2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：用樣本估計總體-專項訓(xùn)練【含答案】

用樣本估計總體

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、單項選擇題

1.下面是某城市某日在不同觀測點對細(xì)顆粒物（PM2.5）的觀測值：

396275268225168166176173188

168141157

若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，下列數(shù)字特征沒有改變

的是（）

A.極差B.中位數(shù)

C.眾數(shù)D.平均數(shù)

2.某工廠隨機(jī)抽取20名工人，對他們某天生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如表,

則該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是（）

件數(shù)7891011

人數(shù)37541

A.8.5B.9

C.9.5D.10

3.一組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為1,3,5,6,m,10,12,13,若該組數(shù)

據(jù)的中位數(shù)是極差的），則該組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)是（）

O

A.7.5B.8

C.9D.9.5

4.）為落實黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三

農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試.如圖是該次考試成績隨機(jī)

抽樣樣本的頻率分布直方圖.則下列關(guān)于這次考試成績的估計錯誤的是（）

o707580859095100分?jǐn)?shù)

A.眾數(shù)為82.5

B.中位數(shù)為85

C.平均數(shù)為86

D.有一半以上干部的成績在80?90分

5.某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類知識.為了解講座效果，隨

機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類知識問卷，

這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如圖：

正確率/%

100——---------------------------?------?

95——-----------------------?-----------*

90——

85——--―-----------?---?------*---?---

80——------?--------------------*——*講座前

75——------------------?--------------?講座后

70——------*-------------------------

65----*-------------------*---------------------------

60^---

0^—123__4__5__678""910^

居民編號

則（）

A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%

B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%

C.講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差

D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差

6.若一組樣本數(shù)據(jù)xi,短，…，加的平均數(shù)為10,另一組樣本數(shù)據(jù)2xi+4,2x2

+4,…，2勘+4的方差為8,則兩組樣本數(shù)據(jù)合并為一組樣本數(shù)據(jù)后的平均數(shù)

和方差分別為（）

A.17,54B.17,48

C.15,54D.15,48

二、多項選擇題

7.有一組樣本數(shù)據(jù)Xl,X2,…，X6，其中陽是最小值，X6是最大值，則（）

A.X2,X3,X4,%5的平均數(shù)等于XI,X2,…，的平均數(shù)

B.X2,%3，%4,X5的中位數(shù)等于Xl，X2,…，的中位數(shù)

C.X2,%3，X4,X5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于X2，…,的標(biāo)準(zhǔn)差

D.X2,X3,X4,X5的極差不大于XI,X2,…，的極差

8.病毒研究所檢測甲、乙兩組實驗小白鼠的某醫(yī)學(xué)指標(biāo)值，得到樣本數(shù)據(jù)的頻

率分布直方圖(如圖所示)，則下列結(jié)論正確的是()

A.甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)大于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)

B.甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)

C.甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)

D.乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)

三、填空題

9.甲、乙兩名射擊運動員參加某大型運動會的預(yù)選賽，他們分別射擊了5次,

成績?nèi)绫?單位：環(huán))：

甲108999

乙1010799

如果甲、乙只有1人能入選，則入選的最佳人選應(yīng)是

10.某校組織學(xué)生參與航天知識競答活動，某班8位同學(xué)成績?nèi)缦拢?,6,8,9,

8,7,10,也若去掉m,該組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)保持不變，則整數(shù)m(l<m<10)

的值可以是(寫出一個滿足條件的m值即可).

四、解答題

11.某地旅游主管部門為了更好地為游客服務(wù)，在景區(qū)隨機(jī)發(fā)放評分調(diào)查問卷

100份，并將問卷評分?jǐn)?shù)據(jù)分成6組：[70,75),[75,80),[80,85),[85,90),

[90,95),[95,100],繪制如圖所示頻率分布直方圖.

頻率/組距

o6

O.o5

0.O4

0.

0707580859095100分?jǐn)?shù)

(1)已知樣本中分?jǐn)?shù)在[80,85)的游客為15人，求樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)，并

估計第75百分位數(shù)；

(2)已知樣本中男游客與女游客比例為3：2,男游客樣本的平均值為90,方差為

10,女游客樣本的平均值為85,方差為12,由樣本估計總體，求總體的方差.

[B組在綜合中考查關(guān)鍵能力]

12.某濱海城市沙灘風(fēng)景秀麗，夏日美麗的海景和清涼的海水吸引了不少前來游

玩的旅客.某飲品店通過公開競標(biāo)的方式獲得賣現(xiàn)制飲品的業(yè)務(wù)，為此先根據(jù)前

一年沙灘開放的160天的進(jìn)入沙灘的人數(shù)，做前期的市場調(diào)查來模擬飲品店開賣

之后的利潤情況，考慮沙灘承受能力有限，超過L4萬人即停止預(yù)約.以下表格

是160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)（單位：萬人）的頻數(shù)分布表.

人數(shù)/

[0,0.2)[0.2,0.4)[0.4,0.6)[0.6,0.8)[0.8,1.0)[1.0,1.2)[1.2,1.4]

萬

頻數(shù)/

881624a4832

天

（1）繪制160天內(nèi)進(jìn)入沙灘的每日人數(shù)的頻率分布直方圖（用刃影表示），并求出a

的值和這組數(shù)據(jù)的65%分位數(shù);

頻率/組距

2.00

1.751■■11-------1

1.50

1.2511_J__J_____1____1

1.00111111

075

0.5011____1__J_____1____1

0.25

00204a60.8101.21.4人數(shù)/萬

（2）據(jù)統(tǒng)計，每10個進(jìn)入沙灘的游客當(dāng)中平均有1人會購買飲品，X（單位：個）

為進(jìn)入該沙灘的人數(shù)（X為10的整倍數(shù).如有8006人，則X取8000）.每杯飲

品的售價為15元，成本為5元，當(dāng)日未出售飲品當(dāng)垃圾處理.若該店每日準(zhǔn)備

1000杯飲品，記y為該店每日的利潤（單位：元），求y和X的函數(shù)關(guān)系式；

（3）以頻率估計概率,求該店在160天的沙灘開放日中利潤不低于7000元的概率.

13.某型合金鋼生產(chǎn)企業(yè)為了合金鋼的碳含量百分比在規(guī)定的范圍值內(nèi)，檢驗員

在同一試驗條件下，每天隨機(jī)抽樣10次，并測量其碳含量（單位：%）.已知其產(chǎn)

品的碳含量服從正態(tài)分布N（〃，*）.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)10次抽樣中其碳含量百分比在伽一30,〃

+3Q之外的次數(shù)，求尸（X21）及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)的抽檢中，如果出現(xiàn)了至少1次檢測的碳含量在3一36〃+3Q之外，

就認(rèn)為這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.下

面是在一天中，檢測員進(jìn)行10次碳含量（單位：％）檢測得到的測量結(jié)果：

次數(shù)12345678910

碳含量（％）0.310.320.340.310.300.310.320.310.330.32

10I10

經(jīng)計算得，Vx,=0.317,5=1—V（X-X）*=0.011,其中Xi為抽取

10乙10乙'

J

的第Z,次的碳含量百分比。=1,2,…，10）.

①用樣本平均數(shù)亍作為〃的估計值用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為。的估計值3,利用估計

值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？

②若去掉XI,剩下的數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為〃1,可，試寫出01的算式（用意

S,XI,表示（71）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N（〃，〃），則

尸〃+3。）勺0.9973,0.997310^0.9733.

參考答案

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

1.C[根據(jù)題意，若在此組數(shù)據(jù)中增加一個比現(xiàn)有的最大值大25的數(shù)據(jù)，即最

大值變?yōu)?96+25=421,極差為最大值與最小值的差，會發(fā)生改變，加入數(shù)據(jù)

前，中位數(shù)為"3；176=]74.5,加入數(shù)據(jù)后，中位數(shù)為176,發(fā)生改變，眾數(shù)為數(shù)

據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，不會改變，平均數(shù)體現(xiàn)數(shù)據(jù)的整體水平，會發(fā)生改變.故

選C.]

2.C[抽取的工人總數(shù)為20,20X75%=15,那么第75百分位數(shù)是所有數(shù)據(jù)

從小到大排序的第15項與第16項數(shù)據(jù)的平均數(shù)，第15項與第16項數(shù)據(jù)分別為

9,10,所以第75百分位數(shù)是等=9.5.

故選C.]

3.C[這組數(shù)據(jù)一共8個數(shù)，中位數(shù)是學(xué)，極差為13-1=12,所以卓=12X"

解得機(jī)=9,又8X60%=4.8,則第60百分位數(shù)是第5個數(shù)據(jù)9.故選C.]

4.C[由頻率分布直方圖知，眾數(shù)為82.5,A正確；

由(0.01+0.03+0.06)X5=0.5,即中位數(shù)為85,B正確；

由(0.01X72.5+0.03X77.5+0.06X82.5+0.05X87.5+0.03X92.5+

0.02X97.5)X5=85.5,C錯誤;

由(0.06+0.05)X5=0.55>0.5,則有一半以上干部的成績在80?90分之間，D正

確.

故選C.]

5.B[講座前中位數(shù)為7°%；75%>7o%,A錯誤；

講座后問卷答題的正確率只有一個是80%,4個85%,剩下全部大于等于90%,

所以講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%,B正確；

講座前問卷答題的正確率更加分散，所以講座前問卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于

講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差，C錯誤；

講座后問卷答題的正確率的極差為100%-80%=20%,

講座前問卷答題的正確率的極差為95%-60%=35%>20%,D錯誤.

故選B.]

-V*1=10.K

6.A［由題意可知，數(shù)據(jù)xi,X2,…，X”的平均數(shù)為10,貝丁'J

10",所以數(shù)據(jù)2xi+4,2改+4,…，2x〃+4的平均數(shù)為

nn

[=2(2々+4)=二陽+4=2X10+4=24,

i=ii=i

nnn

1X""124V-14V-14

方差為s?=_Z[(2/+4)―(2%+4)]=—5-10)2=—5----xn

i=li=li=l"

itn

X102=-yx/-400=8.所以2X：'=102〃，將兩組數(shù)據(jù)合并后，新數(shù)據(jù)XI,

X2,…，xn,2xi+4,2x2+4,…，2x^+4的平均數(shù)為

nnn

11

X=22”"｛。/+旬=5x_)(3%j+4)

Li=li=li=l

=2yn-Zu々+4)=](3x10+4)=17,

nn

22

方差為s"=/(Xi-17)+(2x;+4-17)

Li=li=l

nn\

5^^-86^%+458nj

(f

i=li=l/

=《(5X102〃-860〃+458〃)=54.故選A.]

7.BD[取Xl=l,X2=X3=X4=X5=2,X6=9,則X2,X3,X4,X5的平均數(shù)等于2,

彳=半，故均不

標(biāo)準(zhǔn)差為0,XI,X2,…，X6的平均數(shù)等于3,標(biāo)準(zhǔn)差為A,C

正確；根據(jù)中位數(shù)的定義，將XI,X2,…，X6按從小到大的順序進(jìn)行排列，中位

數(shù)是中間兩個數(shù)的算術(shù)平均數(shù)，由于XI是最小值，X6是最大值，故X2,X3,X4,

X5的中位數(shù)是將X2,X3,X4,X5按從小到大的順序排列后中間兩個數(shù)的算術(shù)平均

數(shù)，與Xl,X2,…，X6的中位數(shù)相等，故B正確；根據(jù)極差的定義，知X2,X3,

X4,X5的極差不大于XI,X2,X6的極差，故D正確.綜上，故選BD.］

8.BCD［根據(jù)甲組的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可知，甲組的平均數(shù)大于中位

數(shù)，且都小于7,

同理可得乙組的平均數(shù)小于中位數(shù)，且都大于7,

故甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，A錯誤；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)，B正確；

甲組數(shù)據(jù)平均數(shù)大于甲組數(shù)據(jù)中位數(shù)，C正確；

乙組數(shù)據(jù)平均數(shù)小于乙組數(shù)據(jù)中位數(shù)，D正確.

故選BCD.]

9.甲[甲的平均數(shù)為元甲=310+8+9+9+9)=9,

1

乙的平均數(shù)為亍乙=/10+10+7+9+9)=9,

甲的方差為sj=([(10_9)2+(8_9)2]=|,

乙的方差為S；=，[(10_9)2X2+(7—9)2]=，，

?.?元甲=無乙，甲、乙的平均水平相同，

???S2Vs2,.?.甲的成績穩(wěn)定，故甲入選.]

甲乙，」

10.7或8或9或10(填上述4個數(shù)中任意一個均可)[7,6,8,9,8,7,10,

m,若去掉機(jī)，該組數(shù)據(jù)從小到大排列為：6,7,7,8,8,9,10,則7X0.25

=1.75,故第25百分位數(shù)為第二個數(shù)即7,所以7,6,8,9,8,7,10,m,第

25百分位數(shù)為7,而8X0.25=2,所以7為第二個數(shù)與第三個數(shù)的平均數(shù)，所以

機(jī)(IWMWIO)的值可以是7或8或9或10.]

11.解：(1)由頻率分布直方圖，可得分?jǐn)?shù)在[85,100]內(nèi)的頻率為(0.06+0.05+

0.04)X5=0.75,

所以分?jǐn)?shù)在[85,100]內(nèi)的人數(shù)為100X0.75=75,

所以分?jǐn)?shù)小于80分的人數(shù)為100—75—15=10,

由題意可設(shè)第75百分位數(shù)為x,其中x?[90,95),則1—(0.05X5+0.04X5)+(x

-90)X0.05=0.75,解得x=94,

故樣本中分?jǐn)?shù)小于80的人數(shù)為10人，第75百分位數(shù)約為94.

(2)由已知可得總樣本平均值為7=/一元+/二7=3*90+二X85=88,

m+nm+n2+32+3

又由§2=土區(qū)+("幻2]+念崗+Q—y)2]

2-2-4242a4

22

=—[10+(88-90)]+—[12+(88-85)]=-+y=-,

所以用樣本估計總體，總體的方差為當(dāng).

［B組在綜合中考查關(guān)鍵能力］

12.解：(1)由題意，8+8+16+24+^+48+32=160,解得Q=24.

8+8+16+24+248+8+16+24+24+48

因為0.5,=0.8,

160160

所以65%分位數(shù)在區(qū)間［1.0,1.2)上，

則65%分位數(shù)為L0+0.2X等等=1』.

0.8—0.5

畫出頻率分布直方圖如圖所示.

舉頻率/組距

Q0

15

10

1.7

15

1.52

10

1

n5

n).00

J5

Jn.7

.52

00.20.40.60.81.0121.4人數(shù)/萬

(2)由題意知，當(dāng)XN10000時，y=10X1000=10000元，

當(dāng)XV10000時，y=^X10-(1000-^)X5=1.5X-5000,

所以￥=(1。。。。心10000),

11.5X-5000(0<X<10000).

(3)記銷售的利潤不少于7000元的事件為Z,則人數(shù)XN8000,

,11n/八24+48+32

此時