專題3.2勾股定理的逆定理

《講亮點》20222023學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊教材同步配套講練《蘇科版》專題3.2勾股定理的逆定理【教學(xué)目標(biāo)】1、了解勾股定理的逆定理的證明方法和證明過程；2、掌握勾股定理的逆定理，并能判定一個三角形是否為直角三角形；3、會運用勾股定理的逆定理解決相關(guān)實際問題。【教學(xué)重難點】1、勾股定理的逆定理的證明和運用；2、勾股定理的逆定理的證明?！局R亮解】知識點：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一個三角形的三邊長分別為a，b，c，且a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形．勾股定理與其逆定理的區(qū)別與聯(lián)系：區(qū)別：勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為條件，進而得到這個三角形三邊的數(shù)量關(guān)系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊滿足a2+b2=c2”為條件，進而得出這個三角形是直角三角形，是識別一個三角形是直角三角形的重要依據(jù)。聯(lián)系：（1）兩者都與三角形三邊關(guān)系a2+b2=c2有關(guān)；（2）兩者都與直角三角形有關(guān)。2.勾股數(shù)：滿足關(guān)系a2+b2=c2的三個正整數(shù)a，b，c，稱為勾股數(shù)。常見的勾股數(shù)有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；亮題一：判斷直角三角形【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例1】★在以線段，，的長三邊的三角形中，不能構(gòu)成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【分析】知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．【答案】、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項符合題意；、設(shè)三角形三邊為，，，，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項不符合題意；故選：．【例2】★如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為（）A．直角三角形 B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上答案都不對【答案】選A【解析】先算出三邊長，看是否符合勾股定理即可。【例3】★在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c2，則（）A．∠A為直角 B．∠C為直角C．∠B為直角D．不是直角三角形【解析】∵（a+b）（a﹣b）=c2，∴a2﹣b2=c2，即c2+b2=a2，故此三角形是直角三角形，a為直角三角形的斜邊，∴∠A為直角．故選A．【例4】★★已知，如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2﹣EA2=AC2，①求證：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的長．（1）證明：連接CE，如圖，∵D是BC的中點，DE⊥BC，∴CE=BE…∵BE2﹣EA2=AC2，∴CE2﹣EA2=AC2，∴EA2+AC2=CE2，∴△ACE是直角三角形，即∠A=90°；（2）∵DE=3，BD=4，∴BE==5=CE，∴AC2=EC2﹣AE2=25﹣EA2，∵BC=2BD=8，∴在Rt△BAC中由勾股定理可得：BC2﹣BA2=64﹣（5+EA）2=AC2，∴64﹣（5+AE）2=25﹣EA2，解得AE=．【例5】★★如圖所示，在由單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB，CD，EF，GH四條線段,其中能構(gòu)成直角三角形三邊的線段是()A.CD，EF，GHB.AB，EF，GHC.AB，CD，GHD.AB，CD，EF【答案】B【分析】先運用勾股定理算出所涉及的各條邊長的平方，再運用勾股定理的逆定理判斷是否構(gòu)成直角三角形是解此題的一般方法【解析】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，所以AB2+EF2=GH2，故選B亮題二：勾股數(shù)相關(guān)問題【方法點撥】勾股數(shù)的求法：如果a為1個大于1的奇數(shù)，b，c是兩個連續(xù)的自然數(shù)，且有a2=b+c，則a,b,c為一組勾股數(shù)；如果a,b,c為一組勾股數(shù)，那么na，nb，nc也是一組勾股數(shù)，其中n為自然數(shù).【例1】★下列各組數(shù)據(jù)是勾股數(shù)的有組．（填寫數(shù)量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【分析】根據(jù)勾股數(shù)：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)進行計算可得答案．【答案】因為；，6，8，10，7，24，25都是正整數(shù)，勾股數(shù)有2組，故答案為2．【例2】★下列各組數(shù)中不是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10【解析】A、∵32+42=52，∴以3、4、5為邊能組成直角三角形，即3、4、5是勾股數(shù)，故本選項錯誤；B、∵42+52≠62，∴以4、5、6為邊不能組成直角三角形，即4、5、6不是勾股數(shù)，故本選項正確；C、∵52+122=132，∴以5、12、13為邊能組成直角三角形，即5、12、13是勾股數(shù)，故本選項錯誤；D、∵62+82=102，∴以6、8、10為邊能組成直角三角形，即6、8、10是勾股數(shù)，故本選項錯誤；故選B．【例3】★已知a=3，b=4，若a，b，c能組成直角三角形，則c=（）A．5 B． C．5或 D．5或6【解析】分兩種情況：當(dāng)c為斜邊時，c==5；當(dāng)長4的邊為斜邊時，c==（根據(jù)勾股定理列出算式）．故選C．【例4】★★我們把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三個稱為勾股數(shù)．現(xiàn)請你用計算器驗證下列各組的數(shù)是否勾股數(shù)．你能發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律嗎？請完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；_______，_______；…【解析】先用計算機驗證是勾股數(shù)；通過觀察得到：這組勾股數(shù)用n表示為：2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，11是第5組勾股數(shù)的第一個小數(shù)，所以其它2個數(shù)為：2×52+2×5=60，2×52+2×5+1=61，故答案為：60、61．【例5】★★我們把滿足方程x2+y2=z2的正整數(shù)的解（x、y、z）叫做勾股數(shù)，如，（3，4，5）就是一組勾股數(shù)．（1）請你再寫出兩組勾股數(shù)：（），（）；（2）在研究直角三角形的勾股數(shù)時，古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾指出：如果n表示大于1的整數(shù)，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z為三邊的三角形為直徑三角形（即x，y，z為勾股數(shù)），請你加以證明．【解析】（1）寫出兩組勾股數(shù)：（6，8，10），（9，12，15）．

（2）證明：x2+y2

=（2n）2+（n21）2

=4n2+n42n2+1

=n4+2n2+1

=（n2+1）2

=z2，

即x，y，z為勾股數(shù)．

故答案為：6，8，10；9，12，15．亮題三：勾股定理逆定理的應(yīng)用【方法點撥】如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.【例1】★★如圖，已知在四邊形中，，，，，．（1）連結(jié)，求的長；（2）求的度數(shù)；（3）求出四邊形的面積【分析】（1）連接，利用勾股定理解答即可；（2）利用勾股定理的逆定理解答即可；（3）根據(jù)三角形的面積公式解答即可．【答案】（1）連接，在中，，，，由勾股定理可得：；（2）在中，，，，；（3）由（2）知，，四邊形的面積，【點睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理，綜合運用勾股定理及其逆定理是解決問題的關(guān)鍵．【例2】★一艘輪船和一艘漁船同時沿各自的航向從港口O出發(fā)，如圖所示，輪船從港口O沿北偏西20°的方向行60海里到達點M處，同一時刻漁船已航行到與港口O相距80海里的點N處，若M、N兩點相距100海里，則∠NOF的度數(shù)為（）A．50° B．60° C．70° D．80°【解析】∵OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，∴OM2+ON2=MN2，∴∠MON=90°，∵∠EOM=20°，∴∠NOF=180°﹣20°﹣90°=70°，故選C．【例3】★★如圖，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，該圖形的面積等于_________．【解析】連接AC，在Rt△ACD中，AD=8，CD=6，∴AC===10，在△ABC中，∵AC2+BC2=102+242=262=AB2，∴△ABC為直角三角形；∴圖形面積為：S△ABC﹣S△ACD=×10×24﹣×6×8=96．故答案為：96．【例4】★★如圖所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE為AB邊上的高，DE=12cm，△ABE的面積S=60cm2．（1）求出AB邊的長；（2）你能求出∠C的度數(shù)嗎？請試一試．、【解析】（1）∵DE=12，S△ABE=DE?AB=60，∴AB=10；（2）∵AC=8，BC=6，62+82=102，∴AC2+BC2=AB2，由勾股定理逆定理得∠C=90°．【亮點訓(xùn)練】1．滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三內(nèi)角之比為 B．三邊長的平方之比為C．三邊長之比為 D．三邊長之比為【答案】D【分析】根據(jù)直角三角形的定義，勾股定理的逆定理一一判斷即可．【詳解】解：A、設(shè)三個內(nèi)角分別為x度，度，度，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，解得：，所以三個內(nèi)角分別為：，所以是直角三角形，故本選項不符合題意；B、因為，其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故本選項不符合題意；C、因為，其符合勾股定理的逆定理，所以是直角三角形，故本選項不符合題意；D、因為，其不符合勾股定理的逆定理，所以不是直角三角形，，故本選項符合題意．故選：D．【點睛】本題考查直角三角形的判定，勾股定理的逆定理等知識，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理，屬于中考?？碱}型．2．一個三角形三邊滿足，則這個三角形的形狀是（

）．A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】利用完全平方公式整理原等式，再利用勾股定理的逆定理即可作出判斷．【詳解】解：整理得：，即，∴這個三角形的形狀是直角三角形，故選：C．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，涉及完全平方公式、等式的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理的逆定理是解答的關(guān)鍵．3．工人師傅想利用木條制作一個直角三角形形狀的模具，那么下列各組數(shù)據(jù)不符合直角三角形的三邊長的是（

）A．30、40、50 B．8、15、17 C．12、35、37 D．13、16、18【答案】D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，只要驗證兩條短邊的平方和是否等于最長邊的平方即可．【詳解】A．∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；B．∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；C．∵，∴能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；D．∵，∴不能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確；故選D．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形就是直角三角形，最長邊所對的角為直角．4．如圖，在一塊四邊形ABCD空地種植草皮，測得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，則需要投資（

）A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．無法確定【答案】B【分析】直接利用勾股定理的逆定理得出∠ACD=90°，再利用直角三角形的性質(zhì)得出答案．【詳解】解：連接AC，∵∠B=90°，AB=3m，BC=4m，CD=12m，AD=13m，∴，∴AC=5m，∴，又∵，∴，∴∠ACD=90°，∴△ACD是直角三角形，∴四邊形ABCD的面積=（），∴要投入資金為：（元）；故選：B．【點睛】此題主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正確得出△ACD是直角三角形是解題關(guān)鍵．5．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，從中選出三根恰好可以圍成一個直角三角形，這個直角三角形的面積是（

）A．6 B．10 C．7.5 D．13.5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得到3cm，4cm，5cm三根小棒可以組成三角形，再根據(jù)勾股定理逆定理可知該三角形為直角三角形，即可求得答案；【詳解】解：∵9=4+5∴9cm的小棒不能組成三角形∵∴此三角形為直角三角形，兩直角邊分別為3cm和4cm∴故選A【點睛】本題考查了三角形的性質(zhì)，涉及了勾股定理的逆定理，掌握相關(guān)知識并熟練使用，同時注意解題中需注意的事項是本題的解題關(guān)鍵．6．在中，，，上的高長為，則的面積為______．【答案】或【分析】分情況討論，①當(dāng)是銳角三角形時，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，可求出的長，即可得的面積，②當(dāng)是鈍角三角形時，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，在中，根據(jù)勾股定理可得的長，可得的長，即可得的面積．【詳解】解：①當(dāng)是銳角三角形時，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴的面積為：，②當(dāng)是鈍角三角形時，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得，，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴的面積為：，綜上，的面積為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理，分情況討論．7．若三角形三邊滿足，且三角形周長為24cm，則這個三角形最長邊上的高為__．【答案】cm【分析】首先根據(jù)三邊比設(shè)三邊長分別為cm，cm，cm，再根據(jù)周長計算出邊長，然后利用勾股定理可證明三角形是直角三角形，再利用三角形的面積公式計算出最長邊上的高．【詳解】解：∵，∴設(shè)三邊長分別為：cm，cm，cm，∵周長為24cm，∴，解得：，∴三邊長分別為：cm，cm，cm，∵，∴三角形是直角三角形，設(shè)最長邊上的高是hcm，則h解得：h．故答案為：cm．【點睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，關(guān)鍵是利用方程思想正確計算出三邊長．8．如圖，點D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，則圖中陰影部分的面積為______．【答案】##【分析】根據(jù)勾股定理和，，，可以先求出的長，然后根據(jù)勾股定理的逆定理可以判斷的形狀，從而可以求出陰影部分的面積．【詳解】解：，，，，，，，是直角三角形，，陰影，故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理、勾股定理、三角形的面積，解題的關(guān)鍵是求出的長．9．如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，圖形的各個頂點均為格點，則_____．【答案】##度【分析】利用勾股定理的逆定理先證明再證明，進而得出答案．【詳解】解：如圖所示：連接由勾股定理可得：∴∴∴而∴

∴故答案為：．【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，勾股定理的逆定理的應(yīng)用，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，證明是解本題的關(guān)鍵.10．如圖，中，，，，為邊的中點，則______．【答案】【分析】由“”可證≌，可得，，可得，由勾股定理的逆定理可求為直角三角形，即可求解．【詳解】解：延長到使，連接，如圖所示：在和中，，≌，，，，在中，，為直角三角形，，故答案為：．【點睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定、勾股定理的逆定理的應(yīng)用，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．11．如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1，每個小格的頂點叫做格點，小明以格點為頂點畫出了．(1)小華看了看說，是直角三角形，你同意他的觀點嗎？說明理由．(2)在中，求邊上高的長．【答案】(1)我同意他的觀點，理由見解析(2)【分析】（1）由網(wǎng)格確定三邊長度，然后利用勾股定理逆定理即可證明；（2）利用三角形等面積法求解即可．（1）解：我同意他的觀點，理由：由圖可得，，，，∴，∴是直角三角形．（2）解：由（1）知：是直角三角形，，，∵，的面積為：，設(shè)邊上高為h，，解得：∴邊上高為．【點睛】本題主要考查勾股定理及逆定理，熟練掌握勾股定理運用三角形等面積法求解是解題關(guān)鍵．12．如圖，在一塊四邊形空地種植草皮，測得，，，且．若每平方米草皮需要200元，則需要投資多少錢？【答案】7200元【分析】如圖所示，連接AC，利用勾股定理求出AC的長，再利用勾股定理的逆定理證明△ACD是直角三角形，再由求出四邊形ABCD的面積即可得到答案．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴在Rt△ABC中，由勾股定理得，∴，∴，∵，∴，∴△ACD為直角三角形，∴平方米，∴需要投資元，答：需要投資7200元．【點睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，證明△ACD為直角三角形是解題的關(guān)鍵．13．在△ABC中，AB=AC，點D在AC上，BC=20cm，BD=16cm，CD=12cm，求BC邊上的高．【答案】cm【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理得，則，設(shè)AD=xcm，則cm，在中，由勾股定理得，計算得，，則，即可得cm，過點A作交BC于點E，則cm，在，根據(jù)勾股定理得即可得．【詳解】解：∵cm，CD=12cm，BD=16cm，∴，∴，∴，設(shè)AD=xcm，則cm，在中，由勾股定理得，，解得，，即，∴（cm），如圖所示，過點A作交BC于點E，∵，cm，∴cm，在，由勾股定理得，（cm）．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，解題的關(guān)鍵是掌握這些知識點適當(dāng)添加輔助線．14．已知：如圖，，，，，，求四邊形的面積．【答案】36【分析】利用勾股定理求出BC，再利用勾股定理的逆定理證出△BCD是直角三角形，得到四邊形的面積就等于兩個直角三角形的面積之和.【詳解】∵∠A=90°，AB=4，AC=3，∴．∵BC=5，BD=12，CD=13，∴，∴△BCD是直角三角形，且斜邊為CD，∴．即四邊形ABCD的面積為36．【點睛】此題考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，利用勾股定理逆定理判定△BCD是直角三角形是解決此題的關(guān)鍵.15．如圖，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，D是BC邊上一點，AD＝12，CD＝9．(1)求證：；(2)若E是邊AC的中點，求DE的長．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，證明是直角三角形，即可證明；（2）根據(jù)勾股定理，求出，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出．（1）∵，∴∵，∴∴∴是直角三角形∴．（2）由（1）得是直角三角形∴是直角三角形∵，∴∴又∵是的中點∴．【點睛】本題考查直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【培優(yōu)檢測】1．下列長度的三條線段，能組成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，5【答案】C【分析】根據(jù)勾股定理，可判斷是否為直角三角形【詳解】A項，故不符合題意；B項2+3=5，不能構(gòu)成三角形，故不符合題意；C項，3，4，5為常見的勾股數(shù)，能組成直角三角形，符合題意；D項，故不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查直角三角形的判定，熟記常見的勾股數(shù)能快速選出答案．2．已知a，b，c是某三角形的三邊，滿足，則此三角形的面積為（

）A．30 B．60 C．78 D．32.5【答案】A【分析】先根據(jù)絕對值的非負(fù)性可得，再根據(jù)勾股定理的逆定理可得這個三角形是直角三角形，且為直角邊，然后利用直角三角形的面積公式求解即可得．【詳解】解：，，，，解得：，，這個三角形是直角三角形，且為直角邊，這個三角形的面積為，故選：A．【點睛】本題考查了絕對值的非負(fù)性、勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題關(guān)鍵．3．如圖，在四邊形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，則∠BCD的度數(shù)是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】連接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可證是直角三角形，于是有，從而易求∠BCD．【詳解】解：如圖所示，連接AC，∵，∴，又，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故選：C．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是連接AC，并證明是直角三角形．4．如圖是用三塊正方形紙片設(shè)計的“畢達哥拉斯”圖案，其中三塊正方形圍成的三角形是直角三角形．現(xiàn)有若干塊正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，選取其中三塊（可重復(fù)選?。┌磮D的方式組成圖案，則下列選取中，圍成的直角三角形面積最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，4【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，三塊正方形的面積中，兩個較小的面積之和等于最大的面積，圍成的三角形是直角三角形，再根據(jù)三角形的面積，分別計算出幾個較大的正方形紙片圍成的直角三角形的面積，比較大小，即可解答本題．【詳解】解：∵五種正方形紙片，面積分別是1，2，3，4，5，∴五種正方形紙片的邊長分別是1，，，，，由題意可得，三角形各邊的平方是對應(yīng)的各個正方形的面積，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是1，4，5時，1＋4＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是，當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5時，2＋3＝5，圍成的三角形是直角三角形，面積是；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是3，4，5時，圍成的三角形不是直角三角形；當(dāng)選取的三塊紙片的面積分別是2，2，4時，2＋2＝4，圍成的三角形是直角三角形，面積是，∵＞1，∴所圍成的三角形是面積最大的直角三角形，則選取的三塊紙片的面積分別是2，3，5，故選：B．【點睛】本題考查勾股定理的逆定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用勾股定理的逆定理解答．5．如圖是醫(yī)院、公園和超市的平面示意圖，超市B在醫(yī)院O的南偏東25°的方向上，且到醫(yī)院O的距離為30m，公園A到醫(yī)院O的距離為40m．若AB之間的距離為50m，則公園A在醫(yī)院O的（

）．A．北偏東75°方向上 B．北偏東65°方向上C．北偏東55°方向上 D．北偏西65°方向上【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定公園、醫(yī)院、超市構(gòu)成直角三角形，得到公園與水平線夾角為25°，從而描述即可．【詳解】解：如圖，∵，∴△ABC是直角三角形，∵超市B在醫(yī)院O的南偏東25°的方向上∴∠ECB=25°，∴∠ACF=25°，∠DCA=65°，∴公園在醫(yī)院的北偏東65°的方向上，故選B．【點睛】本題主要考查了方位角、勾股定理的逆定理等知識點，熟練掌握方位角的意義、勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．6．如圖，正方形網(wǎng)格中每一個小正方形的邊長為1，小正方形的頂點為格點，點，，為格點，點為與網(wǎng)格線的交點，則__________．【答案】##45度【分析】連接，，設(shè)與交于點，根據(jù)勾股定理的逆定理先證明是等腰直角三角形，從而可得，再根據(jù)題意可得，然后利用三角形的外角，進行計算即可解答．【詳解】解：如圖：連接，，設(shè)與交于點，由題意得：，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是的一個外角，，，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、平行線的性質(zhì)，勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線．7．如圖，已知點D為邊上的中點，，則線段的長度為____________．【答案】5【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出∠ADB=∠ADC=90°，再根據(jù)勾股定理求出AC即可．【詳解】解：在△ADB中，AB=5，AD=3，BD=4，∴AD2+BD2=25=AB2，∴△ADB是直角三角形，且∠ADB=90°=∠ADC，∵點D為BC邊上的中點，∴CD=BD=4，∴在Rt△ADC中，，故答案為：5．【點睛】本題考查勾股定理及其逆定理、線段中點有關(guān)計算，利用勾股定理的逆定理證得∠ADC=90°是解答的關(guān)鍵．8．如圖，方格中的點A、B、C、D、E稱為“格點”（格線的交點），以這五個格點中的任意三點為三角形的頂點畫三角形，其中直角三角形有______個．【答案】3【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再找到其中的直角三角形即可得到結(jié)論．【詳解】解：如圖，一共可以畫9個三角形，∵BE⊥AC，∴∠ABE=∠CBE=90°，∴△ABE，△BCE是直角三角形，∵DE=CD=，CE=∴DE2+CD2=CE2，∴△CDE是直角三角形，共可以畫3個直角三角形．故答案為：3．【點睛】本題考查直角三角形的判定，勾股定理及其逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．9．如圖，的兩外角平分線交于點D，延長DC至點G，連接BG，使得，若的面積為4，，則線段BD的長度為_________．【答案】【分析】先判定三角形GBD是直角三角形，在計算三角形BCG的面積，得到三角形BDG的面積，根據(jù)面積公式計算BD即可．【詳解】∵的兩外角平分線交于點D，∴∠D=180°=180°==，∵，∴∠D=，∴∠DBG=90°．∵，的面積為4，∴的面積為，∴的面積為，∵，∴，∴BD=，故答案為：．【點睛】本題考查了角平分線的應(yīng)用，直角三角形的判定，面積的計算，熟練掌握角的平分線的意義，靈活判定直角三角形的形狀是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，點D是BC的中點，如果將△ACD沿AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E，那么CE的長等于________.【答案】【分析】連接CE，延長AD交CE于點F，根據(jù)勾股定理逆定理可知△ABC為直角三角形，所以可求得△ABC的面積；因點D是BC的中點，所以，，然后可求得AD邊上的高CF；根據(jù)翻折得到的軸對稱圖形的性質(zhì)可知AF垂直平分CE，所以CE=2CF，即得到CE的長．【詳解】將△ACD沿AD翻折后，得到圖形如圖所示，連接CE，延長AD交CE于點F，0在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，∵，即,∴△ABC為直角三角形，∠BAC=90°，∴，∵點D是BC的中點，∴AD=BD=CD=BC=5，∴，∵△ACD沿AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E，∴AF垂直平分CE，即AF⊥EC，CE=2CF，∴CF為△ACD的AD邊上的高，，解得CF=，∴CE=2CF=，故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、軸對稱的性質(zhì)等知識，能夠根據(jù)勾股定理逆定理判定出直角三角形并根據(jù)軸對稱的性質(zhì)進行推導(dǎo)是解題關(guān)鍵．11．某港口位于東西方向的海岸線上．“遠(yuǎn)航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠(yuǎn)航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里．它們離開港口一個半小時后相距30海里．求PQ、PR的長．如果知道“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行？為什么？【答案】PQ=24海里，PR=18海里，“海天”號沿西北方向航行．【分析】利用速度乘以事件分別求出，PQ，PR，以及QR，根據(jù)勾股定理求出∠QPR=90°，由∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號沿西北方向航行．【詳解】根據(jù)題意，得PQ=16×1.5=24（海里），PR=12×1.5=18（海里），QR=30（海里）．∵，即，∴∠QPR=90°．由“遠(yuǎn)洋號”沿東北方向航行可知，∠QPS=45°，則∠SPR=45°，即“海天”號沿西北方向航行．【點睛】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，