2021年中考一輪復習數(shù)學九年級《解直角三角形的應用》培優(yōu)提升訓練（附答案）

2021年九年級數(shù)學中考一輪復習《解直角三角形的應用》培優(yōu)提升訓練（附答案）

1.如圖，在四邊形ABC。中，/D4B=90°,AD//BC,BC=1AD,AC與3。交于點E,

2

AC1.BD,則tan/BAC的值是（）

2.如圖，ZXABC中，AB=4C=10,tanA=2,BE_LAC于點E,。是線段BE上的一個動點,

3.如圖，RtZ\ABC中，ZACB=90a,CD是43邊上的中線，BC=6,CD=5,則NACO

的正切值是（）

4.如圖，要測量一條河兩岸相對的兩點A,B之間的距離，我們可以在岸邊取點C和力，

使點8,C,。共線且直線B。與AB垂直，測得NAC8=56.3°,NA￡>B=45°,CD=

10W，則A8的長約為（）

（參考數(shù)據(jù)sin56.3°-0.8,cos56.3°?=0.6,tan56.3°?==1.5,sin45°%0.7,cos45°M）.7,

tan450=1）

5.如圖，矩形草坪ABC。中，AD=Wm,AB=10A/5〃.現(xiàn)需要修一條由兩個扇環(huán)構成的便

道HEFG,扇環(huán)的圓心分別是B、D.若便道的寬為\m,則這條便道的面積大約是（）

（精確到0」后）

7

C.10.5，/D.11.0/n

6.為測量如圖所示的上山坡道的傾斜度，小明測得圖中所示的數(shù)據(jù)（單位：米），則該坡道

傾斜角a的正切值是（）

A.AB.4C.D.-A-

4V17V17

7.如圖，在一個房間內，有一個梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離為。米,

此時梯子的傾斜角為75°,如果梯子的底端不動，頂端靠在對面墻上，此時梯子的頂端

距地面的垂直距離NB為8米，梯子的傾斜角為45°,則這間房子的寬AB為（）

ACB

A.a+b米B.a-b米C.〃米D.a米

22

8.如圖，鐵路路基橫斷面為一個等腰梯形，若腰的坡度為i=2：3,頂寬是3米，路基高是

4米，則路基的下底寬是（）

A.7米B.9米C.12米D.15米

9.如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂4處看乙樓樓頂B處仰角為

30°,則甲樓高度為（）

1573）米C.15揚eD.（36-IOA/3）米

10.如圖，AB是垂直于水平面的建筑物.為測量48的高度，小紅從建筑物底端8點出發(fā),

沿水平方向行走了52米到達點C,然后沿斜坡CD前進，到達坡頂D點處,DC=BC.在

點D處放置測角儀，測角儀支架DE高度為0.8米，在E點處測得建筑物頂端A點的仰

角/4EF為27°（點A,B,C,D,E在同一平面內）.斜坡C￡>的坡度（或坡比）i=l：

2.4,那么建筑物AB的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)sin27°心0.45,cos27°~0.89,tan27°g0.51）

A.65.8米B.71.8米C.73.8米D.119.8米

11.為踐行“綠水青山就是金山銀山”的重要思想，某森林保護區(qū)開展了尋找古樹活動.如

圖，在一個坡度（或坡比）i=l：2.4的山坡A8上發(fā)現(xiàn)有一棵古樹CD測得古樹底端C

到山腳點A的距離AC=26米，在距山腳點4水平距離6米的點E處,測得古樹頂端D

的仰角NA￡￡>=48°（古樹CO與山坡A8的剖面、點E在同一平面上,古樹CO與直線

AE垂直），則古樹8的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù):sin48°*=0.73,cos48°弋0.67,tan48°*=1.11）

A.17.0米B.21.9米C.23.3米D.33.3米

12.如圖，在△ABC中，AB=4,BC=7,NB=60°，點。在邊BC上，CD=3,連接AD如

果將△ACO沿直線AD翻折后，點C的對應點為點E,那么點E到直線BD的距離

為.

13.如圖，在RtaABC中，NACB=90°,sinA=±點C關于直線AB的對稱點為。，點

5

E為邊AC上不與點A,C重合的動點，過點。作BE的垂線交BC于點凡則坦的值

BE

14.人字梯為現(xiàn)代家庭常用的工具（如圖）.若AB,AC的長都為2祖，當a=50°時，人字

梯頂端離地面的高度AQ是m.（結果精確到0.1m參考依據(jù)：sin50°七0.77,

cos50°^0.64,tan50°七1.19）

15.“健康荊州，你我同行”，市民小張積極響應“全民健身動起來”號召，堅持在某環(huán)形步

道上跑步.已知此步道外形近似于如圖所示的Rt^ABC,其中NC=90°,A8與間

另有步道OE相連，。地在AB正中位置，E地與C地相距若tanNABC=3,Z

4

DEB=45°,小張某天沿A-CfE-8-0-4路線跑一圈，則他跑了km.

BE

16.如圖，某商店營業(yè)大廳自動扶梯AB的傾斜角為31°,A8的長為12米，則大廳兩層之

間的高度為米.（結果保留兩個有效數(shù)字）【參考數(shù)據(jù)；sin31°=0.515,cos31°

=0.857,tan3T=0.601】

17.如圖，一名滑雪運動員沿著傾斜角為34°的斜坡，從A滑行至8,已知AB=500米，

則這名滑雪運動員的高度下降了米.（參考數(shù)據(jù)：sin34°g0.56,cos34°七0.83,

18.如圖是某商場營業(yè)大廳自動扶梯示意圖.自動扶梯48的傾斜角為30°,在自動扶梯下

方地面C處測得扶梯頂端8的仰角為60°,A、C之間的距離為4〃?.則自動扶梯的垂直

高度80=m.（結果保留根號）

19.如圖，為測量旗桿A8的高度，在教學樓一樓點C處測得旗桿頂部的仰角為60°,在

四樓點。處測得旗桿頂部的仰角為30°,點C與點B在同一水平線上.已知67）=96”,

CB

20.如圖，燈塔A在測繪船的正北方向，燈塔B在測繪船的東北方向，測繪船向正東方向

航行20海里后，恰好在燈塔B的正南方向，此時測得燈塔A在測繪船北偏西63.5°的方

向上，則燈塔A,3間的距離為海里（結果保留整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)sin26.5。^0.45,

cos26.5°七0.90,tan26.5°g0.50,遍=2.24)

21.如圖，某海防哨所。發(fā)現(xiàn)在它的西北方向，距離哨所400米的A處有?艘船向正東方

向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東60°方向的8處，則此時這艘船與哨所的距離

08約為米.（精確到1米，參考數(shù)據(jù)：&F.414,A/3^1.732）

22.如圖①，在RtZiABC中，以下是小亮探究丁二^小—之間關系的方法：

sinAsinB

；sinA=至，sin8=k

cc

?「一a八一b

sinAsinB

a—b

sinAsinB

根據(jù)你掌握的三角函數(shù)知識.在圖②的銳角△ABC中，探究［Jt間

sinAsinBsinC

的關系，并寫出探究過程.

bC

圖①圖②

23.閱讀下列材料:

如圖1,在AABC中，/A、NB、NC所對的邊分別為。、b、c,可以得到:

證明：過點A作AOLBC,垂足為D

在RtZVIB。中，sinB=-^5.

C

^.AD—c*smB

同理：SAABC=1加inC

2

S/\ABC=NcsinA

2

（1）通過上述材料證明:

a=b=c

sinAsinBsinC

（2）運用（1）中的結論解決問題:

如圖2,在△ABC中，ZB=15°,ZC=60°,AB=20料，求AC的長度.

（3）如圖3,為了開發(fā)公路旁的城市荒地，測量人員選擇A、B、C三個測量點，在B

點測得A在北偏東75°方向上，沿筆直公路向正東方向行駛到達C點，測得A在

北偏西45°方向上，根據(jù)以上信息，求A、B、C三點圍成的三角形的面積.

（本題參考數(shù)值：sinl5°^0.3,sin120°以0.9,、歷七1.4,結果取整數(shù)）

24.如圖，著名旅游景區(qū)B位于大山深處，原來到此旅游需要繞行C地，沿折線A-C-B

方可到達.當?shù)卣疄榱嗽鰪娋皡^(qū)的吸引力，發(fā)展壯大旅游經濟，修建了一條從A地到

景區(qū)B的筆直公路.請結合N4=45°,Zfi=30°,BC=100千米，加光1.4,次右1.7

等數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：

(I)公路修建后，從A地到景區(qū)8旅游可以少走多少千米？

(2)為迎接旅游旺季的到來，修建公路時，施工隊使用了新的施工技術，實際工作時每

天的工效比原計劃增加25%,結果提前50天完成了施工任務.求施工隊原計劃每天修建

多少千米？

25.圖①是某車站的一組智能通道閘機，當行人通過時智能閘機會自動識別行人身份，識

別成功后，兩側的圓弧翼閘會收回到兩側閘機箱內，這時行人即可通過.圖②是兩圓弧

翼展開時的截面圖，扇形ABC和CEF是閘機的“圓弧翼”，兩圓弧翼成軸對稱，BC和

EF均垂直于地面，扇形的圓心角NABC=NDEF=28°,半徑BA=ED=60。機，點A與

點。在同一水平線上，且它們之間的距離為10cm.

(1)求閘機通道的寬度，即BC與EF之間的距離(參考數(shù)據(jù)：sin28°七0.47,cos28°

~0.88,tan28°勺0.53）；

(2)經實踐調查，一個智能閘機的平均檢票速度是一個人工檢票口平均檢票速度的2倍,

180人的團隊通過一個智能閘機口比通過一個人工檢票口可節(jié)約3分鐘，求一個智能閘機

平均每分鐘檢票通過的人數(shù).

圖①圖②地面

26.小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上，當顯示屏的邊緣線08與底板的邊緣線0A

所在水平線的夾角為120°時，感覺最舒適（如圖①）.側面示意圖為圖②；使用時為了

散熱，他在底板下面墊入散熱架，如圖③，點8、。、C在同一直線上，。4=08=24的,

（2）如圖④，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線08'與水平線的夾角仍保持120°,

求點8'到AC的距離.（結果保留根號）

27.2019年12月23日，湖南省政府批準，全國“十三五”規(guī)劃重大水利工程--邵陽資

水犬木塘水庫，將于2020年開工建設，施工測繪中，飲水干渠需經過一座險峻的石山,

如圖所示，AB,BC表示需鋪設的干渠引水管道，經測量，A,B,C所處位置的海拔44|,

BBi，CCi分別為62機，200m,550%若管道AB與水平線AA的夾角為30°,管道BC

與水平線8歷夾角為45°,求管道AB和BC的總長度（結果保留根號）.

28.位于河南省登封市境內的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產之

某校數(shù)學社團的同學們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度.如圖所示，他們在

地面一條水平步道MP上架設測角儀，先在點M處測得觀星臺最高點A的仰角為22°,

然后沿例P方向前進16%到達點N處，測得點A的仰角為45°.測角儀的高度為1.6%

（1）求觀星臺最高點A距離地面的高度（結果精確到0.1〃?.參考數(shù)據(jù)：sin22°七0.37,

cos220弋0.93,tan22°?=0.40,&七1.41）；

（2）“景點簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6%請計算本次測量結果的誤差，并提出一

條減小誤差的合理化建議.

29.如圖，為測量建筑物C。的高度，在A點測得建筑物頂部。點的仰角為22°,再向建

筑物CD前進30米到達3點，測得建筑物頂部。點的仰角為58°（A,B,C三點在一

條直線上），求建筑物CD的高度.（結果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin22°入0.37,cos22°

~0.93,tan220弋0.40,sin580弋0.85,cos58°g0.53,tan58°5M.60）

D

參考答案

1.解：,:ADHBC,ZDAB=90°,

???/4BC=1800-ZDAB=90°,NBAC+NE4Q=90°,

VAC±BD,

AZAED=90°,

AZADB+ZEAD=90°,

AZBAC=ZADB,

：.AABCsADAB,

?AB=BC

**DAAB，

?：BC=1AD,

2

：.AD=2BC,

：.AB1=BCXAD=BCX2BC=2BC2,

：.AB=y[2BC,

在RtZ\ABC中，tan/8AC=^="=返;

ABV2BC2

故選：C.

2.解：如圖，作。H_LAB于H,CM_LAB于M.

AZA￡B=90°,

,.,tan/l=^_=2,設4E=a,BE=2a,

AE

則有：100=（?+4a2,

Aa2=20,

.,.a=2，^或-2A/5（舍棄），

BE=2a=4\[^,

'：AB=AC,BELAC,CMLAB,

:.CM=BE=4席（等腰三角形兩腰上的高相等），

,/NDBH=4ABE,NBHD=ZBEA,

.?山必￡>84=也=也=返，

_BDAB5

；.DH=^BD,

5

/.CD+^-BD^CD+DH,

5

：.CD+DH云CM,

CD+

：.CD+^-BD的最小值為4代.

5

方法二：作CMJ_AB于例，交BE于點￡>,則點。滿足題意.通過三角形相似或三角函

數(shù)證得義導8。=?！?，從而得到CD+^BD=CM=4后.

55

故選:B.

3.解：；CD是A8邊上的中線，

：.CD=AD,

：.ZA=ZACD,

VZACB=90°,BC=6,CD=5,

.?.A2=10,

；.AC=8,

/.tanZX=—

AC84

；.tanNACO的值3.

4

故選：D.

4.W：AB=xm,

在RtZVLBO中，???NAD8=45°,

.\AB=BD=xm9

在RtZXHBC中，；NACB=56.3°,且tanNACB=嶇，

BC

BC=____"____=_____2_____七2x,

tan/ACBtan56.303

由BC+CD=BD得2V+10=x,

3

解得x=30,

.".AB的長約為30〃?，

故選：B.

5.解：???四邊形ABC。為矩形，

...△AO8為直角三角形，

又：4力=10,A8=10?,

ABD=VAD2+AB2=20,

又?.,cos/AOB=^=工，

BD2

AZADB=60°.

又矩形對角線互相平分且相等，便道的寬為\m,

所以每個扇環(huán)都是圓心角為30°,且外環(huán)半徑為10.5,內環(huán)半徑為9.5.

每個扇環(huán)的面積為30X10.52兀_30X9.52兀=旦￡

3603603

...當TT取3.14時整條便道面積為反三X?=10.4666?10.5/M2.

3

便道面積約為10.5渥.

故選：C,

tana=里=旦=工

AB204

故選：A.

7.解：過N點作M4垂線，垂足點。，連接NM.

設梯子底端為。點，AB=x,且AB=N￡)=x.

???△8NC為等腰直角三角形，

.*.180°-45°-75°=60°

為等邊三角形，梯子長度相同

■:/NCB=45°,

：?/DNC=45°,

，/MND=60°-45°=15°,

Acosl5°

MN

又???NMCA=75°,

???NAMC=15°,

.\cosl5o=她，

MC

故可得：工=幽.

MNCM

?.?△CNM為等邊三角形，

：.NM=CM.

??x—MA.—a.

CB

8.解：?.?腰的坡度為i=2：3,路基高是4米,

.?.DE=6米.

又；EF=AB=3.

.?.8=6+3+6=15米.

故選：D.

9.解：過點A作交BD于點、E,

在RtZ\ABE中，AE=30米，NBAE=30°,

.".BE=30Xtan300=10我（米），

：.AC=ED=BD-BE=（36-10愿）（米）.

...甲樓高為（36-1073）米.

故選：D.

10.解：過點E作EMLAB于點延長交8c于G,

?.?斜坡C￡>的坡度（或坡比）i=l：2.4,BC=C￡>=52米,

設DG=x,則CG=2Ax.

在RtACDG中，

,JDG\CCp^DC2,即x?+（2.4x）2=522,解得x=20,

.?.OG=20米，CG=48米，

A￡G=20+0.8=20.8米，BG=52+48=100米.

；EM上AB,ABLBG,EG上BG,

...四邊形EGBM是矩形,

.?.EM=BG=100米，BM=EG=20.8米.

在RtZXAEM中,

"：ZAEM=21°,

.?.AM=EM?tan27°2100X0.51=51米,

.?.AB=AM+BM=51+20.8=7L8米.

故選：B.

：空=1：2.4=2

AF12

.,.設CF=5k,AF=12fc,

AC=，仃2+AF2=13k=26,

k=2,

???Ar=24,CF=10,

???AE=6,

???M=6+24=30,

VZDEF=48°,

；.tan48。=m=變=1.11,

EF30

：.DF=33.3,

.??CC=33.3-10=23.3,

答：古樹CD的高度約為23.3米,

12.解：如圖，過點E作8c于凡

s

VBC=7,CD=3,

：.BD=BC-CD=4f

*：AB=4=BDfN8=60°,

???△ABO是等邊三角形，

AZADB=60°,

：.ZADC=ZADE=\20°,

：.NEDH=60°,

,:EH上BC,

：.ZEHD=90°,

VDE=DC=3,

.PH—CQ.e。-3^3

??EH—DE,sin60——

2_

.??E到直線BD的距離為另返,

_2

故答案為3返.

13.解：如圖，設力尸交AB于M,CD交AB于N,BE交DF于J.

CE

VZACB=90°,

AB5

...可以假設BC=4A,AB=5k,則AC=3k,

VC,。關于AB對稱，

:.CDLAB,CN=DN,

'：S^ABC=-XBCXAC=1-XABXCN,

22

：.CN=DN=^k,

5

.,.co=.2￡t,

5

'：ZFCD+ZDCA=90°,NQCA+NA=90°,

：.ZDCF=NA,

；DFLBE,CD1.AB,

：.NBJM=NDNM=90°,

,/NBMJ=ZDMN,

；.ND=NABE,

：./\DCF^/\BAE,

24

?DF=DC=5=24

"BEBA_5iT25'

14.解：\'AB=AC=2m,ADVBC,

：.ZADC=90°,

：.AD^AC*sm500=2X0.77~1.5(m),

故答案為1.5.

15.解：過。點作。以LBC,

設EF=xkm,則DF=xkm,BF=-^-xkm,

3

在RtZ\BFD中，BD=VBF2+DF2=小姓

地在AB正中位置,

：.AB=2BD^^km,

3

；tan/ABC=3,

4

解得x=3,

則3c=8h〃，AC—6km,AB=\Gkm,

小張某天沿A-C-E-B-Q-M路線跑一圈，他跑了8+10+6=24(.km).

故答案為:24.

16.解：在RtZ\ABC中，

VZACB=90°,

.?.BC=AB?sin/A4C=12X0.515^6.2(米)，

答：大廳兩層之間的距離BC的長約為6.2米.

故答案為：6.2.

17.解：如圖在RtZ\ABC中,

AC=AB?sin34°=500X0.56^280米，

.?.這名滑雪運動員的高度下降了280米.

故答案為：280.

18.解：VZBCD^ZBAC+ZABC,NBAC=30°,/BCO=60°,

ZABC=ZBCD-ZBAC=30°,

：.ZBAC=ZABC,

.?.BC=HC=4,

在RtZ\B￡>C中，sin/BCC=世，

BC

.\sin60o=毀=返，

42

:.BD=2M(M,

故答案為：2^3-

19.解：作。E_LAB于E,如圖所示：

則乙4￡。=90°,四邊形8CDE是矩形，

：.BE=CD=9.6mfZCDE=ZDEA=90°,

/.ZADC=900+30°=120°,

VZACB=60°,

AZACD=30°,

：.ZCAD=30°=ZACD9

：.AD=CD=9.6mf

在中，ZADE=30°,

/?AE=A/4D=4.8m,

2

JA8=AE+8E=4.8+9.6=14.4m；

20.解：由題意得，MN=20,/ANB=63.5°,NBMN=45°,NAMN=/BNM=90°,

；?BN=MN=20,

如圖，過4作A從LBN于E,

則四邊形AMNE是矩形，

：.AE=MN=20fEN=AM,

???AM=MN?tan26.5°=20X0.50=10,

：.BE=20-10=10,

.?.AB=、202+]02=10遙七22海里.

故答案為：22.

21.解：如圖，設線段AB交y軸于C,

在直角△OAC中，ZACO=ZCAO=45°,則AC=OC.

：OA=400米,

：.OC=OA?cos450=400X券=200&（米）.

?:在直角△OBC中，NCOB=60°,。。=200企米,

???OS/20072=400^2^566（米）

~2

sinAsinBsinC

過A作A￡>_L5C,BELAC,

在RtAAfiD中，sinB=^~,即AD=csinB,

C

在RtAADC中,sinC=-^-,即AD=bs\nCf

b

csinB=fesinC,即b=c,

sinBsinC

同理可得/_=1二，

sinAsinC

則a=b=c

sinAsinBsinC

23.解:（1）VAafesinC=-i^csinB,

22

Z?sinC=csinB,

?b=c：

sinBsinC

：同理得：/-=-.&、，

sinAsinC

?a—b—c

sinAsinBsinC

（2）由題意得：ZB=15°,ZC=60°,A8=20?,

?AB二AC叩2岫二AC

sinCsinBsin600sinl50

2

AAC^40X0.3=12；

（3）由題意得：NABC=90°-75°=15°,ZACB=90°-45°=45°,

ZA=180°-15°-45°=120°,

由—--=---=―J-得：----位---=——迄——,

sinAsinBsinCsinl200sinl50

AAC^6,

???SzMBC=LcXBCXsin/4CB七工X6X18X0.7^38.

-22

24.解：（1）過點C作AB的垂線CD,垂足為。，

在直角△BC￡>中，ABLCD,sin30°=型，BC=100千米，

BC

，CD=BC?sin30°=100XJL=50（千米），

2

BD=BC,ccs30°=100X—=5073（千米），

2

在直角△AC。中，A￡）=C￡）=50（千米），

AC=—皿—=50近（千米），

sin45°

；.A2=（50+50次）（千米），

...從A地到景區(qū)B旅游可以少走：4C+8C-4B=50&+100-（50+50我）=50+50&-

50次和35(千米).

答：從A地到景區(qū)B旅游可以少走35千米；

(2)設施工隊原計劃每天修建x千米，依題意有,

50+50?_50+50?=5。

~(1+25%)，

解得X=2L=0.54,

50

經檢驗x=0.54是原分式方程的解.

答：施工隊原計劃每天修建0.54千米.

25.解：(1)連接A。，并向兩方延長，分別交BC,EF于M,N,

由點A,。在同一條水平線上，BC,EF均垂直于地面可知，MNLBC,MNLEF,

所以MN的長度就是BC與EF之間的距離，

同時，由兩圓弧翼成軸對稱可得，AM=DN,

在中，NAMB=90°,ZABM=28°,AB=60cm,

'：sinZABM=^~,

AB

.?.AM=AB?sin/ABM=60?sin28°仁60X0.47=28.2,

MN=AM+DN+AD=2AM+AD=282X2+10=66.4,

BC與EF之間