數(shù)學(xué)廣角-找次品-2024年人教版五升六年級(jí)數(shù)學(xué)暑假專項(xiàng)提升

專題5：數(shù)學(xué)廣角一一找次品

2024年五升六年級(jí)數(shù)學(xué)暑假專項(xiàng)提升(人教版)

匐欣西理

知識(shí)點(diǎn)：找次品的方法和步驟

1、分組策略：

(1)盡量將所有待測(cè)物品均勻地分成3份。

(2)倘若無法被3整除，則依據(jù)余數(shù)做適度調(diào)整：若余數(shù)是1,把多

出的那個(gè)物品放進(jìn)其中一份；若余數(shù)為2,就把這兩個(gè)多出的物品分

別放進(jìn)前兩份。

2、稱重策略：借助天平來稱重。

對(duì)兩組數(shù)量相同的物品進(jìn)行稱重。要是天平平衡，表明次品在未稱重

的那組物品里。要是天平不平衡，意味著次品在偏重或者偏輕的那組

物品中。

3、遞歸查找：

明確含有次品的組之后，再次重復(fù)上述的分組和稱重步驟，一直到找

出次品為止。

4、用天平找次品時(shí),所測(cè)物品數(shù)目與至少需要稱的次數(shù)有以下關(guān)系：

要辨別的物品數(shù)目保證能找出次品至少需要稱的次數(shù)

2~31

4~92

10-273

28-814

82~2435

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1、要在8個(gè)外觀完全一樣的紅球中，找出質(zhì)量稍重的1個(gè)次品。用

天平稱,要保證2次能找出次品。第一次分，比較合適的分法是（）。

A.分成3份，分別是3,3,2

B.分成3份，分別是2,2,4

C.分成4份，分別是1,1,2,4

D.分成3份，分別是1,1,6

2、有12個(gè)零件,其中一個(gè)是略輕些的次品，用天平找次品時(shí)，（）

分法比較合理。

A.（4,4,4）B.（3,3,6）

C.（5,5,2）D.（2,2,8）

3、在一批外觀相同的糖果里混入了一顆次品（次品輕一些），如果能

用天平稱量的方法找這個(gè)次品，最好的方法是先把這批糖果平均分成

《）份，然后再稱。

A.2B.3C.4D.5

4、有10個(gè)乒乓球，其中9個(gè)質(zhì)量相同，另有1個(gè)輕了一些（比其他

的乒乓球略輕一些）。如果用天平稱，至少稱（）次才能保證找

出這個(gè)較輕的乒乓球。

A.2B.3C.5D.6

5、從只有1件次品的13件物品中找次品（次品比正品重一些），用

天平稱至少稱（）次就一定能找到次品。

A.1B.2C.3D.4

6、一箱水果有12個(gè),其中11個(gè)質(zhì)量相同，另外1個(gè)質(zhì)量不足，輕

一些。如果用天平稱，至少稱（）次才能保證找出這個(gè)水果。

7、在11個(gè)乒乓球中，有1個(gè)質(zhì)量較輕的乒乓球（次品）。如果用天

平稱，最少稱（）次能保證找出這個(gè)次品。

8、這里有5袋糖果，其中1袋少了5顆，設(shè)法把它找出來?？梢杂?/p>

C）稱，把5袋糖果分成2袋、2袋、1袋。天平兩邊各放（）

袋，如果天平平衡，剩余的1袋就是（）；如果不平衡，那么次

品一定在輕的那邊。將輕的那邊的2袋分別放在天平兩邊，輕的就是

次品。

9、有10個(gè)乒乓球，其中1個(gè)質(zhì)量較輕，是次品，小明說“我用天平

稱3次，就一定能找出次品?！彼玫姆椒ㄊ牵ǎ?。

A.分成2份（5,5）

B.分成3份（3,3,4）

C.分成5份（2,2,2,2,2）

10、有30個(gè)乒乓球，其中29個(gè)質(zhì)量相同，另有1個(gè)是次品，比其他

的乒乓球略輕一些。假如用天平稱，至少稱（）次能保證找出這

個(gè)次品。

A.3B.4C.5

11、有8個(gè)蘋果，其中一個(gè)蘋果被蟲子咬過，它比其余7個(gè)略輕一些。

用哪種方法稱一次，就可以將被蟲子咬過的蘋果確定在最小的范圍內(nèi)。

A.(3,3,2)B.(1,1,6)

C.(4,4)D.(2,2,4)

12、有30個(gè)1元的硬幣，其中有一枚是假幣，它的質(zhì)量比真幣輕，

如果用天平稱，至少()次才能找出這個(gè)假幣。

13、學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)，老師準(zhǔn)備了八個(gè)獎(jiǎng)牌分別編上了數(shù)字序號(hào)1號(hào)至8

號(hào)獎(jiǎng)勵(lì)給八位運(yùn)動(dòng)員。其中有6個(gè)獎(jiǎng)牌都是重500克，另外兩個(gè)獎(jiǎng)牌

都是重498克。老師用天平稱了三次，結(jié)果第一次1號(hào)+2號(hào)比3號(hào)

+4號(hào)重；第二次5號(hào)+6號(hào)比7號(hào)+8號(hào)輕；第三次1號(hào)+5號(hào)+7

號(hào)和2號(hào)+3號(hào)+8號(hào)一樣重，那么重498克的兩個(gè)獎(jiǎng)牌的數(shù)字編號(hào)

分別為()號(hào)和()號(hào)。

14、體育老師買來4個(gè)籃球，其中一個(gè)為次品(可能比其他三個(gè)輕一

些，也可能比其他三個(gè)重一些)，體育老師說：“我用天平稱，至少

稱兩次就能保證找出這個(gè)次品?！斌w育老師說得對(duì)不對(duì)？

15、有27個(gè)外觀相同的零件，其中有一個(gè)是次品，且比正品輕一些。

用天平至少稱幾次能保證把次品找出來？

16、有甲、乙、丙三個(gè)木塊，它們的重量：甲＞乙＞丙，另外還有一

個(gè)木塊丁。試用無祛碼的天平稱兩次，你能確定丁木塊重量排在第幾

位嗎？

17、有幾箱水果，其中1箱被少放了幾個(gè)，其余的質(zhì)量相等。如果用

天平稱5次就能保證找到那箱被少放了幾個(gè)的，那么這些水果最多有

幾箱？

1、【答案】A；

【解析】要保證2次能找出次品，第一次分組需要盡量平均。

選項(xiàng)A,分成3份，分別是3,3,2。稱兩個(gè)3,如果平衡，次品在2

里面，再稱一次就能找出；如果不平衡，次品在重的3里面，再把這

3個(gè)中的任意2個(gè)稱一次就能找出。

選項(xiàng)B,分成3份，分別是2,2,4O稱兩個(gè)2,如果平衡，次品在4

里面，還需要至少2次才能找出，不能保證2次找出。

選項(xiàng)C,分成4份，分別是1,1,2,40稱1和1,如果不平衡能找

出，但如果平衡，在2或4里面，不能保證2次找出。

選項(xiàng)D,分成3份，分別是1,1,6。稱1和1,如果不平衡能找出，

但如果平衡，在6里面，還需要至少2次才能找出，不能保證2次找

出。

2、【答案】A；

【解析】用天平找次品時(shí)，應(yīng)盡量使每份數(shù)量平均，分的份數(shù)越少越

好。A選項(xiàng)將12個(gè)零件平均分成3份，每份4個(gè)，通過兩次稱重

就能找出次品。B選項(xiàng)中有一份6個(gè)，數(shù)量較多，稱重較復(fù)雜。C選

項(xiàng)兩份5個(gè)，一份2個(gè)，不太平均。D選項(xiàng)一份8個(gè)，數(shù)量過多，

稱重次數(shù)多。所以A選項(xiàng)分法合理。

3、【答案】B；

【解析】找次品時(shí)，平均分成3份是最優(yōu)策略。因?yàn)檫@樣能在最少的

稱重次數(shù)內(nèi)確定次品所在范圍。分成2份時(shí)，一次稱重最多判斷出次

品在其中一份；分成3份，一次稱重可確定次品在某一份中，再次稱

重范圍更??；分成4份或5份，稱重次數(shù)可能增多，效率降低。

4、【答案】B；

【解析】將物品平均分成三組，盡量讓每組數(shù)量接近。然后通過天平

稱重比較，逐步縮小范圍，找出不同的那一個(gè)。

第一次稱：把10個(gè)乒乓球分成（3,3,4）三組，把兩個(gè)3個(gè)一組

的放在天平上稱，如果平衡，則較輕的在4個(gè)的那組里，如果不平衡，

則較輕的在天平上升的那3個(gè)里。

第二次稱：如果較輕的在3個(gè)的那組里，任意拿出2個(gè)放在天平上

稱，如果平衡，沒稱的那個(gè)就是較輕的，如果不平衡，上升一方就是

較輕的；如果較輕的在4個(gè)的那組里，把4個(gè)分成（2,2）,放在天

平上稱，上升一方有較輕的，再稱一次就能找出。

所以至少稱3次才能保證找出這個(gè)較輕的乒乓球。

5、【答案】C；

【解析】首先將物品盡量平均分成三組。

第一次稱，把13件物品分成4件、4件、5件三組。先把兩個(gè)4件

的分別放在天平兩端，如果天平平衡，次品就在5件那組；如果天平

不平衡，次品就在較重的那4件中。

如果次品在5件那組，第二次稱，把5件分成2件、2件、1件。把

兩個(gè)2件的分別放在天平兩端，如果天平平衡，剩下的1件就是次

品；如果天平不平衡，較重的那2件再稱一次就能找出次品。

如果次品在4件那組，第二次稱，把4件分成2件、2件，較重的那

2件再稱一次就能找出次品。

所以至少稱3次就一定能找到次品。

6、【答案】3；

【解析】將物品平均分成三組，先稱其中兩組，如果平衡，則質(zhì)量不

足的在第三組；如果不平衡，則在輕的那一組。然后再把有質(zhì)量不足

的那一組，繼續(xù)平均分成三組（盡量平均分），重復(fù)上述步驟，直到

找出質(zhì)量不足的那個(gè)物品。

第一次稱：把12個(gè)水果平均分成三組，每組4個(gè)。先稱其中兩組，

如果天平平衡，則質(zhì)量不足的在第三組；如果天平不平衡，則質(zhì)量不

足的在輕的那一組。

第二次稱：把有質(zhì)量不足的那一組4個(gè)，平均分成兩組，每組2個(gè),

稱一稱，質(zhì)量不足的在輕的那一組。

第三次稱：再把輕的那一組的2個(gè)分別放在天平兩端，輕的一端就是

質(zhì)量不足的那個(gè)水果。

所以至少稱3次才能保證找出這個(gè)水果。

7、【答案】3；

【解析】將物品盡量平均分成三組來稱。

第一次：把11個(gè)乒乓球分成4個(gè)、4個(gè)、3個(gè)三組。先稱4個(gè)的兩

組，如果天平平衡，則次品在3個(gè)的那組；如果不平衡，次品在輕的

那4個(gè)當(dāng)中。

第二次：如果次品在3個(gè)的那組，任取其中2個(gè)稱，若平衡，沒稱的

那個(gè)是次品；若不平衡，輕的是次品。如果次品在4個(gè)的那組，將這

4個(gè)平均分成2份，每份2個(gè)，稱第二次，次品在輕的那2個(gè)當(dāng)中。

第三次：把輕的那2個(gè)分別放在天平兩端，輕的就是次品。

綜上所述，最少稱3次能保證找出這個(gè)次品。

8、【答案】天平；2；次品

【解析】首先，我們考慮用天平來找出少了5顆糖果的那袋。把5袋

糖果分成2袋、2袋、1袋三份。天平兩邊各放2袋，如果天平平衡，

說明剩下的那1袋就是次品。如果天平不平衡，次品就在輕的那2袋

中。然后再把這2袋分別放在天平兩邊，輕的那袋就是次品。

9、【答案】B；

【解析】稱找次品時(shí)，平均分成三份是最優(yōu)策略。

A選項(xiàng)分成兩份（5,5）,第一次稱若不平衡，在較輕的5個(gè)中還需較

多次數(shù)才能找出。

B選項(xiàng)分成3份（3,3,4）,第一次稱3和3平衡時(shí)，次品在4個(gè)那

份中，再稱2次可找出；不平衡時(shí)，在較輕的3個(gè)中再稱1次可找

出，最多3次能找出。

C選項(xiàng)分成5份（2,2,2,2,2）,稱的次數(shù)相對(duì)較多。

10、【答案】B；

【解析】把物品平均分成三份來稱，能平均分的就平均分，不能平均

分的，多的一份與少的一份要相差1。

第一次：把30個(gè)乒乓球分成10、10、10三組，先稱量其中兩組，如

果天平平衡，則次品在第三組；如果天平不平衡，則次品在較重的那

一組。

第二次：把有次品的10個(gè)乒乓球分成3、3、4三組，稱量3、3這兩

組，如果天平平衡，則次品在4個(gè)的那一組；如果天平不平衡，則次

品在較重的那3個(gè)中。

第三次：如果次品在3個(gè)中，把這3個(gè)分成1、1、1,任意稱量?jī)蓚€(gè)，

如果天平平衡，沒稱的那個(gè)是次品；如果天平不平衡，較重的那個(gè)是

次品。如果次品在4個(gè)中，把這4個(gè)分成1、1、2,先稱量1、1,如

果天平平衡，再稱剩下的那2個(gè)，較重的那個(gè)是次品；如果天平不平

衡，較重的那個(gè)是次品。

綜上所述，至少稱4次能保證找出這個(gè)次品。

11、【答案】A；

【解析】稱一次要將有問題的物品確定在最小范圍內(nèi)，應(yīng)盡量平均分

組。

A選項(xiàng)將8個(gè)蘋果分成（3,3,2）,稱3個(gè)的兩組時(shí)，若平衡，問題

蘋果在2個(gè)那組；若不平衡，在輕的3個(gè)中，再稱一次可確定，能將

范圍縮小。

B選項(xiàng)若平衡，在6個(gè)中確定范圍大。

C選項(xiàng)稱一次在4個(gè)中范圍大。

D選項(xiàng)若平衡，在4個(gè)中范圍大。

12、【答案】4；

【解析】將硬幣平均分成三組。每次稱兩組，如果平衡，則假幣在沒

稱的那組；如果不平衡，則在輕的那組。

第一次：將30個(gè)硬幣平均分成三組，每組10個(gè)，任選兩組放在天平

兩端稱。

第二次：若第一次稱平衡，把沒稱的那組10個(gè)平均分成三組（3,3,

4）,稱兩個(gè)3個(gè)一組的，如果平衡，假幣在4個(gè)的那組；如果不平衡，

在輕的那3個(gè)中。

若第一次稱不平衡，把輕的那10個(gè)平均分成三組（3,3,4）,稱兩

個(gè)3個(gè)一組的，如果平衡，假幣在4個(gè)的那組；如果不平衡，在輕的

那3個(gè)中。

第三次：若假幣在3個(gè)的那組，任選兩個(gè)稱，平衡則剩下的是假幣，

不平衡輕的是假幣。

若假幣在4個(gè)的那組，平均分成兩組（2,2）,稱出輕的那組，再稱

一次就能找出假幣。

綜上所述，至少需要4次才能找出假幣。

13、【答案】5；4；

【解析】由第一次稱1號(hào)+2號(hào)比3號(hào)+4號(hào)重，可推斷1號(hào)、2號(hào)

是500克，3號(hào)、4號(hào)中有一個(gè)是498克。

由第二次稱5號(hào)+6號(hào)比7號(hào)+8號(hào)輕，可推斷7號(hào)、8號(hào)是500克，

5號(hào)、6號(hào)中有一個(gè)是498克。

第三次稱1號(hào)+5號(hào)+7號(hào)和2號(hào)+3號(hào)+8號(hào)一樣重，因?yàn)?號(hào)、2

號(hào)、7號(hào)、8號(hào)都是500克，所以5號(hào)和8號(hào)一個(gè)是498克，一個(gè)是

500克，結(jié)合第二次稱的結(jié)果，5號(hào)是498克。3號(hào)、4號(hào)中有一個(gè)是

498克，結(jié)合第一次稱的結(jié)果，4號(hào)是498克。

14、【解析】

將4個(gè)籃球分成三組，分別是1個(gè)、1個(gè)、2個(gè)。先稱兩個(gè)1個(gè)的，

如果天平平衡，則次品在剩下的2個(gè)中，再稱一次就能找出次品；如

果天平不平衡，輕或重的一端就是次品。所以至少稱兩次就能保證找

出次品。

【解答】把4個(gè)籃球分成1個(gè)、1個(gè)、2個(gè)三組。先測(cè)兩個(gè)1個(gè)一組

的，如果平衡，次品在2個(gè)那組，再稱一次可找出；如果不平衡，輕

或重的一端就是次品。所以至少稱兩次能保證找出次品。綜上，體育

老師說得對(duì)。

15、【解析】

每次將物品盡量平均分成三份來稱。第一次稱可以確定次品在哪“9”

個(gè)里面；第二次稱可以確定次品在哪“3”個(gè)里面；第三次稱就能確

定次品是哪一個(gè)。

【解答】

把27個(gè)零件分成9個(gè)、9個(gè)、9個(gè)三份。

第一次：天平兩邊各放9個(gè)，若天平平衡，則次品在未稱的9個(gè)中；

若天平不平衡，則次品在輕的