2024年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編：圖形的相似（31題）解析版

專題22圖形的相似（31題）

一、單選題

1.（2024.重慶?中考真題）若兩個(gè)相似三角形的相似比為1:4,則這兩個(gè)三角形面積的比是（）

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】D

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：兩個(gè)相似三角形的相似比為1:4,

,這兩個(gè)三角形面積的比是I2：42=1:16,

故選：D.

2.（2024.四川內(nèi)江.中考真題）己知二ABC與相似，且相似比為1:3,則ABC與△4與&的周長

比為（）

A.1:1B.1:3C.1:6D.1:9

【答案】B

【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形周長之比等于相似比是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：ABC與△A4G相似，且相似比為1:3,

.ABC與△ABC的周長比為1：3,

故選B.

3.（2024.內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在矩形ABC。中，E,尸是邊上兩點(diǎn)，且BE=EF=FC,連接

。及與"相交于點(diǎn)G,連接6G.若AB=4,BC=6,則sin/GBF的值為（）

【答案】A

【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，求角的正弦值：過點(diǎn)G作GHL5C,證明

FGFF1

AGDsFGE,得至!]￡=%=，再證明其汨FsABF,分別求出"G,fW的長，進(jìn)而求出3"的長,

ACJAD3

第1頁共60頁

勾股定理求出3G的長，再利用正弦的定義，求解即可.

【詳解】解：???矩形ABCD,BE=EF=FC,AB=4,BC=6,

；.AD=BC=6,AD〃BC,BE=EF=FC=2,

：.aAGDsFGE,BF=4,

.FGEF1

AGAD3

.FG1

AF4

/.GHFs.ABF,

.FHGHFG1

BFAB~AF~4'

/.FH=-BF=1,GH=-AB=i,

44

：.BH=BF-FH=3,

,?BG=Jl2+3?=5/10，

1A/10

：.sinZGBF=---j=-——；

BGVio10

故選A.

4.(2024?四川巴中?中考真題)如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案.若。4=1,則OG=()

n32百

C.—1_Z.-----

2727

【答案】C

【分析】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，規(guī)律探究；先求解

第2頁共60頁

=*川,可得黑嚶嘴=cos3（P=也，再進(jìn)一步探究即可;

2

【詳解】解：??,12個(gè)相似的直角三角形，

360°

???ZBOA=ZBOC==——=30°,

12

OAOBOC

=cos30°=—，

~OB~~OC~~OD2

OA=1,

：.OB=-y/3=lx-y[3,

33

OD=lx1|刊=|5L

故選C

5.（2024.四川德陽?中考真題）一次折紙實(shí)踐活動(dòng)中，小王同學(xué)準(zhǔn)備了一張邊長為4（單位：dm）的正方

形紙片ABCD,他在邊AB和AD上分別取點(diǎn)E和點(diǎn)使AE=BE,AM=1,又在線段MD上任取一點(diǎn)N

（點(diǎn)N可與端點(diǎn)重合），再將-E4N沿AE所在直線折疊得到隨后連接.小王同學(xué)通過多次實(shí)

踐得到以下結(jié)論：

①當(dāng)點(diǎn)N在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A在以E為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)；

②當(dāng)達(dá)到最大值時(shí)，A到直線AD的距離達(dá)到最大；

③。4的最小值為2君-2；

④。4t達(dá)到最小值時(shí)，MN=5-卮

你認(rèn)為小王同學(xué)得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）

D.4

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【答案】C

【分析】由折疊可得AE=AE=BE=2,可得點(diǎn)4到點(diǎn)E的距離恒為2,即可判斷①；連接OE,由勾股

定理得到在Rt^ADE中，DE=ylAD2+AE2=275＞由。A+AENOE,即可判斷③；達(dá)到最小值時(shí)，

點(diǎn)A在線段ZJE上，證得ADNS^ADE,得到竽=絲，從而求得zw=5-石，通過

〃乂=4。_。丫-AM即可判斷④.在△4OE中，AQ隨著NOEA的增大而增大，而當(dāng)N/VEA最大時(shí)，NDEA、

有最大值，4G有最大值，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)。重合.過點(diǎn)4作4GL4D于點(diǎn)G,作A尸，于點(diǎn)P,可得

四邊形AG41P是矩形，因此AG=AP=AE+EP,當(dāng)取得最大值時(shí)，乙4乃尸有最小值，在Rt人防中，

E尸=AE-cosN4E尸有最大值，AQ=AP=AE+EP有最大值，即可判斷②.

【詳解】解：?正方形紙片A5CD的邊長為4dm,AE=BE

：.AE=BE=-AB=2,

2

由折疊的性質(zhì)可知，AE=AE=2,

當(dāng)點(diǎn)N在線段MD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)4在以E為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng).故①正確.

連接DE,

;在正方形ABCD中，ZA=90°,AD=4,AE=2,

...在RL^ADE中，DE=jAD2+AE2="+22=26

,/DA^+A^E^DE,

：.DE-&E=2后-2,

的最小值為2石-2.故③正確；

如圖，

第4頁共60頁

DA達(dá)到最小值時(shí)，點(diǎn)A在線段DE上,

由折疊可得/W=ZA=90°,

ADA.N=90°,

NDA\N=ZA,

?：人DN=ZADE,

:…ADNs,ADE,

,DN

"~\D~~DE'

.275-2_DN

/.DN=5-45,

：.MN=AD-DN-AM=4-（5-y/5）-l=y/5-2.故④錯(cuò)誤.

在△4DE中，DE=275,AXE=AE=2,

A\D隨著/DEA的增大而增大,

,/ND%=ZNEA,-ZNED=ZNEA-ZNED=ZNEA-(ZAED-ZAE4)=2ZNEA-ZAED,

.?.當(dāng)NAE4最大時(shí)，/。鵬有最大值，AG有最大值，此時(shí)，點(diǎn)N與點(diǎn)。重合，

過點(diǎn)4作4G，A。于點(diǎn)G,作APLAB于點(diǎn)尸，

*.?ZA=90°,

四邊形AGA尸是矩形，

/.AtG=AP=AE+EP,

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當(dāng)4。取得最大值時(shí)，NAEN=NAEN也是最大值,

：幺EP=180°-ZAE7V-ZAiEN=1800-2NAEN,

N4EP有最小值，

.?.在RtAEP中，￡P(guān)=a￡cos/a￡P(guān)有最大值,

即\G=AP=AE+EP有最大值,

點(diǎn)4到AD的距離最大.故②正確.

綜上所述，正確的共有3個(gè).

故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角形函數(shù)的性質(zhì)，綜

合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在矩形ABQ）中，"平分N8AC,將矩形沿直線EF折疊，使點(diǎn)A,

B分別落在邊A。、3c上的點(diǎn)A，，B，處,EF,AN分別交AC于點(diǎn)G,H.若GH=2,HC=8,則8尸的

長為（）

A2072R20A/3r5百

A.---------D.---------C.-----

992

【答案】A

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理.先證明AG=GF=G9,設(shè)

AEEGxAA！x+2

AG=GF=GO=x,證明_AEGs^CEG和△△47fs,推出==—和=----,由

CFx10CF8

AA=2AE,列式計(jì)算求得％在Rt/XCPG中，求得CF的長，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：如圖，A的交AC于點(diǎn)。，

:矩形ABCD,

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C.AD//BC,

由折疊的性質(zhì)得AE=AE,BF二B'F,四邊形ABEE和四邊形AEFE都是矩形,

：.ABEFOB',

.AGBF]

GO~BrF~，

AG=OG,

?「AF平分/B4C,AB//GF,

：.ZGAF=ZBAF=ZGFA,

AG=GF=GO,

^AG=GF=GO=x,

,:GH=2,HC=8,

：.HO=x-2,GC=8+2=10,

AE//FC,

:?AEGShCFG,

.AEEGAGnnAEEGx

CFGFGCCFx1(

*：AAf//FC,

：.Z\AAH^Z^CFH,

.AA，AH口口A4，x+2^

CFHCCF8

AA!=2AE,

由①②得4=?，

o5

解得x=T，貝UAG=GF=GO=m，

.”2072即,20-

??AE=------,BJBBFC=-------，

99

故答案為：A.

7.（2024.四川宜賓.中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB^AC,反比例函數(shù)y="（左/0）的圖象經(jīng)

X

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AN

AB與y軸交于點(diǎn)N.則耘的值為（）

C-ID-i

【答案】B

【分析】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，找到坐標(biāo)之

間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

作輔助線如圖，利用函數(shù)表達(dá)式設(shè)出A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用。，M是中點(diǎn)，找到坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用

平行線分線段成比例定理即可求得結(jié)果.

【詳解】解：作過A作BC的垂線垂足為。，BC與y軸交于E點(diǎn)，如圖,

在等腰三角形A8C中，AD1BC,。是中點(diǎn),

由BC中點(diǎn)為。，AB^AC,故等腰三角形ABC中,

BD=DC=a—b,

?「AC的中點(diǎn)為

3a—b〃+各'3a-b+

2'22'2ab,

第8頁共60頁

3a-bk,

由M在反比例函數(shù)上得M

253a-b

2,

k(a+b)_k

?,2ab3a-b，

2

解得：b=-3a,

由題可知，AD//NE,

.AN_DE_a_a_1

ABBDa—ba+3a4

故選：B.

二、填空題

8.（2024.遼寧?中考真題）如圖，AB//CD,AD與相交于點(diǎn)0,且AO8與△OOC的面積比是1:4,

若AB=6,則CD的長為.

【答案】12

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，把握相似三角形面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

可得再根據(jù)相似三角形面積比等于相似比的平方即可求解.

【詳解】解：

ZXAOB^/XDOC,

"4"LCDJ，

CD=12,

故答案為：12.

9.（2024.山東濟(jì)寧.中考真題）如圖，AFC中，AB=AC,ZBAC=90°,是“ABC的角平分線.

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AH.\M

DC

(1)以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交54,BC于點(diǎn)E,F.

(2)以點(diǎn)A為圓心,8E長為半徑畫弧，交AC于點(diǎn)G.

(3)以點(diǎn)G為圓心,所長為半徑畫弧，與(2)中所畫的弧相交于點(diǎn)H.

(4)畫射線

(5)以點(diǎn)B為圓心,8c長為半徑畫弧，交射線于點(diǎn)

(6)連接MC,MB,MB分別交AC,AD于點(diǎn)N,P.

根據(jù)以上信息，下面五個(gè)結(jié)論中正確的是.(只填序號(hào))

?BD=CD；②ZABM=15。；?ZAPN=ZANP；④里=立；⑤MC?=MN-MB.

AD2

【答案】①②⑤

【分析】本題為尺規(guī)作圖幾何綜合題，涉及到了等腰三角形的性質(zhì)即判定，矩形的判定，含30。角的直角

三角形的定義，銳角三角函數(shù)的比值關(guān)系，相似三角形的判定及性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用角的等量代換是

解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可判斷出①；過M作MK，3c于點(diǎn)K,證出四邊形ADKM為矩形，即可通過邊

的比值關(guān)系求出NMBK=30。，即可求出判斷②；利用三角形外角和分別求出兩個(gè)角的值進(jìn)行比較

即可判斷③；設(shè)=則尸D=AD-x,用含x的式子分別表達(dá)出AM和的長度后即可判斷④；判定

出awcs,cvw即可判斷⑤.

【詳解】解：：AB=AC,/班C=90。，

二三角形ABC為等腰直角三角形，ZABD=ZACD=45°,

又：AO是_ASC的角平分線，

ABAD=ZCAD=-ABAC=工x90。=45。，

22

NABD=ZACD=ABAD=ACAD=45°,

:.BD=AD=DC,故①正確；

根據(jù)題意作圖可得：ZMAC=ZABD=45°,BM=BC,

過M作MK,3c于點(diǎn)K,則NMKB=90。，如圖所示：

第10頁共60頁

TAD是,ABC的角平分線，由三線合一可得：AD1BC,即/4。。=90。，

???ZDAM=ZDAC+ZMAC=45°+45°=90°,

???/DAM=/MKB=ZADC=90°,

???四邊形為矩形，

：.MK=AD=-BC=-BM,

22

J/MBK=30。,

：.ZABM=ZABD-ZMBK=45°-30°=15°,故②正確；

9：ZAPN=ZABM^-ZBAD=15O^45O=6QO,ZANP=ZMBK-^ZDAC=30°+45°=75°,

：.ZAPN^ZANP,故③錯(cuò)誤；

設(shè)AP=尤，貝ijQD=AD—x,

,：AM//BC,

：.ZAMB=ZMBC=3Q°f

tanZAMB=tan30°=,即tanZMBC=tan30°=—=AD~X,即

AMAM3BDAD3

3包生，

2

AM_43xA

?*-AD~~3x+^/3x~，故④錯(cuò)誤;

2

180?！狽MBC180o-30°_^

ZBMC=ZBCM=o

22―，

ZMNC=ZANP=15°,

：./MNC=/BCM,

又?：/BMC=/CMN,

???BMCs^CMN,

.MC_MN

MB~~MC'

:,MC?=MN?MB,故⑤正確;

綜上所述，正確的有：①②⑤;

故答案為：①②⑤.

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10.（2024?江蘇常州?中考真題）如圖，在矩形A3CD中，對(duì)角線80的垂直平分線分別交邊AB、CD于點(diǎn)E、

F.若AD=8,BE=10,則tanZAB￡>=

【答案】|

【分析】本題主要考查三角形相似的判定和性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.設(shè)爐與8。相交于點(diǎn)0,證明△BOESABAD,根據(jù)相似的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可；

【詳解】解:8。的垂直平分線分別交邊M、CD于點(diǎn)E、F.

:.EF±BD,BO=-BD,

2

.\ZBOE=ZA=90°,

ZABD=ZABD,

:.△BOES/\BAD,

,BE_OE

,?茄一布‘

AD=8,BE=1Q,BO=-BD,

2

?10_OE

,2BO~~Tf

.?.OEBO=40,

OE2+OB2=BE2=IOO,

令OE=x,OB=y,

孫=40

x2+y2=100

x=2y[5x=4>/5

解得＜或*（舍去）,

J=4A/5y=2y/5

OE2751

tan/AB力=---——產(chǎn)——

BO4A/52

第12頁共60頁

D

故答案為：.

n.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正五邊形ABCD石的邊長為4,則這個(gè)正五邊形的對(duì)角線AC的長

是.

【答案】2百+2/2+2店

【分析】此題考查了正五邊形以及等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì).根據(jù)正五邊形以及等腰

三角形的性質(zhì)得出AF=AB=4,再證明根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出，最后由線段和

差即可求出AC的長.

【詳解】解：如圖，連接BO交AC于點(diǎn)廠,

五邊形ABCDE是正五邊形,

（5-2）x180°

；?/ABC=/BCD=\——L--------=108°,AB=BC=CD=4,

5

：.ZBCA=ABAC=180°T歌=,

2

???ZABF=108°-36°=72°,

ZAFB=ZCBD+ZBCA=36°+36°=72°,

:.ZABF=ZAFB,

：.AF=AB=4,

VZBCF=ZACB,ZBAC=/CBF,

第13頁共60頁

ABCFs^ACB,

.BCCF

"~AC~~BC

4_CF

即

CF+4-^-

解得CF=2逐一2或CF=-2括一2（舍去）,

/.AC=CP+A尸=2括一2+4=2君+2,

故答案為：26+2.

12.（2024.江蘇無錫?中考真題）如圖，在，ABC中，AC=2,AB=3,直線CM〃AB,E是BC上的動(dòng)點(diǎn)

（端點(diǎn)除外），射線AE交CM于點(diǎn)O.在射線AE上取一點(diǎn)P,使得AP=2ED,作PQ〃AB,交射線AC

于點(diǎn)。.設(shè)AQ=尤，PQ=y.當(dāng)x=y時(shí)，CD=；在點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的過程中，＞關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式為

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例.

易得。PQ,則△"但吟得出筆嚕，代入數(shù)據(jù)即可求出32；根據(jù)“叱―

得出0）=2，設(shè)DE=t,則”=2r,通過證明CDEsBAE,得出里=匹，則4￡=學(xué)，進(jìn)而得出

xABAE2y

AD=AE+DE=^X^y\結(jié)合△QQSAWC,可得獎(jiǎng)=學(xué)，代入各個(gè)數(shù)據(jù)，即可得出y關(guān)于x的

2yACAD

函數(shù)表達(dá)式.

【詳解】解：???Qf〃AB,PQ//AB,

：.CDPQ,

：./\APQ^/\ADC,

???及=或，即“上

ACCD2CD

?.?x=y,

CD=2；

,AQ=PQ即AW

AC~CD

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整理得：CD=

x

設(shè)DE=t,

?:AP=2ED,

：.AP=2t,

■:CM//AB,

:?CDEsBAE,

.CDDE2y

即x_t

*AB-AE

~T~~AE

整理得：AE=-f

2y

,,3xtZ（3x+2y）

AD=AE+DE=——+t=-^-------U

2y2y

Z\APQ^Z\ADC,

x_2t

AP

.AQ即2/（3%+2y）,

**ACA5

整理得：y=-------，

8-2x

故答案為：2,>=衛(wèi)一.

8-2元

13.(2024.安徽.中考真題)如圖，現(xiàn)有正方形紙片A3CD,點(diǎn)E,尸分別在邊ABIC上，沿垂直于所的

直線折疊得到折痕MN，點(diǎn)3,C分別落在正方形所在平面內(nèi)的點(diǎn)E,C'處，然后還原.

(1)若點(diǎn)N在邊C。上，且NBEF=a,貝。/C'MW=(用含a的式子表示)；

(2)再沿垂直于的直線折疊得到折痕GH,點(diǎn)G,H分別在邊8,A。上，點(diǎn)。落在正方形所在平面

內(nèi)的點(diǎn)DC處，然后還原.若點(diǎn)必在線段AC'上，且四邊形EFGH是正方形，AE=4,EB=8,MN與GH

的交點(diǎn)為P,則PH的長為.

【答案】90°-?/-a+90°3指

【分析】①連接CC',根據(jù)正方形的性質(zhì)每個(gè)內(nèi)角為直角以及折疊帶來的折痕與對(duì)稱點(diǎn)連線段垂直的性質(zhì),

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再結(jié)合平行線的性質(zhì)即可求解；

②記HG與NC'交于點(diǎn)K,可證：AAEH^ABFE^ADHG^ACGF，則AE=CG=DH=4,OG=BE=8,

由勾股定理可求HG=4如，由折疊的性質(zhì)得到：ZNC'B'=ZNCB=90°,Z8=Z9,ZD=ZGD'H=90°,

NC=NC,GD=GD'=8,則NG=",KC'=GC=4,由NC'〃GD',得△HC￡s△m/G,繼而可證

明&C=KG,由等腰三角形的性質(zhì)得到尸K=PG,故PH=>HG=3非.

4

【詳解】解：①連接CC,由題意得NC'M0=N4,MNLCC,

"：MN±EF,

：.CC//FE,

Z1=Z2,

:四邊形ABCD是正方形，

ZB=ZBCD=90°,

：.Z3+Z4=Z3+Z2=90°,Z1+ZBEF=90°,

N2=Z4,Zl=90°-a,

Z4=90°-￡Z

?*.ZC'NM=90°-a,

故答案為：90。-a；

②記用與NC交于點(diǎn)K,如圖：

:四邊形ABC。是正方形，四邊形EFG”是正方形,

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ZA=ZB=ZC=ZD=90°,HE=FE,ZHEF=90°,

Z5+Z6=Z7+Z6=90°,

Z5=Z7,

/.AAEH^ABFE,

同理可證：AAEHm4BFE沿4DHGm乙CGF,

:.AE=CG=DH=4,DG=BE=8,

在RtAHDG中，由勾股定理得HG=yjDH2+DG2=475，

由題意得：ZNC'B'=ZNCB=90°,Z8=Z9,ZD=ZGD'H=90°,NC=NC,GD=GD'=8,

：.NC7/GD',

：.ZNKG=Z9,

：.Z&=ZNKG,

：.NG=NK,

：.NC-NG=NC'-NK,

即KC'=GC=4,

,?NC//GD',

LHC'KSAHD'G,

.HKC'K1

，'llG~lyG~2,

：.HK^-HG,

2

HK=KG,

由題意得MN_L"G,而NG=NK,

：.PK=PG,

：.PH=-HG=3y/5,

4

故答案為：3也.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì),

勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

14.（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）如圖，在正方形A3CI）中，￡是3C延長線上一點(diǎn)，AE分別交3D、CD

于點(diǎn)F、M,過點(diǎn)尸作分別交AD、BC于點(diǎn)、N、P,連接下列四個(gè)結(jié)論：①AM=PN；

@DM+DN=y/2DF;③若尸是8C中點(diǎn)，AB=3,則EM=2河；?BF-NF=AF-BP；⑤若PM〃BD,

則CE=VIBC.其中正確的結(jié)論是.

第17頁共60頁

【答案】①②③⑤

【分析】如圖1,作PGLAD于G,則四邊形ABPG是矩形，證明一PGN均ADM(ASA),則AM=/W,

可判斷①的正誤；如圖2,作HF_LDF交AD于H,連接證明.AB尸—CM（SAS）,則Ab=b,

ZBAF^ZBCF,由N3尸尸+/54/=360°—Z4BP-NAFP=180°,ZBPF+ZFPC=180°,可得

NBAF=NFPC,PF=CF=AF,FN=FM,證明.HFN絲AOEM（SAS）,貝1|9=￡）加，由勾股定理得,

DH=^DF-+HF2=y[2DF-由DH=HN+DN=DM+DN,可得DM+DN=?DF,可判斷②的正誤;

如圖3,連接AP,由勾股定理得，AP=^AB-+BP2=—,AP=^PF2+AF2=V2PF=—,可求

22

PF^EM^x,則PE=|+x,BE=3+x,由勾股定理得，AE=^AB2+BE2=^32+（3+x）2,

3V10

由sinNE=H=笆，可得13,整理得，f_2x_24=0,可求滿足要求的解為x=6,

PEAE|+x7+（3+/

RF69—

則AE=3jIU,BE=9,由cosNE==y=:二，可得言7=c/77T,可求石M=2&5,可判斷③的正誤;

EMAEHM3<10

由題意知，ZBPF>90°,BPR,NE4不相似，BFNFwAFBP,可判斷④的正誤；由設(shè)PC=CM=Q,

PCr~

BC=CD—AD—AB=b,CE=c,貝ljDAl=b—a,BE=b+c,PE=a+c,PM=---------=<2a,證明

cos45°

.7—(SAS)，證明，2即C,則需篙即9V，可"三

貝嘿考，即普考，同理，—S.，則翳=黑專，即

同理,WSEPF,

"￡=空，可得竺￡=迤，將°=上代入"￡=色得,

b+c_b+c整理得,

bbe

bPFba+cb+cba+c------+c

b+c

回缶=2Hc，可得，＞應(yīng)，則CE=同C，可判斷⑤的正誤.

【詳解】解：：正方形ABCD，

ZABC=ZBCD=ZCDA=ZDAB=90°,AB=BC=CD=AD,ZADB=ZABD=ZCBD=ZCDB=45°,

如圖1,作尸GJ_A￡>于G,則四邊形AB產(chǎn)G是矩形，

第18頁共60頁

ND

：.PG=AB=AD,

丁Z.GPN+Z.GNP=90°=ZGNP+ZDAM,

ZGPN=ZDAM,

又,：PG=AD,NPGN=90。=ZADM,

：._PGV均ADM(ASA),

：.AM=PN,①正確，故符合要求；

如圖2,作HF_LD下交AD于H,連接C7"

圖2

NDHF=45。=ZADB,

:?DF=HF,

?:AB=BC,ZABF=ZCBF=45°,BF=BF,

：.ABF^CBF(SAS),

：.AF=CF,ZBAF=ZBCF,

「ZBPF+ZBAF=360°-ZABP-ZAFP=180°,ZBPF+NFPC=180。，

:?/BAF=/FPC,

：.NBCF=/FPC,

：.PF=CF=AF,

：.PN-PF=AM-AFfW?FN=FMf

:ZHFN+ZNFD=90°=ZDFM+ZNFD,

ZHFN=ZDFM,

,:HF=DF,ZHFN=ZDFM,FN=FM,

第19頁共60頁

.HFN^DFM(SAS),

HN=DM,

由勾股定理得，DH=dDF?+HF?=?DF，

,:DH=HN+DN=DM+DN,

DM+DN=y/2DF,②正確，故符合要求;

TP是中點(diǎn)，AB=39

3

BP=CP=-

2

如圖3,連接AP,

由勾股定理得，AP=VAF+BP?=—,AP=A/PF2+AF2=yflPF=—

22

解得，叵，

4

3

設(shè)CE=x,貝l]PE=；+無，BE=3+x,

由勾股定理得，AE=^AB2+BE2=^32+(3+X)2,

?.2=竺="

PEAE

3M

3

4,整理得，d-2x-24=0,

3收+（3+可

----FX

2

解得，犬=6或％=-4（舍去）,

???A￡=3廝，BE=9,

../日CEBE

?cosZ-E=-----=-----,

EMAE

?__6_____9__

''~EM~3V10)

解得，EM=2反,③正確，故符合要求;

由題意知，ZBPF>90°,

第20頁共60頁

???BPR.NE4不相似，BFNFwAFBP,④錯(cuò)誤，故不符合要求；

?:PM//BD,

：.ZCPM=ZCBD=45°,ZCMP=ZCDB=45°,

^PC=CM=a,BC=CD=AD=AB=b,CE=c,則—BE=b+c,PE=a+c,

PCr-

PM=---------=y!2a,

cos45°

":AF=PF,ZAFN=90°=ZPFM,FN=FM,

AFNtPFM(SAS),

:?AN=PM=B，

ZADM=90°=ZECM,ZAMD=ZEDC,

：..AMD^EDC,

.ADDMbb-a

??=------，艮J—=-------，

CECMca

解得，a=魯,

b+c

同理，ANFs.EPF,

.ANFN缶FN

..----=----,即Hn-----=----,

PEPFa+cPF

同理，二DMFs_BAF,

.DMFMFNZ?-6Z_FN

AF-PF?b-PF?

?b-a_-Jia

??-----------,

ba+c

人,r-b-"逝工

將。=當(dāng)代入必得，—戶=b+c,整理得，、&+缶=2b+c，

b+cba+cbbe)v

b+c

解得，y=V2,

b

?*.CE=-J1BC，⑤正確，故符合要求；

故答案為：①②③⑤.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，正弦，余弦，相

似三角形的判定與性質(zhì).熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，勾股定理，正

弦，余弦，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.(2024?湖北武漢.中考真題)如圖是我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦圖”，它

是由四個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形MNPQ拼成的一個(gè)大正方形ABCD.直線MP交正方形

第21頁共60頁

ABC。的兩邊于點(diǎn)E,F,記正方形ABC。的面積為正方形MNPQ的面積為S’.若BE=kAE(k>1),

S.

」的值是.

【分析】作EG,4V交4V于點(diǎn)G,不妨設(shè)=設(shè)EG=1,通過四邊形MNR2是正方形，推出

ZEMG=ZPMN=45°,得到EG=MG=1,然后證明AEG^ABN,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例，得

Ap1AG1

到---=---=---=----,從而表示出AG,MN的長度，最后利用S]=A3?=5N?+AN?和S?=MN?=a2

ABBNANk+l

表示出正方形ABCD和腦VP。的面積，從而得到要.

d2

【詳解】解：作EG_L4V交AN于點(diǎn)G,不妨設(shè)MZV=a,設(shè)EG=1

四邊形MNP。是正方形

...ZEMG=APMN=45°

..EG=MG=1

在aXEG和cABN中，ZEAG=ZBAN,ZAGE=ZANB=90°

AEG^ABN

.AEEGAG

一花一嬴一菽

BE=kAE(k>I)

:.AB=AE+BE=AE{k+X)

.1AG1

*AB-BAF-AAF-I+T

:.BN=\+k

由題意可知，AABNdDAM

..BN=AM=\+k

第22頁共60頁

:.AG=AM-GM=l+k-l=k

.AGAGk1

''~AN~AM+MN~k+\+a~~k+\

a=k2—1

AN=AG+GM+MNk+l+k2k2+k

：.正方形ABCD的面積H=AB2=BN2+AN2=(k+1)2+(E+kf=(k+V)\k2+1),

正方形MNPQ的面積邑=MN2=a2=(k2-1-=(左+-1)?

22

.St_(fe+l)(^+l)

,瓦—伏+1)2(I)2

k>\

"+1)2wO

2

,Stk+l

,.『(1)2；

k2+l

故答案為:

【點(diǎn)睛】本題考查了弦圖，正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的面積,

勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并能畫出合適的輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵.

三、解答題

16.(2024?內(nèi)蒙古包頭?中考真題)如圖，48是。的直徑，BC,BD是。的兩條弦，點(diǎn)C與點(diǎn)。在"的

兩側(cè)，E是上一點(diǎn)(OE>BE),連接OC,CE,且ZBOC=2NBCE.

(2)如圖2,若BD=2OE,求證：9〃OC.(請(qǐng)用兩種證法解答)

【答案】(1)3

(2)見解析

第23頁共60頁

【分析】(1)利用等邊對(duì)等角、三角形內(nèi)角和定理求出NO8C=/OCB=：(18()o-ZBOC),結(jié)合

ZBOC=2ZBCE,可得出/OBC+/3CE=90。，在RtOCE中，利用勾股定理求解即可；

(2)法一：過。作于R利用垂徑定理等可得出5/=工8。=?！?然后利用HL定理證明

2

RtCEO^RtOFB,得出NCOE=NO3尸，然后利用平行線的判定即可得證；

法二：連接AD,證明,CEOjAZ?得出/COE=/ABD,然后利用平行線的判定即可得證

【詳解】(1)解：???OC=C?,

NO8C=NOC8=:(180°-NBOC),

,?NBOC=2ZBCE,

：.ZOBC=1(180°-2NBCE)=90°-ZBCE,即ZOBC+ZBCE=90°,

：.ZOEC=90°,

OC-=OE-+CE2,

：.OC2=((9C-l)2+(^/5)2,

解得OC=3,

即。的半徑為3；

(2)證明：法一：過。作。尸，3D于凡

D

：.BF=-BD,

2

BD=2OE

：.OE=BF,

又OC=OB,/OEC=/BFO=90。,

RtCEO^RtOZ;B(HL),

ZCOE=ZOBF,

：.BD//OC-,

法二：連接AD,

第24頁共60頁

c

D

：AB是直徑，

：.ZADB^90°,

：.AD=^AB2-BD2=J（20C）2_（20E）2=2^OC2-OE2=2CE,

.PC_CE_OE

?,花一訪一防一5'

；.CEOsADB,

：./COE=ZABD,

：.BD//OC.

【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，全

等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，明確題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解題是解題的關(guān)鍵.

17.（2024?黑龍江大慶?中考真題）如圖，平行四邊形A5CD中，AE,CF分別是/BAD,ZBCD的平分

線，且E、尸分別在邊BC,AO上.

（1）求證：四邊形AECB是平行四邊形；

⑵若NADC=60。，DF=2AF=2,求,G。尸的面積.

【答案】（1）見解析

⑵SGDF-

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到/比⑦=/3CD,AD//BC,結(jié)合角平分線的條件得到

NDAE=NBCF,由AD〃3c得到ND尸C=N3CF,NDAE=NDFC,根據(jù)平行線的判定得到AE〃尸C,

根據(jù)平行四邊形的判定即可得到AECB是平行四邊形；

4

（2）求得ADFC是等邊三角形，得到。尸=OC=CF=2,CE=AF=1,證明ADF"&ECG,求得FG=-,

第25頁共60頁

作GHLDF于點(diǎn)、H,在RtFGH中,求得百，據(jù)此求解即可.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABC。是平行四邊形，

：.ZBAD=ZBCD,AD//BC,

?：AE,CF分別是“4D、ZBCD的平分線，

,ZBAE=ZDAE=-ZBAD,/BCF=/DCF=-/BCD,

22

：.ZDAE=ZBCF,

■:AD〃BC,

：./DFC=/BCF,

：.NDAE=NDFC,

：.AE//FC,

???四邊形AEB是平行四邊形；

（2）解：由（1）得NDFC=NBCF,ZBCF=ZDCF=|ZBCD,

:?/DFC=/DCF,

VZAZ）C=60°,

???△。尸。是等邊三角形，

ZDFC=60°,

,:DF=2AF=2,

：.DF=DC=CF=2,CE=AF=1,

u：AD//BC,

：.△DF54ECG,

.FGDF_2?

**CG-CE-I-'

24

FG=—CF=—,

33

作尸于點(diǎn)H,

4

在RtFG/f中，ZGFH=60°,FG=-,