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學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得,業(yè)必貴于專(zhuān)精互動(dòng)課堂疏導(dǎo)引導(dǎo)1.兩角和與差的正弦公式sin(α—β)=cos(-α+β)=cos[(-α)+β]=cos(-α)cosβ—sin(—α)sinβ=sinαcosβ—cosαsinβ,即sin(α-β)=sinαcosβ—cosαsinβ.在上式中,以—β代β可得sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ。2.正確理解和差角的正弦公式(1)公式對(duì)于任意的角α、β都成立。(2)搞清sin(α±β)的意義,例如sin(α+β)是兩角α與β的和的正弦,它表示角α+β終邊上任意一點(diǎn)的縱坐標(biāo)與原點(diǎn)到這點(diǎn)的距離之比,在一般情況下,sin(α+β)≠sinα+sinβ,如α=,β=時(shí),sin(+)=sin=1,sin+sin=+=≠1,∴sin(+)≠sin+sin.只有在某些特殊情況下,sin(α+β)=sinα+sinβ.例如,當(dāng)α=0,β=時(shí),sin(0+)=sin=,sin0+sin=0+=,sin(0+)=sin0+sin。在學(xué)習(xí)時(shí)一定要注意:不能把sin(α+β)按分配律展開(kāi).(3)牢記公式并能熟練左、右兩邊互化.例如化簡(jiǎn)sin20°cos50°—sin70°cos40°,能觀察出此式等于sin(20°-50°)=—sin30°=-.(4)靈活運(yùn)用和(差)角公式,例如化簡(jiǎn)sin(α+β)cosβ-cos(α+β)sinβ,不要將sin(α+β),cos(α+β)展開(kāi),而應(yīng)就整個(gè)式子,直接運(yùn)用公式sin[(α+β)—β]=sinα,這也是公式的逆用。3。有關(guān)點(diǎn)(向量)的一組旋轉(zhuǎn)公式已知點(diǎn)P(x,y),與原點(diǎn)距離保持不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角到點(diǎn)P′(x′,y′),則公式推導(dǎo)如下:如下圖所示:設(shè)∠x(chóng)OP=α,則cosα=,sinα=?!鄕′=rcos(α+θ)=r(cosαcosθ—sinαsinθ)=xcosθ-ysinθ,y′=rsin(α+θ)=r(sinαcosθ+cosαsinθ)=xsinθ+ycosθ。即4.形如asinx+bcosx(a,b不同時(shí)為零)的三角函數(shù)式可化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)式。記住以下重要結(jié)論:asinx+bcosx=sin(x+θ)其中sinθ=,cosθ=,推導(dǎo)如下:考察以(a,b)為坐標(biāo)的點(diǎn)P(a,b),設(shè)以O(shè)P為終邊的一個(gè)角為θ,則cosθ=,sinθ=。于是asinx+bcosx=(sinx+cosx)=a2+b2(cosθsinx+sinθcosx)=sin(x+-θ)。其中sinθ=,cosθ=.活學(xué)巧用【例1】化簡(jiǎn)下列各式(1)cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)cos(55°—3α);(2)sin(x+)+2sin(x—)-cos(-x);(3).解析:(1)原式=cos(80°+3α)cos(35°+3α)+sin(80°+3α)sin(35°+3α)=cos[(80°+3α)—(35°+3α)]=cos45°=。(2)原式=sin(x+)+2sin(x—)-cos[π—(x+)]=[sin(x+)+cos(x+)]+2sin(x-)=2[sin(x+)·+cos(x+)·]+2sin(x—)=2[sin(x+)cos+cos(x+)sin]+2sin(x—)=2sin[(x+)+]+2sin(x-)=2sin(x+π)+2sin(x—)=2sin[π—(—x)]+2sin(x-)=2sin(-x)+2sin(x—)=0。(3)原式===tan(α—β).【例2】已知cos(α+β)=,cos2α=—,α、β均為鈍角,求sin(α-β).∵α、β∈(90°,180°),∴α+β,2α∈(180°,360°).∵cos(α+β)=—<0,cos2α=—<0?!唳?β,2α∈(180°,270°).∴sin(α+β)=,sin2α=。∴sin(α—β)=sin[2α-(α+β)]=sin2αcos(α+β)-cos2α·sin(α+β)=(—)×(—)-(—)()=.【例3】已知向量=(3,4),繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)30°到的位置,求點(diǎn)P′(x′,y′)的坐標(biāo)。解析:x′=xcosθ-ysinθ=3cos30°—4sin30°=3×-4×,y′=xsinθ+ycosθ=3sin30°+4cos30°=3×∴P′的坐標(biāo)(,).【例4】將下列各式化成Asin(x+φ)的形式.(1)sinx+cosx;(2)(sinx—cosx);(3)sin(-x)+cos(-x)。解析:(1)sinx+cosx=(sinx·+cosx·)=(sinxcos+cosxsin)=2sin(x+).(2)(sinx-cosx)=·(sinx·-cosx·)=2(sinxcos-cosxsin)=2sin(x-
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