，通過證明就可以得出

NDPM=ZEPN就可以得出結(jié)論.

【解答】解：是的平分線，PD1OA,PELOB,

：.PD=PE.ZPDO=ZPEO=ZPEN=90°.

VZPDO+ZPEO+ZDPE+ZAOE^360°,//。5=68°,

:.NDPE=112°.

在R3DM和RtAPEN中，

[PM=PN,

lPD=PE，

第21頁（共29頁）

，Rt△尸DM附RtAPEN（HL）,

：./DPM=ZEPN.

：.ZDPM+MPE=ZEPN+ZMPE,

:.NDPE=NEPN=112°.

答：NMPN的度數(shù)為112°.

【點評】本題考查了角平分線的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，四邊形的內(nèi)角和定理

的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵.

21.（8分）已知，如圖，點D在等邊三角形/8C的邊上，點/在邊NC上，連接。尸并延長交BC

的延長線于點E,EF=FD.

求證：AD=CE.

【分析】作DG〃2C交/C于G,先證明△DFG2△EFC,得出GO=CE,再證明△4DG是等邊三角

形，得出ND=GD,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：作。G〃2c交/C于G,如圖所示：

則ZDGF=ZECF,

，ZDGF=ZECF

在△。尸G和△斯C中，＜NDFG=NEFC，

FD=EF

:ADFG沿AEFCCAAS）,

:.GD=CE,

?.?△48C是等邊三角形，

；.N4=NB=NACB=60°,

,JDG//BC,

:./ADG=/B,ZAGD=ZACB,

：.ZA=ZADG=ZAGD,

：.AADG是等邊三角形，

：.AD=GD,

第22頁（共29頁）

：.AD=CE.

【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的判

定與性質(zhì)，并能進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵.

22.（10分）如圖所示，在RtZ\/3C中，ZACB=90°,AC=BC,。為邊上的中點，CE_L4D于點

E,交CE的延長線于點尸，求證：48垂直平分。下.

【分析】先根據(jù)判定得到8F=CD,然后又。為3c中點，根據(jù)中點定義得到

CD=BD,等量代換得到3尸=巳0,再根據(jù)角度之間的數(shù)量關(guān)系求出N4BC=N4BR即R4是/EBD

的平分線，從而利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)求證即可.

【解答】證明：連接。尸，

■:/BCE+N4CE=9Q°,ZACE+ZCAE^9Q°,

/BCE=NCAE.

'：AC±BC,BF//AC.

：.BF±BC.

；./4CD=/CBF=90°,

;AC=CB,

:.AACD義ACBF.：.CD=BF.

,:CD=BD=LBC,:.BF=BD.

2

...△BED為等腰直角三角形.

VZACB=90°,CA=CB,

第23頁（共29頁）

/.ZABC=45°.

VZFBD^9Q°,

AZABF=45°.

：.N4BC=ZABF,即BA是/FBD的平分線.

8/是ED邊上的高線，員4又是邊的中線,

即AB垂直平分DF.

【點評】主要考查了三角形全等的判定和角平分線的定義以及線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知

識.要注意的是：線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等.

23.（10分）如圖，△NBC中，AB=AC,AD1BC,CE±AB,AE=CE.求證：

（1）哈△CEB；

（2）AF=2CD.

【分析】（1）由/Z）_L8C,CELAB,易得利用全等三角形的判定得△NEFgZkCEB；

（2）由全等三角形的性質(zhì)得/尸=3C,由等腰三角形的性質(zhì)“三線合一”得2C=2CD,等量代換得

出結(jié)論.

【解答】證明：（1）,CADLBC,CEVAB,

；./BCE+NCFD=90°,/BCE+/B=9Q°,

：.ZCFD=ZB,

,：ZCFD^ZAFE,

：.ZAFE=ZB

第24頁（共29頁）

在△AEF與4CEB中，

，ZAFE=ZB

-ZAEF=ZCEB>

tAE=CE

:.AAEF沿ACEB(AAS)；

(2)'：AB=AC,ADLBC,

：.BC=2CD,

；AAEF咨ACEB,

：.AF=BC,

:.AF=2CD.

【點評】本題主要考查了全等三角形性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，運用等腰三角形的性質(zhì)是解答

此題的關(guān)鍵.

24.（12分）如圖，己知△4BC為等邊三角形，延長5c到。，延長A4到R并且使連接

CE,DE.求證：EC=ED.

【分析】首先延長2。至尸，使。尸=2C,連接斯，得出45所為等邊三角形，進而求出△石。2絲4

EDF,從而得出￡C=O￡.

【解答】證明：延長2。至尸，使。尸=3C,連接斯，

；AE=BD,△4BC為等邊三角形，

：.BE=BF,ZB=60°,

...△BE尸為等邊三角形，

AZF=60°,

在△EC8和△￡￡（尸中

第25頁（共29頁）

'BE=EF

>ZB=ZF=60°

kBC=DF

A^ECB^AEDF(SAS),

:.EC=ED.

【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)與判定以及全等三角形的判定等知識，作出輔助線是解決

問題的關(guān)鍵.

25.(10分)如圖，N/03平分線上一點C作交04于點。，E是線段0c的中點，請過點E

畫直線分別交射線CD,08于點M,N,探究線段。。，ON,DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論.

【分析】(1)當點M在線段CD上時，線段?！辏?、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON.首先

根據(jù)0C是/的平分線，CD//OB,判斷出所以。D=CD=DM+CAf；然后根據(jù)

E是線段0c的中點，CD//OB,推得CM=CW,即可判斷出O￡)=DW+ON,據(jù)此解答即可.

(2)當點M在線段CD延長線上時，線段。。、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：0D=0N-DM.由

(1),可得00=7X7=00-?！埃俑鶕?jù)CM=ON,推得OD=ON-Z)M即可.

【解答】解：(1)當點〃在線段。D上時，線段。。、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON.

證明：如圖1,

：OC是的平分線，

/DOC=/COB,

第26頁(共29頁)

又,：CD〃OB,

：.NDCO=NCOB,

：.ZDOC=ZDCO,

：.OD=CD=DM+CM,

YE是線段OC的中點,

:?CE=OE,

,:CD〃OB,

?

??CM一-C.E-iJL,

ONOE

:.CM=ON,