2025年高考數(shù)學一輪知識點復習：余弦定理、正弦定理應用舉例-專項訓練【含解析】

余弦定理、正弦定理應用舉例-專項訓練（原卷版）

【基礎落實練】

1.如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的

雷雨云層，從A點起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成12。角的方向飛行，飛行

到中途。點，再沿與原來的飛行方向AB成18。角的方向繼續(xù)飛行到終點B這樣飛

機的飛行路程比原來的路程500km大約多了（sin12°~0.21,sin18°~0.31）（）

C

12°500km

A.10kmB.20kmC.30kmD.40km

【加練備選】

一船以每小時15或km的速度向東行駛，船在A處看到一燈塔5在北偏東

60。,行駛4小時后，船到達。處，看到這個燈塔在北偏東15。,這時船與燈塔的距離

為（）

A.60kmB.60V2km

C.30V2kmD.30km

2.《墨經(jīng)?經(jīng)說下》中有這樣一段記載:“光之人,煦若射.下者之人也高，高者之人也

下.足蔽下光,故成景于上;首蔽上光，故成景于下.在遠近有端，與于光，故景庫內(nèi)也

這對小孔成像有了第一次的描述.如圖為一次小孔成像實驗，已知物距..像距=6/

1,04=05=12,cosNAO夕=||,則像高為（）

3.寶塔山是延安的標志也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老

百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為夕:3（坡度比即坡面的垂直

高度和水平寬度的比）,在山坡A處測得NC4Z）=15。,從A處沿山坡往上前進66m

到達B處,在山坡B處測得NC5D=30。廁寶塔CD的高為（）

A.44mB.42mC.48mD.46m

4.如圖是國家博物館.欲測量博物館正門柱樓頂部一點P離地面的高度0尸（點0

在柱樓底部），現(xiàn)從地面上的兩點A,B測得點P的仰角分別為30。,45。,且N

ABO=60°AB=6042m,貝UOP=（）

A.40mB.30m

C.30V2mD.30V3m

5.（多選題）如圖5A,5兩點在河的同側(cè)，且A,5兩點均不可到達,要測出A,B的距離,

測量者可以在河岸邊選定兩點CQ,若測得CD=fkm,ZADB=ZCDB=30°,Z

48=60。,NACB=45。,則下列計算結(jié)果正確的有（）

A.AC=——kmB.BC=—km

C.ZDBC=45°D.AB=—km

4

6.（多選題）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。,距離12V6nmile;在A處看

燈塔。在貨輪北偏西30。,距離8V3nmile.貨輪由A處向正北航行到。處時，再看

燈塔B在南偏東60。,則下列說法正確的是（）

A.A處與D處之間的距離是24nmile

B.燈塔C與D處之間的距離是16nmile

C.燈塔。在。處的西偏南60°

D.Z）在燈塔5的北偏西30°

7.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行,30

分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,

在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65。,則B,C兩點間的距離是海里.

8.甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在其北偏東60。方向上的B處，乙船正在以anmile/h的速

度向北行駛，已知甲船的速度是舊。nmile/h,則甲船應沿著方向前進，

才能最快與乙船相遇.

9.為了測出圖中草坪邊緣A,B兩點間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個點C與

D（A,B,C,D四點共面），測得4C=L6m,CD=2m,BD=1.8m,已知cosZBDC=--,tan

4

ZACD=3V7.

（l）^CAACD的面積；

（2）求A,B兩點間的距離.

【能力提升練】

10.（多選題）如圖，某校測繪興趣小組為測量干廝門大橋橋墩底部到頂端的高度

A民選取與點B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D（B,C,D不在同一直線上），畫一條基

線，測得8=s,測繪興趣小組利用經(jīng)緯儀可測得的角有:ZACB,ZACD,ZBCD,Z

4。氏/人。。,/5。。,則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出AB的高度的是

A.s,ZACB,ZBCD,ZBDC

B.s,ZACB,ZBCD,ZACD

C.s,ZACB,ZACD,ZADC

D.s,ZACB,ZBCD,ZADC

【加練備選】

小李在某大學測繪專業(yè)學習，節(jié)日回家,來到村頭的一個池塘（如圖中陰影部

分所示）,為了測量該池塘兩側(cè)C,D兩點間的距離，除了觀測點C,D外，他又選了兩

個觀測點尸1,尸2,且尸1尸2=。,已經(jīng)測得兩個角NP/2D=a,N尸2P四由于條件不足

需要再觀測新的角,則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就

可以求出間距離的是（）

PiA

①尸C和NDCP;②NRP2C和NBCP2；③NPQC和NOCP.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.源口潮口③

11.如圖，據(jù)氣象部門預報,在距離某碼頭南偏東45。方向600kmA處的熱帶風暴中

心正以20km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到

影響，則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為（）

北

碼頭

45、。''：、、

\!

4壬

熱帶血累中心

A.14hB.15hC.16hD.17h

12.某高一學習小組為測出一綠化區(qū)域的面積,進行了一些測量工作，最后將此綠

化區(qū)域近似地看成如圖所示的四邊形，測得的數(shù)據(jù)如圖所示,A5=2km,BC=lkm,

/班。=45。,/5=60。,/5。。=105。,則該綠化區(qū)域的面積是km2.

13.如圖，曲柄連桿結(jié)構中，曲柄CB繞。點旋轉(zhuǎn)時，通過連桿A5的傳遞，活塞做直線

往復運動.當曲柄在CBo位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在Ao處.設

連桿AB長200mm,曲柄CB長70mm,則曲柄自按順時針方向旋轉(zhuǎn)53.2。時,

活塞移動的距離（即連桿的端點A移動的距離AoA）約為mm.（結(jié)果保留整

數(shù)X參考數(shù)據(jù):sin53.2^0.8）

14.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45。方向，相距12n

mile的水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75。方向前

進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45。+&方向攔截藍方的小艇.

若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角a的正弦值.

15.某人在塔的正東沿著南偏西60。的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿

途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0。,求塔高.

【創(chuàng)新思維練】

16.圭表是我國古代一種通過測量正午日影長度來推定節(jié)氣的天文儀器，它包括

一根直立的標桿（稱為“表”）和一把呈南北方向水平固定擺放的與標桿垂直的長

尺（稱為“圭”）.當正午太陽照射在表上時，日影便會投影在圭面上，圭面上日影長度

最長的那一天定為冬至，日影長度最短的那一天定為夏至.如圖是一個根據(jù)某市

的地理位置設計的圭表的示意圖，已知該市冬至正午太陽高度角（即NA5。約為

32.5。,夏至正午太陽高度角很口NAZ）。約為79.5。,圭面上冬至線與夏至線之間的

距離（即DB的長）為14米,則表高（即AC的長）約為（）

A.9.27米B.9.33米C.9.45米D.9.51米

余弦定理、正弦定理應用舉例-專項訓練(解析版)

【基礎落實練】

1.如圖，一架飛機從A地飛往B地，兩地相距500km.飛行員為了避開某一區(qū)域的

雷雨云層，從A點起飛以后，就沿與原來的飛行方向AB成12。角的方向飛行，飛行

到中途。點，再沿與原來的飛行方向AB成18。角的方向繼續(xù)飛行到終點B這樣飛

機的飛行路程比原來的路程500km大約多了(sin12°~0.21,sin18°~0.31)()

A.10kmB.20kmC.30kmD.40km

【解析】選B.在"5。中，由A=12。方=18。,得。=150。,由正弦定理得

500__4C

sinl50。-sinl2。-sinl8。'

所以孚u反，所以AC-310km,5a210km,所以AC+BC-AB^2Qkm.

—0.210.31

2

【加練備選】

一船以每小時15夜km的速度向東行駛，船在A處看到一燈塔5在北偏東

60。,行駛4小時后，船到達。處，看到這個燈塔在北偏東15。,這時船與燈塔的距離

為()

A.60kmB.60V2km

C.30V2kmD.30km

【解析】選A.畫出圖形如圖所示，在△人呂。中,/胡。=30。2。=4*15魚=60近，

N5=45。,由正弦定理得

sinBsmZ.BAC

2.《墨經(jīng)?經(jīng)說下》中有這樣一段記載:“光之人,煦若射.下者之人也高，高者之人也

下.足蔽下光,故成景于上;首蔽上光，故成景于下.在遠近有端，與于光，故景庫內(nèi)也

這對小孔成像有了第一次的描述.如圖為一次小孔成像實驗，已知物距..像距=6/

l,OA=O5=12,cosN4O￡=||,則像高為()

被成

B像物

像的一被成的高

高度一度度

4

on

A.lB.-C.—D.上

222

【解析】選B.由cosN4M=|j,

貝Ucos/AO5=||,又04=05=12,貝UAB2=OA2+OB2-2OA-OBX||=81,BPAB=9,

又物距.'像距=6；1,即AB，=；xAB=；，即像局］為

3.寶塔山是延安的標志也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老

百姓的心中具有重要地位.如圖，寶塔山的坡度比為V7:3（坡度比即坡面的垂直

高度和水平寬度的比）,在山坡A處測得NCAZ）=15。,從A處沿山坡往上前進66m

到達B處,在山坡B處測得NC5D=30。廁寶塔CD的高為（）

A.44mB.42mC.48mD.46m

【解析】選A.由題可知/04。=15。,/。&)=30。,則/4。5=15。,所以5。=45=66,

設坡角為。，則由題可得tan。=4,則可求得cos。喙在△58中,/夙)。=。+三，

由正弦定理可得』

sin30°sin(0+-)

即孚=白=票，解得8=44,2

—cost/—

24

故寶塔CD的高為44m.

4.如圖是國家博物館.欲測量博物館正門柱樓頂部一點P離地面的高度。尸(點0

在柱樓底部)，現(xiàn)從地面上的兩點A,B測得點P的仰角分別為30。,45。，且/

ABO=60°,AB=6042m,貝U0P=()

BA

A.40mB.30m

C.30V2mD.30V3m

【解析】選C.設0尸=力,由題意知,NOAP=3(r,NO5尸=45。.

在RtAAOP中,。4二渭『哥，

11a1,U

在RtABOP^,OB=OP=h.

在△A50中油余弦定理得4。2=542+052-2540氏0560°,

即/Z2+30V2/Z-3600=0,

解得/z=30V2(m).

5.（多選題）如圖,A,5兩點在河的同側(cè)，且A,B兩點均不可到達,要測出A,B的距離,

測量者可以在河岸邊選定兩點CQ,若測得CD=與km,ZADB=ZCDB=30°,Z

ACD=60。,/AC5=45。廁下歹U計算結(jié)果正確的有（）

A____B

A.AC=—kmB.BC=一km

4

C.ZDBC=45°D.AB=—km

【解析】選CD.在ZLBCD中,

由正弦定理得~—sinZBDC=—^~sin30。=一（km）.

smZ-DBCsin4504

在△AC。中，因為ZADC=ZADB+ZCDB=60°,ZACD=6Q°,

所以ND4C=60。,所以4。=。。=產(chǎn)km,

在及鉆。中，由余弦定理得:A戌UAC2+^CDAGBCCOS45。=三+三-2x亞x漁x立二.所

482428

以km.

4

6.（多選題）某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75。,距離12-\/6nmile;在A處看

燈塔C在貨輪北偏西30。,距離8V3nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時，再看

燈塔B在南偏東60。,則下列說法正確的是（）

A.A處與D處之間的距離是24nmile

B.燈塔C與D處之間的距離是16nmile

C.燈塔。在Z）處的西偏南60°

D.Q在燈塔5的北偏西30°

【解析】選AC.由題意可知/人。5=60。,/91。=75。,/。1。=30。,所以

fi=180°-60o-75o=45°4fi=12V6,AC=8V3,

北

在及鉆。中，由正弦定理得禺=一^啟所以AD=—9^=24(11mile),故A正確；

sinBs\nz.ADBV3

2

在△AC。中,由余弦定理得

CD=^AC2+AD2-2AC-ADcos^CAD,

即CD=J(8V3)2+242-2x8gx24xy=8V3(nmile),故B錯誤；

因為CO=AC,所以NCD4=NCAO=30。,所以燈塔。在。處的西偏南60。,故C正

確；

由NAQ5=60。,。在燈塔B的北偏西60。處，故D錯誤.

7.一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40。的方向直線航行,30

分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°,

在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65。,則反。兩點間的距離是海里.

【解析】如圖所示,易知，

在△A5C^AB=2Q,ZCAB=3Q°,ZACB=45°,^ABC中，根據(jù)正弦定理得

BC

二而，解得叱=1°夜(海里)?

sin30°

答案：10近

8.甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在其北偏東60。方向上的B處，乙船正在以anmile/h的速

度向北行駛，已知甲船的速度是舊。nmile/h,則甲船應沿著方向前進,

才能最快與乙船相遇.

【解析】如圖所示,設經(jīng)過th兩船在。點相遇.

北

DfC

A

在及鉆。中,5。=。?。=逐西5=180°-60°=120°.

BCAC/日./BCsinBatsinl2001

由------二^得SHI/CAB=-----=-——=-.

sm^CABsmBACyF/3at2

因為0。</。45<60。,所以NCAB=30。，

所以/。4。=60。-30。=30。,即甲船應沿北偏東30。的方向前進，才能最快與乙船相

遇.

答案:北偏東30°

9.為了測出圖中草坪邊緣A,B兩點間的距離，找到草坪邊緣的另外兩個點C與

D（A,B,C,D四點共面），測得AC=1.6m,CD=2m,50=1.8m,已知cosZfiDC=--,tan

4

ZACD=3V7.

⑴求△AC。的面積；

⑵求A,B兩點間的距離.

【解析】⑴如圖所示，因為tanNACZ）=3V7,可得sinZACD=^-,

O

B

D

A

C

所以S^ACD=lACCDsinZACD=

(2)因為tanNACD=3V7,所以cosNAC。',所以加》=1.62+22-2x1.6x2x^=5.76,則

88

AD=2A,

AD2+CD2-AC23

因為cosZADC=

2ADCD4’

所以sinNA。。邛，

4

又cos/KDC=-土所以NAZ)5=U,所以AB=y/AD2+BD2=V2.42+1.82=3(m).

42

【能力提升練】

10.（多選題）如圖，某校測繪興趣小組為測量千廝門大橋橋墩底部到頂端的高度

A民選取與點B在同一水平面內(nèi)的兩點C與D（B,C,D不在同一直線上），畫一條基

線，測得8=s,測繪興趣小組利用經(jīng)緯儀可測得的角有:ZACB,ZACD,ZBCD,Z

A。民NAOCN5DC，則根據(jù)下列各組中的測量數(shù)據(jù)可計算出AB的高度的是

()

A.s,ZACB,ZBCD,ZBDC

B.s,ZACB,ZBCD,ZACD

C.s,ZACB,ZACD,ZADC

D.s,ZACB,ZBCD,ZADC

【解析】選ACD.A:根據(jù)由正弦定理求5C,再結(jié)合NAC5可求

AB的高度，正確；

B:在△AC0A5C。中都已知一邊一角，不能求出其他角或邊,無法求A5的高度，錯

誤；

C:根據(jù)s,NACRNA。。,由正弦定理求AC,再結(jié)合N4C5可求AB的高度，正確；

D:如圖，過B作連接A區(qū)由于cosZACB=—,cosZBCD=—,

ACBC

cr

cos/ACE=—,

AC

所以35/人。石=（：05/4。8（：05/5。。,所以由/4。尻/5。?？汕驨ACO,結(jié)合N

ADC由正弦定理求AC,再由ZACB可求A5的高度，正確.

【加練備選】

小李在某大學測繪專業(yè)學習，節(jié)日回家,來到村頭的一個池塘（如圖中陰影部

分所示）,為了測量該池塘兩側(cè)C,D兩點間的距離，除了觀測點C,D外，他又選了兩

個觀測點尸1,尸2,且尸1尸2=。,已經(jīng)測得兩個角/尸1尸山=氏/尸2尸1八=四由于條件不足

需要再觀測新的角,則利用已知觀測數(shù)據(jù)和下面三組新觀測的角的其中一組，就

可以求出間距離的是（）

①NDP1C和NDCP;②NP1尸2。和NPCP；③NP1。。和NQCR.

A.①和②B.①和③

C.②和③D.源口潮口③

【解析】選D.根據(jù)題意,APP?。的三個角和三條邊，由正弦定理均可以求出，

加故。。乙產(chǎn)兇：￡尸，故何以求出8梏0件等價②

smZ.DPrCsinzDCPisinDCP1

中，在△P1P2C中.K故PC=竺嚶等，在△PC。中,利用余弦定理

乙

smz.P1CP2sinP1P2csinzP1CP2

求解CD即可.

11.如圖，據(jù)氣象部門預報,在距離某碼頭南偏東45。方向600kmA處的熱帶風暴中

心正以20km/h的速度向正北方向移動，距風暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到

影響，則該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為()

北

碼頭

、'、、''[8

A；、S

熱帶應嘉中心

A.14hB.15hC.16hD.17h

【解析】選B.th后熱帶風暴中心到達點B位置，在△0A5中。A=600km,AB=20t

km,NOA5=45。,由余弦定理得OB2=6002+400^-2x20?x600OS2<4502,gP

4人120岳+1575S0,解得沙產(chǎn)裝迎產(chǎn)

所以該碼頭將受到熱帶風暴影響的時間為管竺-等竺=15(h).

12.某高一學習小組為測出一綠化區(qū)域的面積,進行了一些測量工作，最后將此綠

化區(qū)域近似地看成如圖所示的四邊形，測得的數(shù)據(jù)如圖所示25=2km,BC=lkm,

/胡。=45。,/5=60。,/5。。=105。,則該綠化區(qū)域的面積是km2.

C

D

1km

45。60°

42kmB

【解析】如圖，連接4C由余弦定理可知AC=7AB2+BC2-2ABBC-COSB=

V3(km),i^ZACB=90o,ZCAB=30o,ZDAC=ZDCA=15o,ZADC=150°.

由正弦定理彳導，即AD=ACxsinZ.DCA

sinZ-ADCsinZ-DCAsinZ-ADC

Z^7^1O5°\1km

60*

A2kmB

故S四邊形ABCD=SAA8C+SAADC=:義］xg+：X(3f逐)2義：=.(km2).

答案:

13.如圖，曲柄連桿結(jié)構中，曲柄CB繞。點旋轉(zhuǎn)時，通過連桿A5的傳遞，活塞做直線

往復運動.當曲柄在CBo位置時，曲柄和連桿成一條直線，連桿的端點A在Ao處.設

連桿AB長200mm,曲柄CB長70mm,則曲柄自C5o按順時針方向旋轉(zhuǎn)53.2。時,

活塞移動的距離（即連桿的端點A移動的距離AoA）約為mm.（結(jié)果保留整

數(shù)X參考數(shù)據(jù):sin53.2°~0.8）

嬴2c

【解析】在△4呂。中,45=200,50=70,NAC5=53.2。,sinNAC^W，由正弦定理彳導sin

N5AC=BCsi：丁CB=/因為A5〉5C,所以NAC5AN5AC,故N5AC為銳角，所以cos

ADZD

ZBAC^

所以sin/A5C=sin(/AC5+N5AoWx|^+|x(=%，所以

AC=竺畫吆竺耍200xUZY=234.故44=(4)氏+為045200+70)-234=36(111111).

sinZ-ACB1254

所以曲柄自。瓦按順時針方向旋轉(zhuǎn)53.2。時活塞移動的距離約為36mm.

答案：36

14.在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45。方向，相距12n

mile的水面上,有藍方一艘小艇正以每小時10nmile的速度沿南偏東75。方向前

進，若紅方偵察艇以每小時14nmile的速度，沿北偏東45。+a方向攔截藍方的小艇.

若要在最短的時間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角a的正弦值.

【解析】如圖,設紅方偵察艇經(jīng)過％小時后在。處追上藍方的小艇,

A

貝UAC=14x,BC=lQx,ZABC=nQ°.

根據(jù)余弦定理得(14x)2=122+(lOx)2-

240xcos120。,解得x=2.

故AC=28,5C=20.

根據(jù)正弦定理得旦=3；

sinasml20°

20sinl20°5V3

所以sina=---------------

2814,

所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角?的正弦值為警.

15.某人在塔的正東沿著南偏西60。的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿

途測得塔頂?shù)淖畲笱鼋菫?0。,求塔高.

【解題指南】依題意畫圖,某人在C處,A5為塔高，他沿CD前進,8=40米，此時

NQ5尸=45。,從。到D沿途測塔的仰角，只有B到測試點的距離最短時，仰角才最

大，這是因為tanNAEB=喘,A5為定值方E最小時，仰角最大，要求出塔高A民必須先

BE

求5E,而求3瓦需先求5。（或BQ.

【解析】如圖所示,某人在。處,AB為塔高，他沿8前進,8=40,此時N05尸=45。,

過點B作BELCD于E,貝U/AE5=30。.在中,。。=40,/5。。=30。,/

DBC=135°.

由正弦定理彳導CDBD

smZ-DBCsmZ-BCD

所以BD=40sin30°=20V2.

sinl35°

ZfiDE=180o-135°-30o=15°.

在RtABED^,BE=DBsin15