人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)課本知識(shí)點(diǎn)歸納

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第二十二章一元二次方程

一\一元二次方程

1.一元二次方程

含有一個(gè)未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整

式方程叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次項(xiàng)，a叫做二次項(xiàng)

系數(shù)；bx叫做一次項(xiàng)，b叫做一次項(xiàng)系數(shù)；c叫做常數(shù)項(xiàng)。

二、降次——解一元二次方程

1.降次：把一元二次方程化成兩個(gè)一元一次方程的過程（不管

用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次）

2.直接開平方法

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做

直接開平方法。直接開平方法適用于解形如x2=b或的一元二次方程。

根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)b〈0時(shí)，方程

沒有實(shí)數(shù)根。

3.配方法：配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a

看做未知數(shù)x,并用x代替，則有。

配方法解一元二次方程的步驟是：①移項(xiàng)、②配方（寫成平方形

式）、③用直接開方法降次、④解兩個(gè)一元一次方程、⑤判斷2個(gè)根

是不是實(shí)數(shù)根。

4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。

一元二次方程的求根公式：

一b士A/一一一4acA一、八、

x=---------------------------S~2—4tzc＞O)

2a

當(dāng)＞0時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。

當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根。

當(dāng)＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根。

5、因式分解法：先將一元二次方程因式分解，化成兩個(gè)一次式

的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0,從而實(shí)現(xiàn)降次,

這種解叫因式分解法。這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用

的方法。

三、一元二次方程根的判別式

根的判別式：一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別

式，通常用“”來表示，即

四、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，由求根公式

可算出，。

第二十三章旋轉(zhuǎn)

一、旋轉(zhuǎn)

1.定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)0轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度的圖形變換叫做

旋轉(zhuǎn)，其中。叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2.性質(zhì)

(1)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。

(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角。

⑶旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。

二、中心對(duì)稱

1.定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖

形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，

這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心。

2.性質(zhì)

(1)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

(2)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過對(duì)稱中心，

并且被對(duì)稱中心平分。

(3)關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行(或在同一直線

上)且相等。

3.判定：如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過某一點(diǎn)，并且被這

一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。

4.中心對(duì)稱圖形：把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)

后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱

圖形，這個(gè)店就是它的對(duì)稱中心。

5.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)

稱時(shí)，它們的坐標(biāo)的符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為

P，(-x,-y)

6、關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)

稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，X相等，y的符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于X

軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(x,-y)o

7、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)

稱時(shí)，它們的坐標(biāo)中，y相等，x的符號(hào)相反，即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y

軸的對(duì)稱點(diǎn)為P'(-x,y)0

第二十四章圓

一、圓的相關(guān)概念

1.圓的定義：在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段0A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A

隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)。叫做圓心，線段0A叫做半徑。

2、圓的幾何表示：以點(diǎn)。為圓心的圓記作，讀作“圓0”

二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

(1)弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。(如圖中的AB)

(2)直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)直徑等于半徑的2倍。

(3)半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一

條弧都叫做半圓。

(4)弧、優(yōu)弧、劣弧：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱

弧?；∮梅?hào)表示，以A,B為端點(diǎn)的弧記作“”，讀作“圓

弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧(多用三個(gè)字母表示)；

小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩個(gè)字母表示)

三、垂徑定理及其推論

1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的

弧。

推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所

對(duì)的兩條弧。(2)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條

弧。(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的

另一條弧。

推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

四、圓的對(duì)稱性

1.圓的軸對(duì)稱性：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都

是它的對(duì)稱軸。

2、圓的中心對(duì)稱性：圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1.圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3.弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等,

所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦

或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量

都分別相等。

六、圓周角定理及其推論

1.圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2.圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一

半。

推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的

圓周角所對(duì)的弧也相等。

推論2:半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所

對(duì)的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三

角形是直角三角形。

七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)。。的半徑是r,點(diǎn)P到圓心。的距離為d,則有：

d〈r0點(diǎn)P在。0內(nèi)；

d=r=點(diǎn)P在。。上；

d〉ro點(diǎn)P在。0外。

八、過三點(diǎn)的圓

1.過三點(diǎn)的圓：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。

2.三角形的外接圓：經(jīng)過三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的

外接圓。

3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂

直平分線的交點(diǎn)，它叫做這個(gè)三角形的外心。

4、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)（四點(diǎn)共圓的判定條件）：圓內(nèi)接四邊形

對(duì)角互補(bǔ)。

九、反證法

先假設(shè)命題中的結(jié)論不成立，然后由此經(jīng)過推理，引出矛盾,

判定所做的假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做

反證法。

十、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這

時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；

(2)相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這

時(shí)直線叫做圓的切線，

(3)相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。

如果。0的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d,那么：

直線1與。0相交=d〈r；

直線1與。0相切=d=r；

直線1與。。相離=d>r；

十一、切線的判定和性質(zhì)

1.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直

線是圓的切線。

2、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。

十二、切線長定理

1.切線長：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的

線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長。

2、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相

等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

十三、三角形的內(nèi)切圓

1.三角形的內(nèi)切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的

內(nèi)切圓。

2、三角形的內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心是三角形的三條內(nèi)角

平分線的交點(diǎn)，它叫做三角形的內(nèi)心。

十四、圓和圓的位置關(guān)系

1.圓和圓的位置關(guān)系：如果兩個(gè)圓沒有公共點(diǎn)，那么就說這兩

個(gè)圓相離，相離分為外離和內(nèi)含兩種。

如果兩個(gè)圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相切，相切分

為外切和內(nèi)切兩種。

如果兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，那么就說這兩個(gè)圓相交。

2、圓心距：兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3.圓和圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定

設(shè)兩圓的半徑分別為R和r,圓心距為d,那么

兩圓外離=d>R+r

兩圓外切=d=R+r

兩圓相交=R-r〈d〈R+r(RNr)

兩圓內(nèi)切=d=R-r(R>r)

兩圓內(nèi)含=d〈R-r(R>r)

4.兩圓相切、相交的重要性質(zhì)：如果兩圓相切，那么切點(diǎn)一定在

連心線上，它們是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個(gè)

圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。

十五、正多邊形和圓

1.正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多

邊形。

2、正多邊形和圓的關(guān)系：只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就

可以做出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接

圓。

十六、與正多邊形有關(guān)的概念

1.正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)正多邊

形的中心。

2.正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做這個(gè)正多邊

形的半徑。

3、正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離

叫做這個(gè)正多邊形的邊心距。

4、中心角：正多邊形的每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做這個(gè)

正多邊形的中心角。

十七、正多邊形的對(duì)稱性

1.正多邊形的軸對(duì)稱性：正多邊形都是軸對(duì)稱圖形。一個(gè)正n邊

形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過正n邊形的中心。

2.正多邊形的中心對(duì)稱性：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對(duì)稱

圖形，它的對(duì)稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法：先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1.弧長公式：n。的圓心角所對(duì)的弧長1的計(jì)算公式為

2.扇形面積公式：其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑,

1是扇形的弧長。

3.圓錐的側(cè)面積：其中1是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。

4、弦切角定理：弦切角：圓的切線與經(jīng)過切點(diǎn)的弦所夾的角，叫做弦切角。

弦切角定理：弦切角等于弦與切線

夾的弧所對(duì)的圓周角。

即：ZBAC=ZADC

5.切割線定理

PA為。0切線,PBC為。0割線，

貝|尸片=PB。PC

第二十五章概率初步

一、概率

1.隨機(jī)事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件,

稱為隨機(jī)事件.一般的，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同

的隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小有可能不同。

（確定事件：事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生的事件稱為不

可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的.事件分為確定事件和不確定事件（隨機(jī)事件），確定事件

又分為必然事件和不可能事件，）

二、概率

L概率：

（1）一般地，在大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率m/n

會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)P附近，那么這個(gè)常數(shù)P就叫做事件A的概率，記

為P（A）=po（頻率接近概率）

(2)概率是頻率(多個(gè))的波動(dòng)穩(wěn)定值，是對(duì)事件發(fā)生可能性

大小的量的表現(xiàn)。概率反映可能性大小的一般規(guī)律。

(3)概率取值范圍：OWpWl.

(4)必然發(fā)生的事件的概率P(A)=1；不可能發(fā)生事件的概率

P(A)=0.

(5)事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1,事件發(fā)生的可

能性越小，概率越接近于0.

二、求概率方法

一般地，如果在一次實(shí)驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果，并且它們發(fā)

生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件發(fā)生的概

率為P(A)=m/no

1.列舉法：一次實(shí)驗(yàn)中，涉及1個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果

數(shù)目有限多個(gè)，并且它們發(fā)生的可能性都相等，把可能的結(jié)果都列

出來，求P(A)=m/n的方法。

2.列表法：當(dāng)一次實(shí)驗(yàn)要涉及2個(gè)因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果

數(shù)目較多，并且它們發(fā)生的可能性都相等，為不重不漏地列出所有

可能的結(jié)果，采用列表法。(頻率等于概率)

(1)當(dāng)試驗(yàn)中存在兩個(gè)元素且出現(xiàn)的所有可能的結(jié)果較多時(shí)，

我們常用列表的方式，列出所有可能的結(jié)果，再求出概率.

(2)列表的目的在于不重不漏地列舉出所有可能的結(jié)果求出n,

再從中選出符合事件A或B