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文檔簡介

專題14導數(shù)的概念與運算

【命題方向目錄】

命題方向一:導數(shù)的定義

命題方向二:求函數(shù)的導數(shù)

命題方向三:導數(shù)的幾何意義

方向1、在點尸處切線

方向2、過點尸的切線

方向3、公切線

方向4、已知切線求參數(shù)問題

方向5、切線的條數(shù)問題

方向6、切線平行、垂直、重合問題

方向7、最值問題

方向8、牛頓迭代法

【2024年高考預測】

2024年高考仍然重點利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線.

【知識點總結(jié)】

知識點一:導數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、導數(shù)的概念

(1)函數(shù)y=/(x)在x=/處的導數(shù)記作了〈尤。)或y'L

小。)力唬

Ar-0A%

(2)y=f(x)的導函數(shù)

r(x)=iim/(-Y+Ar)-/(%)

Ax-0AX

2、導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(尤)在X=X0處的導數(shù)的幾何意義就是曲線、=/(尤)在點尸(%,〃%))處的切線的斜率,相應

的切線方程為=.

知識點二:導數(shù)的運算

1、求導的基本公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

/(X)=c(c為常數(shù))rw=o

rax

/(x)=xa(aEQ)f(x)=ax~

f(x)=ax(a>0,aw1)fr(x)=axina

f(x)=log。%(a>0,aw1)

/(X)—

xlna

fM=e'r(x)=e*

f(x)=lnx

/V)=-

f(x)=sinxfr(x)=cosx

/(x)=cosX/"(%)=-sinx

2、導數(shù)的四則運算法則

(1)函數(shù)和差求導法則:"(X)土g(x)]'=f\x)+g'(x);

(2)函數(shù)積的求導法則:"(x)g(x)]=((尤)g(x)+/(x)g,(x);

(3)函數(shù)商的求導法則:g(x)wO,則[&2]=尸(x)g(>一"x)g'(x).

g。)g2(尤)

3、復合函數(shù)求導數(shù)

復合函數(shù)y=/[g(x)]的導數(shù)和函數(shù)y=/(u),u=g(x)的導數(shù)間關(guān)系為y"x=%'";

【方法技巧與總結(jié)】

1、區(qū)分在點處的切線與過點處的切線

(1)在點處的切線,該點一定是切點,切線有且僅有一條.

(2)過點處的切線,該點不一定是切點,切線至少有一條.

【典例例題】

命題方向一:導數(shù)的定義

例1.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=/(x)的圖像如圖所示,下列不等關(guān)系正確的是()

A.0</,(2)</,(3)</(3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-/(2)</(3)

C.0<r(3)</(3)-/(2)</X2)

D.0</(3)-/(2)<r(2)<r(3)

例2.(2023?全國?高三專題練習)一個質(zhì)點做直線運動,其位移s(單位:米)與時間f(單位:秒)滿足關(guān)

系式S=?(4/-3)3,則當f=l時,該質(zhì)點的瞬時速度為()

A.5米/秒B.8米/秒

C.14米/秒D.16米/秒

例3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=21nx+8x,則lim)°+2Ax)一/⑴的值為()

ArfOAX

A.-20B.-10C.10D.20

變式L(2023?河南洛陽?高三欒川縣第一高級中學??奸_學考試)已知f(x)是函數(shù)〃%)的導函數(shù),若

尸(%)=4,則lim()

-Ax

A.-2B.2C.-8D.8

變式2.(2023?上海楊浦?高三復旦附中??茧A段練習)設/(A)在%處可導,下列式子與/'(毛)相等的是()

A〃尤。)一“龍。+祠B/(M+AX)-“毛――)

?11111-----------------------------------------------13.11111----------------------------------------------------------

-Ax-2Ax

/U+2Ax)-/(%0)/(x0)-/(x0-Ax)

V—1?11111?lllli

-Ax——Ax

變式3.(2023?全國?高三專題練習)已知是定義在R上的可導函數(shù),若lim,⑶-〃2+Ax)

■一。Ax2

則/(2)=()

A.0B.2C.4D.--

22

【通性通解總結(jié)】

對所給函數(shù)式經(jīng)過添項、拆項等恒等變形與導數(shù)定義結(jié)構(gòu)相同,然后根據(jù)導數(shù)定義直接寫出.

命題方向二:求函數(shù)的導數(shù)

例4.(2023?高三課時練習)求下列函數(shù)的導數(shù):

(l)y=e*+麻;

(2)y=2sin(l-3%);

(3)y=^cos(2x+x);

(4)y=\nV1+sinx;

(5)y=lgsin^|+x2

2門+馬

(6)>=cos-——.

例5.(2023?全國?高三專題練習)求下列函數(shù)y=/(x)的導數(shù),其中:

(1)/(X)=〃2+2dX-X2;

⑵"%)=xsinx

Inx

⑶〃x)=(3尤2-4X)(2X+1);

⑷/(x)=sin』-2cos2qJ

⑸“xf;

(6)/(X)=(2%2-1)(3%+1);

(7)/(%)=cosx;

(8)/(x)=lnx+-;

(9)〃力=邛

(10)/(x)=(x2+2x-l)e2-x.

例6.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(%)的導函數(shù)為了'(%),且滿足〃力=24”)+lnx,則/⑴=(

A.1B.C.-1D.e

2

TT

變式4.(2023?四川成都?高三石室中學??奸_學考試)已知函數(shù)/(x)=sinx+acosx的圖像關(guān)于x對稱,則

/KJ的值是(

A,史

B.V2C.2D.6

2

變式5.(2023?全國?高三專題練習)在等比數(shù)列{%}中,4=1,%=3,函數(shù)/(%)=耳%-4}(%-%)(x-q),

則/'(O)等于()

A.36B.34C.38D.212

變式6.(2023?全國?高三專題練習)己知函數(shù)〃x)的導函數(shù)為尸⑺,且滿足〃x)=V+x2尸⑴+2x-1,

則/(2)=()

A.1B.-9C.-6D.4

【通性通解總結(jié)】

對所給函數(shù)求導,其方法是利用和、差、積、商及復合函數(shù)求導法則,直接轉(zhuǎn)化為基本函數(shù)求導問題.

命題方向三:導數(shù)的幾何意義

方向1、在點尸處切線

例7.(2023?黑龍江七臺河?高三??计谥校┮阎瘮?shù)/(x)=x2ln.x+l-f'(l)x,則函數(shù)/(%)的圖象在點(1,/(D)

處的切線斜率為()

A.士B.--C.---3eD.3e--

2222

例8.(2023?陜西榆林?統(tǒng)考模擬預測)已知函數(shù)〃力=/1+2犬+1,則/⑺的圖象在x=0處的切線方程為

()

A.4x-y+l=0B.2x-y+l=0

C.4ex-y+2=0D.2ex-y+l=0

例9.(2023?江西贛州?統(tǒng)考二模)已知曲線》=3"在x=2處的切線與坐標軸圍成的面積為I,貝打九=()

A.1B.2C.3D.4

變式7.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)〃同=/+2尤3的圖象在點(I"⑴)處的切線方程為()

A.y=10x-7B.y=10x+13C.y=2%+13D.y=2x-rl

2

變式8.(2023?陜西寶雞?高三寶雞中學??茧A段練習)曲線y=ln%+—在犬=1處切線的傾斜角為a,則

x

sina/、

-----------=()

2sina+cos&

A.2B.-2C.1D.-1

方向2、過點尸的切線

變式9.(2023?北京?高三專題練習)過坐標原點作曲線y=e-+i的切線,則切線方程為()

A.尸了B.y=2xC.y=\xD.>=前

變式10.(2023?山東煙臺?高三統(tǒng)考期末)過點(。,3)且與曲線、=尤3-2工+1相切的直線方程為()

A.X-3=0B.x-y+3=0C.x+y+3=0D.x+y-3=0

變式11.(2023?河南?校聯(lián)考模擬預測)已知/(x)=2/+(a-2)尤2—3x是奇函數(shù),則過點尸(-1,2)向曲線

y=/(x)可作的切線條數(shù)是()

A.1B.2C.3D.不確定

變式12.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)〃x)=de”過點(0,0)的切線方程為()

A.y=0B.ex+y=0C.y=0或x+ey=0D.y=0或ex+y=0

曲線y=2xlnx+3過點[-的切線方程是(

變式13.(2023?全國?高三專題練習))

A.2%+y+l=0B.2x-y+l=0

C.2x+4y+l=0D.2%-4y+l=0

方向3、公切線

變式14.(2023?山東威海?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)〃x)=alnx,g(x)=G,若總存在兩條不同的直線與曲線

y=〃尤),y=g(x)均相切,則實數(shù)。的取值范圍是()

A.日+jB.1臼C.foD.序

變式15.(2023?河北?統(tǒng)考模擬預測)若曲線/(元)=3/-2與曲線g(x)=-2-〃zlnx(mw0)存在公切線,則實

數(shù)加的最小值為()

A.-6eB.-3eC.2\/eD.6e

變式16.(2023?全國?高三專題練習)若曲線y=ln%+l與曲線>=/+工+3〃有公切線,則實數(shù)。的取值范圍

21n2-33-ln21—41n23—ln2

B.12-,-

21n2-31—41n2

C.,+coD.,+oo

6-12

變式17.(2023?陜西榆林???寄M預測)若直線/與曲線丁=/相切,切點為與曲線產(chǎn)(%+3丫也

相切,切點為NG,%),貝同玉一乙的值為()

A.-2B.-1C.0D.1

變式18.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)/(%)=改+2的圖象在點(1,3)處的切線也是拋物線%2==〉的切線,

貝!J〃-b=()

A.1B.3C.6D.2

變式19.(2023?內(nèi)蒙古阿拉善盟?高三阿拉善盟第一中學??计谀┮阎瘮?shù)/(x)=e*-依+瓦g(x)=%2—x.

若曲線>=/(%)和丁=且。)在公共點41,0)處有相同的切線,則〃,b的值分別為()

A.e—1,—1B.-l,e—1C.e,-1D.—l,e

變式20.(2023?陜西渭南?統(tǒng)考一模)已知直線曠="+優(yōu)。€艮6>0)是曲線〃工)=3與曲線8(引=1僦+2的

公切線,則。+人等于()

A.e+2B.3C.e+1D.2

變式21.(2023?全國?高三專題練習)若曲線y=?ZT和y=N+7?x+l有公切線,則實數(shù)機=()

A.士B.--C.1D.-1

22

變式22.(2023?寧夏石嘴山?高三石嘴山市第一中學??茧A段練習)已知直線/為曲線y=x+l+ln尤在4(1,2)

處的切線,若/與二次曲線y=ox2+(a+2)x+l也相切,則。=()

A.0B.-4C.4D.0或4

方向4、已知切線求參數(shù)問題

變式23.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=xe",若2辦-go恒成立,則實數(shù)。的最大值為

()

1-1

A.—e2B.e+1C.2eD.e+4

2

變式24.(2023?新疆塔城?高二烏蘇市第一中學??茧A段練習)若直線/:、=履是曲線y=ln尤的切線,則

實數(shù)氏=()

A.-B.--C.-D.e

ee2

變式25.(2023?四川綿陽?高二四川省綿陽江油中學??奸_學考試)已知函數(shù)

,若過點A(0,16)的直線方程為>=辦+16,與曲線

廣州

相切,則實數(shù)。的值是

A.-3B.3C.6D.9

變式26.(2023?內(nèi)蒙古包頭?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)〃力=無3+依+1的圖象在點(1,〃1))處的切線過點(2,7),

則”=()

A.-1B.1C.2D.3

變式27.(2023?黑龍江哈爾濱?高三哈爾濱市第六中學校??计谀┻^點尸(1,0)可以作曲線f(x)=xe'的兩

條切線,切點的橫坐標分別為"3n,則加+〃2的值為()

A.1B.2C.75D.3

變式28.(2023?全國?高三專題練習)已知直線y=匕x與y=左24匕>&)是曲線V=依+2山W(aeR)的兩條

切線,則勺-勺=()

4

A.-B.2aC.4D.無法確定

e

14

變式29.(2023?全國?高三專題練習)己知a>0,b>0,直線>=x+。與曲線y=e工一"相切,則一+二的最小

ab

值是()

A.8B.9C.10D.12

方向5、切線的條數(shù)問題

變式30.(2023.廣西玉林.統(tǒng)考模擬預測)若曲線,(力=十有三條過點(0,。)的切線,則實數(shù),的取值范圍

為()

A.心]B.[。,mC.日D.

變式31.(2023?全國?高三專題練習)若直線,與曲線y=e,和y=lnx都相切,則直線/的條數(shù)有()

A.0B.1C.2D.無數(shù)條

變式32.(2023?全國?高三專題練習)已知。>0,若過點(。向可以作曲線y=V的三條切線,貝I]()

A.b<0B.0<b<a3C.b>a3D.b(b-a3)=0

變式33.(2023?全國?高三專題練習)過點P(0,。)作曲線y=xe'的切線,當-3<6<0時,切線的條數(shù)是()

e

A.0B.1C.2D.3

變式34.(2023?全國?高三專題練習)若過點3切可以作曲線y=ln%的兩條切線,貝|()

A.a<lnbB.b<lnaC.\nb<aD.lna<b

變式35.(2023?全國?高三專題練習)過曲線=丁一依+6外一點A(l,0)作C的切線恰有兩條,則()

A.a=bB.a—b=lC.b=a+lD.a=2b

變式36.(2023?全國?高三專題練習)若過點尸(1,。可作出曲線y=V的三條切線,則實數(shù),的取值范圍是()

A.(一8,1)B.(0,+8)C.(0,1)D.{0,1}

變式37.(2023?全國?高三專題練習)若過點尸(-1必)可以作三條直線與曲線C:y=xe*相切,則根的取值

范圍是()

A.1-

C.D.

X

變式38.(2。23?全國?高三專題練習)若過點依⑷)可以作三條直線與曲線C:y丁相切’則利的取值范圍

為()

A.C.(-oo,0)

變式39.(2023?全國高三專題練習)已知函數(shù)/(幻=4-3尤2,若過點尸(2J)可以作出三條直線與曲線Ax)

相切,貝"的取值范圍是()

A.(-2,-1)B.(-3,-2)C.(-4-3)D.(-5,-4)

變式40.(2023?福建泉州?高三福建省晉江市養(yǎng)正中學??茧A段練習)已知過點A(a,0)作曲線y=(l-x)e*的

切線有且僅有1條,貝()

A.一3B.3C.-3或1D.3或1

方向6、切線平行、垂直、重合問題

變式41.(2023?全國?高三專題練習)已知曲線y=V+3x在點尸處的切線與直線,=15尤+3平行,則點尸的

坐標為()

A.(2,14)B.(-2,-14)C.(2,14)或(-2,-14)D.以上都不對

變式42.(2023?甘肅張掖?高三高臺縣第一中學??茧A段練習)已知直線/與直線x-y+2=0平行,且與曲

2

線y=lnx——+1相切,則直線/的方程是

x

A.%+y+In2—2—0B.x—y+In2—2—0

C.%—y—In2—2=0D.JV—y+In2+2=0

變式43.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)=d-alnx(aeR)在x=l處的切線與直線y=-6x+10平行,

則。的值為()

A.-4B.-5C.7D.8

變式44.(2023?全國?高三專題練習)若函數(shù)/(x)=3x+(-3(x>0)的圖象與函數(shù)g⑺=oe*的圖象有公切線

/,且直線/與直線y=+2互相垂直,則實數(shù)/=()

A.—B.e2C.—或2A/^D.-或4五

eee

變式45.(2023?山東日照?高三校聯(lián)考期末)若曲線y=在點(0,-1)處的切線與曲線>=lnx在點P處

的切線垂直,則點尸的坐標為()

A.(e,l)B.(1,0)C.(2,In2)D.Q,-ln2j

變式46.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)加)=/+2x的圖象在點AQ/,兀⑺)與點仇孫f(x^{xi<x2

<0)處的切線互相垂直,則無2一用的最小值為()

A.;B.1

3

C.-D.2

2

變式47.(2023?高三課時練習)若函數(shù))=/(%)的圖象上存在兩點,使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互

相垂直,則稱丁=/(力具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是()

A.y=sinxB.y=]nxC.y=exD.y=x3

x2+X+2Q(X<0)

變式48.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)/(X)=1的圖象上存在不同的兩點A3,使

—(x>0)

得曲線>=/(元)在這兩點處的切線重合,則實數(shù)“的取值范圍是()

A.B.(-1,-)C.(1,+?)D.+oo)

888

變式49.(2023?全國?高三專題練習)若函數(shù)y=/(x)的圖象上存在兩個不同的點A3,使得曲線>=/(尤)在

這兩點處的切線重合,稱函數(shù)y=/(x)為“自重合”函數(shù).下列函數(shù)中是“自重合”函數(shù)的為()

A.y=lnx+xB.y=e'+1

C.y=x3D.J=x-cosx

變式50.(2023?江蘇無錫?校聯(lián)考三模)定義:若函數(shù)/'(X)圖象上存在相異的兩點P,。滿足曲線y=/(x)

在尸和。處的切線重合,則稱是“重切函數(shù)”,P,。為曲線y=的“雙重切點”,直線PQ為曲線

y=〃尤)的“雙重切線”.由上述定義可知曲線〃尤)=爐+J的“雙重切線”的方程為.

方向7、最值問題

變式51.(2023?全國?高三專題練習)若點A(o,t)與曲線>=InX上點8距離最小值為2石,則實數(shù)f為.

變式52.(2023?全國?高三專題練習)曲線/(x)=ln(x-l)+x+l上的點到直線y=2尤+4的距離的最小值為

?一1""2,上,則|PQ|的最小

變式53.(2023?全國?高三專題練習)點P在曲線y=e”上,點。在曲線y=,

3x-6,x>2

值為______

變式54.(2023?全國?高三專題練習)若實數(shù)。,b,c,d滿足。+/_3皿。)2+(°々+2)2=o,則

J(a-c)2+(6-d)2的最小值為一?

變式55.(2023?全國?高三專題練習)已知實數(shù)。、b、c、d滿足彳匕=三=1,則("cf+S-dy的最

小值為.

b

變式56.(2023?寧夏中衛(wèi)?統(tǒng)考二模)當〃>0時,若不等式111%<以2+人X—1恒成立,則一的最小值是

a

變式57.(2023?全國?高三專題練習)設點尸在曲線>=/>2+1上,點。在曲線y=i+in?TT上,則|尸。|

的最小值為.

變式58.(2023?全國?高三專題練習)已知點尸(。,與為曲線y=ln(2x+l)上的一個動點,則生£臼的最小

值為.

方向8、牛頓迭代法

變式59.(2023?全國?高三專題練習)牛頓迭代法又稱牛頓-拉夫遜方法,它是牛頓在17世紀提出的一種在

實數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下:設/是函數(shù)y=/(x)的一個零點,任意選取與作為"的

初始近似值,作曲線y=/(x)在點(%,八%))處的切線人設L與x軸交點的橫坐標為毛,并稱均為『的1次

近似值;作曲線y=/(x)在點(5,/&))處的切線4,設4與X軸交點的橫坐標為々,并稱々為r的2次近似

值.一般的,作曲線y=/(x)在點(x“J(X"))(〃eN)處的切線/向,記/“I與X軸交點的橫坐標為尤向,并稱無用

為r的”+1次近似值.設/0)=丁+》-1的零點為r,取毛=0,貝卜的2次近似值為.

變式60.(2023?浙江寧波?鎮(zhèn)海中學??级#┤藗兒茉缫郧熬烷_始探索高次方程的數(shù)值求解問題.牛頓

(1643-1727)給出了牛頓法——用“作切線”的方法求方程的近似解如圖,方程/(此=。的根就是函數(shù)/(x)的

零點廠,取初始值與處的切線與x軸的交點為冷/(無)在4處的切線與x軸的交點為巧,一直這樣下去,得

到飛,項,無2,…馬,它們越來越接近r.若/(x)=d-x+l,為=-1,則用牛頓法得到的r的近似值巧約為

(結(jié)果保留兩位小數(shù)).

變式61.(2023?重慶北倍?高二西南大學附中??茧A段練習)牛頓迭代法(.Newton'smethod)是牛頓在17

世紀提出的一種求方程近似根的方法.如圖,設「是/(動=0的根,選取看作為,?的初始近似值,過點

&J(%))作曲線>=的切線口與x軸的交點的橫坐標%,=%-荒',(尸(無。^0),稱玉是廠的“一次

近似值”,過點(%工(%))作曲線y=的切線,則該切線與x軸的交點的橫坐標為

々=占-犬^,(r(王)中0),稱巧是"的“二次近似值”,重復以上過程,得到「的近似值序列.若/(x)=f-2,

取4=2作為"的初始近似值,則/(力=0的正根的“三次近似值”為.(請用分數(shù)做答)

變式62.(2023?全國?高二專題練習)數(shù)學中,多數(shù)方程不存在求根公式.因此求精確根非常困難,甚至不可

能.從而尋找方程的近似根就顯得特別重要.例如牛頓迭代法就是求方程近似根的重要方法之一,其原理如下:

假設R是方程〃x)=0的根,選?。プ鳛镽的初始近似值,在點&,〃/))處作曲線y=〃尤)的切線4,則乙

與x軸交點的橫坐標4稱為R的一次近似值,在點(占,〃占))處作曲線y=/(%)的切線4.則4與x軸交點的

橫坐標4稱為R的二次近似值.重復上述過程,用無〃逐步逼近R.若給定方程gv+x_i=o,取x°=0,貝|]%=

【通性通解總結(jié)】

函數(shù)>=/(尤)在點/處的導數(shù),就是曲線y=f(x)在點P(x0,/@))處的切線的斜率.這里要注意曲線

在某點處的切線與曲線經(jīng)過某點的切線的區(qū)別.(1)已知f(x)在點(無。"(%))處的切線方程為

f

y-y0=/(x0)(x-x0).(2)若求曲線y=/(x)過點(a,b)的切線方程,應先設切點坐標為(飛,/(%)),由

y-%=-(x0)(x-不)過點(。/),求得飛的值,從而求得切線方程?另外,要注意切點既在曲線上又在切線

上.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.(2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱市第四中學校??寄M預測)若曲線>=y三在原點處的切線與直線

e

3x一胡+1=0垂直,則實數(shù)〃的值是()

A.3B.-1C.1D.0

2.(2023?上海閔行?上海市七寶中學??级#┠抄h(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強污水治理,排放未達標的企業(yè)

要限期整改、設企業(yè)的污水排放量W與時間f的關(guān)系為W=/(。,用-〃6)一”“)的大小評價在逐句這段

b-a

時間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強弱,已知整改期內(nèi),甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時間的關(guān)系如下圖所示.則

下列正確的命題是()

A.在,1,匕]這段時間內(nèi),甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱;

B.在芍時刻,甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)弱;

C.在與時刻,甲、乙兩企業(yè)的污水排放都不達標;

D.甲企業(yè)在[0,1,,小也?這三段時間中,在在川的污水治理能力最強

3.(2023?山東濰坊?三模)若尸為函數(shù)=圖象上的一個動點,以P為切點作曲線y=的

切線,則切線傾斜角的取值范圍是()

4.(2023?全國?高三專題練習)曲線y=e2“'在點(0,1)處的切線垂直于直線2x-y=0,貝1]。=()

A.1B.—1C.—D.—

44

5.(2023?全國?高三專題練習)若曲線〃九)=e*+sinx+%在l=0處的切線方程為2x-〃y+l=0,則()

A.m=Ln=—lB.m=-l,n=l

C.m=0,n=—lD.m=0,n=l

6.(2023?河南?高三校聯(lián)考階段練習)已知曲線y=五在點[0,<與<處的切線也與曲線y=e'相

切,則%所在的區(qū)間是()

7.(2023?全國?模擬預測)若曲線y=x3-3/+依-1在點與處的切線經(jīng)過坐標原點,貝也。=()

A.—B.2C.1或—D.1或2

22

8.(2023?全國?模擬預測)已知函數(shù)〃x)=x(x+l)(x-l),過點(1,0)的直線/與曲線y=/(x)相切,現(xiàn)有如

下三條直線:①4x-y+2=0;②x-2y+8=0;③x+y-5=0.則上述直線中與直線/垂直的直線條數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

二、多選題

9.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)〃"=三+%-2的圖象在點尸處的切線平行于直線y=4x-l,則p點的

坐標可以為()

A.(1,0)B.(2,8)C.(―LT)D.(1,4)

10.(2023?全國?高三專題練習)已知曲線〃尤)=2(尤+1丫+1,則曲線過點尸(0,3)的切線方程為()

A.6x+y—3=0B.6x—y+3=0

C.5x—2y+6=0D.3x—2y+6=0

IL(2023?全國?高三專題練習)(多選)若函數(shù)y=〃x)的圖象上至少存在兩點,使得函數(shù)的圖象在兩點處

的切線互相平行,則稱y=/(x)為R函數(shù),則下列函數(shù)可稱為R函數(shù)的有()

A.f(x)=x2+sinxB.于(x)=x2Inx

c./(x)=e'-4D-(x)=泮

3e

12.(2023?河北?統(tǒng)考模擬預測)函數(shù)〃%)=優(yōu)(。>0且awl),g(x)=logax(〃>0且awl),貝!J()

A.當。='時,〃x)與g(x)有唯一的公共點

B.當。=弓時,"力與g(x)沒有公共點

C.當°時,〃尤)與g(x)有唯一公共點

D.當1<“<“時,與g(x)有兩公共點

三、填空題

13.(2023?安徽合肥?合肥一中??寄M預測)曲線y=—在點Q-3)處的切線方程為___________

1-x

14.(2023?海南???海南中學??级#┘褐瘮?shù)/(x)=x3+lnx的圖像在點■⑴)處的切線為/,若/

與函數(shù)g(尤)的圖像也相切,切點為3(2,〃?),貝|g(2)+g,(2)=.

15.(2023?陜西咸陽?武功縣普集高級中學??寄M預測)已知函數(shù)〃x)=(cosx+sim:)ex+b在x=0處的切

線方程為了=依+2,則上+6=.

16.(2023?上海閔行?上海市七寶中學??既#┮阎瘮?shù)/(力=向-/,直線/:x+y-4=0,若直線

x-y+〃?=O與/(尤)的圖象交于A點,與直線/交于3點,則A,3之間的最短距離是.

17.(2023?福建廈門?廈門外國語學校校考模擬預測)若曲線y=xlnx有兩條過(l,a)的切線,貝心的范圍是

18.(2023.上海?上海市七寶中學校考模擬預測)已知〃x)=e,-1,g(x)=lnx+l,請寫出與和g(尤)均

相切的一條直線方程.(只需寫一條)

專題14導數(shù)的概念與運算

【命題方向目錄】

命題方向一:導數(shù)的定義

命題方向二:求函數(shù)的導數(shù)

命題方向三:導數(shù)的幾何意義

方向1、在點尸處切線

方向2、過點尸的切線

方向3、公切線

方向4、已知切線求參數(shù)問題

方向5、切線的條數(shù)問題

方向6、切線平行、垂直、重合問題

方向7、最值問題

方向8、牛頓迭代法

[2024年高考預測】

2024年高考仍然重點利用導數(shù)的幾何意義求函數(shù)的切線.

【知識點總結(jié)】

知識點一:導數(shù)的概念和幾何性質(zhì)

1、導數(shù)的概念

(1)函數(shù)y=/(x)在x=/處的導數(shù)記作/'(不)或y'L%

'7--oAx--0Ax

(2)y=/(x)的導函數(shù)

八x)=lim&±9二皿

--0Ax

2、導數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=/(x)在x=/處的導數(shù)的幾何意義就是曲線y=/(x)在點P(x0,/(x0))處的切

線的斜率,相應的切線方程為y-/(x0)=r(%)a-x。).

知識點二:導數(shù)的運算

1、求導的基本公式

基本初等函數(shù)導函數(shù)

/(X)=c(C為常數(shù))尸(x)=o

/(X)=x"(aeQ)f'(x)=axcl~x

/(x)=ax(a>0,aw1)f\x)=axIna

/(x)=log。x(a>0,aw1)

fW-.

xma

/(x)=//(x)=e*

f(x)=lnx

f'M=-

X

/(x)=sinxff(x)=cosx

/(x)=cosx/'(%)=-sinx

2、導數(shù)的四則運算法則

⑴函數(shù)和差求導法則:"(X)土g(x)]=y'(x)土g'(x);

(2)函數(shù)積的求導法則:"O)g(x)]'=7'(x)g(尤)+/(尤)g,(尤);

(3)函數(shù)商的求導法則:g(尤)*0,則[%]=、'(x)g(x)-/(尤)g'(x).

g(x)g2M

3、復合函數(shù)求導數(shù)

復合函數(shù)y=/Ig(x)]的導數(shù)和函數(shù)y=/(a),〃=g(x)的導數(shù)間關(guān)系為%=yuux

【方法技巧與總結(jié)】

1、區(qū)分在點處的切線與過點處的切線

(1)在點處的切線,該點一定是切點,切線有且僅有一條.

(2)過點處的切線,該點不一定是切點,切線至少有一條.

【典例例題】

命題方向一:導數(shù)的定義

例1.(2023?全國?高三專題練習)函數(shù)y=/(%)的圖像如圖所示,下列不等關(guān)系正確的是()

A.0<r(2)<r(3)</(3)-/(2)

B.0</(2)</(3)-/(2)</(3)

c.0<r(3)</(3)-/(2)<r(2)

D.0</(3)-/(2)<r(2)<r(3)

【答案】c

【解析】如圖所示,根據(jù)導數(shù)的幾何意義,可得r(2)表示切線自斜率%>0,

((3)表示切線4斜率%>。,

又由平均變化率的定義,可得幺2二譽=7(3)-7(2),表示割線4的斜率心,

結(jié)合圖象,可得。<%<&<勺,即0</'(3)<〃3)-/(2)</(2).

例2.(2023?全國?高三專題練習)一個質(zhì)點做直線運動,其位移s(單位:米)與時間f(單

位:秒)滿足關(guān)系式s=/⑷_3兒則當/=1時,該質(zhì)點的瞬時速度為()

A.5米/秒B.8米/秒

C.14米/秒D,16米/秒

【答案】C

[解析]由題得s'=2f(4/-3)3+⑵2(左-3)2,

當/=1時,s'=14,

故當f=l時,該質(zhì)點的瞬時速度為14米/秒.

故選:C

例3.(2023?全國?高三專題練習)已知函數(shù)〃x)=21nx+8x,則1加工^型包上的值

-Ax

為()

A.-20B.-10C.10D.20

【答案】D

2

【解析】因為〃x)=21nx+8x,所以f(x)=1+8,

所以lim+⑴=2lim”…?、?2f,(1)=20.

Arf0Ax2202Ax

故選:D

變式L(2023?河南洛陽?

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