專題10線段中的四種動(dòng)點(diǎn)問題與四種數(shù)學(xué)思想專項(xiàng)講練(原卷版+解析)

專題10線段中的四種動(dòng)點(diǎn)問題與四種數(shù)學(xué)思想專項(xiàng)講練線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題（數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)題）是北師大版七年級上學(xué)期壓軸題，而四種數(shù)學(xué)思想則一直貫穿我們整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，站在中考的角度看數(shù)學(xué)思想的重要性甚至超過線段的動(dòng)點(diǎn)問題。本本專題主要介紹線段相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題（與中點(diǎn)、和差倍分結(jié)合的動(dòng)點(diǎn)問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）和四種數(shù)學(xué)思想（分類討論思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想）。【知識(shí)儲(chǔ)備】1.在與線段長度有關(guān)的問題中，常常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)列方程；2.線段等量代換模型：若，則，即3.定和型中點(diǎn)模型：若，分別是，的中點(diǎn)，則線段的動(dòng)點(diǎn)問題解題步驟：1.設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；2.利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3.根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4.觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果。【動(dòng)點(diǎn)問題】題型1：線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題例1．（2022·廣東·七年級期中）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為8，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒：（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為______，點(diǎn)表示的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)？（3）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長．變式1．（2022·河南·七年級期中）如圖①，已知線段，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若，則DE的長為_____________；（2）若，求DE的長；（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長度的速度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以點(diǎn)P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問當(dāng)t為多少時(shí)，P，Q之間的距離為6？題型2：線段和差倍分關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)問題例2．（2022·貴州黔西·七年級期末）已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線段上，，，求的長．變式2．（2022·陜西岐山縣·七年級期中）如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請求出的長．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長．題型3：線段上動(dòng)點(diǎn)問題中的存在性（探究性）問題例3．（2022·廣西桂林·七年級期末）如圖，在直線AB上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．變式2．（2022·湖北青山區(qū)·七年級期中）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線段CD以2個(gè)單位長度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．題型4：閱讀理解型（新定義）問題例5．（2022·河南宛城七年級期中）如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）填空：線段的中點(diǎn)這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）（問題解決）（2）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)。（應(yīng)用拓展）（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值．變式1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”.（1）①一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）②若線段，是線段的“二倍點(diǎn)”，則（寫出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段，點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒2的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（2）問為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”；（3）同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒1的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)同時(shí)停止.請直接寫出點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)的值.【數(shù)學(xué)思想】1.分類討論思想分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干個(gè)不同的情形，然后逐類進(jìn)行研究和求解的一種解題思想。在線段計(jì)算中，由于線段及端點(diǎn)的不確定性往往需要分類討論。常見分類依據(jù)：①無圖常需分類討論；②在不清楚點(diǎn)的具體位置的情況下，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，即分點(diǎn)在線段上還是在線段的延長線上，在左側(cè)還是右側(cè)等情況。例1．（2022·重慶初一期中）已知，點(diǎn)C在直線AB上，ACa，BCb，且a≠b，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則線段MC的長為（）A． B． C．或 D．或變式1．（2022·江蘇·七年級期中）把根繩子對折成一條線段，在線段取一點(diǎn)，使，從處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長的一段為，則繩子的原長為（）A． B． C．或 D．或變式2．（2022·沙坪壩區(qū)·七年級月考）如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．2.數(shù)形結(jié)合思想

以圖形的認(rèn)識(shí)為主，這是幾何研究的主要特點(diǎn)。同時(shí)我們也要聯(lián)系到數(shù)量，使兩者一致，達(dá)到數(shù)與形的完美結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩塊基石，它們常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。

在解題時(shí)，必須注意把數(shù)和形結(jié)合起來，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，或者把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題。利用數(shù)研究形，關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)條件，使幾何圖形數(shù)量化；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求最值和定值是?？键c(diǎn)。例2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級期中）（1）如圖1，請利用無刻度的直尺和圓規(guī)，連接，在線段上求作線段，使；（2）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、分別是線段、上的點(diǎn)，且，．若，求線段的長．變式1．（2022·福建·福州華倫中學(xué)七年級期末）如圖直線l上有AB兩點(diǎn)，，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，，若點(diǎn)C是射線AB上一點(diǎn)，且滿足，則OC＝______cm．變式2.（2022·山東·七年級期末）如圖1，將一段長為60cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處．①如圖2，若A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，MN＝cm；②如圖3，若點(diǎn)A'落在點(diǎn)B'的左側(cè)，且A'B'＝20cm，求MN的長度；③若A'B'＝ncm，求MN的長度．（用含n的代數(shù)式表示）（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長度由短到長的比為3：4：5，直接寫出AN所有可能的長度．3.整體思想整體思想就是通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進(jìn)行整體處理的解題方法。運(yùn)用整體思想計(jì)算線段的長或求定值，注意設(shè)字母參數(shù)x，并用x表示有關(guān)線段。在線段計(jì)算中，求一條線段上的兩個(gè)中點(diǎn)之間的距離時(shí)常用到整體的思想。例3．（2022·陜西咸陽·七年級期末）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時(shí)，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)C，D在線段AB上移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否會(huì)發(fā)生變化，若會(huì)，請說明理由；若不會(huì)，請求出EF的長．變式1．（2022·遼寧撫順·九年級）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD，點(diǎn)P沿直線l從左向右移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)變式2．（2022·河南三門峽·七年級期末）如圖，點(diǎn)B在線段AC的延長線上，M、N分別是線段AC、CB的中點(diǎn)．(1)若，，求線段MN的長；(2)若，，求線段MN的長．4.方程思想方程思想是指把數(shù)學(xué)問題通過適當(dāng)?shù)耐緩睫D(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決的思想方法，運(yùn)用方程思想計(jì)算線段的長，巧設(shè)未知數(shù)，一般設(shè)和其它多數(shù)線段相關(guān)的線段為x.有關(guān)線段比的問題（或倍分關(guān)系）常用方程思想求解。例4．（2022·山東煙臺(tái)·期中）如圖線段，點(diǎn)在射線上從點(diǎn)開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，則時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請說明理由．變式2．（2022·河南·鄭州中學(xué)七年級期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，線段AC＝8m，．機(jī)器狗P從點(diǎn)A出發(fā)，以6m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即以原來的速度返回；機(jī)械貓Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．當(dāng)機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第二次相遇時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計(jì)算說明：當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處？(3)當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022?武侯區(qū)期末）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且AC＝2cm，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則線段AD的長為（）A．4cm B．6cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm2．（2022·重慶梁平·七年級期末）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線l，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD．點(diǎn)P沿直線l從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有______個(gè)．3.（2022·福建漳州·七年級期末）如圖，AB＝12cm，C為線段AB上一點(diǎn)，且AC＝2BC．(1)求AC的長；(2)若D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AB上，且AE＝3cm．請你把圖形補(bǔ)充完整；并求DE的長．4．（2022?臨淄區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你的答案．（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．5.（2022·成都市·七年級期中）已知：點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖（1），①若AC＝5，BC＝3，則DE＝；②若AC+BC＝a，你能猜想出DE的長度嗎？寫出你的猜想并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線上，且AC＝m，BC＝n時(shí)，你能猜想出DE的長度嗎？請?jiān)趫D（2）上畫出圖形，并直接寫出你的猜想結(jié)果．6.（2022·山東·七年級期中）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動(dòng)．①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長；②點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的長．7.（2022·廣東·七年級期中）如圖，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AP、PB的中點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，且MP＝4cm，則線段AB的長cm；（2）如圖2，若點(diǎn)P是線段AB上的任一點(diǎn)，且AB＝12cm，求線段MN的長；（3）小明由（1）（2）猜想到，若點(diǎn)P是直線AB上的任意一點(diǎn)，且AB＝12cm，線段MN的長與（2）中結(jié)果一樣，你同意他的猜想嗎？說明你的理由．8．（2022·山東泰安·期中）如圖，已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，它們的對應(yīng)數(shù)分別是a，b，其中a＝12．(1)在B左側(cè)作線段BC＝AB，在B的右側(cè)作線段BD＝3AB（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是c，點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)是d，且AB＝40，求c，d的值．(3)在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，N是數(shù)軸上一點(diǎn)，且CN＝4DN，請直接寫出MN的長．9．（2022·江西鷹潭·七年級期中）已知，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)、點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)；①若線段AB=10，BC=4，求MN的長度；②若，則MN=_______．(2)若AC=10，BC=n，直接寫出MN的長度．（用含n的代數(shù)式表示）10．（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足BC＝AB，則稱點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1，BC＝AB，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”．若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm．(1)(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長度．11．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)C、P、Q三點(diǎn)中，有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出時(shí)間t．12．（2022·新疆·烏魯木齊市第136中學(xué)七年級期末）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為a，B表示的數(shù)為b，且a、b滿足．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒8個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是____________，點(diǎn)B表示的數(shù)是______，點(diǎn)P表示的數(shù)是____________（用含t的式子表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N分別是PA、PB的中點(diǎn)，求PM－PN的值（3）動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)P、Q兩點(diǎn)相距4個(gè)單位長度？13．（2022·天津和平·七年級期末）如圖，直線l上有A，B兩點(diǎn)，AB＝12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA＝2OB．（1）則OA＝cm，OB＝cm；（2）若點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)（點(diǎn)C不與點(diǎn)A、B重合），且滿足AC＝CO+CB，求CO的長；（3）若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，都向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的速度為2cm/s．點(diǎn)Q的速度為1cm/s，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（其中t≥0）．①若把直線l看作以O(shè)為原點(diǎn)，向右為正方向的一條數(shù)軸，則t（s）后，P點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為；此時(shí)，Q點(diǎn)所到的點(diǎn)表示的數(shù)為．（用含t的代數(shù)式表示）②求當(dāng)t為何值時(shí)，2OP﹣OQ＝4（cm）．14．（2022·湖北省直轄縣級單位·七年級期末）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)了許多重要的規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a、b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝|a﹣b|．線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為﹣2，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t＞0）．(1)填空：①A、B兩點(diǎn)之間的距離AB＝，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為．②用含t的代數(shù)式表示：t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為；點(diǎn)Q表示的數(shù)為．③當(dāng)t＝時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，PQ＝AB．(3)若點(diǎn)M為PA的中點(diǎn)，點(diǎn)N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段MN的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出線段MN的長．15．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·七年級期末）如圖，線段厘米，點(diǎn)D和點(diǎn)C在線段AB上，且，．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以4厘米/秒的速度沿射線AD向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C所在位置后立即按照原路原速返回，到達(dá)點(diǎn)D所在位置后停止運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)以1厘米/秒的速度沿著射線BC的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D所在的位置后停止運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求線段AD的長度；（2）當(dāng)點(diǎn)C恰好為PQ的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；（3）當(dāng)厘米時(shí)，求t的值．16．（2022·河南南陽·七年級期中）如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）填空：線段的中點(diǎn)這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）【問題解決】（2）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)?！緫?yīng)用拓展】（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值．17．（2022·四川成都·七年級期末）已知線段AB=m(m為常數(shù))，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），點(diǎn)M、N分別在線段BC、AC上，且滿足CN=3AN，CM=3BM.(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C恰好在線段AB中點(diǎn)，且m=8時(shí)，則MN=______；(2)若點(diǎn)C在點(diǎn)A左側(cè)，同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，請判斷CN+2AM-2MN的值是否與m有關(guān)？并說明理由.(3)若點(diǎn)C是直線AB上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），同時(shí)點(diǎn)M在線段AB上(不與端點(diǎn)重合)，求MN長度(用含m的代數(shù)式表示).18．（2022·四川成都·七年級期末）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，AB=20，BC=AC，點(diǎn)D，E在射線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．(1)DE在線段AB上，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求CE的長；(2)在（1）的條件下，點(diǎn)F在線段AB上，CF=3，求EF的長；(3)若AB=2DE，線段DE在射線AB上移動(dòng)，且滿足關(guān)系式4BE=3（AD+CE），求的值．專題10線段中的四種動(dòng)點(diǎn)問題與四種數(shù)學(xué)思想專項(xiàng)講練線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題（數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)題）是北師大版七年級上學(xué)期壓軸題，而四種數(shù)學(xué)思想則一直貫穿我們整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，站在中考的角度看數(shù)學(xué)思想的重要性甚至超過線段的動(dòng)點(diǎn)問題。本本專題主要介紹線段相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題（與中點(diǎn)、和差倍分結(jié)合的動(dòng)點(diǎn)問題；存在性（探究性）問題；閱讀理解（新定義）等）和四種數(shù)學(xué)思想（分類討論思想、整體思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程思想）。【知識(shí)儲(chǔ)備】1.在與線段長度有關(guān)的問題中，常常會(huì)涉及線段較多且關(guān)系較復(fù)雜的問題，而且題中的數(shù)據(jù)無法直接利用，常設(shè)列方程；2.線段等量代換模型：若，則，即3.定和型中點(diǎn)模型：若，分別是，的中點(diǎn)，則線段的動(dòng)點(diǎn)問題解題步驟：1.設(shè)入未知量t表示動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的距離；2.利用和差（倍分）關(guān)系表示所需的線段；3.根據(jù)題設(shè)條件建立方程求解；4.觀察運(yùn)動(dòng)位置可能的情況去計(jì)算其他結(jié)果?！緞?dòng)點(diǎn)問題】題型1：線段中點(diǎn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題例1．（2022·廣東·七年級期中）如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為8，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒：（1）寫出數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為______，點(diǎn)表示的數(shù)為______（用含的代數(shù)式表示）；（2）動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，問點(diǎn)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)？（3）若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中，線段的長度是否發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，請你畫出圖形，并求出線段的長．【答案】（1）-6，；（2）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)7秒時(shí)追上點(diǎn)；（3）線段的長度不發(fā)生變化，其值為7【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)表示的數(shù)和AB的長度即可求解；（2）根據(jù)題意列出方程，求解即可；（3）分類討論即可：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)的定義即可求解．【詳解】（1）解：∵數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為8，且，∴點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)P表示的數(shù)為，故答案為：-6，；（2）設(shè)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間秒追上，依題意得，，解得，∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)7秒時(shí)追上點(diǎn)；（3）線段的長度沒有發(fā)生變化都等于7；理由如下：①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)、兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)：，②當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的左側(cè)時(shí)：，∴線段的長度不發(fā)生變化，其值為7．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，掌握中點(diǎn)的定義、一元一次方程的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·河南·七年級期中）如圖①，已知線段，點(diǎn)C為線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別是AC和BC的中點(diǎn)．（1）若，則DE的長為_____________；（2）若，求DE的長；（3）如圖②，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，相向而行，點(diǎn)P以每秒3個(gè)單位長度的速度沿線段AB向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以點(diǎn)P速度的兩倍沿線段AB向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，問當(dāng)t為多少時(shí)，P，Q之間的距離為6？【答案】（1）6；（2）6；（3）或2【分析】(1)根據(jù)圖形，由AB=12，AC=4得出BC=8再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(2)根據(jù)圖形，由AB=12，BC=m得出AC=12-m再根據(jù)點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，得出DC，EC，再根據(jù)線段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再畫出兩種圖形，根據(jù)線段的和等于AB，得到兩個(gè)一元一次方程，即可求出．【詳解】解：如圖(1)∵AB=12，AC=4∴BC=8∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)，∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6(2)∵AB=12，BC=m∴AC=12-m∵點(diǎn)D，E分別時(shí)AC和BC中點(diǎn)∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6(3)由題意得，如圖所示，或

AP=3t，BQ=6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+BQ-PQ=12∴3t+6+6t=12或3t+6t-6=12解得t=或t=2故當(dāng)t=或t=2時(shí)，P，Q之間的距離為6.【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)，線段的和差倍分，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，得出線段之間的關(guān)系式．題型2：線段和差倍分關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)問題例2．（2022·貴州黔西·七年級期末）已知點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)、在直線上，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)．若，，線段在線段上移動(dòng)．(1)如圖1，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的長；(2)點(diǎn)（異于，，點(diǎn)）在線段上，，，求的長．【答案】(1)7(2)3或5【分析】（1）根據(jù)，，可求得，，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長．（2）點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，，，確定點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即可求出AD的長．(1)，，，，如圖1，為中點(diǎn)，，，∴，∴，(2)Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，如圖2，或∵，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∵，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，或，，∴，∴，．∵，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：的長為3或5．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，熟知各線段之間的和、差及倍數(shù)關(guān)系是解答的關(guān)鍵．本題較難，需要想清楚各種情況是否存在．變式2．（2022·陜西岐山縣·七年級期中）如圖，點(diǎn)，在數(shù)軸上所對應(yīng)的數(shù)分別為－5，7（單位長度為），是，間一點(diǎn)，，兩點(diǎn)分別從點(diǎn)，出發(fā)，以，的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在線段上，點(diǎn)在線段上），運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．（1）______．（2）若點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)到任一時(shí)刻時(shí)，總有，請求出的長．（3）在（2）的條件下，是數(shù)軸上一點(diǎn)，且，求的長．【答案】（1）12；（2）4cm；（3）或【分析】（1）由兩點(diǎn)間的距離，即可求解；（2）由線段的和差關(guān)系可求解；（3）由題設(shè)畫出圖示，分兩種情況根據(jù)：當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由AQ﹣BQ＝PQ求得AQ＝PQ+BQ；然后求得AP＝BQ，從而求得PQ與AB的關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，可得．【詳解】解：（1）∵A、B兩點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)分別為-5，7，∴線段AB的長度為：7-（-5）=12；故答案為：12（2）根據(jù)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)速度知．因?yàn)?，所以，即，所以．?）分兩種情況：如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，因?yàn)?，所以．又因?yàn)椋?，所以；如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，，綜上所述，的長為或．【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的運(yùn)用和絕對值的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的表示方法，靈活運(yùn)用線段的和、差、倍、分轉(zhuǎn)化線段之間的數(shù)量關(guān)系是十分關(guān)鍵的一點(diǎn)．題型3：線段上動(dòng)點(diǎn)問題中的存在性（探究性）問題例3．（2022·廣西桂林·七年級期末）如圖，在直線AB上，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度在直線AB上運(yùn)動(dòng)．M為AP的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)若點(diǎn)P在線段AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，；(2)若點(diǎn)P在射線AB上的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值；(3)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段AB、PM、PN有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的結(jié)論，并說明你的理由．【答案】(1)(2)8或24(3)，見解析【分析】（1）根據(jù)題中條件直接計(jì)算即可求解；（2）分點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)和線段的延長線上運(yùn)動(dòng)進(jìn)行討論，從而求解；（3）先將和表示出來，再求出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵M(jìn)為AP的中點(diǎn)，，∴，∵線段，N為BP的中點(diǎn)，∴．故答案是：2；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．②當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長線上，時(shí)，如圖，∵，，∴，解得：．綜上所述，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值為8或24．（3）解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的反向延長線上時(shí)，，∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線段之間的關(guān)系，熟練掌握幾何的基礎(chǔ)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵．變式2．（2022·湖北青山區(qū)·七年級期中）已知線段AB＝m，CD＝n，線段CD在直線AB上運(yùn)動(dòng)（A在B的左側(cè)，C在D的左側(cè)），且m，n滿足|m－12|＋（n－4）2＝0.（1）m＝，n＝；（2）點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，線段CD以2個(gè)單位長度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．①如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若M是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)，求線段MN的長；②P是直線AB上A點(diǎn)左側(cè)一點(diǎn)，線段CD運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)以3個(gè)單位/秒的向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E是線段BC的中點(diǎn)，若點(diǎn)F與點(diǎn)C相遇1秒后與點(diǎn)E相遇．試探索整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，F(xiàn)C－5DE是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】（1）m=12，n=4；（2）①M(fèi)N=8，②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，F(xiàn)C-5DE的值為定值，且定值為0．【分析】（1）由絕對值和平方的非負(fù)性，即可求出m、n的值；（2）①由題意，則MN=CM+CD+DN，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，即可得到答案；②設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，然后列出方程，求出a=2，然后分情況進(jìn)行分析，求出每一種的值，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案為：12；4．（2）由題意，①∵AB=12，CD=4，∵M(jìn)是線段AC的中點(diǎn)，N是線段BD的中點(diǎn)∴AM=CM=AC，DN=BN=BD∴MN=CM+CD+DN=AC+CD+BD=AC+CD+BD+CD=(AC+CD+BD)+CD=(AB+CD)=8；②如圖，設(shè)PA=a，則PC=8+a，PE=10+a，依題意有：解得：a=2在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中：BD=2t，BC=4+2t，∵E是線段BC的中點(diǎn)∴CE=BE=BC=2+t；Ⅰ．如圖1，F(xiàn)，C相遇，即t=2時(shí)F，C重合，D，E重合，則FC=0，DE=0∴FC-5DE=0；Ⅱ．如圖2，F(xiàn)，C相遇前，即t<2時(shí)FC=10-5t，DE=BE-BD=2+t-2t=2-t∴FC-5DE=10-5t-5（2-t）=0；Ⅲ．如圖3，F(xiàn)，C相遇后，即t＞2時(shí)FC=5t-10，DE=BD-BE=2t–(2+t)=t-2∴FC-5DE=5t-10-5（t-2）=0；綜合上述：在整個(gè)運(yùn)動(dòng)的過程中，F(xiàn)C5DE的值為定值，且定值為0．【點(diǎn)睛】本題考查了線段中點(diǎn)的定義，線段的和差倍分的關(guān)系，一元一次方程的應(yīng)用，絕對值的非負(fù)性等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的中點(diǎn)定義進(jìn)行解題，注意運(yùn)用分類討論的思想進(jìn)行分析．題型4：閱讀理解型（新定義）問題例5．（2022·河南宛城七年級期中）如圖一，點(diǎn)在線段上，圖中有三條線段、和，若其中一條線段的長度是另外一條線段長度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）填空：線段的中點(diǎn)這條線段的巧點(diǎn)（填“是”或“不是”或“不確定是”）（問題解決）（2）如圖二，點(diǎn)和在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是和，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，求點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)。（應(yīng)用拓展）（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)處，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)中點(diǎn)時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)同時(shí)停止，當(dāng)、、三點(diǎn)中，其中一點(diǎn)恰好是另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的巧點(diǎn)時(shí)，直接寫出運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值．【答案】（1）是；（2）10或0或20；(3)；t=6；；t=12；；．【分析】（1）根據(jù)新定義，結(jié)合中點(diǎn)把原線段分成兩短段，滿足原線段是短線段的2倍關(guān)系，進(jìn)行判斷即可；（2）由題意設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，再根據(jù)新定義列出合適的方程即可；（3）根據(jù)題意先用t的代數(shù)式表示出線段AP，AQ，PQ，再根據(jù)新定義列出方程，得出合適的解即可求出t的值．【解析】解：（1）因原線段是中點(diǎn)分成的短線段的2倍，所以線段的中點(diǎn)是這條線段的巧點(diǎn)，答案為：是；（2）設(shè)C點(diǎn)表示的數(shù)為x，則AC=x+20，BC=40-x，AB=40+20=60，根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義可知：①當(dāng)AB=2AC時(shí)，有60=2（x+20），解得，x=10；②當(dāng)BC=2AC時(shí)，有40-x=2（x+20），解得，x=0；③當(dāng)AC=2BC時(shí)，有x+20=2（40-x），解得，x=20．綜上，C點(diǎn)表示的數(shù)為10或0或20；（3）由題意得，（i）、若0≤t≤10時(shí)，點(diǎn)P為AQ的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AQ=2AP時(shí)，60-4t=2×2t，解得，，②當(dāng)PQ=2AP時(shí)，60-6t=2×2t，解得，t=6；③當(dāng)AP=2PQ時(shí)，2t=2（60-6t），解得，；綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有；t=6；；（ii）、若10＜t≤15時(shí)，點(diǎn)Q為AP的“巧點(diǎn)”，有①當(dāng)AP=2AQ時(shí)，2t=2×（60-4t），解得，t=12；②當(dāng)PQ=2AQ時(shí)，6t-60=2×（60-4t），解得，；③當(dāng)AQ=2PQ時(shí)，60-4t=2（6t-60），解得，．綜上，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有：t=12；；．故，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的所有可能值有：；t=6；；t=12；；．【點(diǎn)睛】本題是新定義題，是數(shù)軸的綜合題，主要考查數(shù)軸上的點(diǎn)與數(shù)的關(guān)系，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義列出方程并進(jìn)行求解．變式1．（2022·江蘇淮安·七年級期末）【探索新知】如圖1，點(diǎn)在線段上，圖中共有3條線段：、和，若其中有一條線段的長度是另一條線段長度的兩倍，則稱點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”.（1）①一條線段的中點(diǎn)這條線段的“二倍點(diǎn)”；（填“是”或“不是”）②若線段，是線段的“二倍點(diǎn)”，則（寫出所有結(jié)果）【深入研究】如圖2，若線段，點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒2的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒.（2）問為何值時(shí)，點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”；（3）同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)的位置開始，以每秒1的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，并與點(diǎn)同時(shí)停止.請直接寫出點(diǎn)是線段的“二倍點(diǎn)”時(shí)的值.【答案】（1）①是；②10或或；（2）5或或；（3）8或或【分析】（1）①可直接根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義進(jìn)行判斷；②可分為三種情況進(jìn)行討論，分別求出BC的長度即可；（2）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AM、BM、AB，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”的意義，分類討論得結(jié)果；（3）用含t的代數(shù)式分別表示出線段AN、NM、AM，然后根據(jù)“二倍點(diǎn)”的意義，分類討論．【詳解】解：（1）①因?yàn)榫€段的中點(diǎn)把該線段分成相等的兩部分，該線段等于2倍的中點(diǎn)一側(cè)的線段長．∴一條線段的中點(diǎn)是這條線段的“二倍點(diǎn)”故答案為：是.②∵，是線段的“二倍點(diǎn)”，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故答案為：10或或；（2）當(dāng)AM=2BM時(shí)，20-2t=2×2t，解得：t=；當(dāng)AB=2AM時(shí)，20=2×（20-2t），解得：t=5；當(dāng)BM=2AM時(shí)，2t=2×（20-2t），解得：t=；答：t為或5或時(shí)，點(diǎn)M是線段AB的“二倍點(diǎn)”；（3）當(dāng)AN=2MN時(shí)，t=2[t-（20-2t）]，解得：t=8；當(dāng)AM=2NM時(shí)，20-2t=2[t-（20-2t）]，解得：t=；當(dāng)MN=2AM時(shí)，t-（20-2t）=2（20-2t），解得：t=；答：t為或8或時(shí)，點(diǎn)M是線段AN的“二倍點(diǎn)”．【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的解法、線段的和差等知識(shí)點(diǎn)，題目需根據(jù)“二倍點(diǎn)”的定義分類討論，理解“二倍點(diǎn)”是解決本題的關(guān)鍵．【數(shù)學(xué)思想】1.分類討論思想分類討論思想就是將要研究的數(shù)學(xué)對象按照一定的標(biāo)準(zhǔn)劃分為若干個(gè)不同的情形，然后逐類進(jìn)行研究和求解的一種解題思想。在線段計(jì)算中，由于線段及端點(diǎn)的不確定性往往需要分類討論。常見分類依據(jù)：①無圖常需分類討論；②在不清楚點(diǎn)的具體位置的情況下，應(yīng)注意分類討論思想的應(yīng)用，即分點(diǎn)在線段上還是在線段的延長線上，在左側(cè)還是右側(cè)等情況。例1．（2022·重慶初一期中）已知，點(diǎn)C在直線AB上，ACa，BCb，且a≠b，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則線段MC的長為（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由于點(diǎn)B的位置以及a、b的大小沒有確定，故應(yīng)分四種情況進(jìn)行討論，即可得到答案．【解析】由于點(diǎn)B的位置不能確定，故應(yīng)分四種情況討論：①當(dāng)a＞b且點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖1．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．②當(dāng)a＞b且點(diǎn)C在線段AB的延長線上時(shí)，如圖2．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC-BC=a-b．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC﹣AM==．③當(dāng)a＜b且點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖3．∵AC=a，BC=b，∴AB=AC+BC=a+b．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AM﹣AC==．④當(dāng)a＜b且點(diǎn)C在線段AB的方向延長線上時(shí)，如圖4．∵AC=a，BC=b，∴AB=BC-AC=b-a．∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AMAB=，∴MC=AC+AM==．綜上所述：MC的長為或（a＞b）或（a＜b），即MC的長為或．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)的定義，線段之間的和差關(guān)系，兩點(diǎn)間的距離，掌握線段間的和差關(guān)系與分類討論的數(shù)學(xué)思想是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇·七年級期中）把根繩子對折成一條線段，在線段取一點(diǎn)，使，從處把繩子剪斷，若剪斷后的三段繩子中最長的一段為，則繩子的原長為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】由于題目中的對折沒有明確對折點(diǎn)，所以要分A為對折點(diǎn)與B為對折點(diǎn)兩種情況討論，討論中抓住最長線段即可解決問題．【詳解】解：如圖∵，∴2AP=＜PB①若繩子是關(guān)于A點(diǎn)對折，∵2AP＜PB∴剪斷后的三段繩子中最長的一段為PB=30cm，∴繩子全長=2PB+2AP=24×2+×24=64cm；②若繩子是關(guān)于B點(diǎn)對折，∵AP＜2PB∴剪斷后的三段繩子中最長的一段為2PB=24cm∴PB=12cm∴AP=12×cm∴繩子全長=2PB+2AP=12×2+4×2=32cm；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是線段的對折與長度比較，解題中滲透了分類討論的思想，體現(xiàn)思維的嚴(yán)密性，在今后解決類似的問題時(shí)，要防止漏解．變式2．（2022·沙坪壩區(qū)·七年級月考）如圖，數(shù)軸上有兩點(diǎn)，點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒的速度在線段上運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過程中滿足，若點(diǎn)M為直線上一點(diǎn)，且，則的值為_______．【答案】1或【分析】設(shè)點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為a，點(diǎn)B在數(shù)軸上表示的數(shù)為b，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，由OD=4AC得a與b的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)M在直線AB的不同的位置分4種情況進(jìn)行解答，①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，分別表示出AM、BM、OM，由AM-BM=OM得到t、a、b之間的關(guān)系，再計(jì)算的值即可．【詳解】設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，點(diǎn)M表示的數(shù)為m

則OC=t，BD=4t，即點(diǎn)C在數(shù)軸上表示的數(shù)為-t，點(diǎn)D在數(shù)軸上表示的數(shù)為b-4t，∴AC=-t-a，OD=b-4t，

由OD=4AC得，b-4t=4（-t-a），即：b=-4a，

①若點(diǎn)M在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，如圖1所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（m-b）=m，即：m=b-a；∴

②若點(diǎn)M在線段BO上時(shí)，如圖2所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=m，即：m=a+b；∴

③若點(diǎn)M在線段OA上時(shí)，如圖3所示：

由AM-BM=OM得，m-a-（b-m）=-m，即：

∵此時(shí)m＜0，a＜0，∴此種情況不符合題意舍去；

④若點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：

由AM-BM=OM得，a-m-（b-m）=-m，即：m=b-a=-5a；而m＜0，b-a＞0，因此，不符合題意舍去，

綜上所述，的值為1或．【點(diǎn)睛】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵，分類討論和整體代入在解題中起到至關(guān)重要的作用．2.數(shù)形結(jié)合思想

以圖形的認(rèn)識(shí)為主，這是幾何研究的主要特點(diǎn)。同時(shí)我們也要聯(lián)系到數(shù)量，使兩者一致，達(dá)到數(shù)與形的完美結(jié)合。數(shù)與形是數(shù)學(xué)的兩塊基石，它們常常結(jié)合在一起，在內(nèi)容上相互聯(lián)系，在方法上相互滲透，在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。

在解題時(shí)，必須注意把數(shù)和形結(jié)合起來，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，或者把數(shù)的問題轉(zhuǎn)化為形的問題。利用數(shù)研究形，關(guān)鍵在于創(chuàng)設(shè)條件，使幾何圖形數(shù)量化；運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想求最值和定值是常考點(diǎn)。例2．（2022·重慶·西南大學(xué)附中七年級期中）（1）如圖1，請利用無刻度的直尺和圓規(guī)，連接，在線段上求作線段，使；（2）如圖2，點(diǎn)是的中點(diǎn)，、分別是線段、上的點(diǎn)，且，．若，求線段的長．【答案】（1）作圖見解析；（2）線段CE的長為，詳見解析【分析】（1）根據(jù)尺規(guī)作圖，以B為圓心，AC為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)E，DE即為所求；（2）根據(jù)題意，結(jié)合圖形可求出AC=BC=，，，可求出BE，即可求出CE的長．【詳解】解：（1）如圖所示，連接AC，以B為圓心，AC為半徑畫弧，交BD于點(diǎn)E，DE即為所求，；（2）由題意可知，AC=BC=，∴，，∴BE=AB-AD-DE=，∴CE=BC-BE=，即：線段CE的長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是尺規(guī)作圖，以及線段求值，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．變式1．（2022·福建·福州華倫中學(xué)七年級期末）如圖直線l上有AB兩點(diǎn)，，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，，若點(diǎn)C是射線AB上一點(diǎn)，且滿足，則OC＝______cm．【答案】或【分析】根據(jù)題意可求出，．設(shè)，分類討論①當(dāng)點(diǎn)C在AO之間時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在OB之間時(shí)；③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，利用x可分別表示出AC，CB的長，根據(jù)，即得出關(guān)于x的等式，解出x即可．【詳解】∵AB=12cm，點(diǎn)O是線段AB上的一點(diǎn)，OA=2OB，∴，．設(shè)，分類討論：①當(dāng)點(diǎn)C在AO之間時(shí)，如圖，由圖可知，，，∵，∴，解得：．故此時(shí)；②當(dāng)點(diǎn)C在OB之間時(shí)，如圖，由圖可知，，．∴此時(shí)不成立；③當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，如圖，由圖可知，，，∵，∴，解得：．故此時(shí)；綜上可知OC的長為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查線段n等分點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題的計(jì)算．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．變式2.（2022·山東·七年級期末）如圖1，將一段長為60cm繩子AB拉直鋪平后折疊（繩子無彈性，折疊處長度忽略不計(jì)），使繩子與自身一部分重疊．（1）若將繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處．①如圖2，若A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，MN＝cm；②如圖3，若點(diǎn)A'落在點(diǎn)B'的左側(cè)，且A'B'＝20cm，求MN的長度；③若A'B'＝ncm，求MN的長度．（用含n的代數(shù)式表示）（2）如圖4，若將繩子AB沿N點(diǎn)折疊后，點(diǎn)B落在B'處，在重合部分B'N上沿繩子垂直方向剪斷，將繩子分為三段，若這三段的長度由短到長的比為3：4：5，直接寫出AN所有可能的長度．【解題思路】（1）①由題意可得：AM＝MO=12AO，ON＝BN=②先結(jié)合圖形可求得AA′+BB′＝40cm，再根據(jù)中點(diǎn)性質(zhì)和線段和差關(guān)系計(jì)算即可；③分兩種情況分別計(jì)算即可：當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)時(shí)；（2）根據(jù)三段的長度由短到長的比為3：4：5，分別按以下幾種情況進(jìn)行計(jì)算：①當(dāng)B′D：CD：AC＝3：4：5時(shí)，②當(dāng)B′D：AC：CD＝3：4：5時(shí)，③當(dāng)CD：B′D：AC＝3：4：5時(shí)，④當(dāng)CD：AC：B′D＝3：4：5時(shí)，⑤當(dāng)AC：B′D：CD＝3：4：5時(shí)，⑥當(dāng)AC：CD：B′D＝3：4：5時(shí)．【解答過程】（1）①∵繩子AB沿M、N點(diǎn)折疊，點(diǎn)A、B分別落在A'、B'處，A'、B'恰好重合于點(diǎn)O處，∴AM＝MO=12AO，ON＝BN=∴MN＝MO+ON=12（AO+OB）=②∵AB＝60cm，A′B′＝20cm，∴AA′+BB′＝AB﹣A′B′＝60﹣20＝40cm．根據(jù)題意得，M、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，∴AM=12AA'，∴AM+BN=12∴MN＝AB﹣（AM+BN）＝60﹣20＝40cm．③如∵M(jìn)、N分別為AA′、BB′的中點(diǎn)，∴AM＝MA′=12AA'，BN＝B′當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的左側(cè)時(shí)，如第（1）小題②圖，∴MN＝MA′+A′B′+B′N=12AA′+A′B′+12B′B=12（AA′+A′B′+B′B）+12A′B′=12（AB當(dāng)點(diǎn)A′落在點(diǎn)B′的右側(cè)時(shí)，如（1）③圖，∵AA′+BB′＝AB+A′B′＝（60+n）cm．∴AM+BN=12∴MN＝AB﹣（AM+BN）=60?(30+n2)=(30?綜上，MN的長度為(30+n2)cm或（2）由于三段的長度由短到長的比為3：4：5，CN=12所以可分為以下幾種情況：①當(dāng)B′D：CD：AC＝3：4：5時(shí)，AC=512AB，CD=∴AN=512AB+12CD=②當(dāng)B′D：AC：CD＝3：4：5時(shí)，AC=13AB，CD=∴AN=13AB+12CD=③當(dāng)CD：B′D：AC＝3：4：5時(shí)，AC=512AB，CD=∴AN=512AB+12CD=④當(dāng)CD：AC：B′D＝3：4：5時(shí)，AC=13AB，CD=∴AN=13AB+12CD=1124AB＝27.5cm，此時(shí)⑤當(dāng)AC：B′D：CD＝3：4：5時(shí)，AC=14AB，CD=∴AN=14AB+12CD=1124AB＝27.5cm，此時(shí)⑥當(dāng)AC：CD：B′D＝3：4：5時(shí)，AC=14AB，CD=∴AN=14AB+12CD=512AB＝25cm；此時(shí)綜上所述，AN所有可能的長度為：32.5cm或35cm．3.整體思想整體思想就是通過研究問題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)、整體特征，從而對問題進(jìn)行整體處理的解題方法。運(yùn)用整體思想計(jì)算線段的長或求定值，注意設(shè)字母參數(shù)x，并用x表示有關(guān)線段。在線段計(jì)算中，求一條線段上的兩個(gè)中點(diǎn)之間的距離時(shí)常用到整體的思想。例3．（2022·陜西咸陽·七年級期末）線段AB＝16，C，D是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且CD＝2，E為BC的中點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)AC＝4時(shí)，求DE的長．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)．點(diǎn)C，D在線段AB上移動(dòng)的過程中，線段EF的長度是否會(huì)發(fā)生變化，若會(huì)，請說明理由；若不會(huì)，請求出EF的長．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意求出BC的長度，然后由E為BC的中點(diǎn)求出BE的長度，最后即可求出DE的長；（2）由題意可得，由F為AD的中點(diǎn)和E為BC的中點(diǎn)表示出，代入，即可求出EF長．（1）∵AB＝16，CD＝2，AC＝4，∴，,∵E為BC的中點(diǎn)，∴，∴；（2）線段EF的長度不會(huì)發(fā)生變化，，∵AB＝16，CD＝2，∴，∵F為AD的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計(jì)算以及有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中線段之間的數(shù)量關(guān)系．變式1．（2022·遼寧撫順·九年級）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD，點(diǎn)P沿直線l從左向右移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【答案】C【分析】點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)，而圖中共有六條線段，由此可以得到出現(xiàn)報(bào)警的最多次數(shù)．【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)出報(bào)警，∵圖中共有線段AB、AC、AD、BC、BD、CD，∵AD和BC的中點(diǎn)是同一個(gè)，∴直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P有5個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用總體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．變式2．（2022·河南三門峽·七年級期末）如圖，點(diǎn)B在線段AC的延長線上，M、N分別是線段AC、CB的中點(diǎn)．(1)若，，求線段MN的長；(2)若，，求線段MN的長．【答案】(1)線段MN的長度為7cm(2)線段MN的長度為(a+b)【分析】(1)根據(jù)點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)”，先求出MC、CN的長度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的長度即可；(2)根據(jù)點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)”，先求出MC、CN的長度，再利用MN=CM+CN即可求出MN的長度即可．（1）解：∵AC=10cm，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴CM=AC=5cm，∵CB=4cm，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴CN=BC=2cm，∴MN=CM+CN=7cm，∴線段MN的長度為7cm；（2）∵AC=a，點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，∴CM=AC=∵CB=b，點(diǎn)N是BC的中點(diǎn)，∴CN=BC=b；∴MN=CM+CN=(a+b)，∴線段MN的長度為(a+b)．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，利用了線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，難度較大．4.方程思想方程思想是指把數(shù)學(xué)問題通過適當(dāng)?shù)耐緩睫D(zhuǎn)化為方程，從而使問題得到解決的思想方法，運(yùn)用方程思想計(jì)算線段的長，巧設(shè)未知數(shù)，一般設(shè)和其它多數(shù)線段相關(guān)的線段為x.有關(guān)線段比的問題（或倍分關(guān)系）常用方程思想求解。例4．（2022·山東煙臺(tái)·期中）如圖線段，點(diǎn)在射線上從點(diǎn)開始，以每秒的速度沿著射線的方向勻速運(yùn)動(dòng)，則時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（

）A．秒 B．3秒 C．秒或秒 D．3秒或6秒【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，當(dāng)PB=AB時(shí)，點(diǎn)P可以位于點(diǎn)B兩側(cè)，則通過分類討論問題可解．【詳解】解：由已知當(dāng)PB=AB時(shí)，PB=，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則AP=2t當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)2t+=8解得t=，當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)2t-=8解得t=所以t=或t=．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，解答時(shí)注意根據(jù)已知的線段數(shù)量關(guān)系構(gòu)造方程．變式1．（2022·江蘇蘇州·七年級期末）如圖所示．點(diǎn)A，B，C是數(shù)軸上的三個(gè)點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，，．(1)點(diǎn)A表示的數(shù)是______；(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒2個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng)，則經(jīng)過______秒時(shí)，點(diǎn)C恰好是BP的中點(diǎn)；(3)若點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿著數(shù)軸以每秒1個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng)，線段QB的中點(diǎn)為M，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)了多少秒？請說明理由．【答案】(1)-6(2)8(3)秒或秒【分析】（1）根據(jù)，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，直接得出即可；（2）設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，分情況列方程求解即可．（1）AB=12，且，兩點(diǎn)表示的數(shù)互為相反數(shù)，點(diǎn)表示的數(shù)是，故答案為：；（2）AB=12，，，，設(shè)經(jīng)過秒點(diǎn)是的中點(diǎn)，根據(jù)題意列方程得，解得，故答案為：8；（3）設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了秒時(shí)，①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)時(shí)，即，根據(jù)題意列方程得，解得；綜上，當(dāng)運(yùn)動(dòng)了秒或秒時(shí)．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的知識(shí)，熟練根據(jù)題中等量關(guān)系列方程求解是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·河南·鄭州中學(xué)七年級期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，線段AC＝8m，．機(jī)器狗P從點(diǎn)A出發(fā)，以6m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即以原來的速度返回；機(jī)械貓Q從點(diǎn)C出發(fā)，以2m/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)它們同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs．當(dāng)機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第二次相遇時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．(1)BC＝______m，AB＝______m；(2)試通過計(jì)算說明：當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處？(3)當(dāng)x為何值時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ＝2m？請直接寫出x的值．【答案】(1)16，24．(2)當(dāng)x=，即運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處．(3)當(dāng)x=或x=或x=，即運(yùn)動(dòng)x=或x=或x=秒時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ=2m．【分析】（1）由且AC=8cm得8+BC=，先求出BC的長，然后再求出AB的長即可；（2）先確定機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，再根據(jù)線段AP=AQ列方程求出x的值即可；（3）分三種情況，一是點(diǎn)P在線段AQ上，可根據(jù)AP+2=AQ列方程求出x的值；二是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B之前，可根據(jù)AP-2=AQ列方程求出x的值；三是點(diǎn)P在線段BQ上且點(diǎn)P從點(diǎn)B返回時(shí)，可根據(jù)2AB減去點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的距離等于AQ+2列方程求出x的值即可．(1)解：∵，AB=AC+BC，AC=8m，∴8+BC=，解得：BC=16m，∴AB=×16=24m．故答案為：16，24．(2)解：由題意可得：：機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處只存在一種情況，即機(jī)器狗P與機(jī)械貓Q第一次相遇之前，∴6x={8+2x），解得x=．答：當(dāng)x=，即運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，機(jī)器狗P在點(diǎn)A與機(jī)械貓Q的中點(diǎn)處．(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在線段AQ上且PQ=2m時(shí)，則6x+2=8+2x，解得x=；當(dāng)點(diǎn)P在線段BQ上且PQ=2m時(shí)，則6x-2=8+2x或24×2-6x=8+2x+2，解得x=或x=．答：當(dāng)x=或x=或x=，即運(yùn)動(dòng)x=或x=或x=秒時(shí)，機(jī)器狗和機(jī)械貓之間的距離PQ=2m．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的應(yīng)用、線段上的動(dòng)點(diǎn)問題的求解等知識(shí)點(diǎn)，正確地用含x的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長是解答本題的關(guān)鍵.課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2022?武侯區(qū)期末）已知線段AB＝10cm，點(diǎn)C為直線AB上一點(diǎn)，且AC＝2cm，點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，則線段AD的長為（）A．4cm B．6cm C．4cm或5cm D．4cm或6cm解：如圖1所示，∵線段AB＝10cm，AC＝2cm，∴BC＝AB﹣AC＝10﹣2＝8（cm），∵點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，∴CD＝BC＝4（cm），∴AD＝AC+CD＝2+4＝6（cm），如圖2所示，∵線段AB＝10cm，AC＝2cm，∴BC＝AB+AC＝12（cm），∵點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，∴CD＝BC＝6（cm），∴AD＝CD﹣AC＝4（cm）；綜上所述，線段AD的長為6cm或4cm，故選：D．2．（2022·重慶梁平·七年級期末）如圖，有一種電子游戲，電子屏幕上有一條直線l，在直線上有A，B，C，D四點(diǎn)，且AB＝BC＝CD．點(diǎn)P沿直線l從右向左移動(dòng)，當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，就會(huì)發(fā)出警報(bào)，則直線l上會(huì)發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有______個(gè)．【答案】5【分析】點(diǎn)P與A，B，C，D四點(diǎn)中的至少兩個(gè)點(diǎn)距離相等時(shí)，也就是點(diǎn)P恰好是其中一條線段中點(diǎn)，據(jù)此解答即可．【詳解】解：根據(jù)題意可知：當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過任意一條線段中點(diǎn)時(shí)會(huì)發(fā)出報(bào)警，∵圖中共有線段DC、DB、DA、CB、CA、BA，∵BC和AD中點(diǎn)是同一個(gè)，∴發(fā)出警報(bào)的點(diǎn)P最多有5個(gè)．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的中點(diǎn)，利用總體思想去思考線段的總條數(shù)是解決問題最巧妙的辦法，可以減去不必要的討論與分類．3.（2022·福建漳州·七年級期末）如圖，AB＝12cm，C為線段AB上一點(diǎn)，且AC＝2BC．(1)求AC的長；(2)若D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在直線AB上，且AE＝3cm．請你把圖形補(bǔ)充完整；并求DE的長．【答案】(1)8cm；(2)補(bǔ)全圖形見解析，7cm或13cm．【分析】（1）由和，即可求出AC的長；（2）分類討論當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，畫出圖形．根據(jù)D為BC的中點(diǎn)，即可求出CD的長，從而可求出AD的長，再根據(jù)所畫圖形，即可求出DE的長．(1)∵，即，∴cm，解得：cm；(2)①當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)時(shí)，如下圖即為補(bǔ)全的圖形，∵，∴．∵D為BC的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴cm；②當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，如下圖即為補(bǔ)全的圖形，同理，可求出∵，∴cm．【點(diǎn)睛】本題考查線段的中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和與差．利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．4．（2022?臨淄區(qū)期末）如圖，點(diǎn)C在線段AB上，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)．（1）若AC＝9cm，CB＝6cm，求線段MN的長；（2）若C為線段AB上任一點(diǎn)，滿足AC+CB＝acm，其它條件不變，你能猜想MN的長度嗎？請直接寫出你的答案．（3）若C在線段AB的延長線上，且滿足AC﹣BC＝bcm，M、N分別為AC、BC的中點(diǎn)，你能猜想MN的長度嗎？請畫出圖形，寫出你的結(jié)論，并說明理由．解：（1）∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC＝9cm，CB＝6cm，∴MN＝MC+CN＝AC+BC＝（AC+BC）＝（9+6）＝7.5cm；（2）∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC+CB＝acm，∴MN＝MC+CN＝（AC+CB）＝a（cm）；（3）MN＝b，如圖，∵M(jìn)、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴MC＝AC、CN＝BC，∵AC﹣BC＝bcm，∴MN＝MC﹣CN＝AC﹣BC＝（AC﹣BC）＝b．5.（2022·成都市·七年級期中）已知：點(diǎn)C在直線AB上，點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)．（1）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，如圖（1），①若AC＝5，BC＝3，則DE＝4；②若AC+BC＝a，你能猜想出DE的長度嗎？寫出你的猜想并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線上，且AC＝m，BC＝n時(shí)，你能猜想出DE的長度嗎？請?jiān)趫D（2）上畫出圖形，并直接寫出你的猜想結(jié)果．【解題思路】（1）①由中點(diǎn)的性質(zhì)得DC=12AC、CE=12BC，根據(jù)DE＝DC+CE=12AC+1②與①同理；（2）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得DC=12AC、CE=12BC，結(jié)合圖形依據(jù)DE＝CE﹣CD=12BC?1【解答過程】解：（1）①∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DC=12AC、CE=∵AC＝5，BC＝3，∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（故答案為：4；②∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DC=12AC、CE=∵AC+CB＝a，∴DE＝DC+CE=12AC+12BC=12（AC（2）DE=12（n﹣如圖（2），∵點(diǎn)D、E分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴DC=12AC、CE=∵AC＝m，BC＝n，∴DE＝CE﹣CD=12BC?12AC=16.（2022·山東·七年級期中）已知點(diǎn)C在線段AB上，AC＝2BC，點(diǎn)D、E在直線AB上，點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)．若AB＝18，DE＝8，線段DE在線段AB上移動(dòng)．①如圖1，當(dāng)E為BC中點(diǎn)時(shí)，求AD的長；②點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，求AD的長．【解題思路】①根據(jù)AC＝2BC，AB＝18，可求得BC＝6，AC＝12，根據(jù)中點(diǎn)定義求出BE，由線段的和差即可得到AD的長；②點(diǎn)F（異于A，B，C點(diǎn)）在線段AB上，AF＝3AD，CE+EF＝3，確定點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，即可求AD的長．【解答過程】解：①AC＝2BC，AB＝18，∴BC＝6，AC＝12，如圖1，∵E為BC中點(diǎn)，∴CE＝BE＝3，∵DE＝8，∴BD＝DE+BE＝8+3＝11，∴AD＝AB﹣DB＝18﹣11＝7；②Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的左側(cè)，如圖2，或∵CE+EF＝3，BC＝6，∴點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，∴CF＝BF＝3，∴AF＝AB﹣BF＝18﹣3＝15，∴AD=13∵CE+EF＝3，故圖2（b）這種情況求不出；Ⅱ、如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)F的右側(cè)，或∵AC＝12，CE+EF＝CF＝3，∴AF＝AC﹣CF＝9，∴AF＝3AD＝9，∴AD＝3．∵CE+EF＝3，故圖3（b）這種情況求不出；綜上所述：AD的長為3或5．7.（2022·廣東·七年級期中）如圖，點(diǎn)P是線段AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別是線段AP、PB的中點(diǎn)．（1）如圖1，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，且MP＝4cm，則線段AB的長16cm；（2）如圖2，若點(diǎn)P是線段AB上的任一點(diǎn)，且AB＝12cm，求線段MN的長；（3）小明由（1）（2）猜想到，若點(diǎn)P是直線AB上的任意一點(diǎn)，且AB＝12cm，線段MN的長與（2）中結(jié)果一樣，你同意他的猜想嗎？說明你的理由．【解題思路】（1）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可求解AP的長，進(jìn)而可求解AB的長；（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可求得AB＝2MN，即可求解MN的值；（3）可分兩種情況：當(dāng)P點(diǎn)在線段AB延長線上時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)在線段BA延長線上時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)的定義求解M，N兩點(diǎn)間的距離．【解答過程】解：（1）∵點(diǎn)M、N分別是線段AP、PB的中點(diǎn)，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∵M(jìn)P＝4cm，∴AP＝8cm，∵P為AB的中點(diǎn)，∴AB＝2AP＝16cm，故答案為16；（2）∵點(diǎn)M、N分別是線段AP、PB的中點(diǎn)，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∴AP+BP＝2MP+2PN＝2MN，即AB＝2MN，∵AB＝12cm，∴MN＝6cm；（3）同意．理由：當(dāng)P點(diǎn)在線段AB延長線上時(shí)，∵點(diǎn)M、N分別是線段AP、PB的中點(diǎn)，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∴AP﹣BP＝2MP﹣2PN＝2MN，即AB＝2MN，∵AB＝12cm，∴MN＝6cm；當(dāng)P點(diǎn)在線段BA延長線上時(shí)，∵點(diǎn)M、N分別是線段AP、PB的中點(diǎn)，∴AP＝2MP，BP＝2PN，∴BP﹣AP＝2PN﹣2MP＝2MN，即AB＝2MN，∵AB＝12cm，∴MN＝6cm．8．（2022·山東泰安·期中）如圖，已知數(shù)軸上有兩點(diǎn)A，B，它們的對應(yīng)數(shù)分別是a，b，其中a＝12．(1)在B左側(cè)作線段BC＝AB，在B的右側(cè)作線段BD＝3AB（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若點(diǎn)C對應(yīng)的數(shù)是c，點(diǎn)D對應(yīng)的數(shù)是d，且AB＝40，求c，d的值．(3)在（2）的條件下，設(shè)點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，N是數(shù)軸上一點(diǎn)，且CN＝4DN，請直接寫出MN的長．【答案】(1)見解析(2)c＝－68，d＝92(3)MN＝28或【分析】（1）利用圓規(guī)量得AB的長度，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧，交點(diǎn)B左邊的坐標(biāo)軸于一點(diǎn)，即為點(diǎn)C；再點(diǎn)A為圓心，AB為半徑畫弧，交點(diǎn)A右邊的坐標(biāo)軸于一點(diǎn)，再以此點(diǎn)為圓心，AB為半徑畫弧，交圓心右邊的坐標(biāo)軸于另一點(diǎn)，則此交點(diǎn)為點(diǎn)D；（2）根據(jù)線段之間的等量關(guān)系求得AC、AD的長度，從而得出點(diǎn)所表示的數(shù)；（3）分兩種情況分析：①點(diǎn)N在線段CD上；②點(diǎn)N在線段CD的延長線上．（1）解：線段BC、BD為所求線段，如圖所示：（2）解：∵AB＝40，BC＝AB，∴AC＝2AB＝80，∵a＝12，∴c＝12－80＝－68，∵BD＝3AB，∴BD＝120，∴AD＝80，設(shè)d為x則，x－12＝80，解得：x＝92，∴d＝92．（3）解：①當(dāng)點(diǎn)N在線段CD上時(shí)，由（2）得CD＝92﹣（﹣68）＝160，點(diǎn)B對應(yīng)的數(shù)為12﹣40＝﹣28，∴BD＝92﹣（﹣28）＝120，∵點(diǎn)M是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M對應(yīng)的數(shù)為92﹣60＝32，∵CN＝4DN，∴DN＝，∴點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為，∴MN＝；②當(dāng)點(diǎn)N在線段CD的延長線上時(shí)，∵CN＝4DN，∴CD＝3DN=160，∴，∴點(diǎn)N對應(yīng)的數(shù)為，∴；故MN的長為28或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸與有理數(shù)的關(guān)系和線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，解題關(guān)鍵是抓住線段之間的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想．9．（2022·江西鷹潭·七年級期中）已知，點(diǎn)A，B，C在同一條直線上，點(diǎn)M為線段AC的中點(diǎn)、點(diǎn)N為線段BC的中點(diǎn)，(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)；①若線段AB=10，BC=4，求MN的長度；②若，則MN=_______．(2)若AC=10，BC=n，直接寫出MN的長度．（用含n的代數(shù)式表示）【答案】(1)①M(fèi)N=5；②a(2)MN的長度為n+5或5-n或n-5．【分析】（1）①點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，CM=AC，CN=BC，因此MN=CM+CN易求出答案；②類似①中方法，即可求解；（2）分3種情況討論：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，MN=5-n，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線時(shí)，MN=5-n，當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線時(shí)，MN=n-5．（1）解：①∵點(diǎn)M是AC中點(diǎn)，且AC=AB-BC=6，∴AM=CM=AC=3，∵點(diǎn)N是BC中點(diǎn)，且BC=4，∴BN=CN=BC=2，∵M(jìn)N=CM+CN，∴MN=3+2=5；②∵點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，∴CM=AC，CN=BC，∴MN=CM+CN=AC+BC=AB=a，故答案為：a；（2）解：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上時(shí)，MN=AC+BC=×10+×n=n+5，當(dāng)點(diǎn)C在線段AB的延長線時(shí)，MN=AC-BC=×10-n=5-n，當(dāng)點(diǎn)C在線段BA的延長線時(shí)，MN=BC-AC=n-5=n-5．綜上，MN的長度為n+5或5-n或n-5．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的和差，線段中點(diǎn)的定義．分情況討論是解題的關(guān)鍵．10．（2022·江蘇·江陰市敔山灣實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級階段練習(xí)）直線l上的三個(gè)點(diǎn)A、B、C，若滿足BC＝AB，則稱點(diǎn)C是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的“半距點(diǎn)”．如圖1，BC＝AB，此時(shí)點(diǎn)C就是點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)B的一個(gè)“半距點(diǎn)”．若M、N、P三個(gè)點(diǎn)在同一條直線m上，且點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，MN＝6cm．(1)(2)若點(diǎn)G也是直線m上一點(diǎn)，且點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，求線段GN的長度．【答案】(1)3或9(2)或【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，可得，分兩種情況畫圖求解（2）根據(jù)點(diǎn)G是線段MP的中點(diǎn)，結(jié)合（1）分兩種情況即可求得線段GN的長度（1）如圖所示：第一種情況：∵點(diǎn)P是點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)N的“半距點(diǎn)”，∴，∵，∴第二種情況：∵，∴綜上：MP的長度為3cm或9cm（2）如圖所示：第一種情況：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴∴第二種情況：點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，∴∴綜上：線段GN的長度為或．【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，準(zhǔn)確理解概念并作出圖形是解題關(guān)鍵．11．（2022·貴州銅仁·七年級期末）如圖1，已知點(diǎn)C在線段AB上，線段AC＝10厘米，BC＝6厘米，點(diǎn)M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)．（1）求線段MN的長度．（2）根據(jù)第（1）題的計(jì)算過程和結(jié)果，設(shè)AC＝a，BC＝b，其他條件不變，求MN的長度．（3）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以2cm/s的速度沿AB向右運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為B，點(diǎn)Q以1cm/s的速度沿AB向左運(yùn)動(dòng)，終點(diǎn)為A，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)