2025屆上海市通河中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題含解析

2025屆上海市通河中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，直線l滿足l⊥m，l⊥n，則（）A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交，且交線垂直于 D.α與β相交，且交線平行于2．下列命題中的假命題是()A.若log2x<2,則0<x<4B.若與共線,則與的夾角為0°C.已知各項都不為零的數(shù)列{an}滿足an+1-2an=0,則該數(shù)列為等比數(shù)列D.點(π,0)是函數(shù)y=sinx圖象上一點3．動點到兩定點，的距離和是，則動點的軌跡為（）A.橢圓 B.雙曲線C.線段 D.不能確定4．若數(shù)列滿足，則（）A. B.C. D.5．?dāng)?shù)列滿足，，，則數(shù)列的前10項和為（）A.60 B.61C.62 D.636．已知對稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點，使，則雙曲線的焦點（）A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時在軸上 D.當(dāng)時在軸上7．已知點的坐標(biāo)為(5，2)，F(xiàn)為拋物線的焦點，若點在拋物線上移動，當(dāng)取得最小值時，則點的坐標(biāo)是A.(1，) B.C. D.8．南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般的等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次成等差數(shù)列．如數(shù)列1，3，6，10，前后兩項之差組成新數(shù)列2，3，4，新數(shù)列2，3，4為等差數(shù)列，這樣的數(shù)列稱為二階等差數(shù)列．現(xiàn)有二階等差數(shù)列，其前7項分別為2，3，5，8，12，17，23，則該數(shù)列的第31項為（）A.336 B.467C.483 D.6019．大數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻有他最引以為豪的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的象征圖——球及其外切圓柱(如圖).以此紀(jì)念阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積和表面積，則球的體積和表面積均為其外切圓柱體積和表面積的（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列的通項公式為，其前項和為，則滿足的的最小值為（）A.30 B.31C.32 D.3311．已知等差數(shù)列的公差，是與的等比中項，則（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)．若數(shù)列的前n項和為，且滿足，，則的最大值為（）A.9 B.12C.20 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．甲乙參加摸球游戲，袋子中裝有3個黑球和1個白球，球的大小、形狀、質(zhì)量等均一樣，若從袋中有放回地取1個球，再取1個球，若取出的兩個球同色，則甲勝，若取出的兩個球不同色則乙勝，求乙獲勝的概率為_____14．如圖，一個小球從10m高處自由落下，每次著地后又彈回到原來高度的，若已知小球經(jīng)過的路程為，則小球落地的次數(shù)為______15．某校組織了一場演講比賽，五位評委對某位參賽選手的評分分別為9，x，8，y，9．已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8.6，方差為0.24，則______16．空間四邊形中，，，，，，，則與所成角的余弦值等于___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點關(guān)于直線的對稱點為Q，以Q為圓心的圓與直線相交于A，B兩點，且（1）求圓Q的方程；（2）過坐標(biāo)原點O任作一直線交圓Q于C，D兩點，求證：為定值18．（12分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.19．（12分）已知向量，.（1）計算和；（2）求.20．（12分）（１）求焦點在x軸上,虛軸長為12，離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求經(jīng)過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；21．（12分）已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點的直線與橢圓相交于、兩點.(1)求橢圓的方程；(2)若以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，求的值.22．（10分）為了解某市家庭用電量的情況，該市統(tǒng)計局調(diào)查了若干戶居民去年一年的月均用電量（單位：），得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計月均用電量的眾數(shù)；（2）求a的值；（3）為了既滿足居民的基本用電需求，又提高能源的利用效率，市政府計劃采用階梯電價，月均用電量不高于平均數(shù)的為第一檔，高于平均數(shù)的為第二檔，已知某戶居民月均用電量為，請問該戶居民應(yīng)該按那一檔電價收費，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由平面，直線滿足，且，所以，又平面，，所以，由直線為異面直線，且平面平面，則與相交，否則，若則推出，與異面矛盾，所以相交，且交線平行于，故選D考點：平面與平面的位置關(guān)系，平面的基本性質(zhì)及其推論2、B【解析】四個選項中需要分別利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，向量共線的定義，等比數(shù)列的定義以及三角函數(shù)圖像判斷，根據(jù)題意結(jié)合知識點，即可得出結(jié)果.【詳解】選項A，由于此對數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，并且結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域，即可求得結(jié)果，所以是真命題；選項B，向量共線，夾角可能是或，所以是假命題；選項C，將式子變形可得，符合等比數(shù)列定義，所以是真命題；選項D，將點代入解析式，等號成立，所以是真命題；故選B.【點睛】本題考查命題真假的判定，根據(jù)題意結(jié)合各知識點即可判斷真假，需要熟練掌握對數(shù)函數(shù)、等比數(shù)列、向量夾角以及三角函數(shù)的基本性質(zhì).3、A【解析】根據(jù)橢圓的定義，即可得答案.【詳解】由題意可得，根據(jù)橢圓定義可得，P點的軌跡為橢圓，故選：A4、C【解析】利用前項積與通項的關(guān)系可求得結(jié)果.【詳解】由已知可得.故選：C.5、B【解析】討論奇偶性，應(yīng)用等差、等比前n項和公式對作分組求和即可.【詳解】當(dāng)且為奇數(shù)時，，則，當(dāng)且為偶數(shù)時，，則，∴.故選：B.6、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點在軸上.故選B.【點睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運用，求解時要注意焦點落在軸或軸的特點，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力7、D【解析】過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，此時，故，所以，選D8、B【解析】先由遞推關(guān)系利用累加法求出通項公式，直接帶入即可求得.【詳解】根據(jù)題意，數(shù)列2，3，5，8，12，17，23……滿足，，所以該數(shù)列的第31項為.故選：B9、C【解析】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為，分別求出球的體積與表面積，圓柱的體積與表面積，從而得出答案.【詳解】設(shè)球的半徑為,則圓柱的底面半徑為，高為所以球的體積為,表面積為.圓柱的體積為：,所以其體積之比為：圓柱的側(cè)面積為：,圓柱的表面積為：所以其表面積之比為：故選：C10、C【解析】由條件可得得出，再由解出的范圍，得出答案.【詳解】由，則由，即，即，所以所以滿足的的最小值為為32故選：C11、C【解析】由等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.12、C【解析】先得到及遞推公式，要想最大，則分兩種情況，負(fù)數(shù)且最小或為正數(shù)且最大，進(jìn)而求出最大值.【詳解】①，當(dāng)時，，當(dāng)時，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，當(dāng)是公差為2的等差數(shù)列，且時，最小，最大，此時，所以，此時；當(dāng)且是公差為2的等差數(shù)列時，最大，最大，此時，所以，此時綜上：的最大值為20故選：C【點睛】方法點睛：數(shù)列相關(guān)的最值求解，要結(jié)合題干條件，使用不等式放縮，函數(shù)單調(diào)性或?qū)Ш瘮?shù)等進(jìn)行求解.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##0.375【解析】先算出有放回地取兩次的取法數(shù)，再算出取出兩球不同色的取法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式計算即可求得答案.【詳解】有放回地取兩球，共有種取法，兩次取球不同色的取法有種，故乙獲勝的概率為，故答案為：14、4【解析】設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時經(jīng)過的路程為m，則由已知可得數(shù)列是從第2項開始以首項為，公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求得，再設(shè)設(shè)小球第n次落地時，經(jīng)過的路程為，由等比數(shù)列的求和公式建立方程求解即可.【詳解】解：設(shè)小球從第（n-1）次落地到第n次落地時經(jīng)過的路程為m，則當(dāng)時，得出遞推關(guān)系，所以數(shù)列是從第2項開始以首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，且，設(shè)小球第n次落地時，經(jīng)過的路程為，所以，所以，解得，故答案為：4.15、1【解析】根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式，求得，則問題得解.【詳解】由題可知：整理得：；，整理得：，聯(lián)立方程組得，解得或，對應(yīng)或，故.故答案為：1.16、【解析】計算出的值，利用空間向量的數(shù)量積可得出的值，即可得解.【詳解】，，所以，，所以，.所以，與所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】（1）先求出點坐標(biāo)，然后根據(jù)圓心到直線的距離公式及的值求出半徑即可求得圓的方程.（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立圓和直線方程利用韋達(dá)定理來求解.【小問1詳解】解：點關(guān)于直線的對稱點Q為由Q到直線的距離，所以所以圓的方程為【小問2詳解】當(dāng)直線CD斜率不存在時，，所以.當(dāng)直線CD斜率存在時，設(shè)為k，則直線為，記，聯(lián)立，得所以，綜上，為定值518、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運用正弦定理進(jìn)行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡是關(guān)鍵.一般地，當(dāng)?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時，可利用余弦定理進(jìn)行化簡；當(dāng)含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時，可考慮采用正弦定理進(jìn)行邊角互化.19、（1），；（2）.【解析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運算可求得的坐標(biāo)，利用向量的模長公式可求得的值；（2）計算出，結(jié)合的取值范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1），；（2），，因此，.【點睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運算，同時也考查了利用空間向量的數(shù)量積計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）或.【解析】（1）由虛軸長是12求出半虛軸b，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)c2=a2+b2以及離心率，求出a2，寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)出拋物線方程，利用經(jīng)過，求出拋物線中的參數(shù)，即可得到拋物線方程【詳解】焦點在x軸上，設(shè)所求雙曲線的方程為=1（a>0,b>0）由題意，得解得b=6,解得，所以焦點在x軸上的雙曲線的方程為（2）由于點P在第三象限，所以拋物線方程可設(shè)為：或（p>0）當(dāng)方程為，將點代入得16=4p，即p=4,拋物線方程為：；當(dāng)方程為，將點代入得4=8p，即p=,拋物線方程為：；21、(1)；(2)【解析】（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果；（2）先由題意，得直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，設(shè)，根據(jù)韋達(dá)定理，得到，，再由以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，得到，進(jìn)而可求出結(jié)果.詳解】(1)由題意知，∴，即，又雙曲線的焦點坐標(biāo)為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，所以，∴，故橢圓的方程為.(2)解：由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為由得：由得：設(shè)，則，，∴因為以為直徑的圓過坐標(biāo)原點，所以，.滿足條件故.【點睛】本題主要考查橢圓的方程，以及橢圓的應(yīng)用，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單性質(zhì)即可，解決此類問題時，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋