2024年中考數(shù)學試題分類訓練：圖形的旋轉(zhuǎn)

專題26圖形的旋轉(zhuǎn)（31題）

一、單選題

1.（2024.山東.中考真題）用一個平面截正方體，可以得到以下截面圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心

對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，常見的中心對稱圖形有平行四邊形、圓形、正

方形、長方形等等.常見的軸對稱圖形有等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圓等等.根據(jù)中心對稱

圖形與軸對稱圖形的概念，進行判斷即可.把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來

的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互

相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形.

【解析】A.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；B.該圖形是軸對稱圖形，不

是中心對稱圖形，故此選項不合題意；C.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意.故選，D.

2.（2024?廣東深圳?中考真題）下列用七巧板拼成的圖案中，為中心對稱圖形的是（）

【答案】C

【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別.在同一平面內(nèi)，如果把一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度，旋

轉(zhuǎn)后的圖形能和原圖形完全重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形.

【解析】選項A、B、D均不能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所

以不是中心對稱圖形，選項C能找到這樣的一個點，使圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合，所

以是中心對稱圖形，故選，C.

3.（2024.四川成者B?中考真題）在平面直角坐標系xOy中，點P（1,Y）關于原點對稱的點的坐標是（）

A.（—LT）B.（-1,4）C.（1,4）D.（1,T）

【答案】B

【分析】本題考查了求關于原點對稱的點的坐標.關于原點對稱的兩點，則其橫、縱坐標互為相反數(shù)，由

點關于原點對稱的坐標特征即可求得對稱點的坐標.

【解析】點尸（1,-4）關于原點對稱的點的坐標為（-1,4）；故選，B.

4.（2024.吉林?中考真題）如圖,在平面直角坐標系中，點A的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）.以Q4,OC

為邊作矩形若將矩形。1BC繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形OAB'C',則點？的坐標為（）

伊

A'—?夕

:__________C

A0cx

A.（T-2）B.（-4,2）C.（2,4）D.（4,2）

【答案】C

【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化一旋轉(zhuǎn)，矩形的性質(zhì)等等，先根據(jù)題意得到OA=4,OC=2,再

由矩形的性質(zhì)可得AB=OC=2,ZABC=90°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。T=Q4=4,AB'=AB=2,

NQ4E=90。，據(jù)此可得答案.

【解析】：點A的坐標為（-4,0）,點C的坐標為（0,2）,.??。4=4,OC=2,.四邊形Q4SC是矩形，

AB=OC=2,NABC=90。，：將矩形Q40c繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到矩形。AB'C',

OA'=OA=4,A'B'=AB=2,ZOArB'=90°,A'8'_Ly軸，點夕的坐標為（2,4）,故選，C.

5.（2024?江蘇揚州?中考真題）在平面直角坐標系中，點尸（1,2）關于原點的對稱點p的坐標是（）

A.（1,2）B.（-1,2）C.（1,-2）D.（-1,-2）

【答案】D

【分析】根據(jù)關于原點對稱的點的坐標特征：橫坐標、縱坐標都變?yōu)橄喾磾?shù)，即可得答案.

【解析】?點尸。,2）關于原點的對稱點為P,的坐標為（-1,-2）,故選D.

6.（2024?四川自貢.中考真題）我國漢代數(shù)學家趙爽在他所著《勾股圓方圖注》中，運用弦圖（如圖所示）

巧妙地證明了勾股定理.“趙爽弦圖”曾作為2002年第24屆國際數(shù)學家大會的會徽圖案.下列關于“趙爽弦

圖”說法正確的是（）

A.是軸對稱圖形B.是中心對稱圖形

C.既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形D.既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形

【答案】B

【分析】本題考查了軸對稱圖形的定義、中心對稱圖形的定義；平面內(nèi)，一個圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠完全重合的圖形，這個圖形就叫做軸對稱圖形；在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)180。,

如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，即可作答.

【解析】是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形故選，B

7.（2024.四川內(nèi)江.中考真題）2024年6月5日，是二十四節(jié)氣的芒種，二十四節(jié)氣是中國勞動人民獨創(chuàng)

的文化遺產(chǎn)，能反映季節(jié)的變化，指導農(nóng)事活動.下面四副圖片分別代表“芒種”、“白露”、“立夏”、“大雪”，

其中是中心對稱圖形的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的

圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，進行逐一判斷即可.本題主要考

查了中心對稱圖形，解題的關鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義.

【解析】A.不是中心對稱圖形，故A選項不合題意；B.不是中心對稱圖形，故B選項不合題意；C.不

是中心對稱圖形，故C選項不合題意；D.是中心對稱圖形，故D選項合題意；故選，D.

8.（2024.四川涼山.中考真題）點P（。,-3）關于原點對稱的點是P（2,b）,則a+b的值是（）

A.1B.-1C.-5D.5

【答案】A

【分析】本題考查了關于原點對稱的點的坐標特征，代數(shù)式求值，根據(jù)關于原點對稱的點，橫縱坐標互為

相反數(shù)可得。=-2,6=3,再代入代數(shù)式計算即可求解,掌握關于原點對稱的點的坐標特征是解題的關鍵.

【解析】??,點尸（4一3）關于原點對稱的點是尸'（2,匕），.，.。=—2,Z?=3,a+b=—2+3=1,故選，A.

9.（2024?山東煙臺?中考真題）下圖是由8個大小相同的小正方體組成的幾何體，若從標號為①②③④的

小正方體中取走一個，使新幾何體的左視圖既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，則應取走（）

A.①B.②C.③D.@

【答案】A

【分析】本題考查幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的畫法是解題的關鍵.分別畫出各選項得出的左視圖,

再判斷即可.

【解析】A、取走①時，左視圖為一廠,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故選項A符合題意；B、

取走②時，用視圖為,既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故造項B不符合題意：C,取

走③時，左視圖為?一,既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項C不符合題意；D、取走④

時，左視圄］—一,既不是軸對稱圖形也不是中心對稱圖形，故選項D不符，合題意；故選，A.

10.（2024?廣東廣州?中考真題）下列圖案中，點。為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影

部分的兩個三角形關于點。對稱的是（）

【答案】C

【分析】本題考查了圖形關于某點對稱，掌握中心對稱圖形的性質(zhì)是解題關鍵.根據(jù)對應點連線是否過點

。判斷即可.

【解析】由圖形可知，陰影部分的兩個三角形關于點。對稱的是C,故選，C.

11.（2024.天津?中考真題）如圖，AABC中，ZB=30°,將AASC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60。得到OEC,點斗產(chǎn)

的對應點分別為RE,延長54交DE于點尸，下列結(jié)論一定正確的是（）

A.ZACB=ZACDB.AC//DE

C.AB=EFD.BF±CE

【答案】D

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及兩個銳角互余的三角形是直角三角形，平行線的判定，正確掌握相關性

質(zhì)內(nèi)容是解題的關鍵.先根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得N3CE=NACD=60。，結(jié)合48=30。，即可得證3產(chǎn)，CE,再根

據(jù)同旁內(nèi)角互補證明兩直線平行，來分析AC〃叱不一定成立；根據(jù)圖形性質(zhì)以及角的運算或線段的運算

得出A和C選項是錯誤的.

【解析】記3F與CE相交于一點如圖所示：

"?AABC中,將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60"得至IADEC,：.ZBCE=ZACD=60°:ZB=30°在ABHC中,

/B"C=18（）o-/3CE—/8=90。，3尸，CE故D選項是正確的，符合題意；設NAC"=x。，

ZACB=60°-x°,*/ZB=30°ZEDC=ABAC=180。-30°-（60。-x。）=90°+x。

Z.EDC+ZACD=90°+^°+60°=150°+；x。不一定等于30。；./EDC+/ACD不一定等于180。

AC〃DE不一定成立，故B選項不正確，不符合題意；：/4。3=60。-;<:。，ZACD=60°,x。不一定等于0。

NACB=/ACD不一定成立,故A選項不正確,不符合題意；：將AABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60"得到ADEC,

AB=ED=EF+FD，故C選項不正確，不符合題意；故選，D

12.（2024.湖北.中考真題）平面坐標系xOy中，點A的坐標為（T,6）,將線段繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。，

則點A的對應點A，的坐標為（）

C.(-4,-6)D.(-6,-4)

【答案】B

【分析】本題考查坐標系下的旋轉(zhuǎn).過點A和點A分別作％軸的垂線，證明△495也△Q4C（AAS）,得到

AC=OB—4,OC=AB=6,據(jù)此求解即可.

【解析】過點A和點4分別作％軸的垂線，垂足分別為AC,

:點A的坐標為（T,6）,.?.03=4,AB=6,:將線段Q4繞點。順時針旋轉(zhuǎn)90。得到tM=Q4',

,

ZAOA'=90°ZAOB=90°-ZAOC=ZOA'C,：.△AOB^AOAC(AAS),/.A!C=OB=A,OC=AB=6,

；?點A，的坐標為（6,4）,故選，B.

13.（2024.內(nèi)蒙古赤峰.中考真題）如圖，“IBC中，AB=BC=1,ZC=72°.將“1SC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)

得到△AB'C',點"與點B是對應點，點C'與點C是對應點.若點C'恰好落在8C邊上，下列結(jié)論：①

]AZ?RR

點8在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路徑長是二、②③3O=C'D；④就=訪.其中正確的結(jié)論是（）

C.①③④D.②④

【答案】A

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，弧長公式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角

形內(nèi)角和定理.根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得各角的度數(shù)，再逐一判斷各項，即可求解.

【解析】?；AB=BC,ZC=72°,：.ZBAC=ZC=72°,ZABC=180°-2ZC=36°,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

ZAB'C=ZABC=36°,AB'AC=ABAC=72°,ZAC'B'=ZC=72°,ZAC'B'=ZADC=72°,AC=AC,

：.ZAC'C=ZC=72°,ZCAC'=36°,ZCAC=ZBAC=36°,：.ZB'AB=72°-36°=36°,由旋轉(zhuǎn)的

性質(zhì)得旬=AB,ZABB'=ZAB'B=1(180°-36°)=72°,

=g";①說法正確；②：ZB'AB=ZABC=36°,：.B'A//BC；

②說法正確；③^.^NDC'3=180。一2x72。=36。，.^.Nr)C'3=NABC=36。，...JB。=CZ＞；③說法正確；④：

B，B

ZBBfD=：ZABC=36°,/B'BD=NBAC=7T,：.Z\BfBD^/\BAC,——=——.④說法正確；綜上,

ACBD

①②③④都是正確的，故選，A.

14.(2024.四川內(nèi)江.中考真題)如圖，在平面直角坐標系中，ABly軸，垂足為點6,將繞點A逆

時針旋轉(zhuǎn)到VA5。的位置，使點6的對應點月落在直線丁=-；%上，再將VA30］繞點與逆時針旋轉(zhuǎn)到

4

△4802的位置，使點Q的對應點Q也落在直線y=-3上，如此下去，……，若點3的坐標為(0,3),

A.(180,135)B.(180,133)C.(-180,135)D.(-180,133)

【答案】C

【分析】本題考查了平面直角坐標系、一次函數(shù)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識點.找出點的坐標規(guī)律以

及旋轉(zhuǎn)過程中線段長度的關系是解題的關鍵.

通過求出點A的坐標，AB,OA,的長度，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的特點逐步推導出后續(xù)點的位置和坐標，然后

結(jié)合圖形求解即可.

【解析】；ABJLy軸，點3的坐標為（0,3）,03=3,則點A的縱坐標為3,代入y=,得：x=T,

則點A的坐標為（T,3）.J.03=3,AB=4,0A=M+4?=5，由旋轉(zhuǎn)可知，OB=0四=O?B°=3=3,

OA=OXA=O2A=...=5,A8=AB】=4與==...=4,OB,=OA+ABt=4+5=9,BtB3=3+4+5=12,

耳耳=鼻&=…=（”J）.設點鳥的坐標為，一，

B3sB31=12,0B31=0B}+BXB31=9+x12=225,jJ

則OBy,=+［一=225，解得a=T8。或180（舍去），則a=135,.一.點片的坐標為（-180,135）.故

選C.

15.（2024.北京?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，ZBAD=60°,O為對角線的交點.將菱形ABCD繞點。

逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到菱形ABCD,兩個菱形的公共點為E,F,G,H.對八邊形成EGDHDE給出下

面四個結(jié)論：

①該八邊形各邊長都相等；

②該八邊形各內(nèi)角都相等；

③點O到該八邊形各頂點的距離都相等；

④點O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等。

上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】B

［分析】根據(jù)菱形ABCD,NBAD=60°,則ZBAO=ZDAO=30°,ZAOD=ZAOB=90°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)得到點一定在對角線上，S.OD=OD,=OB=OB',OA=OA!=OC=OC,繼而得

到AD'=CD,NDAH=ZDC'H=30°,結(jié)合ZD'HA=ZDHC,繼而得到^AD'H^C'DH,可證D'H=DH,

CH=AH,同理可證。'EMBEIFMB'EB'GMOG,證班,繼而得到?！倍_石，得到

DH=BE=iyH=iyE=BF=FB'=B'G=DG,可以判定該八邊形各邊長都相等，故①正確；根據(jù)角的平

分線的性質(zhì)定理，得點O到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，可以判定④正確；根據(jù)題意，得

ZED'H=120°,結(jié)合NDOr>=90。，ZOD'H=ZODH=60°,得到N￡>7TO=150。，可判定②該八邊形各內(nèi)

角不相等；判定②錯誤，證AO'OH鄉(xiāng)AOOH,進一步可得ODWOH,可判定點。到該八邊形各頂點的距

離都相等錯誤即③錯誤，解答即可.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，角的平分線性質(zhì)定理，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)是解題的關鍵.

【解析】向兩方分別延長3。，連接。打，根據(jù)菱形ABC。，ZR4D=60°,則440=NZMO=30。，

ZAOD=ZAOB=90°,;菱形ABCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到菱形AECD,.?.點A',D',B',C'一定在對

角線4。,3。上，且0￡>=0/7=03=0￡,OA=OA'=OC=OC,：.AD'=C'D,NDAH=NDC'H=30。,

'：ZjyHA=ZDHC,；.AADHACDH,；.D'H=DH,CH=AH,同理可證

D'E=BE,BF=B'F,B'G=DG,:/EA'B=ZHC'D=30°,A'B=CD,ZA'BE=ZC'DH=120°,/.

^ABE^CDH,：.DH=BE,DH=BE=D'H=D'E=BF=FB'=BrG=DG,：.該八邊形各邊長都相等，

故①正確；根據(jù)角的平分線的性質(zhì)定理，得點。到該八邊形各邊所在直線的距離都相等，，④正確；根據(jù)

題意，得ZED'H=120°,"/ZD'OD=90°,AOEfH=Z.ODH=60°,NDHD=150°,該八邊形各內(nèi)角

不相等；；.②錯誤，根據(jù)OD=0U,DH=DH,0H=OH,：.ADOHADOH,：.NDHO=NDHO=75。,

VZODH=60°,故ODWOH,.?.點。到該八邊形各頂點的距離都相等錯誤.?.③錯誤，故選B.

二、填空題

16.（2024?黑龍江大興安嶺地?中考真題）如圖，在RtZXABC1中，ZACB=90°,tanZBAC=-,BC=2,AD=1,

2

線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點尸為8的中點，則BP的最大值是.

【答案】20+：

【分析】本題考查了解直角三角形，三角形中位線定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關鍵是找出取取最大值時3、

P、M三點的位置關系.

取AC的中點連接PM、BM,利用解三角形求出BM=1MC?+BC/=2M，利用三角形中位線定理

推出PM=3AO=《，當AD在AC下方時，如果8、P、/三點共線，則成有最大值.

22

【解析】取4c的中點連接尸M、BM.

B

VZACB=90°,tanZBAC=-,BC=2,：.AC=———=2」=4,：.AM=CM=-AC=2,：.

2tanABAC22

BM=』MC、BC2=d方+方=2也，；P、M分別是co、AC的中點，.?.=如圖，當AD

在AC下方時，如果B、P、M三點共線，則BP有最大值，最大值為3M+MP=2友+!故答案為：272+1.

17.（2024.四川廣安?中考真題）如圖，直線y=2x+2與％軸、V軸分別相交于點A,B,將AAC?繞點A

逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到AACD,則點D的坐標為.

【分析】本題考查一次函數(shù)圖象與坐標軸的交點，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)等，延長DC交y軸

于點、E,先求出點A和點8的坐標，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明四邊形Q4CE是正方形，進而求出OE和OE的

長度即可求解.

【解析】如圖，延長DC交y軸于點E,；y=2x+2中，令》=0,則y=2,令y=2x+2=0,解得》=一1,

A(-1,O),8(0,2),OA=1,02=2,;AAOB繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得至IJAACD,，

ZACD=ZAOB=Z.OAC=90°,OA=OC=1,03=8=2,，四邊形Q4CE是正方形.，CE=OE=OA=1,

DE=CD+CE=2+1=3,，點。的坐標為（一3,1）.故答案為：（-3,1）.

18.（2024.吉林長春?中考真題）一塊含30。角的直角三角板ABC按如圖所示的方式擺放，邊A3與直線/重

合，AB=12cm.現(xiàn)將該三角板繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應點。'落在直線/上，則點A經(jīng)過的路

徑長至少為cm.（結(jié)果保留萬）

【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識點，掌握弧長公式成為解題的關鍵.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/45。=/^3。=60。,即4的=120°,再根據(jù)點A經(jīng)過的路徑長至少為以B為圓心,

以A3為半徑的圓弧的長即可解答.

【解析】??,將該三角板繞點3順時針旋轉(zhuǎn)，使點C的對應點C'落在直線/上，二//3。=〃'3。=60。,即

1200?乃,10207r遼田4d20%

乙4'胡=120。，.,.點A經(jīng)過的路徑長至少為—.故答案為:

180°3

19.（2024?江蘇鹽城?中考真題）如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2&，點。是AC的中點,

連接將ABCD繞點B旋轉(zhuǎn),得到△班連接C廣，當CF〃AB時，CF=

【答案】2+76/76+2

【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)的綜合，掌

握等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關鍵.

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB，CD,BD,3尸的值，作3GLCF,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得ABCG是

等腰直角三角形，可求出CG,3G的長，在直角△班’G中，根據(jù)勾股定理可求出尸G的長度，由此即可求

解.

【解析】?.,在AABC中，ZACB=9Q°,AC=BC=2及,AZCAB=ZCBA=45°,AB=y（2AC=4,:點

。是AC的中點，，AO=C￡>=gAC=0,.?.在R/ABC。中，BD=+BC。=J（可+（20『=9，

將&BCD繞點、B旋轉(zhuǎn)得到ABEF,：.ABCD^WEF，:.BD=BF=屈，EF=CD=叵，BC=BE=272，

如圖所示，過3GJ_C尸于點G,產(chǎn)〃A3,=NCB4=45。，.?.△及%;是等腰直角三角形，且

BC=2梃,:.CG=BG='BC=^x2&=2,在尺以3/G中，F(xiàn)G=dBF2-B3=瓜

:.CF=CG+FG=2+瓜,故答案為：2+后

20.（2024?江蘇蘇州?中考真題）直線hy=x-l與無軸交于點A,將直線4繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)15。，得到直線

%,則直線4對應的函數(shù)表達式是.

【答案】>=\l^x-y13

［分析］根據(jù)題意可求得L與坐標軸的交點A和點B,可得ZOAB=ZOBA=45°,結(jié)合旋轉(zhuǎn)得到ZOAC=60°,

則NOC4=30。，求得。。=代，即得點C坐標，利用待定系數(shù)法即可求得直線4的解析式.

【解析】依題意畫出旋轉(zhuǎn)前的函數(shù)圖象4和旋轉(zhuǎn)后的函數(shù)圖象4,如圖所示：

設乙與y軸的交點為點8,令x=O,得'=一1；令y=o,即x=l,A（l,0）,,：.OA=1,OB=1,

即/。4￡=/。衣4=45。：直線/］繞點4逆時針旋轉(zhuǎn)15。，得到直線4，AZOAC=60°,ZOCA=30°,：

OC=OAxtan60°=>/3OA=A/3,則點cg6),設直線4的解析式為>=辰+〃，則

0=k+b\k=^

解得廠，那么，直線4的解析式為y=底-8,故答案為:y=\/3x—A/3.

—A/3=bb=Y

三、解答題

21.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，RtZXABC中，?B90?.

(1)尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線30(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)所作的圖中，將中線30繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)180。得到DO,連接AO,CD.求證：四邊形A8CD

是矩形.

【分析】本題考查的是作線段的垂直平分線，矩形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；

(1)作出線段4C的垂直平分線EF,交AC于點O,連接H9,則線段30即為所求；

(2)先證明四邊形A3CD為平行四邊形，再結(jié)合矩形的判定可得結(jié)論.

解：(1)如圖，線段80即為所求；

(2)證明：如圖，

事AD：

;由作圖可得：AO=CO,由旋轉(zhuǎn)可得：BO=DO,

/.四邊形ABCD為平行四邊形，

,/ZABC=90°,

四邊形ABCD為矩形.

22.(2024?四川廣安?中考真題)如圖，矩形紙片的長為4,寬為3,矩形內(nèi)已用虛線畫出網(wǎng)格線，每個小

正方形的邊長均為1,小正方形的頂點稱為格點，現(xiàn)沿著網(wǎng)格線對矩形紙片進行剪裁,使其分成兩塊紙片.請

在下列備用圖中，用實線畫出符合相應要求的剪裁線.

注：①剪裁過程中，在格點處剪裁方向可發(fā)生改變但仍須沿著網(wǎng)格線剪裁；

②在各種剪法中，若剪裁線通過旋轉(zhuǎn)、平移或翻折后能完全重合則視為同一情況.

兩塊紙片兩塊紙片不是全等形

是全等形但面積相等

【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，全等圖形的定義與性質(zhì)，同時考查了學生實際的動手操作能力，根據(jù)

全等圖形的性質(zhì)分別畫出符合題意的圖形即可.

23.(2024?山東煙臺?中考真題)在等腰直角“8C中，ZACS=90°,AC=BC,。為直線8C上任意一點,

連接AD.將線段AD繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得線段ED,連接BE.

【嘗試發(fā)現(xiàn)】

(1)如圖1,當點。在線段3c上時，線段BE與8的數(shù)量關系為；

【類比探究】

(2)當點。在線段3c的延長線上時，先在圖2中補全圖形，再探究線段跖與CD的數(shù)量關系并證明；

【聯(lián)系拓廣】

(3)若AC=8C=1,CD=2,請直接寫出sinNECD的值.

【分析】本題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握一線三垂直全等模型是解題的關鍵.

(1)過點E作E"，CB延長線于點M,利用一線三垂直全等模型證明,再證明BM=EM

即可；

(2)同(1)中方法證明△ACD^AZJME,再證明80=上?0即可；

(3)分兩種情況討論：過點E作EM_LCB延長線于點〃，求出EM,CE即可.

解:(1)如圖，過點E作延長線于點

A

由旋轉(zhuǎn)得=ZADE=90°,

：.ZADC+NEDM=90°,

ZACS=90°,

:?ZACD=NDME,ZADCZCAD90°,

ZCAD=ZEDM,

AACD%ADME,

ACD^EM,AC=DM9

,:AC=BC,

：.BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD,

：.BM=EM,

*：EMLCB,

BE=垃EM=42CD，

故答案為：BE=^/2CD;

(2)補全圖形如圖：

過點E1作EM_L5C交6c于點M,

由旋轉(zhuǎn)得ZADE=90°f

：.ZADC+ZEDM=90°,

?.?ZACB=90°,

：.ZACD=ZDME,ZADC+ZCAD=9Q0,

:.NCAD=NEDM,

/\ACD^/\DME,

：.CD=EM,AC=DM,

AC=BC,

:.BM=BC-CM=DM-CM=CD,

???BM=EM,

?.*EM±CBf

?**BE=42EM=^/2CD;

(3)如圖，當。在CB的延長線上時，過點石作石N_LCB于點連接C￡,

由（2）得DM=AC=1,EM=CD=2,

：.CM=CD+DM=3,

???CE7cM?+EM?=屈，

.?.疝"。=四=二=巫

CEV1313

當。在6c的延長線上時，過點石作石NLCB于點如圖，連接CE,

同理可得：ZXACD當△￡)〃￡,

ADM=AC=1,ME=CD=2,

J01=2—1=1,

,,CE=A/22+12=Vs,

EM_2_2y/5

sinZEC￡>=

~CE~45~~T

綜上：sinNECD=或sinNECD=述

135

24.（2024.甘肅臨夏.中考真題）根據(jù)背景素材，探索解決問題.

平面直角坐標系中畫一個邊長為2的正六邊形ABCDEF

背

六等分圓原理，也稱為圓周六等分問題，是一個古老而經(jīng)典的幾何問題，旨

景

在解決如何使用直尺和圓規(guī)將一個圓分成六等份的問題.這個問題由歐幾里

素

得在其名著《幾何原本》中詳細闡述.

材1h

已

知

點C與坐標原點。重合，點。在x軸的正半軸上且坐標為（2,0）

條

件

操①分別以點C,。為圓心，8長為半徑作弧，兩弧交于點尸；■k

作②以點P為圓心，PC長為半徑作圓；

步③以。>的長為半徑，在尸上順次截??；

0￡>E=EF=￡4=AS________*____\

DX

驟④順次連接OE,EF,FA,AB,BC,得到正六邊形ABCDEF.。（。

問題解決

任

務根據(jù)以上信息，請你用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，在圖中完成這道作圖題（保留作圖痕跡，不寫作法）

任

務將正六邊形ABCDE尸繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60。，直接寫出此時點E所在位置的坐標：______.

【分析】本題考查尺規(guī)作圖，弧、弦、圓心角的關系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關鍵.

任務一：根據(jù)操作步驟作出0尸，再根據(jù)弧、弦、圓心角的關系，分別作出OE=￡F=AF=M=CD,即

得出OE=EF=E4=AB，最后順次連接即可；

任務二：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知少￡=。￡>=2,即得出OE=DE+Or>=4,即此時點E所在位置的坐標為(4,0).

解：任務一：如圖，正六邊形ABCDEF即為所作；

OE'=DE'+OD=4,

：.E[4,0).

故答案為：(4,0),

25.(2024.黑龍江齊齊哈爾?中考真題)綜合與實踐：如圖1,這個圖案是3世紀我國漢代的趙爽在注解《周

髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，受這幅圖的啟發(fā)，數(shù)學興趣小組建立了“一線三直角模型”.如

圖2,在AABC中，ZA=90°,將線段BC繞點3順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BD,作。ELAB交A3的延長

(1)【觀察感知】如圖2,通過觀察，線段A3與￡>￡的數(shù)量關系是；

(2)【問題解決】如圖3,連接8并延長交A3的延長線于點/，若A5=2,AC=6,求△瓦)尸的面積;

(3)【類比遷移】在⑵的條件下，連接CE交5。于點N,則BN*=;

2

(4)【拓展延伸】在(2)的條件下，在直線A5上找點尸，使tan4BCP=§,請直接寫出線段AP的長度.

【分析】⑴根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得NCBD=90,CB=BD,進而證明△ABC%EDB(AAS),即可求解;

(2)根據(jù)(1)的方法證明AABC③fOWAAS),進而證明SE尸SAOW,求得所=4,則3尸=10,然

后根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

(3)過點N作NM_LA尸于點M,證明AABCS^MNB得出=證明AEMN^^ECA，設項/=x,

54

貝l]ME=3E-5M=6-x,代入比例式，得出x=百，進而即可求解；

(4)當尸在3點的左側(cè)時，過點尸作尸Q，3C于點。，當尸在3點的右側(cè)時，過點P作PT_LBC交CB的

延長線于點T,分別解直角三角形，即可求解.

解：(1)?..將線段8C繞點8順時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BD,作DELAB交A3的延長線于點E.

ZCBD=90°,

圖2

ZABC+NDBE=90°,

,-.ZA=90°,

:.ZABC+ZACB=9Q,

NDBE=ZACB,

又；ZA=Z.DEB=90°且CB=3。

.?.AABC^A￡DB(AAS),

:.DE=AB；

(2)?.?NCB￡)=90。，

.\ZABC-^ZDBE=90°,

/.ZA=90°,

/.Zz4BC+ZACB=90,

:.ZDBE=ZACB,

又?.?NA=NOEB=90。且C5=&),

.-.△ABC^AEDB(AAS),

:.DE=AB,BE=AC

???AB=2,AC=6

:.DE=2,BE=6

:.AE=AB+BE=2+6=^,

-,-ZDEB+ZA=180°

DE//AC,

:ADEFS①AF,

.DEEF

"AC-FA

.2_EF

-6-EF+8

:.EF=4,

二BF=BE+EF=6+4=10,

=|xl0x2=10；

(3)如圖所示，過點N作NM_LAF于點M,

c

?：ZA=ZBMN=90。,ZACB=90°-ZABC=ZNBM

：.^ABC^^MNB

.BN_BMMN

BC~AC~AB'

網(wǎng)=吆=g"

BC623

又???ACV〃AC

"EMNs公ECA

.ME_MN

**AE-ACJ

^BM=x,貝!=3M=6—%,

X

6~^=3

8-6

54

解得：x=—

54

：.BN_BM_9；

1BC~^C~~6~13

(4)如圖所示，當尸在3點的左側(cè)時，過點P作PQ_L8C于點。

/.tanZBCP=-^=-,設PQ=2a,則CQ=3a,

CQ3

又?.?AC=6,A5=2,ABAC=90°

sr￡

AtanZABC=——二一=3,BC=d力+?=2如

AB2

tan/P2Q=g1=3

BQ=^PQ=^a

BC=CQ+BQ=—a+3a=—a

：.—a=2y/10,

3

解得：

11

2

在Rt△尸3。中，PQ=2a,BQ=-a

.??*k-誣"誣序=”

Y331111

4018

AP=PB-AB=——2

11TT

如圖所示，當尸在3點的右側(cè)時，過點尸作PT,3c交CB的延長線于點T,

?.,ZABC=NPBT,ZA=ZT=90°

：.ZBPT=ZACB

AR1

VtanZACB=——=一

AC3

tanZBPT=—=tanZACB=-

PT3

設BT=b,則PT=3b,BP=Mb,

PT2

VtanZBCP=——二—,

CT3

?3b__2

??6+29―3

解得：人=生叵

7

：.BP=^Wb=—

7

4054

AP=AB+BP=2+—=—

77

綜上所述，AP=”或

26.（2024?山東?中考真題）一副三角板分別記作“IBC和ADEF,其中/ABC=/OEF=90。，ABAC=45°,

/EDF=30°,AC=DE.作3M_LAC于點Af,EN，DF于點、N,如圖1.

圖1

(2)在同一平面內(nèi)，將圖1中的兩個三角形按如圖2所示的方式放置，點C與點E重合記為C,點A與點。

重合，將圖2中的A/Xy繞C按順時針方向旋轉(zhuǎn)。后，延長交直線。尸于點尸.

①當a=30。時，如圖3,求證：四邊形CVPM為正方形；

②當30。<o<60。時，寫出線段MP,DP,C。的數(shù)量關系，并證明；當60。<1<120。時，直接寫出線段

MP,DP,8的數(shù)量關系.

【分析】(1)利用等腰直角三角形與含30度角的直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；

(2)①證明NOVD=90°,NDCN=90°-30°=60°,可得ZAQV=90°,證明NPMC=NRWC=90°,可得

四邊形PMCN為矩形，結(jié)合BM=EN,即BM=CN,

而=可得。W=C7V,從而可得結(jié)論；②如圖，當30。<?<60。時，連接CP,證明APMC蕓APNC,

可得PM=PN,結(jié)合"=30。，可得1尸十知尸二立;②如圖，當60。<0<120。時，連接CP,同理

CD2

4PMe'PNC,結(jié)合NCD尸=30。，可得竺I二竺=1

CD2

解：(1)證明：設AC=DE=a,

"?AABC=ZDEF=90°,Z.BAC=45°,

ZA=ZC=45°,

AB=BC,

VBM1AC,

BM=AM=CM=-AC=-a,

22

VZE?F=30°,EN±DFf

：.EN=-DE=-a,

22

:.BM=EN；

(2)證明：①???ND=30。，CN工DF,

：.ZCND=90°,ZDC7V=90o-30°=60°,

*：a=ZACD=30°,

???ZACN=9Q°,

*：BM1AC,

：.ZPMC=ZBMC=90°,

???四邊形PMCN為矩形，

?:BM=EN,BPBM=CN,

而即/=CM,

/.CM=CN,

???四邊形PMCN是正方形；

②如圖，當30。<?<60。時，連接CP,

D

?：CP=CP,

：.^PMC^PNC,

:,PM=PN,

：.MP+DP=PN+DP=DN,

?「ND=30。，

,/八DNDP+MP

??cosZ￡>=-----=cos30°=,

CDCD2

.DP+MP

CD~~2

②如圖，當60。＜二＜120。時，連接CP,

P

由（1）可得：CM=CN,/PMC=/PNC=90。，

?：CP=CP,

：,APMCAPNC，

：.PM=PN,

：.DN=PN-DP=MP—DP,

ZCDF=30°,

./5口DNMP-DPV3

??cosZCDF=-----=-------------=cos3o0no=——,

CDCD2

,MP-DP73

?,------------=—;

CD2

27.（2024.四川眉山?中考真題）綜合與實踐

問題提出：在一次綜合與實踐活動中，某數(shù)學興趣小組將足夠大的直角三角板的一個頂點放在正方形的中

心。處，并繞點0旋轉(zhuǎn)，探究直角三角板與正方形ABCD重疊部分的面積變化情況.

操作發(fā)現(xiàn)：將直角三角板的直角頂點放在點。處，在旋轉(zhuǎn)過程中：

（1）若正方形邊長為4,當一條直角邊與對角線重合時，重疊部分的面積為；當一條直角邊與正方

形的一邊垂直時，重疊部分的面積為.

（2）若正方形的面積為S,重疊部分的面積為5,在旋轉(zhuǎn)過程中5與S的關系為.

類比探究：如圖1,若等腰直角三角板的直角頂點與點。重合，在旋轉(zhuǎn)過程中，兩條直角邊分別角交正方

形兩邊于E,尸兩點，小宇經(jīng)過多次實驗得到結(jié)論3石+。/=00（7,請你幫他進行證明.

拓展延伸：如圖2,若正方形邊長為4,將另一個直角三角板中60。角的頂點與點。重合，在旋轉(zhuǎn)過程中,

當三角板的直角邊交A8于點斜邊