山東省臨沂市蘭臨沂第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題

山東省臨沂市蘭臨沂第四中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知直線,若,則()A.-1或2 B.1 C.1或-2 D.-22.過點(diǎn)的直線與線段MN相交，，則的斜率的取值范圍為()A. B. C.或 D.或3.在三棱柱中,記,點(diǎn)滿足,則()A. B. C. D.4.已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為()A. B. C. D.5.已知向量,若共面,則()A.4 B.2 C.3 D.16.點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為()A. B. C. D.7.下列命題中正確的是()A.點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是B.若直線的方向向量為，平面的法向量為，則C.若直線的方向向量與平面的法向量的夾角為，則直線與平面所成的角為D.已知為空間任意一點(diǎn),四點(diǎn)共面，且任意三點(diǎn)不共線，若，則8.在空間直角坐標(biāo)系中,,點(diǎn)在平面ABC內(nèi),則當(dāng)|OH|取最小時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是()A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知向量，則()A.若，則 B.若，則C.若,則 D.若,則向量在向量上的投影向量10.下列說法正確的是()A.直線的傾斜角的取值范圍是B.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C.過點(diǎn)且在軸,軸截距相等的直線方程為D.經(jīng)過平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)的直線都可以用方程.11.已知正方體的棱長(zhǎng)為1,E為線段的中點(diǎn),點(diǎn)和點(diǎn)分別滿足,其中,則下列說法正確的是()A.平面AEC B.AP與平面所成角的取值范圍為C.的最小值為 D.點(diǎn)到直線的距離的最小值為三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.在直線上求一點(diǎn),使它到直線的距離等于原點(diǎn)到的距離,則此點(diǎn)的坐標(biāo)為________________.13.已知空間向量?jī)蓛蓨A角為,且,則__________________.14.如圖,兩條異面直線a,b所成的角為,在直線a,b上分別取點(diǎn),和點(diǎn)A,F,使,且.已知,則線段的長(zhǎng)為_____________.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(13分)如圖,三棱柱中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1,.(1)設(shè),用向量表示,(2)并求出的長(zhǎng)度;(3)求異面直線與所成角的余弦值.16.(15分)已知點(diǎn),_________________，從條件①、條件②、條件③中選擇一個(gè)作為已知條件補(bǔ)充在橫線處,并作答(1)求直線的方程;(2)求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程條件①:點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為；條件②:點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線過點(diǎn)且與直線PM平行;條件③:點(diǎn)N的坐標(biāo)為,直線過點(diǎn)且與直線PN垂直.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.17.（15分）已知直線.(1)若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為,求的值;(2)當(dāng)時(shí)，直線過與的交點(diǎn)，且它在兩坐標(biāo)軸上的截距相反，求直線的方程.18.(17分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD,底面ABCD為直角梯形,,分別為線段AD,DC,PB的中點(diǎn).(1)證明：平面PEF//平面GAC；(2)求直線GC與平面PCD所成角的正弦值.19.(17分)如圖1所示中,分別為PA,PB中點(diǎn).將沿DC向平面ABCD上方翻折至圖2所示的位置，使得。連接PA,PB,PC得到四棱錐,記PB的中點(diǎn)為N,連接CN,動(dòng)點(diǎn)在線段CN上.（1）證明：平面PAB；（2）若QC=2QN,連接AQ,PQ,求平面PAQ與平面ABCD的夾角的余弦值；（3）求動(dòng)點(diǎn)到線段AP的距離的取值范圍.

2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次月考答案第一部分（選擇題共58分）一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678BBBADCCA二、多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.91011ACDADACD8【答案】A【詳解】由題意,在空間直角坐標(biāo)系中,,設(shè)為平面ABC的法向量,則,則,令,則,故,則點(diǎn)到平面ABC的距離為,,所以,則,又,即，所以,代入,可得,則,所以,則,10.對(duì)于D:經(jīng)過平面內(nèi)任意相異兩點(diǎn)的直線:當(dāng)斜率等于0時(shí)，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不存在時(shí)，，方程為，能用方程表示；當(dāng)斜率不為0且斜率存在時(shí)，直線方程為，也能用方程表示，故D正確。11.ACD【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，則，由題可知，平面ABCD，且平面ABCD，則,又平面,平面平面則同理可得平面,直線平面,平面AEC即為平面平面AEC,則選項(xiàng)A正確;對(duì)于選項(xiàng)B：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)，連接OP，知平面，所以即為AP與面所成角,所以,由在上知,所以,因?yàn)?，所以的范圍是，即直線AP與平面所成角的范圍是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng),把問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求點(diǎn)使得最小,如圖,作點(diǎn)關(guān)于線段的對(duì)稱點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線,垂足分別為和,則,設(shè),則,故,故.對(duì)于D項(xiàng),當(dāng)時(shí),平面且三點(diǎn)共線.此時(shí),即此時(shí)到直線的距離最小,最小值為.故選:ACD.三、填空題12.或 13. 14..14.【詳解】依題意,,平方得因?yàn)榛?所以,故.四、解答題15(1) (2)(1),(3分)(2)因?yàn)?，同理可得，所?7分)(3)因?yàn)?所以,(8分)因?yàn)?10分)所以.(12分)所以異面直線與所成角的余弦值為.(13分)16.(1)(2).【詳解】(1)選擇條件①:因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以是線段的垂直平分線，又,所以直線的斜率為-1.又線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,所以直線的方程為,即.選擇條件②:因?yàn)?直線與直線PM平行,所以直線的斜率為-1,又直線過點(diǎn),所以直線的方程為,即.選擇條件③:因?yàn)?直線與直線PN垂直,所以直線的斜率為-1,又直線過點(diǎn),所以直線的方程為,即.（2）由解得故的交點(diǎn)坐標(biāo)為,（8分）因?yàn)樵谥本€上,設(shè)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為,則解得所以直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線經(jīng)過點(diǎn),(12分)代入兩點(diǎn)式方程得,即,所以直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線的方程為.17.(1)或(2)或【詳解】(1)設(shè)原點(diǎn)到直線的距離為,則,解得或（6分）（2）由解得,即與的交點(diǎn)為.當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線斜率為，所以直線的方程為;當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí),設(shè)的方程為,將代入得,所以直線的方程為.(14分)故滿足條件的直線的方程為或.(15分)18.（17分）【解析】(1)連接EC,設(shè)EB與AC相交于點(diǎn)O,連接OG,如圖,因?yàn)锽C//AD,且,所以四邊形ABCE為矩形,所以O(shè)為EB的中點(diǎn),又因?yàn)镚為PB的中點(diǎn),所以O(shè)G為的中位線,即,(2分)因?yàn)槠矫嫫矫鍼EF,所以平面PEF,(3分)因?yàn)榉謩e為線段的中點(diǎn),所以,(4分)因?yàn)槠矫嫫矫鍼EF,所以平面分)因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面平面GAC.(6分)(2)因?yàn)榈酌嫫矫嫫矫鍭BCD,所以,因?yàn)?所以兩兩互相垂直,(7分)以A為原點(diǎn),AB,AD,AP所在的直線為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示:則,（8分)所以分)設(shè)平面PCD的法向量為,則,所以,令,可得,所以,（14分）設(shè)直線GC與平面PCD所成角為,則,（16分）所以直線GC與平面PCD所成角的正弦值為.（17分）19.（17分）【解析】（1）因?yàn)檎郫B前為PA中點(diǎn),,所以,折疊后,,所以,所以（2分）在折疊前D,C分別為PA,PB中點(diǎn),所以，又因?yàn)檎郫B前，所以,（2分）所以在折疊后；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),A(6,0,0),B(6,12,0),C(0,6,0),P(0,0,6),（3分）為PB中點(diǎn),所以,設(shè)平面PAB的法向量為，又，所以,,令,則,所以（5分）所以,所以,所以平面PAB.(6分)（2）設(shè),由（1）知，，因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)Q在線段CN上，且,所以,所以,所以,