數(shù)學(xué)-課堂探究：直接證明與間接證明（第課時(shí)）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課堂探究探究一綜合法的應(yīng)用綜合法是中學(xué)數(shù)學(xué)證明中常用的一種方法，它是一種從已知到未知(從題設(shè)到結(jié)論)的邏輯推理方法，即從題設(shè)中的已知條件或已證的真實(shí)判斷(命題）出發(fā)，經(jīng)過一系列的中間推理，最后導(dǎo)出所要求證的命題結(jié)論的真實(shí)性．簡(jiǎn)言之，綜合法是一種由因索果的證明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法．【典型例題1】已知a,b，c是正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證:eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a）－1）)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b）－1))eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1,c）－1))≥8.思路分析:利用“1”的代換進(jìn)行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式證明．證明：∵a,b,c為正數(shù),a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)－1＝eq\f(1－a,a）＝eq\f（b＋c，a）≥eq\f(2\r（bc），a）＞0，eq\f(1，b)－1＝eq\f（1－b,b)＝eq\f(a＋c，b)≥eq\f(2\r（ac)，b)＞0,eq\f(1,c）－1＝eq\f（1－c，c）＝eq\f(a＋b,c）≥eq\f（2\r（ab),c）＞0,以上三式對(duì)應(yīng)相乘得eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，a)－1）)·eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1,b）－1））·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，c)－1）)≥8×eq\f(\r(bc)，a）×eq\f(\r（ac),b）×eq\f(\r（ab）,c）＝8.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)．∴原不等式成立．反思綜合法證明不等式所依賴的主要是不等式的基本性質(zhì)和已知的重要不等式，其中常用的有如下幾個(gè)：①a2≥0（a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有a2＋b2≥2ab,eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(a＋b,2）））2≥ab，a2＋b2≥eq\f（(a＋b)2,2).③若a，b∈（0，＋∞），則eq\f(a＋b,2）≥eq\r（ab)，特別是eq\f(b,a）＋eq\f（a,b)≥2.【典型例題2】如圖，在四棱錐P－ABCD中,PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD,∠ABC＝60°,PA＝AB＝BC,E是PC的中點(diǎn)．(1）證明:CD⊥AE；(2）證明:PD⊥平面ABE。思路分析：解答本題可先明確線線、線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理,再用定理進(jìn)行證明．證明：（1)在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A,∴CD⊥平面PAC．又∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE.（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中點(diǎn),∴AE⊥PC．由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又∵PD?平面PCD,∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．又AB⊥AD,平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE。探究二分析法的應(yīng)用分析法是一種從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的證明方法，即先假設(shè)所要證明命題的結(jié)論是正確的，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的判斷，而當(dāng)這個(gè)判斷恰恰都是已證的命題（定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí),命題得證(應(yīng)強(qiáng)調(diào)的一點(diǎn),它不是由命題的結(jié)論去證明前提條件）．因此，分析法是一種執(zhí)果索因的證明方法，也是數(shù)學(xué)證明常用的手段．【典型例題3】已知a＞6，求證：eq\r（a－3)－eq\r（a－4）＜eq\r（a－5)－eq\r（a－6）。思路分析:從待證不等式不易發(fā)現(xiàn)證明的出發(fā)點(diǎn)，因此我們直接從待證不等式出發(fā)，分析其成立的充分條件．證明：要證eq\r（a－3)－eq\r(a－4）＜eq\r(a－5）－eq\r（a－6），只需證eq\r（a－3)＋eq\r（a－6）＜eq\r（a－5）＋eq\r(a－4)（eq\r(a－3）＋eq\r（a－6)）2＜(eq\r(a－5)＋eq\r(a－4)）22a－9＋2eq\r（(a－3)（a－6)）＜2a－9＋2eq\r（（a－5）(a－4）)eq\r（(a－3)(a－6))＜eq\r（（a－5)（a－4)）（a－3)（a－6）＜(a－5）(a－4)18＜20，因?yàn)?8＜20顯然成立，所以原不等式eq\r(a－3）－eq\r（a－4)＜eq\r(a－5）－eq\r（a－6）成立．探究三綜合法和分析法的綜合應(yīng)用分析法與綜合法是兩種思路相反的推理方法,分析法是倒溯,綜合法是順推．因此常將二者交互使用，互補(bǔ)優(yōu)缺點(diǎn)，從而形成分析綜合法，其證明模式可用框圖表示如下：→→…→←…←←其中P表示已知條件、定義、定理、公理等，Q表示要證明的結(jié)論．【典型例題4】若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lgeq\f(a＋b，2)＋lgeq\f(b＋c,2)＋lgeq\f（c＋a,2）＞lga＋lgb＋lgc.思路分析：本題先利用分析法將對(duì)數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為一般不等式，再用綜合法證明不等式成立，兩種方法同時(shí)使用，可使問題迅速解決．證明：要證lgeq\f（a＋b,2）＋lgeq\f(b＋c,2）＋lgeq\f(c＋a,2）＞lga＋lgb＋lgc，只需證lgeq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)·\f（b＋c，2)·\f(c＋a,2)）)＞lg(a·b·c)，即證eq\f(a＋b，2）·eq\f（b＋c，2)·eq\f（c＋a,2）＞abc.因?yàn)閍，b，c為不全相等的正數(shù),所以eq\f(a＋b，2)≥eq\r（ab)＞0，eq\f(b＋c，2）≥eq\r（bc）＞0，eq\f(c＋a,2)≥eq\r(ac）＞0，且上述三式中等號(hào)不能同時(shí)成立，所以eq\f（a＋b,2）·eq\f(b＋c,2）·eq\f(c＋a，2)＞abc成立,所以lgeq\f(a＋b,2）＋lgeq\f(b＋c,2）＋lgeq\f（c＋a，2)＞lga＋lgb＋lgc成立．反思對(duì)于比較復(fù)雜的證明題，常用分析綜合法，即先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件之間的關(guān)系，找到解決問題的思路,再運(yùn)用綜合法證明，或在證明過程中將兩種方法交叉使用．探究四易錯(cuò)辨析易錯(cuò)點(diǎn)：分析法與綜合法相混淆而導(dǎo)致出錯(cuò)【典型例題5】求證：eq\r（2)＋eq\r(10)＜2eq\r（6)。錯(cuò)解：eq\r(2）＋eq\r（10)＜2eq\r(6），并且eq\r（2）＋eq\r（10)和2eq\r（6）都是正數(shù)，所以（eq\r（2)＋eq\r（10)）2＜(2eq\r（6））2，即12＋4eq\r（5)＜24，eq\r（5)＜3,所以5＜9.因?yàn)?＜9成立，所以不等式eq\r（2)＋eq\r(10)＜2eq\r(6)成立．錯(cuò)因分析：本題步驟出現(xiàn)錯(cuò)誤,把eq\r(2）＋eq\r（10）＜2eq\r（6)看成了條件去推，不符合分析法的步驟．正解:因?yàn)閑q\r(2)＋eq\r（10）和2eq\r(6