指對冪函數(shù)及函數(shù)與方程-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷）

專題04指對幕函數(shù)及函數(shù)與方程

（思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧）

維構(gòu)建?耀蓿陳紿

根式的定義與性質(zhì)1

分整指數(shù)存的表示指弟后與;*71塞子三

廠｛O知識點(diǎn)一指睡與對數(shù)）--（指數(shù)導(dǎo)的運(yùn)算畫）超02整體鉞去求分克指克每

I凝03用麗撒癡回坡至

凝04解指敏方程與對數(shù)方程

L（理g［與對數(shù)運(yùn)算

力理返算漱！=,)>

導(dǎo)函數(shù)的特征

H號函數(shù)的定義H；型01毒函段的解儂判斷與求^

____s------------/L毒函數(shù)的圖象凝02號妻蛻0域與值域

-（。*二寡都＞＞＜曰皿）霞03毒糜?定點(diǎn)問題

遜04號函數(shù)的圖象問題

霞05號醍的單調(diào)性及應(yīng)用

凝01統(tǒng)酬毋」

【函數(shù)的概念凝02指野型壁俎定點(diǎn)問題

遜03雌^^

o知識點(diǎn)三指數(shù)函數(shù)及其備改函數(shù)的圖象與性質(zhì)

指對孱函數(shù)及T〔轆04凌腌

函數(shù)與方程-指數(shù)函數(shù)的常用技巧轆05盤灌"的奇微生及應(yīng)用

整06指數(shù)型曦的值域'可題

壁01對數(shù)函數(shù)的解析式判斷與施

做函數(shù)的6=型02對數(shù)型本過定點(diǎn)可題

,---------------------------------------、-----------------L特殊的對數(shù)函數(shù)翅03對數(shù)函數(shù)的分辨析

七知識點(diǎn)四對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)）/0?崛—話7型45

壁055^0^逐哨

對數(shù)函數(shù)的常用結(jié)論型06對數(shù)型旗的值域問題

理07指旃比較大小

函數(shù)奉點(diǎn)的概念

廠函數(shù)零點(diǎn)的直「

AN函數(shù)等，點(diǎn)與方程實數(shù)解的關(guān)系；凝01函春落點(diǎn)所在區(qū)間

---------K凝02函數(shù)參點(diǎn)個數(shù)的判斷

凝03根摩數(shù)零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)

O知識點(diǎn)五函數(shù)零點(diǎn)與二分法■函數(shù)零點(diǎn)存在遂型04點(diǎn)斷］

一兩個重要推論凝05儂毒靛E、

壁06求再點(diǎn)的范圉

/二巡

4二維＞凝07

+二分法求重點(diǎn)近似值步衰

口說盤點(diǎn)?翟源訃觸

知識點(diǎn)1指數(shù)幕與對數(shù)

1、根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)事

（1）根式的定義：一般地，如果x"=a,那么x叫做a的〃次方根，其中”＞1,且“eN*。

式子后叫做根式，這里”叫做根指數(shù)，。叫做被開方數(shù).

⑵根式的性質(zhì)（心1,且“eN*）：（五）"=&；（赤）"=?'龍吃"

同，”為偶數(shù).

（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的表示

正分?jǐn)?shù)指數(shù)幕：規(guī)定：U=叱(a>°，m，“eN*,"l)

_%1I

負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴：規(guī)定：。"=飛=丁(。>0,m,〃eN*,〃>l)

an7a

性質(zhì)：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)累等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)暴沒有意義

2、指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

(1)無理數(shù)指數(shù)幕：一般地，無理數(shù)指數(shù)幕a。(a>0,a為無理數(shù))是一個確定的實數(shù).

有理數(shù)指數(shù)哥的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)哥.

(2)指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

①a'a，="+'(a〉0,r,seR).②=ars(a>O,r,5eR).③(ab)'=arbr(a>0,Z?>0,reR).

3、對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

(1)對數(shù)的概念：如果爐=N(a>0,且在1),那么數(shù)x叫做以a為底數(shù)N的對數(shù)，記作x=log〃N,其中。

叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)，log〃N叫做對數(shù)式。

(2)對數(shù)的性質(zhì)

對數(shù)式與指數(shù)式的互化：〃=NQ尤=logaN(a>0,且存1)；

N

①log〃l=0,②log“a=l,③alogaN=N,@logaa=N(a>Q,且存1).

指數(shù)式與對數(shù)式的關(guān)系

語雙藏|對數(shù)

,

a!=NN>0\ogaN=b

|底數(shù)(a>0且a*l)|

(3)對數(shù)的的運(yùn)算法則與換底公式：如果a>0,且存1,M>0,N>Q

M

運(yùn)算法則：①loga(M?AO=logJVf+logaN②logo討=logqM—logqN(3)log?AT=n\ogaM(neR)

換底公式：@logab=^^~(a>0,且分1,c>0,且今1,Z?>0),

選用換底公式時，一般選用e或10作為底數(shù)。

1n

②換底公式的三個重要結(jié)論：log/=加牙logflmZ?"=-log?Z>；logabJogM>log/=k>gad.

知識點(diǎn)2塞函數(shù)及其性質(zhì)

1、累函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)y=K叫做嘉函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

(1)幕函數(shù)的特征：犬的系數(shù)是1；Y的底數(shù)x是自變量；犬的指數(shù)a為常數(shù).

只有滿足這三個條件，才是幕函數(shù).對于形如y=(2x)%>=及，y=K+6等的函數(shù)都不是幕函數(shù).

(2)塞函數(shù)的圖象：同一坐標(biāo)系中，累函數(shù)y=x,y—x*1,*y—x3,y—x^1,y=%5的圖象(如圖).

2、幕函數(shù)的性質(zhì)

(1)所有的幕函數(shù)在(0,+oo)上都有定義，并且圖象都過點(diǎn)(1,1);

(2)如果a>0,那么幕函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在區(qū)間［0,+oo)上單調(diào)遞增;

(3)如果a<0,那么幕函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向于原點(diǎn)時,

圖象在y軸右方無限接近y軸，當(dāng)x從原點(diǎn)趨向于+oo時，圖象在無軸上方無限接近x軸;

(4)在(1,+oo)上，隨幕指數(shù)的逐漸增大，圖象越來越靠近y軸.

2、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=ax1+bx+c(a<0)

圖象(拋物線)

定義域

Aac-lr4〃。一廿

值域

十°°4〃

b

對稱軸

x~~2a

頂點(diǎn)坐標(biāo)

奇偶性當(dāng)?=()時是偶函數(shù)，當(dāng)時是非奇非偶函數(shù)

在(一8,S上是減函數(shù)；在(一8,一用上是增函數(shù);

單調(diào)性

在［一方，+°°)上是增函數(shù)在［-9，+(?)上是減函數(shù)

知識點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)、=屋(。>。且。21)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)尤是自變量，定義域是

R,a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù).

2、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>\0<QV1

x

L?/y=aXy=a4

圖象

y=i

OXo\r

在無軸的上方，過定點(diǎn)（0,1）

圖像特征

當(dāng)X逐漸增大時，圖象逐漸上升當(dāng)X逐漸增大時，圖象逐漸下降

定義域R

值域(0,+oo)

單調(diào)性在R上是增函數(shù)在R上是減函數(shù)

奇偶性非奇非偶函數(shù)

性質(zhì)

當(dāng)xvO時，Ovy<l；當(dāng)xvO時，y>l；

范圍

當(dāng)x>0時，y>l；當(dāng)x>0時，0<yvl；

3、指數(shù)函數(shù)的常用技巧

（1）當(dāng)?shù)讛?shù)大小不定時，必須分“?！?”和兩種情況討論；

（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)（1）>="；（2）y=bx-,（3）y=F；（4）y=d'的圖象,

底數(shù)a,dc,d與1的之間的大小關(guān)系為c>d>l>a>b；

規(guī)律：在y軸右（左）側(cè)圖象越高（低），其底數(shù)越大。

⑶指數(shù)函數(shù)丁=優(yōu)與尸化］的圖象關(guān)于y軸對稱。

知識點(diǎn)4對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、對數(shù)函數(shù)的概念

（1）定義：函數(shù)y=log“x（。>0,且awl）叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，定義域為（0,+8）.

（2）特殊的對數(shù)函數(shù)

①常用對數(shù)函數(shù)：以10為底的對數(shù)函數(shù)y=lgx.

②自然對數(shù)函數(shù)：以無理數(shù)e為底的對數(shù)函數(shù)y=lnx.

2、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

圖象d>10<?<1

y:4t

y產(chǎn)t

N.,。）一

產(chǎn)

。布,0)%

尸log.

定義域：(0,+oo)

值域：R

當(dāng)x=l時，y=0,即過定點(diǎn)(1,0)

性質(zhì)

當(dāng)0<xVl時，y<0；當(dāng)0<xVl時，y>0；

當(dāng)x>\時，y>0當(dāng)x>l時，y<0

在(0,+oo)上為增函數(shù)在(0,+oo)上為減函數(shù)

3、對數(shù)函數(shù)圖象的常用結(jié)論

(1)函數(shù)y=logax與y=logy的圖象x軸對稱；

a

(2)對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的關(guān)系

如圖，作直線y=l,則該直線與四個函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù),Y尸log產(chǎn)

—r=i

故OVcVdVIVaVb.

-y=log%

由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大.y=log/

知識點(diǎn)5函數(shù)零點(diǎn)與二分法

1、函數(shù)零點(diǎn)的定義

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)y=/U)(xe。)，把使式x)=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=Kx)(xe。)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實數(shù)解的關(guān)系

方程兀0=0有實數(shù)根=函數(shù)y=/(尤)的圖象與無軸有交點(diǎn)Q函數(shù)>=八尤)有零點(diǎn).

【注意】函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù)y=/(x)的圖象與無軸的交點(diǎn)，而是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個點(diǎn)，而是一個數(shù).

2、函數(shù)零點(diǎn)存在定理

(1)定理：如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間m，切上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有以①火力<0,

那么，函數(shù)尤)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在cd(a,b),使得/(c)=0,

這個c也就是方程應(yīng)x)=0的根.

(2)兩個重要推論

推論1：函數(shù)”可在區(qū)間［a,可上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，/(a)-/(Z?)<0,且/(九)具有單調(diào)性，

則函數(shù)〃尤)在區(qū)間(a力)內(nèi)只有一個零點(diǎn).

推論2：函數(shù)〃可在區(qū)間［a,句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)/(x)在區(qū)間(a力)內(nèi)有零點(diǎn)，且函

數(shù)/(尤)具有單調(diào)性，則/'(a)"㈤<0

3、二分法

(1)二分法的定義：對于在區(qū)間團(tuán)，切上連續(xù)不斷且八。求6)<0的函數(shù)y=Kx),通過不斷地把函數(shù)八尤)的零

點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

(2)給定精確度￡,用二分法求函數(shù)y=/(x)零點(diǎn)4的近似值的步驟

①確定零點(diǎn)％的初始區(qū)間可，驗證/(a)?/(/?)<0

②求區(qū)間(a,b)的中點(diǎn)c

③計算/(c),進(jìn)一步確定零點(diǎn)所在的區(qū)間：

若/(c)=°(此時X()=c),則C就是函數(shù)的零點(diǎn)；

若/(a)"(c)<0(此時/e(a,c)),則令Z?=c；

若/(c)/⑹<0(此時/G(G〃)),則令a=c.

④判斷是否達(dá)到精確度￡：若,―4<￡,則得到零點(diǎn)近似值a(或6)；否則重復(fù)(2)~(4)

【注意】初始區(qū)間的確定要包含函數(shù)的變號零點(diǎn)；

X里點(diǎn)突破?塞分?必拓

重難點(diǎn)01指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

1、形如y=/(優(yōu))(a>0,且awl)的函數(shù)求值域

換元法：令優(yōu)=/,將求原函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求/⑺的值域，但要注意“新元的范圍

2、形如y=(a>0,且awl)的函數(shù)求值域

換元法：令〃=/(%),先求出〃=/(%)的值域，再利用y=a〃的單調(diào)性求出y=/3的值域。

【典例1】(2024?貴州?模擬預(yù)測)已知函數(shù)/(元)=23+2叫則/⑴的最大值是.

【典例2](23-24高三上?福建福州?期中)函數(shù)>的值域為_______.

e+2

【典例3](23-24高三上?湖北?期中)已知/■(耳=優(yōu)+|-2,工是定義域為R的奇函數(shù).

(1)函數(shù)8(力=渝+。-2，―2/(引，xe[0,2],求g(x)的最小值.

(2)是否存在幾>0,使得/(2x)V4〃x)對龍目-2,-日恒成立，若存在，求力的取值范圍；若不存在，說

明理由.

重難點(diǎn)02對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

1、形如y=/(log〃x)(。>0,且awl)的函數(shù)求值域

換元法：令log.x=/,先求出log。x=/的值域，再利用y=的單調(diào)性，再求出y=的值域。

2、形如y=loga/(x)(a>0,且awl)的函數(shù)的值域

換元法：令〃=/(力，先求出〃=/(*的值域，再利用y=log“〃的單調(diào)性，求出y=log"/(x)的值

域。

【典例1](23-24高三上?四川廣安?月考)已知函數(shù)〃x)=log3(-/+2x+3),則/⑶的值域是.

【典例2](23-24高三上?江蘇常州?月考)已知函數(shù)〃x)=l+log3X，xe[L9],則函數(shù)y="⑺了+/(/)的

值域為.

重難點(diǎn)03嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題

處理復(fù)合函數(shù)y=/[g(x)]的零點(diǎn)問題的方法：

①確定內(nèi)層函數(shù)"=g(x)和外層函數(shù)y=/(〃)；

②確定外層函數(shù)y=/(〃)的零點(diǎn)“=%(7=1,2,3,)；

③確定直線M=%(，=1,2,3,與內(nèi)層函數(shù)"=g(x)圖象的交點(diǎn)個數(shù)分別為%、的、的、…、&,則

函數(shù)y=/[g(x)]的零點(diǎn)個數(shù)為囚+/+/+…+a”.

【典例1】(2024?浙江金華三模)若函數(shù)〃x)=x+},則方程/[〃X)]=3的實數(shù)根個數(shù)為()

A.2B.3C.4D.5

/、[3x+l,x<0

【典例2](23-24高三上?江西上饒?月考)設(shè)函數(shù)〃x)=hog；[%>0，若關(guān)于x的函數(shù)

且(同=產(chǎn)(力-(。+1)〃力+1恰好有五個零點(diǎn).則實數(shù)〃的取值范圍是.

2x,x<0

【典例3](23-24高三下?重慶?月考)已知函數(shù)/(力=21n犬，g(x)=f+2x+l—2%%￡R,若關(guān)于工

-----,x>0

、x

的方程/(g(x))=%有6個解，則A的取值范圍為.

重難點(diǎn)04關(guān)于函數(shù)零點(diǎn)求和問題

利用函數(shù)零點(diǎn)位置的對稱性求和

（1）將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題；

（2）①如果兩個函數(shù)圖象都關(guān)于直線x對稱，那么這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于直線％對稱，則對

應(yīng)的兩零點(diǎn)之和為2a；

②如果兩個函數(shù)圖象都關(guān)于點(diǎn)（a,0）對稱，那么這兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)3,0）對稱，則對應(yīng)的兩零

點(diǎn)之和為2a.

【典例1］（23-24高三上.河北邢臺?月考）已知定義域為R的函數(shù)滿足〃2+x）=-〃-x）,且曲線

y=/（x）與曲線y=-一二有且只有兩個交點(diǎn)，則函數(shù)8仃卜”到+工的零點(diǎn)之和是（）

X-1X~1

A.2B.-2C.4D.-4

【典例2】（2024?福建泉州?模擬預(yù)測）己知函數(shù)=//等）g（x）滿足g（l+3x）+g（3—3x）=0,

G（x）=/（x-2）_g（x）,若G（x）恰有2〃+l（〃eN*）個零點(diǎn)，則這2”+1個零點(diǎn)之和為（）

A.2nB.2n+lC.4nD.4n+2

法技巧?逆蔡學(xué)霸

一、指對塞與對數(shù)式運(yùn)算

1、指數(shù)幕運(yùn)算的一般原則

（1）指數(shù)幕的運(yùn)算首先將根式統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)指數(shù)幕，以便利用法則計算；

（2）先乘除后加減，負(fù)指數(shù)基化成正指數(shù)哥的倒數(shù)；

（3）底數(shù)為負(fù)數(shù)，先確定符號；底數(shù)為小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)；

（4）運(yùn)算結(jié)果不能同時包含根號和分?jǐn)?shù)指數(shù)，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)。

2、對數(shù)混合運(yùn)算的一般原則

VI

（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)幕形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式log,“AT=-log。匕化簡合并；

am

（2）利用換底公式將不同底的對數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對數(shù)式；

（3）將同底對數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對數(shù)真數(shù)的積、商、募；

（4）如果對數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個對數(shù)相加減的形式，然后

進(jìn)行化簡合并；

（5）對數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對數(shù)相減的形式。

3、對數(shù)運(yùn)算中的幾個運(yùn)算技巧

（I）Ig2+lg5=l的應(yīng)用技巧：在對數(shù)運(yùn)算中如果出現(xiàn)lg2和lg5,則一般利用提公因式、平方差公式、

完全平方公式等使之出現(xiàn)1g2+1g5,再應(yīng)用公式1g2+1g5=1進(jìn)行化簡；

（2）log"力log6a=1的應(yīng)用技巧：對數(shù)運(yùn)算過程中如果出現(xiàn)兩個對數(shù)相乘且兩個對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置

顛倒，則可用公式log，logf=1化簡;

（3）指對互化的轉(zhuǎn)化技巧：對于將指數(shù)恒等式優(yōu)=步=1作為已知條件，求函數(shù)/（x,y,z）的值的問題，

通常設(shè)優(yōu)=夕=1=左（左〉0）,貝Ux=k）gaA,y=log^k,z=logck,將x,y,z值帶入函數(shù)/（x,y,z）

求解。

【典例1】（23-24高三上?山東荷澤?月考）化簡求值：

（1）27-3+伍-1）°—（3后）一應(yīng)

（2）lgV5+lgV20+lg^-lg25

【典例2】（23-24高三上?河南信陽?月考）計算下列各式的值:

(2)log7^+^-lg0.7+ln\/e-IgT7.

二、塞函數(shù)的圖象與性質(zhì)

對于幕函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個區(qū)域，即x=l,y=l,l所分區(qū)域.

根據(jù)a<0,0<a<l,a=l,a>l的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定.

【典例1】（2024?山東日照.二模）已知塞函數(shù)圖象過點(diǎn)（2,4）,則函數(shù)的解析式為（）

x2

A.y=2B.y=xC.y=log2xD.y=siwc

【典例2］（23-24高三上?廣東佛山?月考）當(dāng)無JO,—）時，幕函數(shù)>=（序一2.-2）/”3為單調(diào)遞減函數(shù)，

貝|］加=.

【典例3］（23-24高三上?遼寧大連?期中）已知事函數(shù)=V的圖象過點(diǎn)弓目，且/（a-l）<〃8-2a）,

則a的取值范圍是

三、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

指數(shù)函數(shù)的圖象需要注意以下幾個特征：

（1）指數(shù)函數(shù)的圖象所過的關(guān)鍵點(diǎn)為（1,a）,（0,1）,

a

（2）函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)位置；

（3）函數(shù)的定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性。

【典例1】（2024?貴州畢節(jié)?三模）己知函數(shù)/（尤）=《』是奇函數(shù)，若/（2023）＞/（2024）,則實數(shù)。的值為

e+〃

（）

A.1B.-1C.±1D.0

【典例2］（23-24高三上?山西晉中?月考）在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=/+ax+a-1與y=a'的圖象可能

是（）

【典例3米23-24高三上?福建莆田?月考）函數(shù)y=ax~r+2（。＞0且ax1）的圖象恒過定點(diǎn)化力），若加+a=6-左

91

且機(jī)＞0,〃＞0,則—I—的最小值為（）

mn

95

A.9B.8C.-D.-

22

]\(x-a)(x+2)

【典例4］（23-24高三下?江西鷹潭?月考）若函數(shù)/（%）=3J在區(qū)間（-1,2）上單調(diào)遞增，則。的取值

范圍是（）

A.[0,6]B.[-2,0]C.[6,+co)D.(-oo,0]

四、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

對數(shù)函數(shù)圖象的識別及應(yīng)用方法

（1）在識別函數(shù)圖象時，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)（與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、

最低點(diǎn)等）排除不符合要求的選項；

（2）一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解.

【典例1］（23-24高一上?全國?課后作業(yè)）對數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)（16,2）,則對數(shù)函數(shù)的解析式為.

【典例2］（23-24高三上?四川綿陽?月考）若/（x）=ln［l+—［］為奇函數(shù)，則6=.

【典例3X23-24高三上?廣東東莞?月考）（多選）對數(shù)函數(shù)》=108〃%（。＞0且。工1）與二次函數(shù)丫=（。-1）--工

在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象不可能是（）

【典例4］（23-24高三下?陜西西安.月考）已知函數(shù)〃?=1嗚，+公+2）在（-1,+8）單調(diào)遞增，貝心的取

值范圍是.

五、指對塞比較大小的常見方法

1、單調(diào)性法：當(dāng)兩個數(shù)都是指數(shù)基或?qū)?shù)式時，可將其看成某個指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)或募函數(shù)的函數(shù)值，

然后利用該函數(shù)的單調(diào)性比較；

2、作差法、作商法：

（1）一般情況下，作差或者作商，可處理底數(shù)不一樣的對數(shù)比大小；

（2）作差或作商的難點(diǎn)在于后續(xù)變形處理，注意此處的常見技巧與方法；

3、中間值法或1/0比較法：比較多個數(shù)的大小時，先利用作為分界點(diǎn)，然后再各部分內(nèi)再利用函數(shù)

的性質(zhì)比較大??；

4、估值法：（1）估算要比較大小的兩個值所在的大致區(qū)間；

（2）可以對區(qū)間使用二分法（或利用指對轉(zhuǎn)化）尋找合適的中間值；

5、構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性比較：

構(gòu)造函數(shù)，觀察總結(jié)“同構(gòu)”規(guī)律，很多時候三個數(shù)比較大小，可能某一個數(shù)會被可以的隱藏了“同構(gòu)”規(guī)律,

所以可能優(yōu)先從結(jié)構(gòu)最接近的的兩個數(shù)規(guī)律

（1）對于抽象函數(shù)，可以借助中心對稱、軸對稱、周期等性質(zhì)來“去除f（）外衣”比較大??；

（2）有解析式函數(shù)，可以通過函數(shù)性質(zhì)或者求導(dǎo)等，尋找函數(shù)的單調(diào)性、對稱性，比較大小。

6、放縮法：

Cl）對數(shù)，利用單調(diào)性，放縮底數(shù)，或者放縮真數(shù)；

（2）指數(shù)和尋函數(shù)結(jié)合來放縮；

（3）利用均值不等式的不等關(guān)系進(jìn)行放縮；

（4）“數(shù)值逼近”是指一些無從下手的數(shù)據(jù)，如果分析會發(fā)現(xiàn)非常接近某些整數(shù)（主要是整數(shù)多一些），那么

可以用該“整數(shù)”為變量，構(gòu)造四舍五入函數(shù)關(guān)系。

【典例1］（23-24高三上?天津武清?月考）已知“=0.6%b=0.505,c=0.例6.則（）

A.a>c>bB.c>a>bC.a>b>cD.b>c>a

【典例2】（2024?山東濰坊?二模）已知a=eT,b=lga,c=e°,則（）

A.b<a<cB.b<c<aC.a<b<cD.c<b<a

【典例3】（2024?山東聊城.三模）設(shè)。=log49,6=log25,c=3i°g34,則0,6,c的大小關(guān)系為（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>b>cD.c>b>a

【典例4］（23-24高三上.河南?月考）已知正數(shù)之"滿足

"1=2+log,a,孚?=3+log3b,竺4=4+log/,則下列不等式成立的是（）

a-1b—\c-1

A.c<b<aB.a<b<cC.a<c<bD.c<a<b

六、函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷方法

1、直接法：直接求零點(diǎn)，令/（無）=0,如果能求出解，則有幾個不同的解就有幾個零點(diǎn).

2、定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間［a,可上是連續(xù)不斷的曲線，且/'（a）?7?0）<0,

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)（如單調(diào)性、奇偶性）才能確定函數(shù)有多少個零點(diǎn).

3、圖象法：

（1）單個函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的個數(shù)就

是函數(shù)“X）的零點(diǎn)個數(shù)；

（2）兩個函數(shù)圖象：將函數(shù)“X）拆成兩個函數(shù)久（力和g（無）的差，根據(jù)/'（xLOoMxLga）,則

函數(shù)/（%）的零點(diǎn)個數(shù)就是函數(shù)y=〃（月和y=g⑺的圖象的交點(diǎn)個數(shù)

4、性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個數(shù)不難得到；

若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個周期內(nèi)的零點(diǎn)的個數(shù)

【典例1］（23-24高三上.廣東深圳.月考）函數(shù)/（x）=cosx-sin2x,XC［0,2TI］的零點(diǎn)個數(shù)為.

【典例2］（23-24高三上?廣東中山?月考）函數(shù)y=lg|X-sinx的零點(diǎn)個數(shù)為一

【典例3】(2024?河南?二模)已知函數(shù)/(X)是偶函數(shù)，對任意xeR,均有/(x)=〃x+2),當(dāng)xe[0,l]時,

/(x)=1-x,則函數(shù)g⑺="X)-logs(x+1)的零點(diǎn)有個.

七、已知零點(diǎn)個數(shù)求參數(shù)范圍的方法

1、直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；

2、數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危押瘮?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問題轉(zhuǎn)化為兩個熟

悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；

3、分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解.

2x+1-l,x<0

【典例1](23-24高三上?山東濟(jì)南?月考)已知函數(shù)f(x)=，若函數(shù)g(x)=f(x)-。有3個零點(diǎn),

lg-,x>0

X

則實數(shù)a的取值范圍為—.

【典例2】(23-24高三上.廣東惠州.月考)設(shè)函數(shù)若函數(shù)恰有3個零點(diǎn)，

則實數(shù)加的取值范圍為()

A.B.(-1,2]C.[2,+oo)D.[-1,2)

x|x-l|-l,x>0,

【典例3】(2023.天津河北.一模)函數(shù)/(%)=1八，若函數(shù)ga)=〃l-%)-5+l(aw0)恰有兩

-----,%<0,

j—1

個不同的零點(diǎn)，則實數(shù)a的取值范圍為.

參考答案與試題解析

專題04指對幕函數(shù)及函數(shù)與方程

(思維構(gòu)建+知識盤點(diǎn)+重點(diǎn)突破+方法技巧)

維構(gòu)建?耀蓿琳紿

根式的定義與性質(zhì)）

分?jǐn)?shù)指數(shù)嘉的表示）

型01指螃與對擊式化茴求直

L（^O知識點(diǎn)一指數(shù)嘉與對數(shù)）一指數(shù)導(dǎo)的運(yùn)算性氤）凝02整體代謝去求分嘴指教基

京。三三三二三爰二亙?nèi)?基

整04解喙方程與對數(shù)方程

?郎（與對數(shù)運(yùn)算

運(yùn)算法J

夠函數(shù)的特征

-募函數(shù)的定義T；：整01易"的解沖判斷與求解

------------------------------------------J事"的一型02毫趣咤次再值域

o知識點(diǎn)二嘉函數(shù)事函觸千型03號翻［過定點(diǎn)訶題

型04鬲強(qiáng)的圖象問題