專題05對角互補模型(原卷版+解析)

專題05對角互補模型基本模型：例題精講例1．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是BC的中點，F(xiàn)D⊥ED．(1)如圖1，若點E在線段AB上，點F在線段AC上，求證BE＝AF；(2)如圖2，若點E在線段AB的延長線上，點F在線段CA的延長線上．請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．例2．已知：如圖，在等邊△ABC中，點O是BC的中點，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點D，與AC相交于點E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點D在AB的延長線上，點E在線段AC上，如圖2，直接寫出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．例3．在七年級下冊“證明”的一章的學習中，我們曾做過如下的實驗：畫∠AOB＝90°，并畫∠AOB的平分線OC．把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點E、F．(1)若PE⊥OA，PF⊥OB（如圖①），PE與PF相等嗎？請說明理由；(2)把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)（如圖②），PE與PF相等嗎？請說明理由；(3)探究：畫∠AOB＝50°，并畫∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，作∠EPF＝130°．∠EPF的兩邊分別與OA、OB相交于E、F兩點（如圖③），PE與PF相等嗎？請說明理由．課后訓練1．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，把∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F．（1）當DF⊥AC時，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由2．如圖，點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．(1)求點P的坐標．(2)當∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．3．一位同學拿了兩塊三角尺，做了一個探究活動：將的直角頂點放在的斜邊的中點處，設(shè).（1）如圖1所示，兩三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______，周長為______.（2）將如圖1所示中的繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示，此時重疊部分的面積為______，周長為______.（3）如果將繞旋轉(zhuǎn)到不同于如圖1所示和如圖2所示的圖形，如圖3所示，請你猜想此時重疊部分的面積為______.4．如圖所示，為等邊三角形，邊長為4，點為邊中點，，其兩邊分別交和的延長線于，，求的值.專題05對角互補模型基本模型：例題精講例1．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是BC的中點，F(xiàn)D⊥ED．(1)如圖1，若點E在線段AB上，點F在線段AC上，求證BE＝AF；(2)如圖2，若點E在線段AB的延長線上，點F在線段CA的延長線上．請問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請加以證明；若不成立，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)成立，見解析【解析】(1)證明：連接AD．如圖1所示，∵，，點D是BC的中點，∴，，，∴，，∴為等腰直角三角形，，又∵，∴，∴，在和中，，∴．∴；(2)解：仍然成立．證明：連接AD，如圖2所示．同①得：，，，∴，在和中，，∴，∴．例2．已知：如圖，在等邊△ABC中，點O是BC的中點，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點D，與AC相交于點E．(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．(3)若點D在AB的延長線上，點E在線段AC上，如圖2，直接寫出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．【答案】(1)見解析；(2)；(3)【解析】(1)證明：取AB的中點F，連接OF．∵△ABC是等邊三角形，∴，∵點O與點F分別是BC與AB的中點，∴，∴△BOF是等邊三角形，∴，，∴，∴，∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴．(2)解：結(jié)論：．理由：∵，∴，∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴．故答案為：；(3)結(jié)論：．理由如圖2中，取的中點F，連接OF．同（1）中的方法可證是等邊三角形，，∴，∴，∵，∴例3．在七年級下冊“證明”的一章的學習中，我們曾做過如下的實驗：畫∠AOB＝90°，并畫∠AOB的平分線OC．把三角尺的直角頂點落在OC的任意一點P上，使三角尺的兩條直角邊分別與OA、OB相交于點E、F．(1)若PE⊥OA，PF⊥OB（如圖①），PE與PF相等嗎？請說明理由；(2)把三角尺繞點P旋轉(zhuǎn)（如圖②），PE與PF相等嗎？請說明理由；(3)探究：畫∠AOB＝50°，并畫∠AOB的平分線OC，在OC上任取一點P，作∠EPF＝130°．∠EPF的兩邊分別與OA、OB相交于E、F兩點（如圖③），PE與PF相等嗎？請說明理由．【答案】(1)相等，見解析；(2)PE＝PF，見解析；(3)PE＝PF，見解析【解析】(1)解：∵OC平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF；(2)解：PE＝PF，理由如下：當PE⊥OA時，如圖①，∵∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，∴∠POE＝∠POF＝45°，∵∠PEO＝∠EPF＝∠EOF＝90°，且∠PEO+∠EPF+∠EOF+∠PFO＝360°，∴∠PFO＝90°，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△PEO≌△PFO（AAS），∴PE＝PF；當PE與OA不垂直時，如圖②，作PM⊥OA于點M，PN⊥OB于點N，∵∠OMP＝∠ONP＝90°，∠POM＝∠PON＝45°，OP＝OP，∴△POM≌△PON（AAS），∴PM＝PN，∵∠OMP＝∠ONP＝∠MON＝90°，且∠OMP+∠ONP+∠MON+∠MPN＝360°，∴∠MPN＝90°，∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＝∠NPF＝90°﹣∠EPN，∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△PME≌△PNF（ASA），∴PE＝PF，綜上所述，PE＝PF．(3)解：PE＝PF，理由如下：如圖③，在OF上取一點G，使OG＝OE，連接PG，∵OC平分∠AOB，∴∠POG＝∠POE，∵OP＝OP，∴△POG≌△POE（SAS），∴∠OGP＝∠OEP，PG＝PE，∴∠PGF+∠OEP＝∠PGF+∠OGP＝180°，∴∠AOB＝50°，∠EPF＝130°，且∠AOB+∠EPF+∠PFG+∠OEP＝360°，∴∠PFG+∠OEP＝180°，∴∠PGF＝∠PFG，∴PG＝PF，∴PE＝PF．課后訓練1．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∠EDF=120°，把∠EDF繞點D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線段AB、AC交于點E、F．（1）當DF⊥AC時，求證：BE=CF；（2）在旋轉(zhuǎn)過程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由【答案】（1）證明見解析；（2）是，2.【詳解】（1）∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，點D是線段BC的中點，∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）（2）過點D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS），BM=CN，DM=DN．在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cos60°=BD=BC=2.2．如圖，點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．(1)求點P的坐標．(2)當∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．【答案】(1)P（2，2）；(2)①不變，定值為4；②OA2+OB2的最小值為8．【解析】(1)解：∵點P（3m-1，-2m+4）在第一象限的角平分線OC上，∴3m-1=-2m+4，∴m=1，∴P（2，2）；(2)①過點P作PM⊥y軸于M，PN⊥OA于N．∵∠PMO=∠PNO=∠MON=90°，∴四邊形OMPN是矩形，∵OP平分∠MON，PM⊥OM，PN⊥ON，∴PM=PN，∴四邊形OMPN是正方形，∵P（2，2），∴PM=PN=OM=ON=2，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠MPN=90°，∴∠MPB+∠BPN=∠BPN+∠NPA=90°，∴∠MPB=∠NPA，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA（ASA），∴BM=AN，∴OB+OA=OM-BM+ON+AN=2OM=4．②連接AB，∵∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2．∵∠BPA=90°，∴AB2=PA2+PB2=2PA2，∴OA2+OB2=2PA2，當PA最小時，OA2+OB2也最小．根據(jù)垂線段最短原理，PA最小值為2．∴OA2+OB2的最小值為8．3．一位同學拿了兩塊三角尺，做了一個探究活動：將的直角頂點放在的斜邊的中點處，設(shè).（1）如圖1所示，兩三角尺的重疊部分為，則重疊部分的面積為______，周長為______.（2）將如圖1所示中的繞頂點逆時針旋轉(zhuǎn)，得到如圖2所示，此時重疊部分的面積為______，周長為______.（3）如果將繞旋轉(zhuǎn)到不同于如圖1所示和如圖2所示的圖形，如圖3所示，請你猜想此時重疊部分的面積為______.【答案】（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【詳解】解：，，

，

是AB的中點，，

，，

重疊部分的面積是，

周長為：；故答案為4，；

重疊部分是正方形，邊長為，面積為，

周長為．故答案為4，8．

過點M分別作AC、BC的垂線MH、ME，垂足為H、E，

是斜邊AB的中點，，，，，

又，

，，，

在和中，，≌，

陰影部分的面積等于正方形CEMH的面積，

正方形CEMH的面積是；陰影部分的面積是4；故答案為4．

如圖所示，

過點M作于點E，于點H，

四邊形MECH是矩形，

，

，

，

，

，

在和中，，≌

，

，

，

，

．四邊形DMGC的周長為：

．4．如圖所示，為等邊三角形，邊長為4，點為邊中點，，其兩邊分別交和的延長線于，，求的值.【答案】6【詳解】過點O作OD∥AB交AC于點D，∴∠CDO=∠A=∠ACB=∠ABC=60°，∴∠DOC=60°，∠ADO=∠BOD=120°．∴△CDO是等邊三角形，∴DO=CO，∴DO=BO