山西省名校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試卷

2024—2025學(xué)年山西名校十月聯(lián)合考試高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊(cè)、必修第二冊(cè)、選擇性必修第一冊(cè)第一章至第二章2.4.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，.若，則（）A.4 B. C.8 D.2，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則（）A. B. C. D.3，若直線：與直線：垂直，且直線：與直線：垂直，則（）A.1 B. C.2 D.4.若點(diǎn)在圓：的外部，則的取值范圍為（）A. B.C. D.5.在山西的某個(gè)旅游景點(diǎn)內(nèi)有刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃.某游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗，則該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的概率為（）A. B. C. D.6.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱為塹堵.已知在塹堵中，，，，，分別是所在棱的中點(diǎn)，則下列3個(gè)直觀圖中滿足的有（）A.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)7.在四面體中，為的外心，底面，，，，則四面體外接球的表面積為（）A. B. C. D.8.已知，直線：，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為，則點(diǎn)到軸的距離的最小值為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，，，則（）A. B. C. D.10.已知一組數(shù)據(jù)為1，，，3，4，，1，1，3，2，其中，則（）A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不可能為3B.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，C.當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的方差為1.25D.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，的最小值為11.已知四棱柱的底面是邊長(zhǎng)為6的菱形，平面，，，點(diǎn)滿足，其中，則（）A.當(dāng)為底面的中心時(shí)，B.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最小值為C.當(dāng)時(shí)，長(zhǎng)度的最大值為6D.當(dāng)時(shí)，為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為_(kāi)_____，______.13.已知在正四棱臺(tái)中，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_____.14.已知函數(shù).若不等式對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.（13分）在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）若，求；（2）若，，求的面積.16.（15分）如圖，在正六棱柱中，為的中點(diǎn).設(shè)，，.（1）用，，表示向量，；（2）若，求的值.17.（15分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若一條光線從點(diǎn)射向直線，經(jīng)該直線反射后經(jīng)過(guò)圓上的點(diǎn)，求該光線從點(diǎn)到點(diǎn)的路線長(zhǎng)的最小值.18.（17分）如圖，已知，，，四點(diǎn)均在直徑為6的球的球面上，，，，，，直線與平面所成的角為，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).（1）證明：平面.（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最大值.19.（17分）過(guò)點(diǎn)作斜率分別為，的直線，，若（），則稱直線，是定積直線或定積直線.（1）已知直線：（），直線：，試問(wèn)是否存在點(diǎn)，使得直線，是定積直線？請(qǐng)說(shuō)明理由.（2）在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均在第一象限，且點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上.若直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，直線與直線是定積直線，求點(diǎn)的坐標(biāo).（3）已知直線與是定積直線，設(shè)點(diǎn)到直線，的距離分別為，，求的取值范圍.

2024—2025學(xué)年山西名校十月聯(lián)合考試高二數(shù)學(xué)參考答案1.D根據(jù)題意可得，解得.2.A易得.3.B由得.4.D根據(jù)題意可得解得或.5.B將刀削面、油炸糕、糖火燒、炕饃、莜面這5種傳統(tǒng)小吃分別設(shè)為，，，，，根據(jù)題意可得該游客從中隨機(jī)選擇3種品嘗的所有情況有，，，，，，，，，，共10種，其中該游客選擇了油炸糕和莜面品嘗的情況有3種，故所求概率為.6.C設(shè)，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（圖略），則.在圖①中，，，，則，，所以，滿足；在圖②中，，，，則，，所以，滿足；在圖③中，，，，則，，所以，不滿足.7.C設(shè)四面體的外接球?yàn)榍?，其半徑為，外接圓的半徑為.由正弦定理得，則.由，，得，解得，所以球的表面積為.8.B由，得.令解得即過(guò)定點(diǎn)，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，其中圓心，半徑為.因?yàn)閳A心到軸的距離為4，所以點(diǎn)到軸的距離的最小值為.9.AC由題意得，，所以，A，C正確，B，D錯(cuò)誤.10.BCD當(dāng)時(shí)，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為3，A錯(cuò)誤.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1時(shí)，若，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為3，這與這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為1矛盾，所以，B正確.當(dāng)時(shí)，，，，，C正確.當(dāng)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為2.2時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，D正確.11.BCD連接，.設(shè)與交于點(diǎn)，則.當(dāng)為底面的中心時(shí)，.因?yàn)?，所以，，所以，A錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在平面內(nèi)，則長(zhǎng)度的最大值為6，長(zhǎng)度的最小值即到平面的距離.設(shè)到平面的距離為，則，解得，B，C均正確.因?yàn)椋栽诘酌嫔?，且，則，得，D正確.12.；依題意得，則的虛部為，.13.依題意得，設(shè)異面直線與所成的角為，因?yàn)?，所?14.因?yàn)榈亩x域?yàn)?，，所以為奇函?shù).因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以不等式即為，則.因?yàn)?，所以，?因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，即的取值范圍是.15.解：（1）因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則或（舍去），所以.因?yàn)?，所?（2）由（1）得.因?yàn)?，所以，解得，所以，，，所?故的面積為.16.解：（1）.（2）由題意易得，，則.17.解：（1）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）.代入，，的坐標(biāo)，得解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則解得即.由（1）可得圓的圓心為，半徑，則該光線從點(diǎn)到點(diǎn)的路線長(zhǎng)的最小值為.18.（1）證明：由題意可知為球的直徑，所以，.又因?yàn)?，所以，，所以平面，平面，所以，，所以平?（2）解：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)題意可得，，，則，，所以，，，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則取.設(shè)（），則.設(shè)平面的法向量為，則取..令，，，則，當(dāng)，即，時(shí)，取得最大值，最大值為.19.解：（1）由題意可得，由得故存在點(diǎn)，使得，是定積直線，且.