專題04圓解答題(原卷版+解析)

二輪復(fù)習【中考沖刺】2023年中考數(shù)學重要考點名校模擬題分類匯編專題04——圓解答題（成都專用）1．（四川省成都市金牛區(qū)成都外國語學校2021-2022學年九年級下學期期中數(shù)學試題）如圖1所示，已知AB，CD是⊙O的直徑，T是CD延長線的一點，⊙O的弦AF交CD于點E，且AE＝EF，OA2＝OE?OT．（1）如圖1，求證：BT是⊙O的切線；（2）在圖1中連接CB，DB，若DBCB=1（3）如圖2，連接DF交AB于點G，過G作GP⊥CD于點P，若BT=62，DT＝6．求：DG2．（四川省成都外國語學校2019屆九年級二診模擬考試數(shù)學試題）如圖,Rt△ABC中，∠B=90°，它的內(nèi)切圓分別與邊BC、CA、AB相切于點D、E、F，(1)設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,求證:內(nèi)切圓半徑r＝12(2)若AD交圓于P,PC交圓于H,FH//BC,求∠CPD;(3)若r=310,PD＝18,PC=272.求△ABC各邊長.3．（2022年四川省成都市青羊區(qū)樹德中學九年級下學期二診）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，且D為弧BC中點，過點D的直線DE⊥AC交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連接AD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若∠DAB=30°,⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；(3)若sin∠EAF=454．（2020年四川省成都市樹德中學九年級二診數(shù)學模擬試題）如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D，BC是⊙O的切線，E為BC的中點，連接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切線；（2）設(shè)△CDE的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的條件下，連接AE，若⊙O的半徑為2，求AE的長．5．（2021年四川省成都市實驗外國語學校九年級下學期中考數(shù)學一診）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，CD⊥AB于點D，點P為AB延長線上一點，且∠BCP=∠BCD．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）點E是⊙O上一點，∠ACE=2∠BCP，連接BE，CD的延長線交BE于F，求證：CF（3）在（2）的條件下，若CF=26,BP=2，求BE及6．（四川省成都市實驗外國語學校2019-2020學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BC于D，以AD直徑作⊙O，交AC于點E,恰有CE=AD，連接DE．（1）如圖1，求證：△CDE≌△ABD；（2）如圖2，連接BE分別交AD，⊙O于點F,G,連接AG,DG,試探究DG與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若DG=2，求AD7．（四川省成都實驗外國語學校2019-2020學年九年級下學期入學考試數(shù)學試題）如圖，AB，CE是⊙O的直徑，過點C的切線與AB的延長線交于點P，AD⊥PC于D，連接AC，OD，PE.（1）求證：AC是∠DAP的角平分線；（2）若PB=2，PC=3，求BC的值；（3）若AD=3，PE=2DO，求⊙O的半徑．8．（2022年四川省成都市七中育才學校中考數(shù)學二診試題）如圖，⊙O上有A，B，C三點，AC是直徑，點D是AB的中點，連接CD交AB于點E，點F在AB延長線上且FC=FE．(1)證明：∠BCE=∠ACE；(2)求證：CF是⊙O的切線；(3)若sinF=45，BE=69．（四川省成都市錦江區(qū)七中育才學校2021-2022學年九年級下學期入學練習數(shù)學試題）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC是⊙O的直徑，AB，DC的延長線交于點E，∠ACD＝(1)求證：△ABD是等腰三角形；(2)如圖2，若BD平分∠ADC，求ABBE(3)如圖1，若AB=yBE，tan∠ACB=x，求y與x10．（四川省成都市七中育才學校2019屆九年級下學期三診數(shù)學試題）如圖1，以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O，交斜邊AB于點D，作弦DF交BC于點E．（1）求證：∠A=∠F；（2）如圖2，連接CF，若∠FCB=2∠CBA，求證：DF=DB；（3）如圖3，在（2）的條件下，H為線段CF上一點，且FHHC=111．（2021年四川省成都市七中育才九年級下學期中考數(shù)學一診）如圖，AB為⊙O直徑，C，D為⊙O上不同于A，B兩點，連接CD，過C作⊙O的切線交AB延長線于點F．直線DB⊥CF于點E．（1）求證：∠ABD=2∠BAC；（2）連接BC，求證：BC（3）當BD=365,12．（2020年四川省成都市七中育才九年級下學期中考數(shù)學二診）AB為⊙O的直徑，點C、D為⊙O上的兩個點，AD交BC于點F，點E在AB上，DE交BC于點G，且∠DGF=∠CAB．（1）如圖1．求證：DE⊥AB．（2）如圖2．若AD平分∠CAB．求證：BC=2DE．（3）如圖3．在（2）的條件下，連接OF，若∠AFO=45°，AC=8，求OF的長．

13．（2018秋·四川成都·九年級四川省成都市七中育才學校?？茧A段練習）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，若∠BAC＝45°．（1）求證：OE＝12（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H，若BD＝6，CD＝4，求AD的長；（3）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，在（2）的條件下求OMON14．（2022·四川成都·四川師范大學附屬中學?？寄M預(yù)測）如圖，點C是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上一動點（不與A，B重合），AB=8，連接AC并延長至點D，使CD=AC，過點D作AB的垂線DH，分別交ACB，CB，AB于點E，F(xiàn)，H，連接OC．記∠ABC=θ，θ隨點C的移動而變化．(1)當θ<45°時，求證：(2)連接OD，當θ=2∠ADO時，求OH的長．15．（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學?？寄M預(yù)測）如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，直線AC與過B點的切線相交于點D，點F是BD的中點，直線CF交直線AB于點G．(1)求證：CG是⊙O的切線；(2)已知，BG=22，F(xiàn)B=1，求AC16．（2021·四川成都·成都市樹德實驗中學校考二模）如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6，以AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D．（1）如圖1，若M是BC的中點，求證：DM是⊙O的切線；（2）如圖2，設(shè)E是BC延長線上一動點，AE交⊙O于點F，BF交AC于點G，連接DF．（ⅰ）若GB=GC，求CE和DF的長；（ⅱ）求BFAE17．（2021·四川成都·四川師范大學實驗外國語學校?？级＃┮阎?，AB是⊙O的直徑，AE、AF是弦，BC是⊙O的切線，過點A作AD，使∠DAF＝∠AEF．（1）如圖1，求證：AD∥BC；（2）如圖2，若AD＝BC＝AB，連接CD，延長AF交CD于G，連接CF，若G為CD中點，求證：CF＝CB；（3）如圖3，在（2）的條件下，點I在線段FG上，且IF＝AF，點P在BE?上，連接BP并延長到L，使PL＝PB，連接AL，延長EA、BI交于點K，已知∠BAK+∠ABL＝180°，∠ABI+∠BAL＝90°，⊙O的半徑為102，求四邊形18．（2022·成都市第七中學初中學校九下第一次診斷測試）如圖，已知AB是⊙O的直徑，D是⊙O上一點，連接OD，BD，C為AB延長線上一點，連接CD，且∠BDC=12∠BOD(1)求證：CD是⊙O的切線；(2)若⊙O的半徑為2，CD=5，求BC和BD二輪復(fù)習【中考沖刺】2023年中考數(shù)學重要考點名校模擬題分類匯編專題04——圓解答題（成都專用）1．（四川省成都市金牛區(qū)成都外國語學校2021-2022學年九年級下學期期中數(shù)學試題）如圖1所示，已知AB，CD是⊙O的直徑，T是CD延長線的一點，⊙O的弦AF交CD于點E，且AE＝EF，OA2＝OE?OT．（1）如圖1，求證：BT是⊙O的切線；（2）在圖1中連接CB，DB，若DBCB=1（3）如圖2，連接DF交AB于點G，過G作GP⊥CD于點P，若BT=62，DT＝6．求：DG【答案】（1）詳見解析；（2）CD是圓的直徑；（3）6【分析】（1）證明AO2=OE?OT、△AOE∽△TOB，即可求解；（2）證明△DBT∽△BCT，則DTBT=BT（3）由△AOE∽△TOB得OE=1，又△AOE∽△GOP，則OPPG=OE【詳解】解：（1）證明：CD是⊙O的直徑，⊙O的弦AF交CD于點E，且AE＝EF，∴CD⊥AF，∠AEO＝90°，∴AO2＝OE?OT，AB是圓的直徑，∴AO∴△AOE∽△TOB，∴∠OBT＝∠AEO＝90°，∴BT是⊙O的切線；（2）CD是圓的直徑，∴∠CBD＝90°，又∠OBT＝90°，∴∠CBO＝∠DBT，∵OB＝OC，∴∠C＝∠OBC，∴∠C＝∠DBT，又∠T＝∠T，∴△DBT∽△BCT，∴DTBT設(shè)DT＝m（m＞0），則BT＝2m，CT＝4m，則CD＝3m，OB＝OD＝1.5m，在Rt△OBT中，tanT=OB（3）∵∠OBT＝90°，∴OB2+BT2＝OT2，設(shè)半徑為r，又BT＝62，DT＝6，r2+（62）2+（r+6）2，解得：r＝3，∴△AOE∽△TOB，∴OAOE=∴OE＝1，AE＝22，∵GP⊥CD于點P，∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠GPO，又∠AOE＝∠GOP，∴△AOE∽△GOP，∴OPPG設(shè)：OP＝a，則PG＝22a，PD＝OD﹣OP＝3﹣a，而△PDG∽△EDF，則PDDE即：3?a4=2∴PD=12在Rt△PDG中，DG=PD【點睛】此題屬于圓的綜合題，涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)值的知識，綜合性較強，解答本題需要我們熟練各部分的內(nèi)容，對學生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學知識貫穿起來．2．（四川省成都外國語學校2019屆九年級二診模擬考試數(shù)學試題）如圖,Rt△ABC中，∠B=90°，它的內(nèi)切圓分別與邊BC、CA、AB相切于點D、E、F，(1)設(shè)AB=c,BC=a,AC=b,求證:內(nèi)切圓半徑r＝12(2)若AD交圓于P,PC交圓于H,FH//BC,求∠CPD;(3)若r=310,PD＝18,PC=272.求△ABC各邊長.【答案】（1）證明見解析（2）45°（3）9【分析】（1）根據(jù)切線長定理，有AE=AF，BD=BF，CD=CE．易證四邊形BDOF為正方形，BD=BF=r，用r表示AF、AE、CD、CE，利用AE+CE=AC為等量關(guān)系列式．（2）∠CPD為弧DH所對的圓周角，連接OD，易得弧DH所對的圓心角∠DOH=90°，所以∠CPD=45°．（3）由PD=18和r=310,【詳解】解：（1）證明：設(shè)圓心為O，連接OD、OE、OF，∵⊙O分別與BC、CA、AB相切于點D、E、F∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，AE=AF，BD=BF，CD=CE∴∠B=∠ODB=∠OFB=90°∴四邊形BDOF是矩形∵OD=OF=r∴矩形BDOF是正方形∴BD=BF=r∴AE=AF=AB-BF=c-r，CE=CD=BC-BD=a-r∵AE+CE=AC∴c-r+a-r=b整理得：r=12（2）取FH中點O，連接OD∵FH∥BC∴∠AFH=∠B=90°∵AB與圓相切于點F，∴FH為圓的直徑，即O為圓心∵FH∥BC∴∠DOH=∠ODB=90°∴∠CPD=12（3）設(shè)圓心為O，連接DO并延長交⊙O于點G，連接PG，過O作OM⊥PD于M∴∠OMD=90°∵PD=18∴DM=12∵BF=BD=OD=r=310，∴OM=OD2?DM2∴tan∠MOD=DMOM∵DG為直徑∴∠DPG=90°∴OM∥PG，∠G+∠ODM=90°∴∠G=∠MOD∵∠ODB=∠ADB+∠ODM=90°∴∠ADB=∠G∴∠ADB=∠MOD∴tan∠ADB=ABBD∴AB=3BD=3r=910∴AE=AF=AB-BF=910?310＝610設(shè)CE=CD=x，則BC=310+x，AC=610+x∵AB2+BC2=AC2∴(910)2．+(310+x)2＝(610+x)2解得：x=910∴BC=1210，AC=1510∴△ABC各邊長AB=910，AC=1510，BC=1210【點睛】本題考查切線的性質(zhì)，切線長定理，正方形的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理．切線長定理的運用是解決本題的關(guān)鍵，而在不能直接求得線段長的情況下，利用勾股定理作為等量關(guān)系列方程解決是常用做法．3．（2022年四川省成都市青羊區(qū)樹德中學九年級下學期二診）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，且D為弧BC中點，過點D的直線DE⊥AC交AC的延長線于點E，交AB的延長線于點F，連接AD．(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)若∠DAB=30°,⊙O的半徑為2，求陰影部分的面積；(3)若sin∠EAF=45【答案】(1)證明見解析(2)2(3)24【分析】（1）連接OD，證明OD∥AE即可得到OD⊥DE，即可得到DE是⊙O的切線；（2）先求出∠DOB=60°，解直角△ODF求出DF的長，然后根據(jù)S陰影（3）先證明∠DOF=∠EAF，解直角△DOF得到OF=54DF=5，則OA=OD=OF【詳解】（1）證明：如圖，連接OD，∵D為弧BC中點，∴BD=∴∠CAD=∠DAB，∵OA=OD，∴∠DAB=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵EF是切線，∴∠ODF=90°，∵∠OAD=∠ODA=30°，∴∠DOB=∠OAD+∠ODA=60°，∴DF=OD?tan∠DOF=23∴S陰影==23（3）解：∵OD∥AE，∴∠DOF=∠EAF，∵∠ODF=90°∴sin∠EAF=sin∠DOF=DF∴OF=5∴OA=OD=O∴AF=OA+OF=8，∵OD∥AE，∴△AEF∽△ODF∴AEOD∴AE=AF?OD【點睛】本題主要考查了圓切線的性質(zhì)與判定，扇形面積，三角形面積，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形，勾股定理，平行線的性質(zhì)與判定，等腰對等角，三角形外角的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．4．（2020年四川省成都市樹德中學九年級二診數(shù)學模擬試題）如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D，BC是⊙O的切線，E為BC的中點，連接BD、DE．（1）求DE是⊙O的切線；（2）設(shè)△CDE的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2，若S2＝5S1，求tan∠BAC的值；（3）在（2）的條件下，連接AE，若⊙O的半徑為2，求AE的長．【答案】（1）證明見解析；（2）22；（3）3【分析】（1）連接OD，由圓周角定理就可得∠ADB=90°和∠CDB=90°，又由E為BC的中點可以得出DE=BE，進一步得到∠EDO＝∠EBO，由等式的性質(zhì)就可以得出∠ODE=90°即可證明；（2）由S2=5S1，即△ADB的面積是△CDE面積的4倍，可得AD:CD=2:1，AD:BD=2，則可求tan∠BAC；（3）由（2）的關(guān)系即可知AD:BD=2，在Rt△AEB中，運用勾股定理解答即可．【詳解】（1）證明：連接OD，∴OD＝OB∴∠ODB＝∠OBD．∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠CDB＝90°．∵E為BC的中點，∴DE＝BE，∴∠EDB＝∠EBD，∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，即∠EDO＝∠EBO．∵BC是以AB為直徑的⊙O的切線，∴AB⊥BC，∴∠EBO＝90°，∴∠ODE＝90°，∴DE是⊙O的切線；（2）解：∵S2＝5S1，∴S△ADB＝2S△CDB，∴ADDC＝2∵△BDC∽△ADB，∴ADDB＝DB∴DB2＝AD?DC，∴DBAD∴tan∠BAC＝DBAD（3）解：∵tan∠BAC＝DBAD∴BCAB=22，得BC＝∵E為BC的中點，∴BE＝12BC＝2∴AE＝AB【點睛】本題考查了圓周角定理的運用、直角三角形的性質(zhì)的運用、等腰三角形的性質(zhì)的運用、切線的判定定理的運用、勾股定理的運用、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，正確添加輔助線是解答本題的關(guān)鍵．5．（2021年四川省成都市實驗外國語學校九年級下學期中考數(shù)學一診）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，CD⊥AB于點D，點P為AB延長線上一點，且∠BCP=∠BCD．（1）求證：PC是⊙O的切線；（2）點E是⊙O上一點，∠ACE=2∠BCP，連接BE，CD的延長線交BE于F，求證：CF（3）在（2）的條件下，若CF=26,BP=2，求BE及【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE=507【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OCB，證得∠BCP＋∠OCB＝90°，得出OC⊥PC，則可得出結(jié)論；（2）先證明△PCB≌△FCB，由全等三角形的性質(zhì)得出CF＝PC，再證明△PBC∽△PCA，由相似三角形的性質(zhì)得出PBPC（3）設(shè)圓的半徑為x，在Rt△OCP中，求出x=5，再證明△OCP∽△BEA，可得OCBE=OPAB=710【詳解】（1）證明：連接OC∵CD⊥AB，∴∠BCD+∠OBC=90°，∵∠BCP=∠BCD，∴∠BCP+∠OBC=90°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC，∴∠BCP+∠OCB=∠OCP=90°，∴PC是⊙O的切線；（2）連接AE，OE，∵∠CBP+∠ABC=180°，∠ABC=∠AEC，∴∠CBP+∠AEC=180°，∵AB是直徑，∴.∠ACB=90°，∵∠OCP=90°，∴∠ACO=∠BCP，∵∠ACE=2∠BCP，∴∠ACE=2∠ACO，∴∠ACO=∠ECO，又∵∠ECO=∠CEO，∠ACO=∠CAO，∴∠CAO=∠CEO，又∵∠OEA=∠OAE，∴∠CAE=∠AEC，∴∠CBP+∠CAE=180°，∵∠CBF+∠CAE=180°，∴∠CBF=∠CBP，∵BC=BC，∠BCF=∠BCP，∴△BCF≌△BCP(ASA)∴PC=FC，∵∠ACO=∠BCP，∠ACO=∠CAO，∴∠BCP=∠CAO，∴△PBC∽△PCA，∴PBPC=PC∴CF(3)設(shè)圓的半徑為x，∵△BCF≌△BCP，∴CP=CF=26∴在Rt△OCP中，2+x2∵∠BFC+∠ABE=∠BAE+∠ABE=90°，∴∠BFC=∠BAE，∴∠P=∠BAE，又∵∠AEB=∠OCP=90°，∴△OCP∽△BEA，∴OCBE∴BE=507由（2）得：∠CAE=∠CEA，△PBC∽△PCA，∴AC=CE，BCCA∴設(shè)BC=6x在Rt△ABC中，AB2=BC2∴CE=AC=6x=1042【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定，圓周角定理，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形或全等三角形解決問題．6．（四川省成都市實驗外國語學校2019-2020學年九年級上學期期末數(shù)學試題）如圖，Rt△ABC,∠BAC=90°,AD⊥BC于D，以AD直徑作⊙O，交AC于點E,恰有CE=AD，連接DE．（1）如圖1，求證：△CDE≌△ABD；（2）如圖2，連接BE分別交AD，⊙O于點F,G,連接AG,DG,試探究DG與BF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的基礎(chǔ)上，若DG=2，求AD【答案】（1）證明見解析；（2）BF=2DG；理由見解析；（3）5+1【分析】（1）由直徑所對圓周角等于90度可得∠AED=90°，進而易證∠CDE=∠B，再根據(jù)AAS即可證明△CDE≌△ABD；（2）由△CDE≌△ABD，可得DE=DB，進而可知∠DEB=∠DBE，再由同弧所對圓周角相等可得∠DAG=∠DEB，再分別證明∠BDG=∠DBE，∠GFD=∠GDF，從而可得DG=GF=GB，即可解決問題；（3）設(shè)CD=AB=y，DE=DB=z，由DE//BC，可得DEBC=CDCB，可得y=1+52z，由DE//BC，可得DEBA=EF【詳解】解：（1）證明：∵AD是直徑，∴∠AED=90°∴∠CED=90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠CED=90°，∵∠BAC=90°，∴DE//BC，∴∠CDE=∠B，又∵CE=AD，∴△CDE≌△ABD（AAS）．（2）結(jié)論：BF=2DG．理由如下：由（1）可得：△CDE≌△ABD，∴DE=DB，∴∠DEB=∠DBE，∵AD是直徑，∴∠AGD=90°∴∠ADG+∠DAG=90°，∵∠BDG+∠ADG=90°，∴∠BDG=∠DAG，又∵AG=∴∠DEB=∠DAG，∴∠BDG=∠DBE∴DG=GB，∵∠DFG+∠DBF=90°，∠FDG+∠BDG=90°，∴∠GFD=∠GDF，∴DG=GF=GB，∴BF=2DG．（3）解：設(shè)AB=CD=y，DE=DB=z，∵DE//BC，∴DEAB∴z整理得y2∴y=1+52∵DE//BC，∴DEAB又∵由（2）可知BF=2DG=22∴EF2∴EF=10∵∠DEB=∠DAG，∠EFD=∠AFG∴△DEF～△GAF，∴EFAF設(shè)DF=2k，AF=(1+5∴10∴k=5∴AD=DF+AF=5【點睛】本題綜合考查了圓與相似，涉及了圓的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會利用參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．7．（四川省成都實驗外國語學校2019-2020學年九年級下學期入學考試數(shù)學試題）如圖，AB，CE是⊙O的直徑，過點C的切線與AB的延長線交于點P，AD⊥PC于D，連接AC，OD，PE.（1）求證：AC是∠DAP的角平分線；（2）若PB=2，PC=3，求BC的值；（3）若AD=3，PE=2DO，求⊙O的半徑．【答案】（1）見解析；（2）BC=51313【分析】（1）證AD∥OC，得到∠DAC＝∠ACO，再證∠CAO＝∠ACO，可得∠DAC＝∠CAO，即可得出結(jié)論；（2）連接BC，先證∠CAB＝∠BCP，再證△CPB∽△APC，可得PBPC=PCPA=（3）設(shè)半徑為r，利用勾股定理推出PC＝2CD，再證△PCO∽△PDA，可得OCAD【詳解】解：（1）∵PC是圓的切線，AD⊥PD，∴OC⊥PD，∴AD∥OC，∴∠DAC＝∠ACO，∵AO＝CO，∴∠CAO＝∠ACO，∴∠DAC＝∠CAO，∴AC是∠DAP的角平分線；（2）如圖，連接BC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠OBC＝90°，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCB＋∠BCP＝90°，∴∠CAB＝∠BCP，又∵∠CPB＝∠APC，∴△CPB∽△APC，∴PBPC∵PB=2，PC=3，∴23∴AB=52，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴AC2＋BC2＝AB2，即94∴BC=5（3）設(shè)半徑為r，在Rt△PCE中，PE2＝（2r）2＋PC2＝4r2＋PC2，∵PE＝2DO，∴4DO2＝4r2＋PC2，∴4（DO2?r2）＝PC2，∴4DC2＝PC2，∴PC＝2CD，∵AD∥OC，∴△PCO∽△PDA，∴OCAD∴r3∴r＝2．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，解題關(guān)鍵是能夠熟練掌握并靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)等．8．（2022年四川省成都市七中育才學校中考數(shù)學二診試題）如圖，⊙O上有A，B，C三點，AC是直徑，點D是AB的中點，連接CD交AB于點E，點F在AB延長線上且FC=FE．(1)證明：∠BCE=∠ACE；(2)求證：CF是⊙O的切線；(3)若sinF=45，BE=6【答案】(1)見解析(2)見解析(3)2【分析】（1）根據(jù)弧，弦，圓周角之間得關(guān)系得出答案；（2）根據(jù)直徑所隊的圓周角是直角得∠BEC+∠BCE=90°，再根據(jù)等角對等邊，證出∠OCF=90°，由切線的判定可得出結(jié)論；（3）設(shè)BC=4x，CF=5x，由勾股定理得出求出x，證明△FBC∽△FCA，由相似三角形的性質(zhì)得出FBFC=BCCA，求出AF，AE的長，再證明【詳解】（1）∵點D是AB的中點，∴AD=∴∠BCE=∠ACE；（2）∵AC是圓O的直徑，∴∠ABC=90°，∴∠BEC+∠BCE=90°.∵CF=EF，∴∠FCE=∠FEC.由（1）可知∠BCE=∠ACE，∴∠FCE+∠ACE=90°，∴∠OCF=90°.∵CO是圓O的半徑，∴CF是圓O的切線；（3）在Rt△FBC中，BE=6，sinF=BC設(shè)BC=4x，CF=5x，根據(jù)勾股定理，得BC即(4x)2∴x=3或x=34(∴BC=12，CF=15，BF=9，∵∠CBF=∠ACF=90°，∠F=∠F，∴△FBC∽△FCA，∴FB∴3∴CA=20，∴sinF=AC∴20∴AF=25，∴AE=AF?EF=25?15=10.連接DA，∵∠DAE=∠BCE，∠AED=∠CEB，∴△AED∽△CEB，∴AE∴10∴DE=25【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了切線的判定、圓周角定理、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握切線的判定和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．9．（四川省成都市錦江區(qū)七中育才學校2021-2022學年九年級下學期入學練習數(shù)學試題）如圖1，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，對角線AC是⊙O的直徑，AB，DC的延長線交于點E，∠ACD＝(1)求證：△ABD是等腰三角形；(2)如圖2，若BD平分∠ADC，求ABBE(3)如圖1，若AB=yBE，tan∠ACB=x，求y與x【答案】(1)見解析(2)2(3)y=?1+【分析】（1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠ACD=∠DBA，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的一個外角等于內(nèi)對角可得∠BCE=∠DAB，由已知條件∠ACD＝∠BCE，可得∠DBA=∠DAB，根據(jù)等角對等邊即可證明△ABD是等腰三角形；（2）作BF⊥DA于F，設(shè)AF=a，DF=b，由（1）得DB=AD=a+b，在Rt△ADC中，勾股定理建立方程求得a=2?1b（3）過B作BF⊥AD于F，設(shè)AF=a，DF=b，由（1）知DB=DA=a+b，在Rt△DFB中勾股定理建立方程，可得，x2=ab2+2ab根據(jù)（2）可知【詳解】（1）如圖1，∵AD=∴∠ACD=∠DBA，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠BCE=∠DAB，∵∠BCE=∠ACD，∴∠DBA=∠DAB，DA=DB；（2）如圖2，作BF⊥DA于F，設(shè)AF=a，DF=b∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∠ADB=∠BDC=45°，BF=DF=b，∴BF//DE由（1）得DB=AD=a+b，∵BD=2DF，∴2b=a+b∵BF//DE，∴ABBE（3）如圖1，過B作BF⊥AD于F，設(shè)AF=a，DF=b，由（1）知DB=DA=a+b∵AB=∴∠3=∠4，tan∠3=tan∠4=x，F(xiàn)B=FD?tan∠3=bx，∵∠DFB=90°，∴DFb2+b2x∵BF∥DE，∴ab即x2=y∵y>0，∴y=?1+【點睛】本題考查了同弧所對的圓周角相等，圓內(nèi)接四邊形，等邊對等角，平行線分線段成比例，解直角三角形，求函數(shù)解析式，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（四川省成都市七中育才學校2019屆九年級下學期三診數(shù)學試題）如圖1，以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O，交斜邊AB于點D，作弦DF交BC于點E．（1）求證：∠A=∠F；（2）如圖2，連接CF，若∠FCB=2∠CBA，求證：DF=DB；（3）如圖3，在（2）的條件下，H為線段CF上一點，且FHHC=1【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）1477【分析】（1）連接CD，由BC為直徑可知CD⊥AB，根據(jù)同角余角相等可知∠A=∠BCD，根據(jù)BD=（2）連接OD、OF，易得∠OBD=∠ODB，由∠BDF=∠FCB=2∠CBA可得∠FDO=∠ODB，進而可證△BOD≌△FOD，即可得到DF=DB．（3）取CH中點M，連接OM，所以O(shè)M是△BHC的中位線，OM∥BH，又BH⊥DF，由垂徑定理可知FN=DN，設(shè)FH=x，則FC=3x，OD=OC=OB=2x，設(shè)∠CBA=α，則∠CBD=∠DCA=α，由勾股定理可知BF=7x，繼而得出tanα=17【詳解】（1）證明：連接CD，∵BC為直徑，∴∠CDB=90°，∴∠A+∠DCA=90°，∵∠BCA=90°，∴∠BCD=∠A，∵BD=∴∠F=∠BCD，∴∠F=∠A．（2）連接OD、OF，∵OB=OD=OF，∴∠OBD=∠ODB，∠ODF=∠OFD，∵BF=∴∠BDF=∠FCB∵∠FCB=2∠CBA，∴∠BDF=2∠CBA，∵∠OBD=∠ODB，∴∠OBD=∠ODB=∠ODF=∠OFD，又∵OD=OD，∴△BOD≌△FOD（AAS），∴DF=DB．（3）取CH中點M，連接OM，交FD于N點，設(shè)∠CBA=α，則∠CBD=∠DCA=α，∵HM=MC，BO=CO，∴ON∥BH，OM=12∵BH⊥FD，∴FN=DN，∵CD=∴∠DBO=∠DFC，由（2）得∠OBD=∠ODF，在△ODN和△MFN中，{∠DFC＝∠ODF△ODN≌△MFN（ASA），∴FM=OD，設(shè)FH=x，則FC=3x，OD=OC=OB=2x，∴在Rt△BFC中，BF=B∵BH⊥FD，∠BFH=90°，∴∠FBH=∠CFD=α，∴tanα=x∴CD=DA∴BD=FD=CD∴BC=B∴x=142∴BF=72∴BG=77∵OD∥FC，∴FCOD∴EF=FD×35=21S△BEF＝12【點睛】本題是一道有關(guān)圓的幾何綜合題，難度較大，主要考查了圓周角定理，三角形中位線定理、全等三角形性質(zhì)及判定，相似三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形等知識點；解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，利用角相等解三角形．11．（2021年四川省成都市七中育才九年級下學期中考數(shù)學一診）如圖，AB為⊙O直徑，C，D為⊙O上不同于A，B兩點，連接CD，過C作⊙O的切線交AB延長線于點F．直線DB⊥CF于點E．（1）求證：∠ABD=2∠BAC；（2）連接BC，求證：BC（3）當BD=365,【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）24【分析】（1）連接OC，先證明CO//BD，可得∠ABD=∠COB，由三角形外角的性質(zhì)可知∠COB=2∠BAC，進而可證結(jié)論成立；（2）連接BC，根據(jù)切線的性質(zhì)得圓周角定理證明△CBE～△ABC，最后根據(jù)相似三角形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）連接AD．如圖所示：由圓周角定理得∠ADB=90°，根據(jù)平行線性質(zhì)得∠BAD=∠F，通過解直角三角形得OF=10，再根據(jù)勾股定理得到CF的長，根據(jù)平行線成比例得EF的長，最后由勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接OC，∵CF是⊙O的切線，∴OC⊥CF，∵DB⊥CF，∴CO//BD，∴∠ABD=∠COB，∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC，∵∠COB=∠BAC+∠OCA，∴∠COB=2∠BAC，∴∠ABD=2∠BAC；（2）證明：連接BC，∵AB為⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∵CE⊥DB，∴∠CEB=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OCB+∠ACO=90°,∵OC⊥CF，∴∠BCE+∠OCB=90°，∴∠ACO=∠BCE,∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC,∴∠CAB=∠BCE，∴△CBE～△ABC，∴CBAB∴BC2=AB?BE，∵AB=2OB，∴BC2=2BE?BO．（3）解：連接AD，∵AB為⊙O直徑，∴∠ADB=90°，∴CF//AD，∴∠BAD=∠F，∴sin∠BAD=sinF=BDAB∴AB=53BD=5∴OB=OC=12∵OC⊥CF，∴∠OCF=90°，∴sinF=OCOF∴OF=10，由勾股定理，得，CF=OF∵OC//DB，∴CECF=OB∴CE=245∴EF=165∵BF=OF-OB=10-6=4，∴BE=BF∴DE=BD+BE=365∴CD=CE【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、平行線分線段成比例定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，特別是（3）中，需要運用三角函數(shù)、勾股定理和由平行線得出比例式才能得出結(jié)果．12．（2020年四川省成都市七中育才九年級下學期中考數(shù)學二診）AB為⊙O的直徑，點C、D為⊙O上的兩個點，AD交BC于點F，點E在AB上，DE交BC于點G，且∠DGF=∠CAB．（1）如圖1．求證：DE⊥AB．（2）如圖2．若AD平分∠CAB．求證：BC=2DE．（3）如圖3．在（2）的條件下，連接OF，若∠AFO=45°，AC=8，求OF的長．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）4【分析】（1）因為AB為⊙O的直徑，所以∠C=90°，即∠CAB+∠B=90°，證∠2=∠CAB，可得∠2+∠CBA=90°，可得DE⊥AB；（2）連接OD交BC于H，連接BD，由AD平分∠CAB，得CD=（3）作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S，證明∠FOB=∠OFB，可得BF=BO=OA，由△BFR∽△BAC，可得FR、AF的長度，tan∠FAR=tan∠FAC=12【詳解】解：（1）如圖：∵AB是直徑∴∠C=90°，∴∠CAB+∠B=90°∵∠1=∠CAB，∠1=∠2∴∠CAB=∠2，∴∠2+∠B=90°，∴DE⊥AB；（2）如圖2，連接OD交BC于H，連接BD，∵AD平分∠CAB，∴CD=∴OD⊥BC，BH=CH，∵DE⊥AB，OD=OB，∴S△OBD=12OD×BH=1∴BH=DE，∴BC=2DE．（3）如圖3：作FR⊥AB于R，OS⊥AD于S，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=x，∴∠FBO=90°-2x，∵∠AFO=45°，∴∠FOB=45°+x，∴∠OFB=180°-（90°-2x）-（45°+x）=45°+x，∴∠FOB=∠OFB∴BF=BO=OA，∴FBAB∵∠FRB=∠ACB=90°，∠FBR=∠ABC，∴△BFR∽△BAC，∴FBAB∵AC=8，∴FR=4，∴CF=4，∴AF=82+設(shè)SO=t，AS=2t，SF=SO=t，則AF=AS+SF=3t=45∴t=4∴OF=2【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，勾股定理，以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學的知識，正確作出輔助線，從而進行解題．13．（2018秋·四川成都·九年級四川省成都市七中育才學校?？茧A段練習）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，若∠BAC＝45°．（1）求證：OE＝12（2）將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，延長FC和GB相交于點H，若BD＝6，CD＝4，求AD的長；（3）作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，在（2）的條件下求OMON【答案】（1）OE＝12BC，見解析；（2）12；（3）【分析】（1）∠根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠G＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠GAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，AG＝AF，推出四邊形AGHF是正方形，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（3）如圖，由題意直接根據(jù)勾股定理和垂徑定理即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）∠BAC＝45°，∴∠BOC＝90°，∵OB＝OC，OE⊥BC，∴OE＝12（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵將△ACD沿AC折疊為△ACF，將△ABD沿AB折疊為△ABG，∴∠G＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°，∠GAB＝∠BAD，∠FAC＝∠CAD，AG＝AF，∴∠GAF＝90°，∴四邊形AGHF是正方形，∴∠H＝90°，∵BD＝6，CD＝4，∴BG＝BD＝6，CF＝CD＝4，BC＝10，設(shè)AD＝x，∴AG＝AF＝GH＝HF＝x，∴BH＝x﹣6，HC＝x﹣4，∵BH2+CH2＝CB2，∴（x﹣6）2+（x﹣4）2＝102，∴x＝12，（負值舍去），∴AD＝12；（3）如圖，∵AG＝AF＝AD＝12，BG＝6，CF＝4，∴AB＝AG2+BG2＝122+62∵OM⊥AB于M，ON⊥AC，∴BM＝12AB＝35，CN＝12AC＝2∵OB＝OC＝22BC＝52∴OM＝OB2?BM2＝50?45＝5，ON＝O∴OMON=5【點睛】本題考查正方形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，折疊的性質(zhì)，垂徑定理，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022·四川成都·四川師范大學附屬中學?？寄M預(yù)測）如圖，點C是以O(shè)為圓心，AB為直徑的半圓上一動點（不與A，B重合），AB=8，連接AC并延長至點D，使CD=AC，過點D作AB的垂線DH，分別交ACB，CB，AB于點E，F(xiàn)，H，連接OC．記∠ABC=θ，θ隨點C的移動而變化．(1)當θ<45°時，求證：(2)連接OD，當θ=2∠ADO時，求OH的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）證△BHF∽△DHA，根據(jù)線段比例關(guān)系即可證；（2）過點O作OG⊥AD于點G，可得OH=OG，設(shè)OH=OG=x，AG=y，由正弦定義，sinθ=4+x4y，sinθ=y4，則4+x4y=y（1）∵AB是直徑，∴∠ACB=∠DCB=90∵DH⊥AB，∠CFD=∠BFH，∴∠CDH=∠ABC=θ．∵∠DCB=∠DHB=∠ACB=90∴ΔBHF∽ΔDHA．∴BH:DH=FH:AH．∴BH?AH=DH?FH．（2）解：如圖，過點O作OG⊥AD于點G．由（2）知，∠CDH=∠ABC=θ．∵θ=2∠ADO，∴OD平分∠CDH．∴OH=OG．設(shè)OH=OG=x，AG=y，則AH=4+x，AC=2y，AD=2AC=4y．在RtΔAGO中，由勾股定理，得x2在RtΔAHD中，sin∠ADH=AHAD，即在RtΔABC中，sin∠ABC=ACAB，即由②③，得4+x4y∴y2=4+x解得x=3或x=?4（舍去）．故OH的長為3．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，運用相似三角形的判定和性質(zhì)解題是關(guān)鍵．15．（2022·四川成都·成都市樹德實驗中學?？寄M預(yù)測）如圖，已知：C是以AB為直徑的半圓O上一點，直線AC與過B點的切線相交于點D，點F是BD的中點，直線CF交直線AB于點G．(1)求證：CG是⊙O的切線；(2)已知，BG=22，F(xiàn)B=1，求AC【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）連接OC，OF，利用三角形的中位線定理，全等三角形的判定定理與性質(zhì)定理證明△FOC≌△FOB，∠FCO=∠FBO=90°，再利用切線的判定定理即可得出結(jié)論；（2）連接BC，OC，利用勾股定理，切線長定理可求得線段GF，CG的長，利用相似三角形的判定與性質(zhì)可求得圓的半徑與直徑，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得到BC，AC的比，設(shè)BC=x，則AC=2【詳解】（1）證明：連接OC，OF，如圖，∵DB是圓的切線，∴OB⊥BD，∴∠OBD=90°，∵BF=BD，OA=OB，∴OF是△BAD的中位線，∴OF∥AD，∴∠FOB=∠BAD，∠FOC=∠ACO．∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠FOC=∠FOB．在△FOC和△FOB中，OC=OB∠FOC=∠FOB∴△FOC≌△FOBSAS，∴∠FCO=∠FBO=90°，∴OC⊥GC，∵OC為圓的半徑，∴CG是⊙O的切線；（2）解：連接BC，OC，如圖，∵BD⊥BG，BG=22，F(xiàn)B=1∴FG=B∵DB是圓的切線，CG是⊙O的切線，∴FC=FB=1，∴GC=FG+FC=4．∵∠FBG=∠OCG=90°，∠G=∠G，∴△GBF∽△GCO，∴OC∴OC=2∴AB=2OC=22∵CG是⊙O的切線，∴∠BCG=∠CAB，∵∠G=∠G，∴△GBC∽△GCA，∴BC設(shè)BC=x，則AC=2∵AC∴(∴x=±263∴AC=2【點睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的切線的判定與性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，切線長定理，弦切角定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．16．（2021·四川成都·成都市樹德實驗中學?？级＃┤鐖D，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=8,BC=6，以AB為直徑的⊙O交斜邊AC于點D．（1）如圖1，若M是BC的中點，求證：DM是⊙O的切線；（2）如圖2，設(shè)E是BC延長線上一動點，AE交⊙O于點F，BF交AC于點G，連接DF．（?。┤鬐B=GC，求CE和DF的長；（ⅱ）求BFAE【答案】（1）見解析；（2）（?。〤E=143，DF=168【分析】（1）連接OD，BD，由直徑所對的圓周角是90°解得∠BDC=90°，根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半得到DM=12BC=BM，繼而由等邊對等角證明∠BDM=∠DBM，∠OBD=∠ODB（2）（?。┯傻冗厡Φ冉堑玫健螱BC=∠GCB，再根據(jù)同角的余角相等解得∠BAF=∠GBC，繼而證明△ABC～△EBA，由相似三角形對應(yīng)邊成比例解得BE=323，繼而得到CE的長，再由同弧所對的圓周角相等證明得到∠ADF=∠ABF，繼而證明∠ABF=∠E，進一步證明△ADF～△AEC，由相似三角形的性質(zhì)得到AFAC=DFEC，在Rt△ABE，Rt△ABC中，利用勾股定理分別解得（ⅱ）設(shè)BE=x,利用勾股定理解得AE的長，再用等積法解得BF的長，最后求得二者的比值，結(jié)合配方法求最值即可解題．【詳解】解：（1）連接OD，BD，∵AB是直徑，∴∠ADB=90°∴∠BDC=90°若M是BC的中點，∴DM=∴∠BDM=∠DBM∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵∠ABC=90°∴∠OBD+∠DBM=90°∴∠ODB+∠BDM=90°∴OD⊥DM∴DM是⊙O的切線；（2）（ⅰ）∵GB=GC∴∠GBC=∠GCB∴∠BAF=∠GCB∵∠ABC=∠EBA=90°∵∠ABF+∠BAF=∠ABF+∠GBC=90°∴∠BAF=∠GBC∵∠ABC=∠EBA∴△ABC～△EBA∴∴A∴BE=∴CE=∵∠ADF與∠ABF所對的都是AF∵∠ADF=∠ABF,∠ABF+∠FBE=90°,∠FBE+∠E=90°∴∠ABF=∠E∴∠E=∠ADF∵∠DAF=∠CAE∴△ADF～△AEC∴Rt△ABC中，AC=Rt△ABE中，AE=∴∴∴BF=Rt△ABF中AF=∴∴DF=∴CE=143，（ⅱ）設(shè)BE=x，Rt△ABE中，AE=xS△ABE∴BF=8x∴BF當x=(x?8∴BFAE的最大值為故答案為：12【點睛】本題考查圓的綜合題，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、同弧所對的圓周角相等、直徑所對的圓周角是90°、切線的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，是重要考點，有難度，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．17．（2021·四川成都·四川師范大學實驗外國語學校?？级＃┮阎?，AB是⊙O的直徑，AE、AF是弦，BC是⊙O的切線，過點A