2025屆山西省新絳汾河中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆山西省新絳汾河中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線過(guò)點(diǎn)，且其方向向量，則直線的方程為（）A. B.C. D.2．函數(shù)y=的最大值為Ae-1 B.eC.e2 D.3．下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)有（）個(gè)①在中，若，則②是，，成等比數(shù)列的充要條件③直線是雙曲線的一條漸近線④函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，若，則是函數(shù)的極值點(diǎn)A.0 B.1C.2 D.34．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.5．已知，為雙曲線：的焦點(diǎn)，為，（其中為雙曲線半焦距），與雙曲線的交點(diǎn)，且有，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．已知直線，，，則m值為（）A. B.C.3 D.107．在中，已知，則的形狀是（）A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.正三角形8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)到與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，但是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項(xiàng)之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列、這樣的數(shù)列稱(chēng)為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為2，3，5，8，12，17，23則該數(shù)列的第100項(xiàng)為（）A.4862 B.4962C.4852 D.49529．觀察：則第行的值為（）A. B.C. D.10．已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為的直線分別交雙曲線左、右兩支于、兩點(diǎn)，以線段為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）.A. B.C. D.11．1852年英國(guó)來(lái)華傳教士偉烈亞力將《孫子算經(jīng)》中“物不知數(shù)”問(wèn)題的解法傳至歐洲，西方人稱(chēng)之為“中國(guó)剩余定理”．現(xiàn)有這樣一個(gè)問(wèn)題：將1到200中被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，則=（）A.130 B.132C.140 D.14412．設(shè)O為正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3點(diǎn)，則取到的3點(diǎn)共線的概率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的方程是______.14．已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)__________.15．?dāng)?shù)列中，，，設(shè)（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）若，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求不超過(guò)的最大的整數(shù)16．橢圓的離心率是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線過(guò)點(diǎn).（1）求拋物線方程；（2）若直線與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，且，求證：過(guò)定點(diǎn).18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1）求邊垂直平分線所在的直線的方程；（2）若的面積為5，求點(diǎn)的坐標(biāo)19．（12分）已知，，分別是銳角內(nèi)角，，對(duì)邊，，.（1）求的值；（2）若的面積為，求的值.20．（12分）已知三棱柱中，.（1）求證:平面平面.（2）若，在線段上是否存在一點(diǎn)使平面和平面所成角的余弦值為若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由.21．（12分）已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.22．（10分）已知.（1）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）已知銳角內(nèi)角，，的對(duì)邊長(zhǎng)分別是，，，若，.求面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意和直線的點(diǎn)方向式方程即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，由直線的點(diǎn)方向式方程，可得直線的方程為：，整理，得.故選：D2、A【解析】,所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以函數(shù)的最大值為時(shí)，y==故選A點(diǎn)睛：研究函數(shù)最值主要根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，找到最值，分式求導(dǎo)公式要記熟3、B【解析】根據(jù)三角函數(shù)、等比數(shù)列、雙曲線和導(dǎo)數(shù)知識(shí)逐項(xiàng)分析即可求解.【詳解】①在中，則有，因，所以，又余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故①正確，②當(dāng)且時(shí)，此時(shí)，但是，，不成等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤，③由雙曲線可得雙曲線的漸近線為，故③錯(cuò)誤，④“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件，故④錯(cuò)誤.故選：B.4、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，而，所?因?yàn)?，且，所?即.故選：A5、B【解析】根據(jù)求得的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義以及勾股定理，即可求得的等量關(guān)系，再求離心率即可.【詳解】根據(jù)題意，連接，作圖如下：顯然為直角三角形，又，又點(diǎn)在雙曲線上，故可得，解得，由勾股定理可得：，即，即，，故雙曲線的離心率為.故選：B.6、C【解析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可；【詳解】解：因?yàn)?，且，所以，解得；故選：C7、B【解析】利用誘導(dǎo)公式、兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)已知條件，由此判斷出三角形的形狀.【詳解】由，得，得，由于，所以，所以.故選：B8、D【解析】根據(jù)題意可得數(shù)列2，3，5，8，12，17，23，，滿足：，，從而利用累加法即可求出，進(jìn)一步即可得到的值【詳解】2，3，5，8，12，17，23，后項(xiàng)減前項(xiàng)可得1，2，3，4，5，6，所以，所以.所以.故選：D9、B【解析】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，利用等差數(shù)列求和，即可得到答案；【詳解】根據(jù)數(shù)陣可知第行為，，故選：B10、A【解析】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，求得、，利用雙曲線的定義可得出關(guān)于、的等式，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接、，如下圖所示：由題意可知，點(diǎn)為的中點(diǎn)，也為的中點(diǎn)，且，則四邊形為矩形，故，由已知可知，由直角三角形的性質(zhì)可得，故為等邊三角形，故，所以，，由雙曲線的定義可得，所以，.故選：A.11、A【解析】分析數(shù)列的特點(diǎn)，可知其是等差數(shù)列，寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得結(jié)果,【詳解】被3整除余1且被4整除余2的數(shù)按從小到大的順序排成一列，這樣的數(shù)構(gòu)成首項(xiàng)為10，公差為12的等差數(shù)列，所以，故，故選:A12、A【解析】列出從5個(gè)點(diǎn)選3個(gè)點(diǎn)的所有情況，再列出3點(diǎn)共線的情況，用古典概型的概率計(jì)算公式運(yùn)算即可.【詳解】如圖，從5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)有共種不同取法，3點(diǎn)共線只有與共2種情況，由古典概型的概率計(jì)算公式知，取到3點(diǎn)共線的概率為.故選：A【點(diǎn)晴】本題主要考查古典概型的概率計(jì)算問(wèn)題，采用列舉法，考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】求導(dǎo)，求得，，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程求得答案.【詳解】因?yàn)椋?，所以切線的斜率，切線方程是，即.故答案為：.14、【解析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率，求得切點(diǎn)，由直線的點(diǎn)斜式方程可得所求切線的方程【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為∴，.曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.故答案為：.15、（1）證明見(jiàn)解析；（2）；（3）2021【解析】(1)將兩邊都加，證明是常數(shù)即可；(2)求出的通項(xiàng)，利用錯(cuò)位相減法求解即可；(3)先求出，再求出的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)相消法即可得解.【詳解】（1）將兩邊都加，得，而，即有，又，則，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，則，，，因此，，所以；（3）由（2）知，于是得，則，因此，，所以不超過(guò)的最大的整數(shù)是202116、【解析】求出、、的值，即可得出橢圓的離心率.【詳解】在橢圓中，，，，因此，橢圓的離心率是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）運(yùn)用代入法直接求解即可；（2）設(shè)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】由已知可得：；【小問(wèn)2詳解】的斜率不為設(shè)，，∴OA→?因?yàn)橹本€與拋物線交于兩點(diǎn)兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以，即過(guò)定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.18、（1）；（2）或【解析】（1）由題意直線的斜率公式，兩直線垂直的性質(zhì)，求出的斜率，再用點(diǎn)斜式求直線的方程（2）根據(jù)的面積為5，求得點(diǎn)到直線的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，求得的值【詳解】解：（1），，的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又設(shè)邊的垂直平分線所在的直線的斜率為則，可得的方程為，即邊的垂直平分線所在的直線的方程（2）邊所在的直線方程為設(shè)邊上的高為即點(diǎn)到直線的距離為且解得解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或19、（1）；（2）4.【解析】（1）由正弦定理即可得答案.（2）根據(jù)題意得到，再由關(guān)于角的余弦定理和整理化簡(jiǎn)得，再由的面積，即可求出的值.【小問(wèn)1詳解】由及正弦定理可得.小問(wèn)2詳解】由銳角中得，根據(jù)余弦定理可得，代入得，整理得，即，解得，，解得.20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn).【解析】(1)連接，根據(jù)給定條件證明平面得即可推理作答.(2)在平面內(nèi)過(guò)C作，再以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算判斷作答.【小問(wèn)1詳解】在三棱柱中，四邊形是平行四邊形，而，則是菱形，連接，如圖，則有，因，，平面，于是得平面，而平面，則，由得，，平面，從而得平面，又平面，所以平面平面.【小問(wèn)2詳解】在平面內(nèi)過(guò)C作，由(1)知平面平面，平面平面，則平面，以C為原點(diǎn)，射線CA，CB，Cz分別為x，y，z軸正半軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因，，則，假設(shè)在線段上存在符合要求的點(diǎn)P，設(shè)其坐標(biāo)為，則有，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則有，令得，而平面的一個(gè)法向量，依題意，，化簡(jiǎn)整理得：而，解得，所以在線段上存在一點(diǎn)，且P是靠近C的四等分點(diǎn)，使平面和平面所成角的余弦值為.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）化簡(jiǎn)得到，由此證得數(shù)列為等差數(shù)列.（2）先求得，然后利用錯(cuò)位相減求和法求得.【小問(wèn)1詳解】.又?jǐn)?shù)列是