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文檔簡介
§8.3圓的方程
【課標要求】1.理解確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,掌握圓的標準方程與一般方程2
能根據(jù)圓的方程解決一些簡單的數(shù)學問題與實際問題.
-落實
【知識梳理】
1.圓的定義和圓的方程
定義平面上到_______的距離等于________的點的集合叫做圓
圓心c________
標準a_4)2+(y_Z?)2=/(、>())
方半徑為________
程圓心c_____________
一般x1+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4Q0)
半徑r=___________
2.點與圓的位置關(guān)系
平面上的一點M(xo,yo)與圓C:(x-a)-+(y-b)2=/之間存在著下列關(guān)系:
在________,&P(xo-a)2+(jo-by'dOAf在圓外;
22
(2)|MC|=r^M在________,即(無o-a?+(j0-b)=r0M在圓上;
(3)|A/C|<-M在________,即(xo-a)2+(jo-6)2</今〃在圓內(nèi).
【常用結(jié)論】
1.以A(xi,力),1(x2,>2)為直徑端點的圓的方程為(x-尤1)(尤-X2)+(y-y)。-蓼)=0.
2.圓心在過切點且與切線垂直的直線上.
3.圓心在任一弦的垂直平分線上.
【自主診斷】
1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打“J”或“X”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑.()
(2)。-2)2+。+1)2=層3/0)表示以(2,1)為圓心,。為半徑的圓.()
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是A=CW0,B=0,D'+E2-
4Af>0.()
(4)若點M(xo,州)在圓9+9+瓜+4+/=0夕卜,則看+ya+Dro+Eyo+QO.()
2.(選擇性必修第一冊P85T1改編)以原點為圓心,2為半徑的圓的標準方程是()
A.x2+y2=2
B./+產(chǎn)=4
C.(x-2>+(j-2)2=8
D.y+方=正
12
3.(選擇性必修第一冊P102T7改編)若曲線C:x+y+2ax-4ay-10a=0表示圓,則實數(shù)a
的取值范圍為()
A.(-2,0)
B.(-8,-2)U(0,+8)
C.[-2,0]
D.(-8,-2]U[0,+°°)
4.(選擇性必修第一冊P85T2改編)下列各點中,在圓(尤-1)2+0+2)2=25的外部的是()
A.(0,2)B.(3,3)
C.(-2,2)D.(4,1)
-探究核心題型
題型一圓的方程
例1(2022?全國甲卷)設點M在直線2r+y-1=。上,點(3,0)和(0,1)均在?!ㄉ?,則的方
程為.
思維升華求圓的方程的常用方法
(1)直接法:直接求出圓心坐標和半徑,寫出方程.
⑵待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設圓的標準方程,求出a,b,r的值;
②選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于。,E,尸的方程組,進而求出。,E,尸的值.
跟蹤訓練1(1)(2024.鄭州模擬)已知點A(-2,1),B(-1,0),C(2,3),M(a,2)四點共圓,則a=
⑵若圓C經(jīng)過坐標原點,且圓心在直線y=-2X+3上運動,當半徑最小時,圓的方程為
題型二與圓有關(guān)的軌跡問題
命題點1直接法
例2已知A(-2,0),2(2,0),動點M滿足|跖4|=2\MB\,則點M的軌跡方程是
命題點2定義法
例3(2023?茂名模擬)已知圓C:(尤-Ip+?-=1,點M是圓上的動點,AM與圓相切,且
\AM\=2,則點A的軌跡方程是()
A.y2=4.r
B,^+/-2%-2y-3=0
C.爐+9-2、-3=0
D.V=-?
命題點3相關(guān)點法
例4已知。為坐標原點,點M(-3,4),動點N在圓x2+/=4上運動,以OM,ON為鄰邊
作平行四邊形MONP,求點P的軌跡.
跟蹤訓練2已知RtAABC的斜邊為,且4(-1,0),8(3,0).求:
(1)直角頂點C的軌跡方程;
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程.
題型三與圓有關(guān)的最值問題
命題點1利用幾何性質(zhì)求最值
例5(2024.泉州模擬)已知實數(shù)x,y滿足方程/+/-4尤+1=0.求:
⑴熱最大值和最小值;
⑵y-x的最小值;
(3)爐+y2的最大值和最小值.
-微拓展
圓的參數(shù)方程
x^a+rcos
,'其中。為參數(shù).
{y—b+rsin3,
典例利用圓的參數(shù)方程解決例5(2)(3).
命題點2利用函數(shù)求最值
例6(2023?湘潭質(zhì)檢)設點P(x,y)是圓x2+(y-3)2=1上的動點定點A(2,0)£(-2,0)則或兩
的最大值為.
跟蹤訓練3(1)設P(x,y)是圓(X-2)2+V=1上的任意一點,則(x-5>+。+4>的最大值是
()
A.6B.25C.26D.36
(2)已知/+丁+/尸0,求尤+y的取值范圍為
§8.3圓的方程答案
落實主干知識
知識梳理
1.定點定長(a,b)r
DEYD?+E2-4F
~2'~2.
2.(1)圓外(2)圓上(3)圓內(nèi)
自主診斷
1.(1)V(2)X(3)V(4)V
2.B3.B4.B
探究核心題型
例1(X-l)2+(j+1>=5
解析方法一設的方程為
(X—a)2+(j—Z?)2=r(r>0),
2a+Z?—1-—0,1,
貝小(3—4)2+〃=?,解得<》=—1,
42+(1—6)2=戶,、,=5,
。知的方程為(x—l)2+(y+l)2=5.
方法二設。M的方程為x2+y2+Dx+Ej+F=0(D2+E2-4f>0),
+「萬尸=。,
,,9+3。+/=0,
A+E+F=0,
D=-2,
解得1后=2,
P=-3,
...。用的方程為/+尸一2尤+2、-3=0,即(無一l)2+(y+l)2=5.
1—01
方法三設4(3,0),3(0,1),?!ǖ陌霃綖閞,則鼠與=一子
AB的中點坐標為G,5),
:.AB的垂直平分線方程為y—3=3^—0,即3x—y—4=0.
[3x—y—4=0,
聯(lián)立L,c解得」\x=l,,
〔2x+y—1=0,
-1),.,.戶=|MA|2=(3—+[0—(-1)產(chǎn)=5,
.???!ǖ姆匠虨?。-1)2+。+1)2=5.
跟蹤訓練1(1)+75
例2x2+j2-冬;+4=0
解析設M(x,y),
則|MA|=、(x+2)2+y2,
|岫=、(尤―2)2+/
因為|K4|=2|/8|,
所以N(x+2)2+y2=2^/(x—2)2+y2,
整理可得,3^+3/-20x+12=0,
20
即r+9一-yx+4=0.
所以點M的軌跡是圓,方程為f+y2—爭20+4=0.
例3B
例4解設P(x,y),N(xo,比),
四邊形MONP為平行四邊形,
則5>=血+赤,
即(x,y)=(—3,4)+(沏,yo),
[x=-3+xo,%o=x+3,
即則
[y=4+yo,jo=y-4,
又N(xo,yo)在圓/+產(chǎn)=4上,
???就+%=4,
故(x+3)2+(y—4)2=4,
4
易知直線OM的方程為y=—)x,
4
聯(lián)立〈y=-3X,
L(x+3)2+(y-4)2=4,
921
彳=一手尤=-于
得.或
1228
產(chǎn)不
跟蹤訓練2解(1)方法一設C(x,y),因為A,B,C三點不共線,所以yWO.
因為ACLBC,且8C,AC斜率均存在,所以Mc&c=-1,
又"I#!'心
所以
x+lx-31,
化簡得1?+:/—2x—3=0.
因此,直角頂點。的軌跡方程為爐+產(chǎn)―2欠—3=0。/0).
方法二設AB的中點為。,由中點坐標公式得。(1,0),由直角三角形的性質(zhì)知|。。|=/42|
=2.由圓的定義知,動點C的軌跡是以。(1,0)為圓心,2為半徑的圓(由于A,B,C三點不共
線,所以應除去與x軸的交點).
所以直角頂點C的軌跡方程為(x—l)2+y2=4(ywo).
(2)設M(尤,y),C(xo,yo),
因為8(3,0),且M是線段8C的中點,所以由中點坐標公式得
祀+3yo+0
%=2,尸2,
所以&=2x—3,yo=2y.
由(1)知,點。的軌跡方程為
(x—l)2+y2=4(yW0),
將%o=2x—3,yo=2y代入得
(2x-4)2+(2y)2=4,
即(x—2)2+y2=i(y#o).
因此動點用的軌跡方程為
(工-2)2+9=l(yW0).
例5解(1)如圖,方程d+j2—4x+l=0表示以點(2,0)為圓心,小為半徑的圓.
設
即y=kx,
則圓心(2,0)到直線y=質(zhì)的距離為半徑時直線與圓相切,斜率取得最大、最小值.
,,I2A-Ir-
由行
解得正=3,
,?左max—^39%min—^3?
;Omax=小,C)min=一4
(2)設y—x=b,則y=x+b,當且僅當直線y=x+b與圓相切于第四象限時,截距6取最小值,
由點到直線的距離公式,得上^^=小,即6=-2±\兩,
故(y_X)min=-2一乖.
(3)f
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