2025屆高三數(shù)學(xué)試驗(yàn)檢測卷1理含解析

PAGE26-2025屆高三數(shù)學(xué)試驗(yàn)檢測卷1理（含解析）第Ⅰ卷（選擇題：共60分）一、選擇題：本共12小題，每5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知實(shí)數(shù)，和虛數(shù)單位滿意，則（）A.2 B.3 C.4 D.【答案】B【解析】【分析】由題得，解方程組即得解.【詳解】∵，整理為，依據(jù)復(fù)數(shù)相等條件有，解得，則，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)相等的概念，意在考查學(xué)生對該學(xué)問的理解駕馭水平.2.已知集合，，則中所含元素的個數(shù)為（）A.4 B.6 C.8 D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)，通過列舉法即可得到集合B中的元素，從而得到選項(xiàng).【詳解】∵集合中元素要求，故，于是用列舉法可得符合集合的元素有：，，，，，，，，，共10個元素，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示方法的應(yīng)用，考查集合中元素個數(shù)問題，屬于簡潔題.3.《周髀算經(jīng)》中一個問題：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為：（）A尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式列方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出結(jié)果.【詳解】從冬至起，日影長依次記為，依據(jù)題意，有，依據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有，而，設(shè)其公差為，則有，解得，所以冬至的日影子長為尺，故選A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)應(yīng)用等差數(shù)列解決實(shí)際生活中的問題，涉及到的學(xué)問點(diǎn)有等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和的有關(guān)量的計算，屬于簡潔題目.4.某視察站與兩燈塔，的距離分別為3km和5km，測得燈塔在視察站北偏西50°，燈塔在視察站北偏東70°，則兩燈塔，間的距離為（）A.7 B.8 C. D.【答案】A【解析】【分析】畫出圖形，可知，利用余弦定理即可求出的長.【詳解】依據(jù)題意，畫草圖，結(jié)合題干條件易知，，，利用余弦定理可得：，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，同時考查了數(shù)學(xué)建模實(shí)力和基本運(yùn)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.5.設(shè)函數(shù)，均是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿意，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)奇偶性函數(shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱可求出，再依據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)列出方程組，即可求出的解析式，即可求出.【詳解】∵函數(shù)，均是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)和奇函數(shù)，即有，解得，∵，有，解得，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查考生運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問題的實(shí)力，試題留意基礎(chǔ)，針對性強(qiáng)．6.二十世紀(jì)第三次科技革命的重要標(biāo)記之一是計算機(jī)獨(dú)創(chuàng)與應(yīng)用，其核心是運(yùn)用二進(jìn)制，即用最基本的字符“0”和“1”可以進(jìn)行無窮盡的各種困難計算，而且用電子方式實(shí)現(xiàn)，即二進(jìn)制是一個微小的開關(guān)用“開”來表示1，“關(guān)”來表示0．某編程員將一個二進(jìn)制數(shù)字串進(jìn)制數(shù)字串，，，，，進(jìn)行編碼，其中稱為第位碼元，但在實(shí)際編程中間或會發(fā)生碼元出錯（即碼元由0變成1，或者由1變?yōu)?），假如出現(xiàn)錯誤后還可以將碼元，，，，進(jìn)行校驗(yàn)修正，其校驗(yàn)修正規(guī)則為：，其中運(yùn)算定義為：，，，，即滿意運(yùn)算規(guī)則為正確，否則錯．現(xiàn)程序員給出1101101一組碼元，然后輸入計算機(jī)中，結(jié)果僅發(fā)覺第位碼元錯誤，則的值為（）A.3 B.4 C.5 D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)新運(yùn)算的定義，分別推斷出碼元，，，，的正誤，從而可得結(jié)果.【詳解】∵，明顯這幾個碼元中，明顯這幾個碼元中必有一個錯誤，于是確定，，這3位碼元都是正確的；又，進(jìn)而，，，，均正確；再由，∵，，碼元都正確，故只有錯誤，于是，故選：C．【點(diǎn)睛】本題以當(dāng)今科學(xué)技術(shù)發(fā)展觀為背景，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注科技術(shù)，留意創(chuàng)新意識．同時考查了考生對新運(yùn)算的理性思維和抽象理解實(shí)力．這體現(xiàn)了試題重思維、重過程、降低運(yùn)算量命題思路，試題留意創(chuàng)新，針對性強(qiáng)．屬于中檔題．7.二項(xiàng)式的綻開式中的系數(shù)是（）A. B.12 C.6 D.【答案】D【解析】【分析】寫出和綻開式的通項(xiàng)，再分三種狀況探討得解.【詳解】∵綻開式的通項(xiàng)為，綻開式的通項(xiàng)為．依據(jù)多項(xiàng)式乘法規(guī)則和計數(shù)原理確定的系數(shù)，應(yīng)分3種狀況：①；②；③，即含項(xiàng)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式綻開式的系數(shù)的求法，意在考查學(xué)生對該學(xué)問的理解駕馭水平.8.已知，是橢圓：的兩個焦點(diǎn)，、是橢圓上且位于軸上方的隨意兩點(diǎn)，且滿意，，與交于，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意知，點(diǎn)、及均是動態(tài)的，而值是確定，故可采納特別法取軸，軸求解．【詳解】如圖所示：因?yàn)?，特取軸，軸，所以，，，，，解得，所以，則．則，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量基本概念與運(yùn)算，還考查了數(shù)形結(jié)合思想和等價轉(zhuǎn)換運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題.9.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考三角變換的基本運(yùn)算，同時考查考生的等價轉(zhuǎn)換和數(shù)形結(jié)合思想，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)和諧漂亮和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．試題難度：中偏難．【詳解】設(shè)，則，即此時三角式表示的是過點(diǎn)，．兩點(diǎn)的直線斜率，且，兩點(diǎn)均在單位圓上，如圖所示，結(jié)合圖象知，，即，∴，故直線傾斜角為120°，于是，進(jìn)而，故選C．10.如圖所示是一個正方體，現(xiàn)將其六面分別都涂紅、藍(lán)、黃、白、綠、紫6種顏色放干后，再切割為125個同樣大小的正方體，然后放在足夠大的容器內(nèi)勻稱攪拌，若從中隨機(jī)取出一個小正方體記它的涂有顏色面數(shù)為，則的均值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】計算出被涂三面、兩面、一面的小正方體的個數(shù)，可得的可能取值為0，1，2，3．從而求出數(shù)學(xué)期望；【詳解】解：依據(jù)題意正方體內(nèi)部有個小正方體沒有被涂上顏色，僅有一面被涂上顏色的有個，僅有兩個面涂上顏色的有個，有三個面涂上共有8個，故隨機(jī)變量的可能取值為0，1，2，3．于是，，，．于是期望為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查對隨機(jī)變量的期望理解，命題的衍生方向是與空間幾何體學(xué)問相結(jié)合，同時還考查了空間想象實(shí)力、抽象思辨力、化歸思想．這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的和諧與轉(zhuǎn)化、數(shù)學(xué)的推理等核心思想．屬于中檔題．11.知函數(shù)（，）滿意，其圖象與直線的某兩個交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，，且的最小值為．現(xiàn)給出了以下結(jié)論．①且②在上單調(diào)遞減且③在上單調(diào)遞增且④是的對稱中心則以上正確的結(jié)論編號為（）A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④【答案】C【解析】【分析】依據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式、奇偶性、單調(diào)性、對稱性逐一推斷即可.【詳解】依據(jù)及條件的最小值為，可知函數(shù)的最大值為2，的最小正周期為，∴，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以函?shù)是偶函數(shù)，而，所以．于是序號①正確，進(jìn)而知；對于序號②：∵，于是序號②錯誤；對于序號③，當(dāng)且僅當(dāng)取時，解得，即為的單調(diào)增區(qū)間，明顯，又，故序號③正確；對于序號④，令，解得，即為函數(shù)的對稱中心，明顯是的其中一個對稱中心，故④序號正確，綜上知正確的序號為①③④．故選：C【點(diǎn)睛】本題以三角函數(shù)函數(shù)為載體，主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)概念理解，同時考查了邏輯推理、直觀想象轉(zhuǎn)化實(shí)力，試題體現(xiàn)了理性思維、由詳細(xì)到抽象轉(zhuǎn)化，追尋學(xué)問背后的延長結(jié)論，這是解題的基本功呈現(xiàn)，試題難度：中．12.下面各選項(xiàng)用類比推理，現(xiàn)給出了以下四個結(jié)論①已知三條直線、、，若，，則．類推出：已知向量、、，若，，則．②已知實(shí)數(shù)、，若方程有實(shí)數(shù)根，則據(jù)判別式，有．類推出：已知復(fù)數(shù)、，若方程有實(shí)數(shù)根，據(jù)判別式，有．③以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓方程，類推出：以空間原點(diǎn)為球心，以為半徑的球方程為．④若集合，，，，滿意，則稱，，，為集合的一種離散．即時，有種離散；時，有種離散；時，有種離散；……，類推出：時，必有種離散．則正確的結(jié)論編號為（）A.①③ B.③④ C.②③ D.①②【答案】B【解析】【分析】當(dāng)時，依據(jù)向量的性質(zhì)推斷序號①；對于序號②，當(dāng)，時，方程為有實(shí)數(shù)根，但不成立；依據(jù)空間中兩點(diǎn)的距離公式推斷序號③；對于序號④，由，，，可歸納得出當(dāng)有個集合時，可類推得種離散．【詳解】對于序號①，當(dāng)向量時，若，，則，不肯定平行．故序號①不正確；對于序號②，若，，則方程為有實(shí)數(shù)根，但不成立，故序號②不成立；對序號③，設(shè)是球面上的隨意點(diǎn)，則，即．于是序號③正確；對于序號④，當(dāng)有兩個集合時，時，有種離散；當(dāng)有三個集合時，有種離散；當(dāng)有四個集合時，時，有種離散；……明顯當(dāng)有個集合時，時，可類推得種離散．于是序號④正確綜上知本題正確的序號為③④故選：B．【點(diǎn)睛】本題命制是以類比推理為背景，目的是考查學(xué)生的類比轉(zhuǎn)換思想和邏輯推理實(shí)力，抽象概括實(shí)力，試題新奇，符合以生考熟的命題思想，體現(xiàn)了對學(xué)問的考查側(cè)重于理解和應(yīng)用的要求，很好地達(dá)到了共性好考特性難考的目的，試題難度：偏難．第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題（分單空和多空）：本題共4小題，每5分，共20分．13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則______．【答案】729【解析】【分析】利用時，，再結(jié)合，可得的值，與兩式相減可得是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)，即可求出.【詳解】∵于是得，即又，再由得，聯(lián)立解得，．是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故，故答案為：729．【點(diǎn)睛】本題考查的是等比數(shù)列即遞推數(shù)列的相關(guān)學(xué)問點(diǎn)，同時考查了等價轉(zhuǎn)換和運(yùn)算求解實(shí)力，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)遷移轉(zhuǎn)化和邏輯推理等核心素養(yǎng)試題難度,屬于中檔題．14.若函數(shù)滿意，當(dāng)且僅當(dāng)時，，則______．【答案】2【解析】【分析】依據(jù)函數(shù)滿意的關(guān)系可得是以6最小正周期的周期函數(shù)，依據(jù)代入解析式即可.【詳解】依據(jù)已知條件，進(jìn)而有，于是，明顯，則是以6最小正周期的周期函數(shù)，∵當(dāng)時，則．故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題以抽象函數(shù)為載體，探討抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，且挖掘暗含條件，奇妙地對復(fù)合函數(shù)的連續(xù)變形，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象，數(shù)學(xué)化歸等關(guān)鍵實(shí)力與學(xué)科素，屬于中檔題.15.將一骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別是、，則函數(shù)僅有一個零點(diǎn)的概率是______；有兩個不相同零點(diǎn)概率是______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】（1）由題得樣本總?cè)萘繛椋儆嬎愠鰸M意數(shù)組有2個，由古典概型的概率公式即得解；（2）求出滿意的數(shù)組有17個，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】（1）依據(jù)題意、，則樣本總?cè)萘繛椋袆e式構(gòu)成的數(shù)組為．當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)僅有一個零點(diǎn)時，即；，即符合題意的數(shù)組為和，則此時，于是僅有一個零點(diǎn)時概率為；（2）有兩個不同零點(diǎn)時，，即數(shù)組有，，，，，，，，，，，，，，，，共計17個數(shù)組，由古典概型的概率公式得概率，故僅有兩個不同零點(diǎn)概率為．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的概率公式的計算，意在考查學(xué)生對該學(xué)問的理解駕馭水平.16.已知，其中，為參變數(shù)，且．若是一個與無關(guān)的定值，則______，______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用降冪升角和余弦的兩角和公式將化簡整理得，若滿意題意只需，將兩式平方相加然后利用特別角三角函數(shù)值進(jìn)行計算并檢驗(yàn)即可得到答案.【詳解】．．是一個與無關(guān)的定值，故，此時為常數(shù)．進(jìn)而有，兩式平方相加得：，整合得即，∵，即，，由得或，由得或（舍去），即，當(dāng)且時，解得，代入驗(yàn)證中，合題意．當(dāng)且時，解得，代入驗(yàn)證中不成立．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題以三角函數(shù)為載體，主要考查三角恒等變換及三角求值的基本運(yùn)算推理實(shí)力，同時還考查等價轉(zhuǎn)化、分類探討、理性思維實(shí)力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象思維、數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答必需寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知定義在已知定義在上的函數(shù)上的函數(shù)滿意①，②，由此可歸納出一個結(jié)論“★”，使得數(shù)列滿意，則此結(jié)論★為_____．并求的通項(xiàng)公式．【答案】．或；.【解析】【分析】由可得，結(jié)合，歸納可得出結(jié)論；利用倒序相加法求出的通項(xiàng)公式．【詳解】∵，，，即從中得啟發(fā)：可歸納得：．或．★可驗(yàn)證．由，即，兩式相加得：共有個中括號，結(jié)合★即有，即得．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)與式的歸納推理，考查數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生邏輯推理實(shí)力和計算實(shí)力，屬于中檔題．18.如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)BM，推導(dǎo)出BC⊥BB1，AA1⊥BC，從而AA1⊥MC，進(jìn)而AA1⊥平面BCM，AA1⊥MB，推導(dǎo)出四邊形AMNP是平行四邊形，從而MN∥AP，由此能證明MN∥平面ABC．（2）推導(dǎo)出△ABA1是等腰直角三角形，設(shè)AB，則AA1＝2a，BM＝AM＝a，推導(dǎo)出MC⊥BM，MC⊥AA1，BM⊥AA1，以M為坐標(biāo)原點(diǎn)，MA1，MB，MC為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角A﹣CM﹣N的余弦值．【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因?yàn)槭蔷匦?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以是中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連結(jié)，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，則且，所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（圖1）（圖2）（2）因?yàn)椋允堑妊苯侨切?，設(shè)，則，.在中，，所以.在中，，所以，由（1）知，則，，如圖2，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，.所以，則，，設(shè)平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因?yàn)槠矫娴囊粋€法向量為，則.因?yàn)槎娼菫殁g角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)學(xué)問，考查運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題．19.已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上的兩個動點(diǎn)，且的角平分線總垂直于軸，求證：直線的斜率為定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由由題意可得，解得a2=6，b2=3，則橢圓方程可求；

（Ⅱ）設(shè)直線PA的方程為y+1=k（x-2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得A的橫坐標(biāo)，同理求得B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步求得A、B的縱坐標(biāo)的差，代入斜率公式得答案．【詳解】（Ⅰ）由題意得解得，所以，橢圓的方程是.(Ⅱ)設(shè)直線的斜率為，由題意知，直線的斜率為，設(shè)，直線的方程為，即聯(lián)立方程組消去得，因?yàn)闉橹本€與橢圓的交點(diǎn)，所以，即把換為得，，所以，所以，所以直線的斜率，故直線的斜率為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查了直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查計算實(shí)力，屬中檔題．20.新型冠狀病毒是一種人傳人，而且隱藏至深、不易被人們直覺發(fā)覺危及人們生命的嚴(yán)峻病毒．我們把與這種身帶新型冠狀病毒（稱之為患者）有過親密接觸的人群稱為親密關(guān)聯(lián)者．已知每位親密關(guān)聯(lián)者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為．一旦被確診為陽性后即將其隔離．某位患者在隔離之前，每天有位親密關(guān)聯(lián)者與之接觸（而這個人不與其他患者接觸），其中被感染的人數(shù)為．（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)的概率的表達(dá)式和的數(shù)學(xué)期望；（2）該病毒在進(jìn)入人體后有14天的潛藏期，在這14天內(nèi)患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時間．設(shè)每位患者在不知自己患病的狀況下的其次天又與位親密關(guān)聯(lián)者接觸．從某一從名患者被帶新型冠狀病毒的第1天起先算起，第天新增患者的數(shù)學(xué)期望記為．①當(dāng)，，求的值；②試分析每位親密關(guān)聯(lián)者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經(jīng)大量臨床數(shù)據(jù)驗(yàn)證佩戴口罩后被感染患病的概率滿意關(guān)系式．當(dāng)取得最大值時，計算所對應(yīng)的和所對應(yīng)的值，然后依據(jù)計算結(jié)果說明佩戴口罩的必要性（取）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，計算結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性見解析．【解析】【分析】（1）設(shè)事務(wù)：被病毒感染的人群，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，…，．得到事務(wù)聽從二項(xiàng)分布，即可求解．（2）①依據(jù)題意，第天新增加人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即可求解的值．②求得，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性和最值，進(jìn)而得到，，分別求得和的人數(shù)，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）依據(jù)題意，因?yàn)槿魏我粋€與患者親密接觸的關(guān)聯(lián)者，被感染（患病）的概率均為，又每天有位親密關(guān)聯(lián)者與一患者接觸，設(shè)事務(wù)：被病毒感染的人群，隨機(jī)變量的取值為：0，1，2，…，．明顯事務(wù)聽從二項(xiàng)分布，即，明顯．（2）①依據(jù)題意，最初患者自己被感染，即第1天人數(shù)為1，第2天被感染人數(shù)增至為：；第3天被感染人數(shù)增至為：，…，明顯第天被感染人數(shù)增至為：，第天被感染人數(shù)增至為：，于是依據(jù)題意中均值定義，第天新增加人數(shù)的數(shù)學(xué)期望，即，于是．②依據(jù)題意函數(shù)，求導(dǎo)得：，當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，于是．此時，，于是（人），（人）．經(jīng)過計算得知，戴口罩狀況下患者與親密接觸的關(guān)聯(lián)者接觸被感染的人數(shù)為16人，而不戴口罩的狀況下患者與親密接觸的關(guān)聯(lián)者接觸被感染的人數(shù)為6480人，即遠(yuǎn)大于，于是戴口罩是特別必要的．【點(diǎn)睛】本題以新冠疫情重大突發(fā)事務(wù)為背景命題，以病毒人傳人大事務(wù)的預(yù)防建立數(shù)學(xué)模型來考查概率的相關(guān)概念、事務(wù)的劃分、離散型隨機(jī)變量的期望等概念的應(yīng)用，同時考查了理性思維、抽象思維及邏輯推理、運(yùn)算求解實(shí)力、讀題理解實(shí)力、計算實(shí)力．21.已知函數(shù)．(1)求證：；(2)用表示中的最大值，記，探討函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)．【答案】（1）見解析，（2）見解析【解析】【分析】(1)設(shè)求出函數(shù)的最小值即可；(2)對x和a的范圍進(jìn)行探討，得出f（x），g（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性及最值推斷f（x），g（x）的零點(diǎn)個數(shù)，從而得出h（x）的零點(diǎn)個數(shù)．【詳解】（1）證明：設(shè)，定義域?yàn)?，則.當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，所以，所以（2）解：函數(shù)的定義域?yàn)?，，?dāng)時，；當(dāng)時，，所以在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以是的微小值點(diǎn)，也是的最小值點(diǎn)，即若，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，于是只有一個零點(diǎn).當(dāng)，則當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，，此時所以沒有零點(diǎn).當(dāng)，則當(dāng)時，依據(jù)（1）可知，而，所以又因?yàn)椋栽谏嫌幸粋€零點(diǎn)，從而肯定存在，使得，即，所以當(dāng)時，，所以，從而，于是有兩個零點(diǎn)和1.故當(dāng)時，有兩個零點(diǎn).綜上，當(dāng)時，有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，沒有零點(diǎn)，當(dāng)時，有兩個零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考