雙曲線專項訓(xùn)練-高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習

雙曲線

[A組在基礎(chǔ)中考查學(xué)科功底]

一、單項選擇題

22

1.已知雙曲線左一左=1（40,6>0）的兩條漸近線相互垂直，焦距為12,則該

雙曲線的虛軸長為（）

A.6B.6V2

C.9V2D.12V2

22

2.已知雙曲線臺一2=1（。>0,6>0）的一條漸近線的傾斜角為匕該雙曲線過點

P（4,3）,則該雙曲線的右焦點R到漸近線的距離為（）

A.V23B.V34

C.V26D.V39

22

3.已知雙曲線C：等—3=1（。>0,》>0）與斜率為1的直線交于A，3兩點，若

a，

線段A3的中點為（4,1）,則C的離心率e=（）.

A.V2B.—

3

C.—D.V3

2

22

4.已知A,B,P是雙曲線三—4=l（a>0,b>0）上不同的三點，且A,3連線

經(jīng)過坐標原點，若直線以，的斜率乘積為半則該雙曲線的離心率為（）

A.漁B.漁

22

C.V2D.—

3

5.已知橢圓Ci與雙曲線C2有共同的焦點為（一百，0）,F2M,0）,離心率分別

為ei,e2,點P為橢圓Ci與雙曲線C2在第一象限的公共點，且若

e2=V3,則橢圓Ci的方程為（）

V2yJ2y2

A.—+—=1B.—+—=1

9663

-Y-2”22.

C.-+^=1D.-v+y2=l

1294,

Y2

6.設(shè)A,g為雙曲線C：>2=1的左、右焦點，。為雙曲線右支上一點，點

P（0,2）.當IQRI+IPQI取最小值時，|。網(wǎng)的值為（）

A.V3-V2B.V3+V2

C.V6—2D.V6+2

22

7.雙曲線C：器一;=1的左、右焦點分別為Ri,Fz,直線尸質(zhì)與雙曲線C交

于A,3兩點，若總同=下1g|,則△ABB的面積等于（）

A.18B.10

C.9D.6

22

已知雙曲線：弓―卷=伍＞》＞）的左、右焦點分別為Fi,若在

8.Ca￡10,0B,C

上存在點P（不是頂點），使得/PF2FI=3/PFIF2,則C的離心率的取值范圍為

（）

A.（V2,2）B.（V3,+8）

C.（1,V3]D.（1,V2]

二、多項選擇題

22

9.已知點仍是雙曲線與一9=1（。＞0,6＞0）的左、右焦點，以線段R而為

直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為P,若|「八|=3『八|,則（）

A.|PB|與雙曲線的實軸長相等

B.△PAR2的面積為|。2

C.雙曲線的離心率為手

D.直線Bx+J2y=0是雙曲線的一條漸近線

10.如圖為陜西博物館收藏的國寶一一唐金筐寶鈿團花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，

巧奪天工，是唐代金銀細作的典范.該杯的主體部分可以近似看作雙曲線c：^-

az

“2

翥=l（a＞0,Q0）的右支與直線x=0,y=4,y=—2圍成的曲邊四邊形繞

y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為竽，下底外直

徑為等，雙曲線C的左、右頂點分別為。，E,則（）

22

A.雙曲線C的方程為^—W=1

B.雙曲線?一f=l與雙曲線C有相同的漸近線

C.雙曲線C上存在無數(shù)個點，使它與D,E兩點的連線的斜率之積為3

D.存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個交點

三、填空題

22

11.已知雙曲線C：今―3=l(a>0,8>0)上的點到焦點的最小距離為1,且C

與直線y=V3x無交點，則a的取值范圍是.

22

12.已知雙曲線C：a―力=l(a>0,Q0)的左、右焦點分別為正點A在

C上，點3在y軸上，F(xiàn)\A±F^B,際=一|豆，則C的離心率為..

四,解答題

22

13.已知雙曲線C：三―J=l(a>0,6>0)的焦距為4,且過點(一3,2遍).

好b乙

(1)求雙曲線。的方程；

(2)若直線/：丁=丘+2與雙曲線C有且只有一個公共點，求實數(shù)左的值.

22

14.已知點A(2,1)在雙曲線C：弓―」-=l(a>l)上，直線/交C于P,Q兩點,

直線AP,AQ的斜率之和為0.

⑴求/的斜率；

(2)若tanZFAQ=2y[2,求△出。的面積.

參考答案

m

1.B[根據(jù)題意可得2c=12,解得。=人=3魚,

該雙曲線的虛軸長為2b=6^2.

故選B.]

2.D[因為雙曲線的一條漸近線的傾斜角為E,所以斜率為6，所以2=百，該

3a

漸近線為y=gx,即JWx—y=0,因為該雙曲線過點P(4,3),所以募一卷=1,

將6=代入得當——~7=1,得/=13,b2=39,c1=a2+b2=52,c=2V13,

az3az

所以打263,0),右焦點R到漸近線的距離為溶出=痂.故選D.]

5/3+1

=

3.C[法一：設(shè)A(%i,yi),B(X29y2),則.一1=1,—~71,

所以也當心—包心孕^=0,又AB的中點為(4,1),

(2Z匕N

所以X1+X2=8,yi+v2=2,所以歸在=與，由題意知歸及=1,

-X

%2—比1X2l

所以半=1,即1=二則C的離心率6=+當=”故選C.

azaz47az2

法二：直線A3過點(4,1),斜率為1,所以其方程為y—l=x—4,即y=x—3,

22

代入三——=l(a>0b>0)并整理得(〃一/W+GQZ%—94—Q2》2=O,

az9

因為(4,1)為線段A3的中點，所以一-1￡=2X4,整理得/=4〃,

匕Z-

Ji+,=￥.故選c」

所以C的離心率e

4.D[設(shè)A(xi,yi),P(%2,yi),根據(jù)對稱性，知

所以扇?kpB=3?江=鉆.

—yi),X-x

X2-X1X2+l%2l

(立—進=1

因為點A,P在雙曲線上，所以《《’兩式相減,

迪—璉=1

Va2匕2工，

x2

得^2-l-yl-yl,所以b_y2-y1

a2b2a2%2-xi

所以星?kpB=%W，所以e2=a=1,所以e=季故選D.]

5.A[由題意知橢圓Ci與雙曲線C2的共焦點A(—0),F2(V3,0),所以

Cl=C2=V3-

因為雙曲線C2的離心率e2=W,所以。2=￡=1,bi=y/cl-a^=V2,所以雙曲

”2

線Q的方程為x2—?=L如圖：

根據(jù)雙曲線的定義知|PR|一|尸冏=26=2,

由余弦定理知，

222

IF1F2I=|PF1|+|PF2|-2|PF11?\PF1\?cosZF1PF2,

22

得12=|PFI|+|PF2|-|PFI|?\PF2\,

又因為|PH|一|P園=2,得|尸冏=2,|PB|=4.

根據(jù)橢圓的定義知|PB|十|PR2|=2ai=6,所以ai=3,b\=y]d[-=V6,所以橢

22

圓Ci的方程為--F—=1.

96

故選A.]

6.A[由雙曲線定義得|。西|一|。冏=2a=2g,故|?！陓+歸。|=|尸。|+|。冏+

2V3.

如圖所示，當P,Q,尸2三點共線，即。在航位置時，|。八|十|尸。|取最小值,

VF2(2,0),P(0,2),直線PR2的方程為y=-x+2,

聯(lián)立J—y2=l,解得點Q的坐標為（3—今日—1）（Q為第一象限上的一點）,

此時［0冏=J（3一?一2）""+（乎—1）=^（V3—V2）=V3—V2.

故選A.］

7.C［直線y=日與雙曲線C交于A,B兩點、,若依為=下1刑,

則四邊形AfYBg為矩形，所以ARiLBR,|3E|=|Ab2|,

22______________________

由雙曲線C:靠一；=1可得a=4,b=3,則c=7a2+爐=，16+9=5,

所以|A3|=|fYF2|=2c=10,

所以|ARIF+|B尸I|2=MB|2=IOO,

又MA|一|B尸i||=||AA|一|AR2||=2a=8,

所以|AFi|2+|丹尸1|2-2|A+i但尸i|=64,

解得|4尸1||友川=18,

所以，48々=勺46但乃1=9.故選C.］

8.A［設(shè)PK與y軸交于。點，連接。仍，則

QF\=QF2,I.ZQF1F2=ZQF2F1.

因為ZPF2F1=3ZPF1F2,故尸點在雙曲線右支上，且ZPF2Q=ZPQFi=

2ZPF1F2,

故|PQ=|Pg|,而|PB|—|Pg|=2a,

故|PFi|-\PF2\=\PFi\~\PQ\=\QFi\=2a,

在Rt^QOK中，|2Fi|>|OFi|,即2a>c,

故e=-<2,

a

由/PF2FI=3/PFIF2,且三角形內(nèi)角和為180°,

故NPBR2〈%=45°,貝UCOSNPRF2=^>COS45°,即工>在，即6=￡>四，

4|QFi|92a29a

所以C的離心率的取值范圍為(四，2).故選A.]

9.BCD[因為|PB|=3|尸冏，又由題意及雙曲線的定義可得：|「理一|尸刑=2。，

則|PR;|=a,|PE|=3aW2a,A不正確；

因為P在以西八為直徑的圓上，所以尸/1，尸內(nèi)2,

所以SAPF,F,=：PEI*\PF2\=-X3aXa=-a2,3B正確；

iz222

在口△尸人仍中，由勾股定理可得尸1園2=|尸西|2+|「6|2=10次，

即4c2=10屋，所以離心率e=￡=叵，C正確；

a2

因為b2=c2—a2=-a2,

2

所以漸近線的方程為了=±夕=±謬，

即Bx±&y=0,D正確.故選BCD.]

解得"=3,b2=9,

22

所以雙曲線方程為^■一白=1,A正確；

222

雙曲線———=1的漸近線方程為y=±V3x,雙曲線匕一封=1的漸近線方程為y

393

=±V3x,B正確；

由題意得D(-V3,0),E(V3,0),設(shè)P(xo,yo)(xoW±g)為雙曲線上任意一點,

則①一九=1,即羽=3就一9,所以ICPD?ICPE='°廠?泗廠=等~=3(*3)=3,

ZU

39°X0+V3X0-y/3就-3說-3

所以雙曲線C上存在無數(shù)個點，使它與。，E兩點的連線的斜率之積為3,C正

確；

由雙曲線的性質(zhì)可知，過平面內(nèi)的任意一點的直線與雙曲線的漸近線平行時，只

與雙曲線有一個交點，所以不存在一點，使過該點的任意直線與雙曲線C有兩個

交點，D錯誤.故選ABC.］

22

11.［1,+8)［因為雙曲線c：■_彳=13>0,人>0)上的點到焦點的最小距

離為1,所以C—a=l,又雙曲線與直線無交點，所以2W百，即—

CL

3/W0,

即c2—4a2=(a+1)2—4層=—3a2+2a+1WO,

因為〃>0,解得］

12.平［法一：由題意可知，F(xiàn)i(—c,0),F2(C,0),設(shè)A(%i,yi),B(0,yo),所

—>—>――>2—>“\x1-c=lc,

3

以尸2力=(11—c,yi),F2B=(—C9yo),因為尸2力=——「2^,所以《2即

3=

_5

13

2所以喏。，-|y0).

%=--Vo，

瓦［=(患-1%),瓦豆=(。，A)，因為瓦n質(zhì)，所以瓦了?瓦豆=o,即次一

I%=0,解得羽=4°2.

因為點A(|c,—1%)在雙曲線C上，所以翳一翳=1,又％=402,所以震一

咚=1即型孚—理乎=i,化簡得與=3,所以e2=i+1=2,所以e=

22

9匕2，19a29b2，a5a5

3A/5

5?

法二：由法一得a(|c,-|y0)?犬=4°2,

所以由u=J("+c)2+(號等+殍=號,巾=

J(i"3+(號、。)2=后不=歹—，由雙曲線的定義可得

|A/i|一|AF*2|=2Q,即-°———=2tz,即且c=〃，所以雙曲線的離心率e=￡=［=

333aV5

3V5

5

法三：由可=一：可可得A,B,仍三點共線，且仍在線段A3上，不妨令點

A在第一象限，則點3在y軸負半軸上，易得下刈=：尸2引.設(shè)下23|=3m（加＞0）,

則尸2A|=2加，所以尸13]=尸2引=3m，\AB\=5m,由瓦彳，瓦萬可得NAflB=90°,

所以|AB|=JMB|2—舊6|2=4m,所以2a=|AE|一依刑=2機，即a=7加過Fi作

FxDLAB,垂足為。（圖略），貝卻明?因LD尸加川?下田，gp|x5mX|FiD|=

|x4mX3m,所以尸LD|=￡〃Z,所以|3D|=Jj互釬工=質(zhì)口=看機，所以IW=]?,

則尸1園=J|F1D|2+尸2。|2=卓加=2°,即C=蜉冽，所以6=（=誓.]

13.解：（1）由題意可知雙曲線的焦點為（-2,0）和（2,0）,

根據(jù)定義有2a=|[（—3+2）2+（2V6-0）2-3-2）2+（2V6-0）2|=2,

.*.0=1,又02=〃+廿，所以。2=],c2=4,廬=3.

..2

??.所求雙曲線C的方程為X2—匕=1.

3

2

⑵因為雙曲線C的方程為%2-^=1,所以漸近線方程為y=±43x,由

y=kx+2,

2消去y整理得（3—4丘一7=0.

%2--v=1,

3

①當3—產(chǎn)=0,即左=±百時，此時直線/與雙曲線的漸近線平行，此時直線與

雙曲線相交于一點，符合題意；

②當3—FW0,即左W土8時，由/=（一4左）?+4X7X（3一左2）=0,解得左=±近,

此時直線/與雙曲線C相切于一點，符合題意.

綜上所述：符合題意的實數(shù)左的所有取值為±百，±夕.

14.解：⑴因為點A（2,1）在雙曲線C:1一小=1伍＞1）上，所以之一」一=

az-laza^—1

1,解得層=2,即雙曲線。的方程為三一y2=l,由題意可知直線/的斜率存在，

y=kx+m,

2

設(shè)/:y=kx+m,P（xi,yi）,yi）,聯(lián)立2得（1—2S）%—4加區(qū)一

g-必=1,

2m2—2=0,所以/=1