專題12與一元一次不等式(組)有關(guān)的新定義型問題(原卷版+解析)

七年級數(shù)學(xué)下冊解法技巧思維培優(yōu)專題12與一元一次不等式(組)有關(guān)的定義新運(yùn)算問題【典例1】（2019?漢陽區(qū)期末）記R（x）表示正數(shù)x四舍五入后的結(jié)果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，（1）R（π）＝，R（3）＝；（2）若R（12x﹣1）＝3，則x的取值范圍是（3）R（R(x+2)2）＝4，則x的取值范圍是【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)果．【典例2】（2019?昌圖縣模擬）對于三個數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個數(shù)的中位數(shù)，用max{a，b，c}表示這三個數(shù)中最大的數(shù)．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}=a(a≥?1)若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，則x的取值范圍為．【點(diǎn)撥】由max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}得5?3x≤32x?6≤3【典例3】（2019?金牛區(qū)校級月考）對x，y定義一個新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若關(guān)于m的不等式組T(2m，5?4m)≤4T(m3?2m)＞P【點(diǎn)撥】根據(jù)已知得出關(guān)于a、b的方程組，求出a、b的值，代入求出不等式組的每個不等式的解集，根據(jù)已知即可得出p的范圍．【典例4】（2019?西湖區(qū)校級月考）定義：對于實(shí)數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范圍是．（2）如果[y+12]=4，滿足條件的所有正整數(shù)y有【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)得出即可；（2）根據(jù)已知得出不等式組，求出不等式組的解集，再得出答案即可．【典例5】（2019?岳麓區(qū)校級期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2關(guān)聯(lián)方程是（2）若不等式組x?12＜11+x＞?3x+2（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m【點(diǎn)撥】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）解不等式組求得其整數(shù)解，根據(jù)關(guān)聯(lián)方程的定義寫出一個解為1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式組的解集，即可得出答案．鞏固練習(xí)1．（2019?大石橋市期末）對于非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為[x]，即當(dāng)m為非負(fù)整數(shù)時，若m?12≤x＜m+12，則[x]＝m，如：[6.4]＝6，[6.5]＝7，……根據(jù)以上材料，若[5x2．（2019?大興區(qū)期末）對于有理數(shù)m，我們規(guī)定[m]表示不大于m的最大整數(shù)，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，則整數(shù)x的取值是3．（2019?丹陽市期末）對x、y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）=ax+byx+2y（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，側(cè)如：T（1，0）=a×1+b×01+2×0=a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若關(guān)于m的不等式組T(2m，5?m)＜24．（2019?雁塔區(qū)校級期中）若x為實(shí)數(shù)，則[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[2.8]＝﹣3等[x]+1是大于x的最小整數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x都滿足不等式[x]≤x≤[x]+1．根據(jù)以上所述，則滿足[x]＝2x﹣1的所有x的和為．5．（2019?西湖區(qū)校級月考）定義：對于實(shí)數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范圍是．（2）如果[y+12]=4，滿足條件的所有正整數(shù)y6．（2019?岳麓區(qū)校級期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2關(guān)聯(lián)方程是（2）若不等式組x?12（寫出一個即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m7．（2019?玉州區(qū)期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①x﹣（3x+1）＝﹣5；②2x3+1＝0；③3x﹣1＝0中，不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2（2）若不等式組x?2＜11+x＞?x+2的某個關(guān)聯(lián)方程的根是整數(shù)，則這個關(guān)聯(lián)方程可以是（3）若方程12?12x=12x，3+x＝2（x+1七年級數(shù)學(xué)下冊解法技巧思維培優(yōu)專題12與一元一次不等式(組)有關(guān)的定義新運(yùn)算問題【典例1】（2019?漢陽區(qū)期末）記R（x）表示正數(shù)x四舍五入后的結(jié)果，例如R（2.7）＝3，R（7.11）＝7，R（9）＝9，（1）R（π）＝3，R（3）＝2；（2）若R（12x﹣1）＝3，則x的取值范圍是7≤x＜9（3）R（R(x+2)2）＝4，則x的取值范圍是4.5≤x＜6.5【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)題意即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論；（3）根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)果．【解析】解：（1）R（π）＝3，R（3）＝2，故答案為：3，2；（2）∵R（12x∴2.5≤12解得：7≤x＜9，故答案為：7≤x＜9；（3）∵R（R(x+2)2∴3.5≤R(x+2)∴7≤R（x+2）＜9，∴R（x+2）＝7或R（x+2）＝8，∴6.5≤x+2＜8.5，∴4.5≤x＜6.5，故答案為：4.5≤x＜6.5．【典例2】（2019?昌圖縣模擬）對于三個數(shù)a，b，c，用M{a，b，c}表示這三個數(shù)的中位數(shù)，用max{a，b，c}表示這三個數(shù)中最大的數(shù)．例如：M{﹣2，﹣1，0}＝﹣1；max{﹣2，﹣1，0}＝0，max{﹣2，﹣1，a}=a(a≥?1)若max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}，則x的取值范圍為23≤x≤【點(diǎn)撥】由max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}得5?3x≤32x?6≤3【解析】解：∵max{3，5﹣3x，2x﹣6}＝M{1，5，3}＝3，∴5?3x≤32x?6≤3∴23≤x故答案為23≤x【典例3】（2019?金牛區(qū)校級月考）對x，y定義一個新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）=ax+by2x+y（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，例如：T（0，1）=a×0+b×12×0+1=b，已知T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，若關(guān)于m的不等式組T(2m，5?4m)≤4T(m3?2m)＞P恰好有5個整數(shù)解，則實(shí)數(shù)P的取值范圍【點(diǎn)撥】根據(jù)已知得出關(guān)于a、b的方程組，求出a、b的值，代入求出不等式組的每個不等式的解集，根據(jù)已知即可得出p的范圍．【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣2，T（4，2）＝1，∴a?b2+(?1)=?2，解得：a＝1，b＝3，T（2m，5﹣4m）=2m+3(5?4m)4m+5?4m≤4，解得T（m，3﹣2m）=m+3(3?2m)2m+3?2m＞P，解得∵關(guān)于m的不等式組T(2m，5?4m)≤4T(m3?2m)＞P∴4＜9?3p∴?163≤∴實(shí)數(shù)P的取值范圍是?163≤故答案為：?163≤【典例4】（2019?西湖區(qū)校級月考）定義：對于實(shí)數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范圍是﹣4≤a＜﹣3．（2）如果[y+12]=4，滿足條件的所有正整數(shù)y【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)得出即可；（2）根據(jù)已知得出不等式組，求出不等式組的解集，再得出答案即可．【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，∴﹣4≤a＜﹣3，故答案為：﹣4≤a＜﹣3；（2）∵[y+1∴4≤y+1解得：7≤y＜9，∴所有正整數(shù)y有7，8，故答案為：7，8．【典例5】（2019?岳麓區(qū)校級期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2關(guān)聯(lián)方程是③（2）若不等式組x?12＜11+x＞?3x+2（寫出一個即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m【點(diǎn)撥】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）解不等式組求得其整數(shù)解，根據(jù)關(guān)聯(lián)方程的定義寫出一個解為1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式組的解集，即可得出答案．【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=1②解方程23x+1＝0得：x=?③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2得：34＜所以不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2的關(guān)聯(lián)方程是③故答案為：③；（2）解不等式x?12＜解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，則不等式組的解集為0.25＜x＜1.5，∴其整數(shù)解為1，則該不等式組的關(guān)聯(lián)方程為2x﹣2＝0．故答案為：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3+x＝2（x+12）得解不等式組x＜2x?mx?2≤m得m＜x≤m∵方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是關(guān)于x的不等式組∴1≤m＜2．鞏固練習(xí)1．（2019?大石橋市期末）對于非負(fù)實(shí)數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為[x]，即當(dāng)m為非負(fù)整數(shù)時，若m?12≤x＜m+12，則[x]＝m，如：[6.4]＝6，[6.5]＝7，……根據(jù)以上材料，若[5x+3]＝5，則x【點(diǎn)撥】根據(jù)“四舍五入”到個位的定義，根據(jù)不等式組即可解決問題．【解析】解：由題意：5?12≤5x解得0.3≤x＜0.5，故答案為0.3≤x＜0.5．2．（2019?大興區(qū)期末）對于有理數(shù)m，我們規(guī)定[m]表示不大于m的最大整數(shù)，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[﹣2.5]＝﹣3，若[x+23]＝﹣5，則整數(shù)x的取值是﹣17，﹣16，﹣15【點(diǎn)撥】根據(jù)題意得出﹣5≤x+23＜?【解析】解：∵[m]表示不大于m的最大整數(shù)，∴﹣5≤x+2解得：﹣17≤x＜﹣14，∴整數(shù)x為﹣17，﹣16，﹣15，故答案為﹣17，﹣16，﹣15．3．（2019?丹陽市期末）對x、y定義一種新運(yùn)算T，規(guī)定：T（x，y）=ax+byx+2y（其中a、b均為非零常數(shù)），這里等式右邊是通常的四則運(yùn)算，側(cè)如：T（1，0）=a×1+b×01+2×0=a．已知T（1，﹣1）＝1，T（5，﹣2）＝4，若關(guān)于m的不等式組T(2m，5?m)＜2T(4m，1?2m)≥1【點(diǎn)撥】已知兩對值代入T中計算求出a與b的值，然后根據(jù)題中新定義化簡已知不等式，根據(jù)不等式組恰好有3個整數(shù)解，求出p的范圍即可．【解析】解：∵T（1，﹣1）＝﹣1，T（5，﹣2）＝4，∴a?b1?2=1，解得：a＝2，b＝3，∵T(2m，5?m)＜2T(4m，1?2m)≥∴m+1510∴m＜5m≥∵有3個整數(shù)解，∴1＜p?3∴5＜p≤7，故答案為5＜p≤7．4．（2019?雁塔區(qū)校級期中）若x為實(shí)數(shù)，則[x]表示不大于x的最大整數(shù)，例如：[1.6]＝1，[π]＝3，[2.8]＝﹣3等[x]+1是大于x的最小整數(shù)，對任意的實(shí)數(shù)x都滿足不等式[x]≤x≤[x]+1．根據(jù)以上所述，則滿足[x]＝2x﹣1的所有x的和為1.5．【點(diǎn)撥】根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的不等式，從而可以求得x的取值范圍，本題得以解決．【解析】解：∵對任意的實(shí)數(shù)x都滿足不等式[x]≤x＜[x]+1，[x]＝2x﹣1，∴2x﹣1≤x＜2x﹣1+1，解得，0＜x≤1，∵2x﹣1是整數(shù)，∴x＝0.5或x＝1，∴0.5+1＝1.5故答案為：1.5．5．（2019?西湖區(qū)校級月考）定義：對于實(shí)數(shù)a，符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)，例如：[5.8]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4．（1）如果[a]＝﹣3，那么a的取值范圍是﹣4≤a＜﹣3．（2）如果[y+12]=4，滿足條件的所有正整數(shù)y【點(diǎn)撥】（1）根據(jù)已知符號[a]表示不大于a的最大整數(shù)得出即可；（2）根據(jù)已知得出不等式組，求出不等式組的解集，再得出答案即可．【解析】解：（1）∵[a]＝﹣3，∴﹣4≤a＜﹣3，故答案為：﹣4≤a＜﹣3；（2）∵[y+1∴4≤y+1解得：7≤y＜9，∴所有正整數(shù)y有7，8，故答案為：7，8．6．（2019?岳麓區(qū)校級期末）如果一元一次方程的根是一元一次不等式組的解，則稱該一元一次方程為該不等式組的關(guān)聯(lián)方程．（1）在方程①3x﹣1＝0；②23x+1＝0；③x﹣（3x+1）＝﹣5中，不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2關(guān)聯(lián)方程是③（2）若不等式組x?12＜11+x＞?3x+2（寫出一個即可）．（3）若方程9﹣x＝2x，3+x＝2（x+12）都是關(guān)于x的不等式組x＜2x?mx?2≤m【點(diǎn)撥】（1）先求出方程的解和不等式組的解集，再判斷即可；（2）解不等式組求得其整數(shù)解，根據(jù)關(guān)聯(lián)方程的定義寫出一個解為1的方程即可；（3）先求出方程的解和不等式組的解集，即可得出答案．【解析】解：（1）①解方程3x﹣1＝0得：x=1②解方程23x+1＝0得：x=?③解方程x﹣（3x+1）＝﹣5得：x＝2，解不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2得：34＜所以不等式組?x+2＞x?53x?1＞?x+2的關(guān)聯(lián)方程是③故答案為：③；（2）解不等式x?12＜解不等式1+x＞﹣3x+2得：x＞0.25，則不等式組的解集為0.25＜x＜1.5，∴其整數(shù)解為1，則該不等式組的關(guān)聯(lián)方程為2x﹣2＝0．故答案為：2x﹣2＝0．（3）解方程9﹣x＝2x得x＝3，解方程3