北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題期末考試點(diǎn)對點(diǎn)壓軸題訓(xùn)練（一）（A卷18題）（原卷版+解析）

期末考試點(diǎn)對點(diǎn)壓軸題訓(xùn)練(一)(A卷18題)

1.如圖，在等邊0ABC中，點(diǎn)。與點(diǎn)E分別在8C與AC上，且BO=CE,連接A。與BE于點(diǎn)尸，連接CF.

(2)延長3E到N,使AE=RV,連接AN,CN.

①判斷CN與AD的位置關(guān)系并證明；

②當(dāng)AB=2夜時，求2尸的長.

2.如圖，己知0ABe是等邊三角形，AB=8,M為AC中點(diǎn)，。為BC邊上一動點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時針旋

轉(zhuǎn)60。得到AE,連接CE、DE、ME.

(1)求證：CD+CE=CA；

(2)求出點(diǎn)M到CE所在直線的距離；

7

(3)當(dāng)一時，求CE的值.

2

3.如圖1,在YABCD中，她的平分線交AO于點(diǎn)酎。。的平分線交于點(diǎn)H

圖1

⑴求證：四邊形8瓦不為平行四邊形;

(2)如圖2,連接ER若ER3BC,BF=8,EF=4,求YABCD的面積;

⑶如圖3,連接EE,作右反鉆關(guān)于直線跖對稱的ECH,其中點(diǎn)A,3的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C,H,恰好有

HE0DF,垂足為G.若￡尸=逝，求BE的長.

4.如圖，在，ABCD,分別以AB，C。為底邊在MBC。內(nèi)側(cè)作等腰她2尸和等腰回。CE,且0A尸2=回。石。

=120。，連接CF和AE并延長，分別交邊AB,C￡)于點(diǎn)M和點(diǎn)N.

⑴求證：0A￡>E=0CBF；

(2)求證：四邊形AMCN為平行四邊形；

⑶連接若MN08C,AB=^BC,A3C。的面積為3,求C尸的長.

5.如圖，AB=AC,AD=AE,NB4C=/D4E=90。，且點(diǎn)。在一ABC內(nèi)部，連接瓦〉CE,3D的延

長交線段CE于點(diǎn)

⑴求證：運(yùn)△ACE；

(2)判斷BF與CF的位置關(guān)系并證明；

(3)連接Ab,若AF=C，求四邊形ADEE的面積.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤0y中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0),以線段。4為一邊在x軸上方作等邊I3OAB.C

是無軸上一點(diǎn)，連接2C,將線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段班)，連接AD,CD.

⑴當(dāng)點(diǎn)C在線段的延長線上時.

①求證：OB8ABD-,

②若AD=2AC,求線段CO的的長；

(2)若點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,百)，連接即，試問線段瓦)的長是否存在最小值？若存在，請求出該最小值；若不

存在，請說明理由.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A僅，石)，點(diǎn)B(—3,0).

圖1圖3

⑴如圖1,點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于無軸的對稱點(diǎn)，連接8C,判斷0ABe的形狀，并證明你的結(jié)論；

(2)如圖2,作0A8C關(guān)于點(diǎn)8的中心對稱圖形SEB。，△EB'D為回防。沿著x軸向右平移以后的圖象，當(dāng)

與a42c重疊部分的圖形為正六邊形時，求此時的平移距離；

⑶如圖3,點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，連接AM,將AM繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段MW,若N點(diǎn)恰好在某

一條直線上運(yùn)動，請求出該直線的函數(shù)表達(dá)式.

8.如圖1,在YABCD中,/ABC的平分線交AD于點(diǎn)E,2ADC的平分線交BC于點(diǎn)尸.

H

⑴求證：四邊形3的為平行四邊形；

(2)如圖2,連接跖，若EF，BC,BF=8,EF=4,求YABCD的面積；

⑶如圖3,連接所，作關(guān)于直線E尸對稱的ECH,其中點(diǎn)A,8的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C,,恰好有

HELDF,垂足為G.若政=夜，求BE的長.

9.如圖L"CE與ABGE均為等腰直角三角形，且NAEC=N3EC=90。，連接8C、AG,延長AG與BC

交于點(diǎn)F.

圖1圖2

⑴求證：AF1BC-,

(2)當(dāng)點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，AE=2時，求CF的長；

⑶如圖2,過點(diǎn)C作CD〃AB,過點(diǎn)A作〃3C,AD,CD交于點(diǎn)D,在邊AB上取一點(diǎn)H,使得AH=CG,

連接。H,探究CG、CD、?！比龡l線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

10.己知，在4ABe中，點(diǎn)”是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AM上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合).過點(diǎn)。作A2的平

行線，過點(diǎn)。作4"的平行線，兩線交于點(diǎn)E,連結(jié)AE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與M重合時，求證：四邊形A5DE是平行四邊形；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。不與M重合時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由;

⑶圖3,延長8。交AC于點(diǎn)H,若8"，AC,且=求NQ4M的度數(shù).

11.如圖1,在等邊三角形ABC中，于。,CELA3于瓦AD與CE相交于點(diǎn)。.

c

圖1圖2圖3

⑴求證：OA^IDO-,

(2)如圖2,若點(diǎn)G是線段AD上一點(diǎn)，CG平分NBCE,NBGb=60。，G/交CE所在直線于點(diǎn)F.求證：GB=GF.

(3)如圖3,若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，連接8G,在3G下方作4GF=60。，邊GF交CE

所在直線于點(diǎn)E猜想：OGOROA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

12.如圖1,在ABC中，AB=AC,是ABC的一條角平分線，AN為.ABC的外角/BAM的平分線,

BELAN,垂足為E.已知AD=8,BD=6.

(1)求證：四邊形AD3E是矩形；

(2)如圖2,延長AD至點(diǎn)使=連接正，G為所的中點(diǎn)，連接EG,DG.求EG的長.

(3)如圖3,在(2)間的條件下，尸為BE邊上的一個動點(diǎn)，連接尸G并延長交AD延長線于點(diǎn)Q,連接CQ,

//為CQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸從￡點(diǎn)運(yùn)動到8點(diǎn)時，點(diǎn)H所經(jīng)過的路徑長.

13.如圖，AC為YABCD的對角線，/BAC=90。,CE平分ZAC3*為射線3C上一點(diǎn).

①當(dāng)G為。。中點(diǎn)時，求證：CF=BC；

②當(dāng)CF=C4時，求CG長度；

（2）如圖2,尸在線段BC上，連接AF與CE交點(diǎn)于H,若ND=3ZACE,FA=FC,試探究AD,AC,AH三

條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

14.在R/0ABC中，E1BAC=9O。，設(shè)0ACB=6O。，將MBC繞著點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，得至胞CDE（點(diǎn)。，E分別

與3,A對應(yīng)），連接BD

（1）如圖L當(dāng)點(diǎn)。在線段CA的延長線上時，若AD=5,求2。的長；

（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在如圖所示位置時，連接EA并延長交2。于R過點(diǎn)。作DG0AB交線段瓦1的延長

線于G,連接A。，BG.求證：四邊形AOG8為平行四邊形.

（3）在（2）的條件下，如圖3,連接CT,若AC=5,CF=8,求EF的長.

15.已知點(diǎn)E是正方形ABC。的邊C￡＞上的動點(diǎn)，連接AE,過點(diǎn)A作A7WE,交CB的延長線于點(diǎn)足

（1）如圖1,求證：FB=ED-,

（2）點(diǎn)G為正方形的對角線8。上一點(diǎn)，連接AG,GC,GF,且GC=GE

①如圖2,求回G剛的度數(shù)；

②如圖3,過點(diǎn)G作〃Z///AE,分別交ARAB,。。于點(diǎn)M,N,H.若48=3,BF=1,求MH的長.

圖1圖2圖3

16.已知AM是0ABe的中線，。是線段AM上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合）.過點(diǎn)。作A2的平行線，過點(diǎn)C作

AV的平行線，兩線交于點(diǎn)E,連結(jié)AE.

（1）【模型研究】如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與M重合時，求證：四邊形A8DE是平行四邊形；

（2）【模型推廣】如圖2,當(dāng)點(diǎn)。不與M重合時，四邊形A8OE還是平行四邊形嗎？如果是，請證明；如

果不是，請說明理由；

（3）【模型應(yīng)用】若0ABe是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)。是AM的中點(diǎn)（如圖3）,請直接寫出CE的長.

圖1圖2

17.在學(xué)習(xí)了圖形的旋轉(zhuǎn)知識后，某數(shù)學(xué)興趣小組對教材中有關(guān)圖形旋轉(zhuǎn)的問題進(jìn)行了進(jìn)一步探究.

圖1圖2圖3

(1)問題梳理，問題呈現(xiàn):如圖1,點(diǎn)O在等邊ABC的邊BC上，過點(diǎn)C畫的平行線/，在/上取CE=3￡>,

連接AE,則在圖1中會產(chǎn)生一對旋轉(zhuǎn)圖形.請結(jié)合問題中的條件，證明：△ABgAACE；

(2)初步嘗試：如圖2,在一ABC中，AB=AC,點(diǎn)。在BC邊上，且將△ABD沿某條直線翻

折，使得A3與AC重合，點(diǎn)。與BC邊上點(diǎn)廠重合，再將△ACF沿AC所在直線翻折，得到“小，則在

圖2中會產(chǎn)生一對旋轉(zhuǎn)圖形.若NfiAC=30。，AD=6,連接DE,求VADE的面積；

(3)深入探究：如圖3,在ABC中，ZACS=60°,NBAC=75。,AC=6,點(diǎn)。是邊BC上的任意一點(diǎn)，

連接AD,將線段AD繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)75。，得到線段AE,連接CE,求線段CE長度的最小值.

期末考試點(diǎn)對點(diǎn)壓軸題訓(xùn)練（一）（A卷18題）

1.如圖，在等邊0ABe中，點(diǎn)。與點(diǎn)E分別在8C與AC上，且BD=CE,連接與BE

于點(diǎn)尸，連接C?

⑵延長BE到N,使AF=FN,連接⑷V,CN.

①判斷CN馬AD的位置關(guān)系并證明；

②當(dāng)SzACF=^,AB=2夜時，求BF的長.

【答案】（1）見解析

⑵①CM3AZ）；@75-1

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS證明0X8?；豐BCE,得回C2E=aa4D,再利用

三角形外角的性質(zhì)可得答案；

（2）①由（1）可知0APN是等邊三角形，再利用SAS證明EI54R13C4M得EIANC=0AB2,

利用同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，可得結(jié)論；②作于H,利用平行線之間的距離處

處相等得則AF=2,再利用勾股定理求出的長，從而解決問題.

【解析】（1）回EABC是等邊三角形，

^AB=BC,0ABD=0BC￡=6O°,

在B48。和I3BCE中，

AB=BC

<NABD=ZBCE

BD=CE

EBABOB3BCE（SAS）,

^CBE^BAD,

SSAFE=^ABF+SBAF=^ABD=60°；

（2）

①CNBAD,理由如下：

^\AF=AN,SAFN=60a,

回她PN是等邊三角形，

BHIRIN=團(tuán)A4C=60°,

回團(tuán)3AD二回CAN,

^AB=AC,AF=AN,

mBAF^CAN(SAS),

mANC=^\AFBf

0[71AFB=120°,

甌ANO120°,

團(tuán)團(tuán)E4N+團(tuán)4NC=180°,

團(tuán)CNE4。；

②作AH0尸N于H,

MD0CN,

^\SAAFC=SAAFN=石,

[MF=2,

麗A/W是等邊三角形，

^\FH=lfAH=73，

在火通45H中，由勾股定理得，

BH=ylAB2-AH2=4^3=百，

?BF=BH-FH=B1.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判

定與性質(zhì)，勾股定理等知識，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.如圖，已知她5C是等邊三角形，AB=8,M為AC中點(diǎn)，。為邊上一動點(diǎn)，將AZ)

繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到AE,連接CE、DE、ME.

(1)求證：CD+CE=G4；

(2)求出點(diǎn)M到CE所在直線的距離；

7

(3)當(dāng)—時，求CE的值.

2

A

【答案】（1）見解析；（2）273;（3）；或三:

【分析】（1）依據(jù)&4s可證明A/WDMAACE,可得BD=CE,即可；

（2）過點(diǎn)M作由（1）知NASD=NACE=60。，利用直角三角形的性質(zhì)，即可

求解MH；

（3）過點(diǎn)M作討論點(diǎn)H,在線段CE上還是CE的延長線上，通過直角三角形

的性質(zhì)，即可求解CE；

【詳解】（1）由題知，AABC為等邊三角形，SAB=AC=BC-,

又A￡）,逆時針旋轉(zhuǎn)60。；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD=AE-,ZB=ZACE=60°,

BZBAD=ZCAE；

在AABD和AACE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

0\ABD=\ACE,^BD=CE

SAC=BC=BD+CD=CD+CE

13CD+CE=AC；

（2）過點(diǎn)“作MH_LCE,

由（1）知AABD三AACE,SZABD=ZACE=60°,

又“為AC的中點(diǎn)，0AM=CM=-AC=4；

2

在必ACAfff中，NACE=60°,0ZCMH=30°；

ECH=-CM=2■

2

回MH=4cM--CH1=2A/3：

回M到CE所在直線的距離為2石;

(3)過點(diǎn)Af作MH_LCE,

由(2)知，MH=2也,CH=2；

7

在加AMHE中，/MHE=90°,ME=--

2

0EH=4EM--MH-=-；

2

當(dāng)H點(diǎn)落在線段CE上時，

CE=CH+HE=2+-=-；

22

當(dāng)H點(diǎn)落在線段CE的延長線時，

13

CE=CH-HE=2——=-；

22

回CE的值為|3■或：5；

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形證明、等邊三角形和直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵在尋找相關(guān)

條件作輔助線；

3.如圖1,在YABCD中，0A8C的平分線交A。于點(diǎn)E,0Aoe的平分線交于點(diǎn)R

圖1

(1)求證：四邊形3E。尸為平行四邊形;

(2)如圖2,連接EF,若ER38C,BF=8,EF=4,求YABCD的面積;

(3)如圖3,連接EF,作關(guān)于直線對稱的ECH,其中點(diǎn)A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)

C,H,恰好有垂足為G.若EF=6，求BE的長.

【答案】(1)見解析

(2)52

⑶2+五

【分析】(1)根據(jù)角平分線的性質(zhì)可推出NEBC=ZEDF,再根據(jù)ZAEB=NEBC得BE//DF,

即可得出結(jié)論；

(2)構(gòu)造直角三角形，設(shè)==根據(jù)勾股定理可列有關(guān)尤的一元二次方程，即可求

得結(jié)果；

(3)根據(jù)對稱性可得兩個三角形全等，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理可求得結(jié)果.

【詳解】(1)證明：在YABCD中，ZABC=ZADC,AD//BC,

又西￡、分別為0ABC、0Aoe的平分線，

QZEBC=ZEDF,

又回AD〃3C,

BiZAEB^ZEBC,

BiZAEB=ZEDF,

?BE〃DF,

又回4￡>〃3。，

回四邊形BEDF為平行四邊形；

(2)解:?BE為EABC的平分線，

^ZABE=ZEBC,

又1aAD〃3C,

BZAEB=ZEBC,

^ZABE^ZAEB,

設(shè)AB=AE=x,

過點(diǎn)A作AAfBBC于點(diǎn)如圖所示，

國EFE1BC,AD//BC,

^\AM=EF=4,AE=MF=x,

0BM=8-x,

在..ABM中，ZAMB=90°,

BM1+AM2=AB1

0（8-x）2+42=x2,

解得尤=5,

由（1）在cBEDF中,DE=BF=8,

團(tuán)AD=AE+DE=5+8=13,

團(tuán)SABCD=A。xAM=13x4=52；

(3)分別過點(diǎn)A、/作AMU3C于點(diǎn)尸NMO于N,如圖所示，

^AM=FN=a,AN=MF,

由(1)(2)知：AB=AE=CD=CF,ZABE=ZAEB=ZFDC

團(tuán)一E45關(guān)于直線E尸對稱的圖形為小石C"

團(tuán)CE=AE,ZAEB=ZCEH,

0CE=CD,^CEH=^\FDC

又用NEKG=/DKC,

團(tuán)ZEGK=ZDCK=90°,

團(tuán)一ECD為等腰直角三角形

0ZEDC=45°,ZABM=45°

^AM=BM=a,AB=y/2a=AE=CD=CE=CF

0DE=2a=BF,

^\MF=AN=a,

0NE=AE-AN=8-a，

在RtNEF中,NE2+FN2=EF2,

+°2=(忘)，心=2+心,

過點(diǎn)。作“A8c延長線于點(diǎn)J,如上圖所示，

在RtADJF中，DJ2+FJ2=DF2,

DF2=a2+^y/2a+aj=6+4^/2,

0BE=DF=^22+2-2-V2+(V2)2=2+6-

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及勾股定理解三角形，解題的關(guān)

鍵在于作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形.

4.如圖，在，A8CZ)中，分別以A8,CD為底邊在0ABe。內(nèi)側(cè)作等腰0ABp和等腰MCE,

且0AFB=EI￡)EC=12O。，連接C尸和AE并延長，分別交邊AB,CD于點(diǎn)M和點(diǎn)N.

(1)求證：BADE=SCBF；

(2)求證：四邊形AMCN為平行四邊形；

(3)連接MN,若MN3BC,AB=y[2BC,ABC。的面積為3,求的長.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】(1)利用等腰三角形的性質(zhì)得NCDE=ZABF=30。，再利用平行四邊形的對角

相等得到/ADC=/4BC,即可證明結(jié)論；

(2)先由ASA證明△ABBMAOCE,得至[]?=￡>￡1=AF=CE,再利用SAS證明

^CBF=_ADE,得CF=AE,繼而證明四邊形AFCE是平行四邊形，據(jù)此解答；

(3)利用平行四邊形的性質(zhì)得到創(chuàng)介AM,則設(shè)BM=x，則AB=2x,BC=-Jix，

則CM=x,根據(jù)YA3co的面積為3,解出的長，再利用含30。角的直角三角形的性質(zhì)

解答即可.

(1)

解：ZAFB=ZDEC=120°,CE=DE,AF=BF

:.NCDE=ZABF=30。

四邊形ABCD是平行四邊形

:.ZADC^ZABC

:.ZADE=NCBF

(2)

證明：,四邊形ABC。是平行四邊形

:.AB=CD

ZAFB=ZDEC=120°,CE=DE,BF=AF

ZABF=ZBAF=ZECD=ZEDC=30°

ABF=^DCE(ASA)

：.BF=DE=AF=CE

■-ZCBF=ZADE,BC=AD

CBF=.ADELAS)

CF=AE

四邊形APCE是平行四邊形

;.AE//CF

AB//CN

.,.四邊形AMCN是平行四邊形

(3)

解：MN//BC,AB//CD

，四邊形3MNC是平行四邊形

:.BM=CN

四邊形AMCN是平行四邊形

:.AM=CN

.\FM.LAB

AB=42BC

設(shè)BM=XfAB=2xfBC=y/2x，CM=x

ABCD的面積為3,

.\ABCM=3,.?.2/=3

:.x=^-(負(fù)值舍去)，二5W=逅

22

ZABF=30°,-.MF=—

2

CF=CM-MF=屈一屈.

2

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、

含30。角的直角三角形性質(zhì)等知識，是重要考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵.

5.如圖，AB=AC,AD=AE,^BAC=^DAE=90°,且點(diǎn)。在，ABC內(nèi)部，連接2D,

CE,的延長交線段CE于點(diǎn)尸.

(1)求證：AAB睜AACE；

(2)判斷BF與CF的位置關(guān)系并證明；

⑶連接4尸，若A尸=血,求四邊形ADEE的面積.

【答案】①見解析

(2)BF±CF,見解析

(3)1

【分析】⑴證出=根據(jù)SAS證明三ACE；

(2)M和AC交于點(diǎn)0,由全等三角形的性質(zhì)得出NABD=/ACE,則可得出結(jié)論；

⑶過點(diǎn)人作出小于點(diǎn)M,4VLCE,交CE的延長線于點(diǎn)N,證明.AMB=^ANC(AAS),

由全等三角形的性質(zhì)得出AM=AN,證出四邊形⑷為正方形，證明-AMD

三4VE(A4S),得出S3。=SME，則可得出答案.

【詳解】(1)證明：ZBAC=ZDAE=90°,

ZBAC-ZDAC=/DAE-ZDAC=90°,

:.ZDAB=ZCAE.

在和"。石中，

AB=AC

<NDAB=NCAE,

AD=AE

:._ABD=ACE-

(2)解：BFLCF,

證明：如圖1,B尸和AC交于點(diǎn)O,

B

E

圖1

ABDACE,

.\ZABD=ZACE,

NAOB=NCOF,NABD+NBAO=NAOB=NACE+NCFO+NCOF,

:,ZBAC=ZCFO=9G0,

:.BF±CF；

(3)解：過點(diǎn)A作AM,砥于點(diǎn)M,ANICE,交CE的延長線于點(diǎn)N,

B

BFVCF,

，四邊形為矩形,

NABM=NACN,AB=AC,NAMB=NANC,

:._AMB=..ANC,

,\AM=ANf

，四邊形4VFM為正方形,

又AF=^,

，AN=NF=\,

一S正方形4VFM=1

^DAE=^MAF=90°,

:.ZDAM=ZEAN,

NAMD=NANE=90。，

.AAMD=_ANE,

q—Q

,uAMD_0,ANE，

1"S四邊形DAEF=SDAM+AEF=.ANE+$四邊形MAEF=S正方形⑷VFM=?

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三

角形的面積，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系尤Oy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,以線段。4為一邊在x軸上方

作等邊回O4B.C是x軸上一點(diǎn)，連接BC,將線段BC繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段8。,

連接ADCD.

（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段OA的延長線上時.

①求證：OBC*ABD；

②若AO=2AC,求線段CD的的長；

⑵若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0,后），連接E。，試問線段即的長是否存在最小值？若存在，請求出

該最小值；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）①見解析；②CD=2也

⑵存在,當(dāng)

【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=BD,回C8O=60。，SBC。是等邊三角形，結(jié)合胡。8

是等邊三角形由"SAS'可證EIOBCH0ABZ）；

②根據(jù)回。2030/12￡）,AD^2AC,OA=AC=AB=2,BACB=^ABC=30°,E<9BC=90°,再由

直角三角形的性質(zhì)可求解；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得點(diǎn)。在過點(diǎn)A且于y軸成30。的直線上運(yùn)動，由直角三角形

的性質(zhì)可求解.

【解析】（1）解：①證明：團(tuán)將線段BC繞點(diǎn)8逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段BD,

SBC^BD,ECBZ)=60°,

回SBC。是等邊三角形,

0BC-CD=BD,

甌A05是等邊三角形，

回。3=A5,^\ABO=60°=[?]BAO,

^\ABO=^\CBD=60°,

配103C=[?L4BZ),

在團(tuán)03C和媯瓦)中,

OB=AB

<ZOBC=ZABD,

BC=BD

團(tuán)團(tuán)O3CWL43。（SAS）；

②團(tuán)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2,0）,

團(tuán)04=2,

加05cmA3。

^AD=0C,

^\AD=2AC,

團(tuán)OC=2ACf

^\OA=AC=AB-2,

^\ACB=BABC=30°,

^\OBC=90°,

0BC=6OB=2A/3,

回cr>=2折

(2)

解：如圖，延長D4交y軸于N,過點(diǎn)E作成迥AO于尸,

^OBC^ABD,

SSBAD^BOC=60°

03OAN=6O°,

03AON=9O°,

03ANO=3O°,

回點(diǎn)。在過點(diǎn)A且于y軸成30。的直線上運(yùn)動，

團(tuán)當(dāng)Z>￡0A￡>時，即點(diǎn)。與點(diǎn)尸重合時，OE有最小值為的長,

回04=2,0A/VO=3O°,

EION=gOA=2粗,

回EN=3百，

03ANO=3O°,EFSAD,

向17c,136

^\EF=-EN=------,

22

aDE的最小值為述.

2

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)等知識，確定點(diǎn)。的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵.

7.在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A僅指)，點(diǎn)8(—3,0).

(1)如圖1,點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)，連接BC,判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

⑵如圖2,作0ABe關(guān)于點(diǎn)B的中心對稱圖形BEBD,△E3'。'為回班。沿著無軸向右平移以

后的圖象，當(dāng)△E'B'D與她BC重疊部分的圖形為正六邊形時，求此時的平移距離；

(3)如圖3,點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，連接AM,將AM繞點(diǎn)M順時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段NM,

若N點(diǎn)恰好在某一條直線上運(yùn)動，請求出該直線的函數(shù)表達(dá)式.

【答案】(l)AABC是等邊三角形

(2)4

(3)y='j3x-y/3

【分析】(1)求出C點(diǎn)坐標(biāo)，再分別求出"=AC=2C=2括，即可判斷三角形的形狀；

(2)設(shè)向右平移f個單位，由題意可知2HJK,都是正三角形，則BF=FH=HK,

再由AAHK為正三角形，可得AH=FH=BF,能求出平移距離為4；

(3)當(dāng)M點(diǎn)與B點(diǎn)重合時，N點(diǎn)與C點(diǎn)重合，可得點(diǎn)N坐標(biāo)，當(dāng)N點(diǎn)在x軸上時，N(1,

0),再利用待定系數(shù)法求求出直線解析式即可.

【詳解】(1)解：回點(diǎn)C為點(diǎn)A關(guān)于無軸的對稱點(diǎn)，A(0,耳),

0C(0,-73),

S\OA=OC=S]3,

0AC=2A/3,

0B(-3,0),

團(tuán)02=3,

BAB=2y/3,BC=2布,

^\AB=AC=BCf

回HABC是等邊三角形；

(2)解：如圖1,設(shè)向右平移/個單位，

釀￡577與△ABC重疊部分的圖形為正六邊形,

團(tuán)團(tuán)五H/,△H7K,△/G7都是正三角形，

國FJ=GJ,^1GFJ=^\FGJ=60°,

"(劉x軸，

團(tuán)團(tuán)E75=30°,

的450=30°,

⑦BF二FJ,

⑦BF二FH=HK,

甌AHK為正三角形，

^AH=FH=BF,

國U4,

國平移距離為4；

(3)解：如圖2,當(dāng)M點(diǎn)與5點(diǎn)重合時,

EHAMN=60°,0ABC=6O°,

團(tuán)N點(diǎn)與C點(diǎn)重合，

EW(0,-石)，

當(dāng)N點(diǎn)在x軸上時，

EAMN=60°,0ABO=3O°,

fflBAM=30°,

EHAMO=30°,

0MO=1,AM=2,

EWO=L

02V(1,0),

設(shè)N所在的直線解析式為y=kx+b,

k+b=0k=

0,r-,解得，

b=73[%=-y/3r

團(tuán)直線解析式為：y=6c-#).

【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)的綜合應(yīng)用題，熟練掌握一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，等邊三角形的性

質(zhì)，會用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.

8.如圖1,在YABCD中，NABC的平分線交AD于點(diǎn)E,—ADC的平分線交BC于點(diǎn)尸.

H

(1)求證：四邊形3EZ印為平行四邊形；

(2)如圖2,連接所，若EFJ.BC,BF=8,EF=4,求YABCD的面積；

⑶如圖3,連接政，作，,石4B關(guān)于直線E尸對稱的一ES,其中點(diǎn)A,B的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)

C,H,恰好有HE_L。尸，垂足為G.若斯=收，求班的長.

【答案】(1)見解析

⑵52

⑶2+0

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出：AD=BC,AB=CD,AD//BC,利用角平分線

定義及平行線性質(zhì)即可證得結(jié)論；

(2)如圖2,過點(diǎn)A作AG,3c于點(diǎn)G,則NAG3=NAGF=90。，再證明四邊形A￡FG是

矩形，推出AB=AE=RG,設(shè)AB=x,則bG=x,利用勾股定理求得AE=5,再運(yùn)用平行

四邊形面積公式即可求得答案；

(3)如圖3,過點(diǎn)E作交于點(diǎn)過點(diǎn)歹作C3E于點(diǎn)T,連接2H交的

延長線于點(diǎn)N,運(yùn)用軸對稱性質(zhì)可得出：AE=EM=BM=EC,BE=HE,

ZAEB=ZCEH=ZMEB,推出MEC、是等腰直角三角形，再證得_EFT是等腰直

角三角形，得出￡T=FT=1,運(yùn)用角平分線性質(zhì)可得FT=RV=1,進(jìn)而得出EN=>/^+l，

再利用等腰三角形性質(zhì)可得出答案.

【解析】(1)證明：四邊形ABCQ是平行四邊形，

圖1

AD=BC,AB=CD,AD//BC,

:.ZAEB=ZCBE,

BE平分,ABC,

:.ZABE=NCBE,

:.ZABE^ZAEB,

/.AE=AB,

同理可得：CF=CD,

：.AE=CF,

:.AD-AE=BC-CF,

即ED=BF,

，四邊形BE"為平行四邊形；

(2)

如圖2,過點(diǎn)A作AG,5c于點(diǎn)G,

圖2

則NAG3=NAG/=90。，

AD//BC,

,\ZEAG=ZAGB=90°,

EFtBC,

:./BFE=9伊,

四邊形AEFG是矩形，

:.FG=AE,AG=EF=4f

由(1)得：AE=AB,ED=BF=8,

：.AB=AE=FG,

^AB=x,則尸G=x,

:.BG=BF-FG=8-x,

在RtZkABG中，AG2+BG2=AB2,

\42+(8-x)2=x2,

解得：x=5,

/.AE=5,

AT)=AE+E?=5+8=13,

口ABCD的面積為ADx￡F=13x4=52；

(3)

如圖3,過點(diǎn)￡作石M〃筋交于點(diǎn)M,過點(diǎn)尸作CBE于點(diǎn)T,連接交所的延長線

于點(diǎn)N,

AED

2

B、、、

圖3

由（1）知AZ）〃8C,

四邊形ABME是平行四邊形，

由（1）知AE=AB,

，四邊形是菱形，

：.AE=EM=BM,ZAEB=ZMEB,

又，E4B關(guān)于直線E/對稱的_ES,其中點(diǎn)A,8的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C,H,

:.AE=EM=BM=EC,BE=HE,ZAEB=NCEH=ZMEB,

由（1）知四邊形3皮甲為平行四邊形，

:.BE//DF,

又1HE±DF,

:.ZBEH=ZEGD=ZEGF=90°,

.■.ZMEC=ZMEH+ACEH=ZMEH+ZMEB=ZBEH=90°,

:.AMEC、△BE”是等腰直角三角形，

.?.EF垂直平分9/,

即WV_L3”,

又：BE=HE,ZBEH=ZETF=ABNE=90°,

ZBEF=ZHEF=Z.EBH=ZEFT=45°,

ZEFG=45°=ZHEF,

即&EFT是等腰直角三角形，

EF=>/2,

由勾股定理得￡7=4=1,

NCEM=NCEH+NHEM=ZBEM+ZNEM=ZBEH=90°,

'CEM是等腰直角三角形，

:.NEMC=45°,

.-.ZABM=45°,

ZABE=NEBC=22.5°,

ZEBC=ZNBC=22.5°,

又：FTLBE,FNLBH,

：.FT=FN=1,

:.EN=6+L

又：陽V是等腰直角三角形，

:.BE=yf2EN=y/2x(y/2+l^=2+-/2,

故BE的長為2+及.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的判定

和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，角平分線性質(zhì)，平行四邊形面積，軸對

稱性質(zhì)等知識點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，作輔助線構(gòu)造等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

9.如圖1,加支與ABGE均為等腰直角三角形，且NAEC=/BEC=90。，連接8C、AG,

延長AG與BC交于點(diǎn)H

圖1圖2

(1)求證：AFJ.BC-,

(2)當(dāng)點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，AE=2時，求CT的長；

(3)如圖2,過點(diǎn)C作CD〃AB,過點(diǎn)4作4?！?。，AD,交于點(diǎn)。，在邊48上取一

點(diǎn)”，使得AH=CG,連接。"，探究CG、CD、。“三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴見解析；(2)半；⑶CD+CG=及DH，證明見解析

【分析】(1)證明△BECffiGEA(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得SBCEWGAE,由

回BCE+13cBe=90°得EIG4E+EICBE=90°,可得0A尸8=90°,即可得AfBBC；

(2)當(dāng)點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，AE=2時，可得班=EG=CG=LAE=2,利用面積法求出8尸的值，

根據(jù)勾股定理求出BC,即可得CF的長；

(3)過點(diǎn)。作。由48,交的延長線于連接OG,HG,延長HG、DC交于N,證

明△O/W為等腰直角三角形，可得2。孑=(CD+CN)2,再證四邊形ACNH是平行四邊形,

則AH=CN=CG,即可得2。杯=(CD+CN>2=(CD+CG)2.

【解析】(1)解：證明：MACE與A3GE均為等腰直角三角形，

MB=EG,CE=AE,

0EL4￡C=EBEC=9OO,

00B￡C00GEA(SAS),

00BC￡=0GA￡,

03BCE+回CBE=90°,

^EGAE+^\CBE=90°,

E0AFB=9O°,

EL4/H3BC；

(2)

當(dāng)點(diǎn)G為CE的中點(diǎn)，AE=2時，

MACE與ABGE均為等腰直角三角形，

MB=EG=CG=1,AE=CE=2,

SAB=EB+AE^3,AG=4EG。+AE。=小，BC=4EG。+AE2=5

由(1)知AR32C,

05AABG=；AB?EG=^AG*BF,

03x1=75BF,

0BF=—,

5

?CF=BC-BF=*~；

(3)

CD+CG=6DH,

證明：如圖：過點(diǎn)。作。M0A8,交3A的延長線于M,連接。G,HG,延長XG、0c交于

0CD0AB,ADSiBC,

國四邊形ABCD是平行四邊形,

S1AB=CD,

00A￡C=0B￡C=9OO,

BHEC￡>=90°,

團(tuán)四邊形CEMO是矩形，

BIEM^CD,CE=DM,

^EM=AB,

^1BE=AM,

^AH=CGfCE=AE,

?EG=EH.

⑦EB=EG,

⑦EB=EGE二H=AM,

加EHG=45°,AE=HM,

^AE=CE=DMf

團(tuán)團(tuán)DHM=45°,

^DHG=180°-^EHG-^DHM=90°,

團(tuán)CZM45,

^CDH=^DHM=45°f

幽DHN為等腰直角三角形,

回2。〃2=(CD+CN)2,

團(tuán)團(tuán)CAE=45°,SEHG=45°,

[3ACWH,

團(tuán)CD胤45,

團(tuán)四邊形ACNH是平行四邊形，

^AH=CN,

0AH=CG,

團(tuán)CN=CG,

團(tuán)2DH2=(CD+ON)?=(CD+CG)2

CD+CG=yflDH.

【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，

勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知

識.

10.已知，在中，點(diǎn)”是5c的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段AM上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A重合).過

點(diǎn)。作A3的平行線，過點(diǎn)。作AM的平行線，兩線交于點(diǎn)E,連結(jié)AE.

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)。與M重合時，求證：四邊形ABDE是平行四邊形；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。不與M重合時，(1)中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請證明；若不成立,

請說明理由；

(3)圖3,延長3D交AC于點(diǎn)H,若BHLAC,且=求NC4M的度數(shù).

【答案】⑴見解析

⑵成立，證明見解析

(3)30°

【分析】(1)利用平行線的性質(zhì)可得同位角相等，再利用ASA證明AABD三AEDC,得

AB=ED,從而證明結(jié)論；

(2)過點(diǎn)M作MG〃上交EC于點(diǎn)G,則四邊形。"GE為平行四邊形，得ED=GM且

ED//GM,由(1)可得=且AB〃GM,從而得出結(jié)論；

(3)取線段HC的中點(diǎn)/,連接Aff,由三角形中位線定理得政〃5〃，=,則

,MILAC,即可解決問題.

2

(1)

解：證明：DE//AB,

:.ZEDC=ZABM,

CE//AM,

:.ZECD=ZADB,

AM是AABC的中線，且。與M重合，

BD=DC,

.\\ABD=NEDC{ASA),

/.AB=ED，

AB//ED,

，四邊形MDE是平行四邊形；

(2)

成立，理由如下：

過點(diǎn)〃作MG〃DE交EC于點(diǎn)、G,

CE//AM,

，四邊形DMGE為平行四邊形，

:.ED=GM且ED〃GM,

由(1)可得=且AB〃GN,

，鈣=￡0且/16〃40,

四邊形ABDE為平行四邊形；

(3)

取線段"C的中點(diǎn)/,連接Aff,

E

圖3

二A/Z是\BHC的中位線,

2

:.MI=-AM,MILAC,

2

NC4M=30°.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理,

全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，遇中點(diǎn)取中點(diǎn)構(gòu)造中位線是解決問題（3）的關(guān)鍵.

11.如圖1,在等邊三角形ABC中，AD1BC于RCE_LAB于瓦AD與CE相交于點(diǎn)。

圖1圖2

(1)求證：OA=2DO；

（2）如圖2,若點(diǎn)G是線段AD上一點(diǎn)，CG平分NBCE,/3GF=60。，GP交CE1所在直線

于點(diǎn)?求證：GB=GF.

⑶如圖3,若點(diǎn)G是線段上一點(diǎn)（不與點(diǎn)。重合），連接3G,在3G下方作NBGF=60°,

邊GF交CE所在直線于點(diǎn)?猜想：OG,O￡OA三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

⑶Ob=OG+Q4,理由見解析

【分析】（1）由等邊三角形的可求得/Q4C=/Q4S=/OC4=/OCB=30。，理由含30。角

的直角三角形的性質(zhì)可得OC=2OD,進(jìn)而可證明結(jié)論；

(2)利用ASA證明.CG3空CG尸即可證明結(jié)論；

(3)連接03,在紗上截取QM=OG,連接GM,可證得QMG是等邊三角形，進(jìn)而可

利用ASA證明4GMF四式外瓦得到==由。尸=OM+MF可說明猜想的正確性.

【詳解】(1)證明：回一地。為等邊三角形，

^\AB=BC=AC,ZBAC=ZACB=60°,

6ADJ.BC,CE1AB,

團(tuán)AD平分/BAC,CE平分NAC5,

團(tuán)ZOAC=ZOAB=ZOCA=ZOCB=30°,

回。4=OC,

在RtZkOCD中，ZODC=90°,Z0CD=30°,

⑦OC=2OD,

^OA=2OD；

(2)證明：^1AB=AC=BC,AD1BC,

國BD=CD,

團(tuán)3G=CG,

國NGCB=NGBC,

團(tuán)CG平分NBCE1,

0ZFCG=NBCG=-ZBCF=15°,

2

團(tuán)ZBGC=180。-2x15。=150°,

團(tuán)NBG方=60。，

0ZFGC=360°-ZBGC-/BGF=150。，

⑦/BGC=/FGC,

NGCB=ZGCF

在△CG3和△CG/中，,CG=CG,

/BGC=NFGC

團(tuán)CGB"CG*ASA),

^\GB=GF；

(3)解：OF=OG+OA.理由如下：連接03,在■上截取OM=OG,連接GM,

c

團(tuán)C4=CB,CE1AB,

^\AE=BE,

回OA=OB,

^\ZOAB=ZOBA=30°,

0ZAOB=120°,ZAOM=ZBOM=60°,

國OM=OG,

團(tuán)OMG是等邊三角形，

團(tuán)GM=GO=OM,ZMGO=ZOMG=60°,

^ZGMF=120°,/GMF=/GOB,

團(tuán)NBG方=60。，

⑦NBGF=/MGO,

⑦ZMGF=NOGB,

NMGF=ZOGB

在△GMF和△GO5中，(GM=GO,

NGMF=/GOB

0GMF^.GOB(ASA),

團(tuán)MF=OB,

^\MF=OA,

^\OF=OM+MF,

團(tuán)OF=OG+OA.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定的與性質(zhì)，含30。角

的直角三角形，角平分線的定義等知識的綜合運(yùn)用，屬于三角形的綜合題，證明相關(guān)三角形

全等是解題的關(guān)鍵.

12.如圖1,在中，AB=AC,A。是的一條角平分線，AN為的外角

的平分線，BELAN,垂足為￡,已知AD=8,BD=6.

（1）求證：四邊形AD3E是矩形；

（2）如圖2,延長AD至點(diǎn)尸，使AF=AB,連接即，G為跖的中點(diǎn)，連接EG,DG.求

EG的長.

（3）如圖3,在（2）間的條件下，尸為班邊上的一個動點(diǎn)，連接PG并延長交AD延長線

于點(diǎn)Q,連接CQ,H為CQ的中點(diǎn)，求點(diǎn)尸從E點(diǎn)運(yùn)動到8點(diǎn)時，點(diǎn)//所經(jīng)過的路徑長.

【答案】（1）見解析；（2）3A/W;（3）4

【分析】（1）先證明aDAE=90。，然后可證四邊形AD3E是矩形；

（2）連接AG,由勾股定理求出的長，進(jìn)而求出DP、AG的長，然后證明EAGDmBGE

即可；

（3）由題意知H運(yùn)動的軌跡是的中位線，求出。戶即可求出“運(yùn)動的軌跡H/H2的

長.

【詳解】解：（BAZ）是ABC的一條角平分線，AN為4ABe的外角/54M的平分線，

033=134,01=02.

003+04+01+02=180°,

032+133=90°,即團(tuán)。4￡；=90°.

SAB=AC,AD是.ABC的一條角平分線，

EL4DEIBC.

0BE±TW,

回四邊形4汨￡是矩形；

（2）連接AG,

回四邊形ADBE是矩形，

SBE^AD,^DBE^ADB^BDF^0°,

IBG為哥'的中點(diǎn)，

W)G=BG,

WDG=SDBG,

00AZ)G=EEBG.

在胤4DG和團(tuán)班G中

AD=EB

<ZADG=NEBG,

DG=BG

回0Aoem￡BG,

團(tuán)EG=AG.

團(tuán)AD=8,BD=6,

^AF=AB=^AD2+BD2=10^

aDF=10-8=2,

團(tuán)3尸二^BEP+DF2=2屈，

0BG=GF=5/10,

^\EG=AG=^AF2-GF2=3回；

(3)由題意知點(diǎn)H運(yùn)動的軌跡是一條線段，當(dāng)尸與E重合時，。的位置在。，當(dāng)尸與5

重合時，。的位置在尸，此時“分別在",比的位置.

0BE”AD,

^BEG=^\DQiG.

在回E5G和團(tuán)Q