2024年高考數(shù)學總復習：高中數(shù)學必修四全冊復習講義（全冊）

2024年高考數(shù)學總復習系列高中數(shù)學必修四全

冊復習講義（全冊）

第一章基本初等函數(shù)II

一、基礎知識（理解去記）

定義1角，一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向，則

角為正角，若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向，則角為負角，若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。

定義2角度制，把一周角360等分，每一等價為一度，弧度制：把等于半徑長的圓弧所對

的圓心角叫做一弧度。360度=2?；《?。若圓心角的弧長為L則其弧度數(shù)的絕對值|a|=3,

r

其中r是圓的半徑。

定義3三角函數(shù)，在直角坐標平面內(nèi)，把角a的頂點放在原點，始邊與x軸的正半軸重合，

在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P,設它的坐標為（尤,y）,到原點的距離為r,則正

yXVX

弦函數(shù)s加a=上，余弦函數(shù)cosa=—，正切函數(shù)5a=2,余切函數(shù)co/a二一，正割函數(shù)sec

rrxy

YY

a=一，余割函數(shù)esca.

x_____________y

定理1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：

1

倒數(shù)關(guān)系：tana=-----,sma=-----cosa=-----

cotacscaseca

sinorcosa

商數(shù)關(guān)系:tana=-----,cota=-------；

cosasina

乘積關(guān)系:tanaXcosa=sina,cotaXs加a=cosa；

平方關(guān)系：s加2a+cos2a=1,tan2a+l=se，a,cot1a+l=csc2a.

房事誘導公式(I)sm(a+7i)=-sma,cos(兀+a尸-cosa,tan(7i+a)=tana,co/(兀+a)=cot

a;(II)sm(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana,cot(-a)=cota;(III)sm(7i-a)=sm

a,COS(TI-a)=-cosQ,tan=(Ti-a)=-tana,cot(7i-a)=-cota；(IV)sin

2J

n.

---CC=sma,tan（記法：奇變偶不變，符號看象限）。

2J

定理*（根據(jù)圖像去記）正弦函數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)圖象可得產(chǎn)s沅X（XGR）的性質(zhì)如下。單

77777T3

調(diào)區(qū)間：在區(qū)間2k?！?2版r+—上為增函數(shù)，在區(qū)間2版■+—,2版■+—?上為減函

2222

JT

數(shù)，最小正周期為2%.奇偶數(shù).有界性：當且僅當廣2日+（時，y取最大值1,當且僅當

JTJT

x=3k兀-一時,y取最小值-1。對稱性：直線廣左乃+—均為其對稱軸，點（左萬，0）均為其對

22

稱中心,值域為［-1,1］。這里kez.

定理4（根據(jù)圖像去記）余弦函數(shù)的性質(zhì)：根據(jù)圖象可得產(chǎn)cosxQGR）的性質(zhì)。單調(diào)區(qū)間：

在區(qū)間［2祈,2也+兀］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［2也-兀,2E］上單調(diào)遞增。最小正周期為2兀。奇偶性：

偶函數(shù)。對稱性：直線尸E均為其對稱軸，點，％+（,（）］均為其對稱中心。有界性：當

且僅當時，y取最大值1；當且僅當x=2fai-兀時，y取最小值-1。值域為［-1,1］。這里

kH.

定理5(根據(jù)圖像去記)正切函數(shù)的性質(zhì)：由圖象知奇函數(shù)y=/a〃x(xW4兀+^)在開區(qū)間(E-

7/7/__7/

彳，左兀十萬)上為增函數(shù)，最小正周期為兀，值域為(-8,+8),點(左兀，0),(左兀+萬，0)

均為其對稱中心。

定理6兩角和與差的基本關(guān)系式：cos(a±B)=cosacosB不sinasinB,sm(a±B)=sina

,八?八(tana±tan

cos0n±cosasm0;tan{a±B)=---------------.

(1+tanortan/?)

定理7和差化積與積化和差公式：

°(a+(3\(a-(3\D(a+(3\(a-/3\

sina+sinp=2sm\-----cos\-----,sma-sinp=2sm\------cos------,

I2JL2JI2JI2J

(cc13\(ex,—+(ex,—B\

I2JI2JI2JI2J

sinacosP=—[sm(a+B)+sm(a-B)],cosasm6=—[sm(a+B)-sin(a-6)],

22

cosacosP=—[cos(a+0)+cos(a-g)],smasmP="—[cos(a+B)-cos(a-p)].

22

口訣記憶：

積化和差：1前系數(shù)：”有余為正，無余為負”“前和后差”“同名皆余，異名皆正”“余后

2

為和，正后為差”和差化積：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦

之差負正弦

骷疝倍角公式a=2sinQcosa,cos2Q=cos2a-sin2a=2cos2a-l=l-2sm2a,

2tana

tan2a=--------------

(1-tana)

(1+cosa)

±

2

a

-tan2

2a

■如果a,b是實數(shù)且次+/。0,則取始邊在x軸正半軸,

hn

終邊經(jīng)過點(a,b)的一"1K角為B,則s應B=與，cos羊=----,對任意的角a.

J/+^^/a2+b-

asina+bcosa2+Z72)sm(a+B).

定理12正弦定理：在任意△ABC中有一乙=—竺=^^=2R,其中a",c分別是

sinAsin3sinC

角A,B,C的對邊，R為△ABC外接圓半徑。

定理13余弦定理：在任意△ABC中有/=/+/-ZbcosA,其中a,6,c分別是角A,B,C的

對邊。

定理14圖象之間的關(guān)系：尸s加c的圖象經(jīng)上下平移得y=s譏尤+左的圖象；經(jīng)左右平移得

y=s%（x+°）的圖象（相位變換）；縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓?，得至IJy=s%0X（0>O）

a）

的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變

換）；y=Asi"（0x+0）（0>0）的圖象（周期變換）；橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，得

到y(tǒng)=Asinx的圖象（振幅變換）；y=Asin（cox+（p\a）,0>0）（圄叫作振幅）的圖象向右平移的

a）

個單位得到y(tǒng)=Asin。尤的圖象。

（

函數(shù)尸加％xe—的反函數(shù)叫反正弦函數(shù)，記作尸31rsz加1］）,函

V

數(shù)產(chǎn)cosxQWO兀］）的反函數(shù)叫反余弦函數(shù)，記作產(chǎn)qrccosx（x￡［-1,1］）.函數(shù)產(chǎn)

'兀

XG--I的反函數(shù)叫反正切函數(shù)。記作y=arctanx（x^［-°°,+°°］）.y=cosx（x^［0,兀］）的

反函數(shù)稱為反余切函數(shù),記作y=arccotx（x^［-°°,+°°］）.

定理15三角方程的解集，如果〃￡（/1）,方程sinx=a的解集是｛小=〃兀+（-1）〃〃rcs血〃,"￡Z｝。

方程cosx=a的解集是｛x\x=2kx±axccosa,k^Z］.如果〃￡R,方程tanx=a的解集是

_7171

［x\x=kR+arctana,女￡Z｝。，恒等式：arcsina+arccosa=-；arctana+arccota=-.

22

定理16若xe，則s^nx<x<tanx-

二、基礎例題（必會）

1.結(jié)合圖象解題。

例1求方程S%X=/g|尤I的解的個數(shù)。

【解】在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)y=s〃?x與y=/g|x|的圖象（見圖），由圖象可知兩者有6個交

點，故方程有6個解。

2.三角函數(shù)性質(zhì)的應用。

例2設尤e（0,兀），試比較cos（sz加）與si〃（cosx）的大小。

【解】若xe—,7T,則COSxWl且COSX>-1,所以COSXe|-二,0,

L*I2JI2一

所以s譏（cosx）W0,又0<S，〃JW1,所以cos（s譏r）>0,

所以cos（sinx）>sm（cosx）.

/乃］（叵后）7171

若xe0,---，貝U因為s譏x+cosx=-----sinxH----cosx=V2（sinxcos—+sm—cosx）=

I2」I22J44

?\/2sm(x+—V2<—,

42

匚UI、I式冗

所以0<si〃x<--cosx<一，

22

所匚ui以、?cos(sinx)>cos(R--cosx)=sin(cosx).

綜上，當工￡(0,兀)時，總有cos(sinx)<sin(cosx).

TT

例3已知a,8為銳角，且x?(a+8-—)>0,求證:

2

7/7/7/

【證明】若a+B>—，貝!Jx>0,由a>—B>0得cosa<cos(—-P)=sznP,

222

所以0vc°sa<i,又s加a>s譏(2-B)=cosB,所以0vvl,

sinp2sina

若a+B<一，貝!Jx<0,由0<Q<——0<一得cosa>cos(——B)=sinB>0,

2222

所以cosa〉]。又0<si〃a<s譏(工-B)=cosB,所以>1,

sin[32sinor

注：以上兩例用到了三角函數(shù)的單調(diào)性和有界性及輔助角公式，值得注意的是角的討論。

3.最小正周期的確定。

例4求函數(shù)尸si〃(2cos|x|)的最小正周期。

【解】首先，T=2兀是函數(shù)的周期(事實上，因為cos(-x)=cos%,所以co|x|二cos%)；其次,

77

當且僅當mfai+5時，y=0(因為12cosX|W2<TI),

所以若最小正周期為To,則7b=m7i,m￡N+,又s加(2cos0)=si〃2Wsin(2cosTi),所以7b=2兀。

4.三角最值問題。

例5已知函數(shù)y=s加x+Jl+COS、十，求函數(shù)的最大值與最小值。

【解法一】令sinx=5/2cos仇Vl+cos2x=V2sin4-<0<-^-,

U4J

則有y=41COSe+V^sinJ=2sin(0+^).

因為工TT<0?3三乃，所以721V9+7工1《不，

4424

TT

所以0Vsin(6H——)W1,

371

所以當6=—》,BPx=2hi-一(左￡Z)時，ymm=0,

42

JTJT

當6=1，即x=2E+5(%￡Z)時，ym*=2.

n

例6設0<。<兀，求s而5(l+cos。)的最大值。

【解】因為0<。<兀，所以0<2(工，所以si”2>0,cos2>0.

2222

gQQ/gQg

2222

所以s加一(l+cos0)=2sin—,cos—=A/2-2sin—cos—?cos—W

222V222

nnf)r)r)f)

當且僅當2s加2—=cos2—,BPtan—=---,0=2arctan----時，sin—(1+cos。)取得最大值

222222

4百

O

9

例7若A,B,C為△ABC三個內(nèi)角，試求s譏4+s%8+siwC的最大值。

?h.73.E、1A-\~BA—B.A-\~B

【解】因為sinA-^-smB=2sm-----cos--------<2sin---------,①

222

717171

Jlc+Q-c——Qc+-Q

sinC+sin一=2sin-------cos------—<2sin-------

3222

C+-A+B+C+-A+B-C--

又因為sin--——I-sin------=2sin-------------------cos-----------------<2sin—,③

22443

由①，②，③得smA+smB+smC+sm—W4si〃一,

33

兀

所以smA+smB+smC^3sm一二----,

32

=

當A=B=C=一時，(smA+smB+sinC)majc----.

32

注：三角函數(shù)的有界性、|s加x|Wl、IcosRWl、和差化積與積化和差公式、均值不等式、柯

西不等式、函數(shù)的單調(diào)性等是解三角最值的常用手段。

5.換元法的使用。

…4sinxcosx,,_

例8求丁=--------------的值域。

1+sinx+cosx

【解】設z=s/x+cosx=V^——sinxd------cosx=V2sin(x+—).

7T

因為一1?sin(x+—)<1,

所以-亞工tw行.

又因為a=l+2s譏xcosx,

21

X-1

t2—19t—

所以sinxcosx=-----，所以y=---------=—

21+t2

所以與

因為所以———W—1,所以yW-1.

72+1、/72-1

所以函數(shù)值域為ye，-1U-1,

22

7k

A/1+d!12—171

例9已知〃o=1,&=-------------（九￡N+）,求證:斯〉?

2〃+2

%

【證明】由題設斯>0,令斯=3斯,斯￡10,胃卜則

^1+tan2a_-1sec^-1l-cos^

nxa_]

斯=-------------------------=-----------------=—；-=--t--a-n-—=tanaM.

tan%tan%smj2

n

因為—2~^'金［°，71

,所以斯=_Q_］,所以〃〃二%.

nI

n

71

又因為引=勿〃〃1=1,所以〃0=—,所以凡?__

424

又因為當0<xv一時，tanx>x,所以an“=tan——->——

22〃+22〃+2

注：換元法的關(guān)鍵是保持換元前后變量取值范圍的一致性。

另外當XG10,(1時，有S〃x>x>s%x,這是個熟知的結(jié)論，暫時不證明，學完導數(shù)后，證

明是很容易的。

6.圖象變換【?？肌浚寒a(chǎn)5沅%(工￡2與產(chǎn)245加(刃1+0)(4,G),0>0).

由產(chǎn)SZ加的圖象向左平移。個單位，然后保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，然后

再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼墓?，得到產(chǎn)4s加(①x+°)的圖象；也可以由產(chǎn)sinx

CD

的圖象先保持橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍，再保持縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉?/p>

的工，最后向左平移2?個單位，得到y(tǒng)=Asi"(。龍+0的圖象。

CDCO

例10例10已知於)=5%0%+0)(。>0,040?兀)是區(qū)上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點

jr

對稱，且在區(qū)間0,—上是單調(diào)函數(shù)，求0和①的值。

【解】由段)是偶函數(shù)，所以月"),所以si〃(①+0)=s%(-①x+0),所以cos0s加;=0,

對任意成立。

7T

又OW(PWR,解得夕二萬，

因為圖象關(guān)于對稱，所以—+/(；?+x)=0。

3(37r兀、

取x=o,得乃)=0,所以淅70+耳=o.

3兀712

所以4①=ki+—(左￡Z),即0=§(2Z+1)(%wZ).

JTJT

又。>0,取上0時，此時/U)=si"(2r+—)在［0,―］上是減函數(shù);

22

JTTT

取上1時，0=2,此時人犬尸S譏(2肝5)在[0,萬]上是減函數(shù)；

10JTTT

取62時，cof此時兀v)=s加(①%+萬)在[0,萬]上不是單調(diào)函數(shù)，

2、

綜上，。二一或2。

3

7.三角公式的應用。

例11已知s，〃(a-[3)='，s譏(a+P)=-(，且a-0￡1/，乃)，a+0￡，求sz力2a,cos2P

的值。

【解】因為a-0￡所以cos(a-0尸-Jl—sin2(a_尸)=—￡,

又因為a+pe,2%),所以cos(a+p尸^/l-sin2^+/?)=葭.

匕…120

所以ym2a=5zn[(a+p)+(a-p)]=5m(a+p)co5(a-p)+co5(a+p)5m(a-p)=---,

l169

cos2p=cos[(a+p)-(a-0)]=cos(a+p)cos(a-0)+s%(a+p)s加(a-p尸-1.

115

例12已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,。成等差數(shù)列，且-----+------=-------,試求

cosAcosCcos5

A—士

cos-------的值。

2

【解】因為A=120℃所以cos上￡=cos(60°-O，

2

立,『1111cosa20°-C)+cosC

cosAcosCcos(L20°-C)cosCcosCcos(1200-C)

2cos60°cos(60°-C)_2cosc0°-C)

；[cosl20。+cos(120°-2C)]cos(1200-2C)-1

所以4&cos2+2cos^—-372=0o

22

解得cos上CA-C

2

▽A-C八而zA-C也

又cos------->0,所以cos-------=—

222

例13求證：tan20+4cos70.

?小°osin20o

【解】tan2Q+4cos70=------r+4si〃20

cos20

sin20°+4sin20°cos20°_sin20°+2sin40

cos20°cos20°

sin20°+sin40°+sin40°2sin30°cos10°+sin40

cos20cos20

sin80°+sin40_2sin60°cos20

cos20cos20

三、趨近高考(必懂)

1.(四川省成都市2010屆高三第三次診斷理科)計算co"5°—柩95。的結(jié)果是()

(A停(B)坐(0373(0)2

百

【答案】D

【解析】解法3；：co:15°—tanl50

=81（45'—30'）一^（45°—30°）

_l-i-tan60wtan45°tan60,-tan45：

tan60,-tan45'1+tan60、tan45、

_l+40-1

癢11+W

=（2+W）一（2—拒）

=2-\/3

解法二：co”5°—315°

_cos15"sin15

sin15'cos15

_cos*15<-sin:15

sinl5-cosl5w

_cos30*

—17=

-■!sin30-

2.（成都2010屆高三第三次診斷文科）計算cos45%osl5。一s加45%os75。的結(jié)果是（）

（A患（喈（O|（0）1

【答案】C

【解析】^^45°cos15°—5m45°c.os75°

=cos45°cos15°—s，為45°sin15°

=cos（450+15。）

=cos60°

=J_

~2

3.（成都2010屆高三第三次診斷文科）先把函數(shù)兀0=si〃x—V3COSX的圖象按向量。=專，

0)平移得到曲線y=g(x),再把曲線y=g(x)上所有點的縱坐標縮短到原來的g倍，橫坐標保

持不變，得到曲線y=/z(x),則曲線y=/z(x)的函數(shù)表達式為()

(A)/i(x)=s加(不一年)(B)/t(x)=sinx

2兀

(C)h(x)=4sm(x—~2-)(D)h,(x)=4sinx

【答案】A

JT

【解析】y(x)=2s/(x—]),

按向量。=專，0)平移后，得到曲線尸且任)=2s譏(X—個)

1__27r

再把縱坐標縮短到原來的;倍，橫坐標保持不變，得到曲線y=/z(x)=si〃(尤一空)

也

4.(成都2010屆高三第三次診斷理科)已知si〃(a+￡)cosa—cos(a+W)s泳z=飛-，貝！Jcos2在

的值為.

【答案】-

3

【解析】因為sin{a+p)cosa—cos{a+p)sina

=si〃[(a+￡)—a]

百

=sin/3=

〒曰721

于是cos2/3=1—28^2/3=1——=—

5.(四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題)

cos41cos79-sin41cos11=2

6.(綿陽2010年4月高三三診理科試題)(本小題滿分12分)已知△ABC中，角A、B、C

所對的邊分別為a,b,c,若A、B、C成等差數(shù)列，b=l,記角A=x,a+c=f(x)..

(I)當xG[工，句時，求了⑴的取值范圍；

63

TT6

(II)若/(%---)=—，求sin2x的值.

65

解：(I)由已知A、B、C成等差數(shù)列，得25二A+C,

在△ABC中，A+B+C=TT,于是解得2=工，A+C=—.

33

在△ABC中，==b=l,

sinAsinBsinC

1.，1sinC=竽[sinA+sin嚀-A)]

〃+c=--------sinA+

.71.71

sin—sin—

33

——[sinA+sincosA—cossinA]—^3sinA+cosA=2sin(71+—),

■JT

即/(x)=2sin(x+—)............................................................................................6分

6

由二WxW工得工Wx+工/工，于是內(nèi)W/(x)W2,

63362

即7(x)的取值范圍為[K,2]............................................................................8分

(II)V/(%——)=2sin(x-—+BPsinx=—.

66655

cosx=±71-sin2x—±—...................................................................................9分

5

若cosx=-d,止匕時由一d<一^^矢口x>網(wǎng)，這與A+C=Z^矛盾.

55243

,，一4

冗為銳角，故COSX=—...................................................................................11分

5

.24

sin2x=2sin%cosx=——...................................................................12分

25

7.(雅安2010屆高三第三次診斷性考試理科)(本題滿分12分)

三角形的三內(nèi)角AB,C所對邊的長分別為a,b,c,設向量加二（。-。/-a）,n=

(a+b,c),若+〃no

⑴求角B的大.小;

（2）求sinA+sinC的取值范圍。

17,降題滿分12分,

k.de-h)(h-?)-.......一.(2分)

—itc—b-'"=I(4分)

UC

8sA--.B-=-.........................................................................(6分)

23

(2)?;/+8+0=k./(■?('=：........................................................《7分)

3

2/r

sin.4+sinC=sinA+siiM-

3

3/rr亢

ssinA-sin-cosA-cos——sirr/...........(9分)

33

8.（自貢2010屆高三三診理科試題）（本小題滿分12分）

如圖4,已知AABC中，|AC|=1,ZABC=120°,NBAC=。，記/（6）=AB-8C。

（I）求/@）關(guān)于夕的表達式;

（ID求/X。）的值域。

（圖4,第17題圖）

|為（T_1\AB\

解：（I）,由正弦定理有:（2分）

s"—sii!2e—sin（60。-。）

1sin（60。—8）

\BC\=sin。，\AB\=（4分）

sin120°sin120°

n萬nJi、八Ji57r

（TiTi）o<e<—=>—<2。H—<—,

3666

/./（^）e（0,1]..........（12分）

9.（南充2010屆高三4月月考理科試題）（本小題滿分12.分）在ZUBC中，角A、8、C

2

的對邊分別為〃、b、c,4sin—cos2C=—+Z?=5,c=V7?

22

（1）求角。的大?。?/p>

（2）求ZU5C的面積.

解：（1）由4sin之cos2c=—,^#4cos2--cos2C—

2222

???4cos2。一4cosc+1=0

解得cosC=L???C=60°

2

（2）由余弦定理得。2=〃2+廬一2〃人cosC即r7=a2+b2—ab①

又〃+Z?=5a2+b2+2ab=25②

由①②得ab=6

?9-1,.373

??oAABC——absmC=---

22

10.（資陽2009—2010學年度高三第三次高考模擬理）（本小題滿分12分）

在直角坐標系xOy中，若角a的始邊為x軸的非負半軸，終邊為射線I：y=2x(x<0).

(I)求tan2a的值；

2cos2--2sin(a—萬)一1

(II)求-----2--------------的值.

行cos(a———)

4

解：(I)在終邊/上取一點尸(一1,一2),貝hana=3=2,................................................2分

-1

?c2x244八

..tan2a=---=——.....................................................................................................4分

1-223

2cos2—2sin(a—〃)—1,。.

/仃、?cosa+2smacoso+2sin。門八

(II)-----------------------------=--------------------=...........................................................8分

A/2COS(?--)72cos(a+-)cosc-sina

44

J+2tan*=1+2x2=_5.微分

1-tan1-2

11.（四川省攀枝花市2010年4月高三第二次統(tǒng)考文科試題）（12分）在43c中，角AB。

.a2+c2-b~=—ac

所對的邊分別是a*",2.

.2A+C

sin----------1-cos2B

（I）求2的值；

（II）若匕=2,求面積的最大值.

cosB=—

解：（I）由余弦定理：4

sin?A+0+COS25=sin2(---)+2cos2B-l

222

oB7

=cos—F2cosB—1

2

1+cosBc2r>[

--------------------F2cosB-1

2

~~4

cosB=—,WsinB=

(II)由44

a2+c2-b1=—ac

???b=2，2

221218

a+c——etc+b——cic+42ZaccicV一

22，從而3

c_1.樸岳

SMBC=-acsmB<——

故23(當且僅當"=c時取等號)

12.(成都石室中學2010屆高三三診模擬理科)(12分)

已知AABC中，sinA(sinB+V3cosB)=V3sinC.

(I)求角A的大?。?/p>

(II)若BC=3,求AABC周長的取值范圍。

解：(I)A+B+C=7T

得sinC=sin(A+B)代入已知條件得

sinAsinB=百cossini?

???sin5w0,由此得tanA=有,4=工6分

3

27r27r

(II)由上可知：B+C=—,:.C=~~B

33

由正弦定理得：

AB+AC=2R(sin3+sinC)=20(sin3+sin(^-B))

即得：AB+AC=2V3(-sinB+—cosB)=6sin(B+—)

226

0<B<—W-<sin（B+-）<l

326

.\3<AB+AC<6f

AA5C周長的取值.范圍為（6,9]12分

第二章平面向量

一、基礎知識（理解去記）

定義1既有大小又有方向的量，稱為向量。畫圖時用有向線段來表示，線段的長度表示向

量的模。向量的符號用兩個大寫字母上面加箭頭，或一個小寫字母上面加箭頭表示。書中用

黑體表示向量，如a.|a|表示向量的模，模為零的向量稱為零向量，規(guī)定零向量的方向是任意

的。零向量和零不同，模為1的向量稱為單位向量【最近幾年常考】。

定義2方向相同或相反的向量稱為平行向量（或共線向量），規(guī)定零向量與任意一個非零

向量平行和結(jié)合律。

定理1向量的運算，加法滿足平行四邊形法規(guī)，減法滿足三角形法則。加法和減法都滿足

交換律和結(jié)合律。

定理2非零向量a,b共線的充要條件是存在實數(shù)4W0,使得a=M.f

定理3平面向量的基本定理，若平面內(nèi)的向量a,b不共線，則對同一平面內(nèi)任意向是c,

存在唯一一對實數(shù)X,y,使得c=xa+yb,其中a,b稱為一組基底。

定義3向量的坐標，在直角坐標系中，取與x軸，y軸方向相同的兩個單位向量i,j作為

基底，任取一個向量c,由定理3可知存在唯一一組實數(shù)x,y,使得c=xi+yi,則(x,y)叫

做c坐標。

定義4向量的數(shù)量積，若非零向量a,b的夾角為夕，則a,b的數(shù)量積記作a?b=|a|?|b|cos。

=|a|?|b|cos<a,b>,也稱內(nèi)積，其中|b|cos。叫做b在a上的投影(注：投影可能為負值)。

定理4平面向量的坐標運算：若a=(xi,yi),b=(X2,y2),

1.a+b=(xi+x2,yi+y2),a-b=(xi-X2,y「y2),

2.Xa=(Xxi,Xyi),a,(b+c)=a?b+a?c,

3.a?b=xix+yiy2,cos(a,b)=/~/(a,bW0),

2&+?丘+貨

4.a〃bOxiy2=X2yi,a±b<^>xlx2+yiy2=0.

定義5若點P是直線P1P2上異于Pl，P2的一點，則存在唯一實數(shù)儲使AP=2P舄,X

叫P分衣*所成的比，若O為平面內(nèi)任意一點，則而=+'°、.。由此可得若內(nèi),

121+2

x1+AJC2

'1+22x一■y——

P，P2的坐標分別為(XI,yi),(x,y),(X2,y2)，則《==

%+僅/一Xy-y

y=-------------2

1+2

定義6設F是坐標平面內(nèi)的一個圖形，將F上所有的點按照向量a=(h,k)的方向，平移|a|=

個單位得到圖形F,這一過程叫做平移。設p(x,y)是F上任意一點，平移到F,上