空間兩條直線的位置關(guān)系課件1

1．2點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系1．2.2空間兩條直線的位置關(guān)系

學(xué)習(xí)目標(biāo)

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接課標(biāo)點(diǎn)擊1．理解異面直線的概念，畫(huà)法．2．理解并掌握公理4、等角原理．3．理解異面直線所成角的概念，會(huì)求異面直線所成角．

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典例精析

欄目鏈接典例剖析

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接異面直線的判斷與證明如右圖，在空間四邊形ABCP中，連接AC、PB，D、E是PC上不重合的兩點(diǎn)，F(xiàn)、H分別是PA、PB上的點(diǎn)，且與點(diǎn)P不重合．求證：EF和DH是異面直線．

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接分析：根據(jù)兩直線異面的定義，要直接證明兩直線異面是比較困難的，因而往往從問(wèn)題的反面入手，即采用反證法，當(dāng)然，還可以直接使用異面直線的判定定理：“過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線”，而進(jìn)行直接的證明．證明：方法一假設(shè)EF、DH不是異面直線，則由兩直線的位置關(guān)系知，它們必在同一個(gè)平面α內(nèi)．∴E∈α，D∈α.∴ED?α，即PC?α.∴P∈α，C∈α.又∵H∈α，∴PH?α.

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接∵B∈PH，∴B∈α.同理，由F∈α可得：A∈α.由此可知，P、A、B、C四點(diǎn)都在平面α內(nèi)，這與四點(diǎn)是空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)相矛盾．故假設(shè)不成立，于是EF與DH是異面直線．方法二∵PA∩PC＝P，∴PA、PC確定一個(gè)平面，不妨記平面為α.∵E∈PC，F(xiàn)∈PA，∴E∈α，F(xiàn)∈α.

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典例精析

欄目鏈接∴EF?α.∵D∈PC，∴D∈α，且D?EF.∵PB∩α＝P，H∈PB，∴H?α.∴EF與DH是異面直線．(2)證明兩直線異面，一般要從定義出發(fā)，由于定義是一個(gè)否定形式的命題，因而常用反證法．反證法也是常用的一種重要的思維方式和數(shù)學(xué)方法，它在立體幾何中有著廣泛的應(yīng)用．反證法的一般步驟為：規(guī)律總結(jié)：(1)異面直線的判定方法一般有兩種：①利用異面直線的判定定理；②反證法．

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典例精析

欄目鏈接①反設(shè)：即作出與命題結(jié)論相反的假設(shè)；②歸繆：以所作的假設(shè)為依據(jù)，通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理，導(dǎo)出矛盾；③結(jié)論：判斷產(chǎn)生矛盾的原因在于所作的假設(shè)是錯(cuò)誤的，因而原命題正確．導(dǎo)出邏輯矛盾時(shí)常出現(xiàn)以下幾種情形：①與定義、公理、定理、推論及性質(zhì)等的矛盾；②與已知條件的矛盾；③與假設(shè)的矛盾；④自相矛盾．

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典例精析

欄目鏈接?變式訓(xùn)練1．如右圖所示，已知不共面的三條直線a、b、c相交于點(diǎn)P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c.求證：AD與BC是異面直線．證明(反證法)：假設(shè)AD與BC共面，所確定的平面為α，那么點(diǎn)P、A、B、C、D都在平面α內(nèi)．∴直線a、b、c都在平面α內(nèi)，此與已知條件a、b、c不共面相矛盾．∴AD和BC是異面直線．

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典例精析

欄目鏈接求異面直線所成的角如右圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，求：(1)異面直線AB與A1D1所成的夾角；(2)AD1與DC1所成的夾角．分析：依據(jù)異面直線所成的角(或夾角)的定義來(lái)求．

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典例精析

欄目鏈接解析：(1)∵A1B1∥AB，而A1D1⊥A1B1，∴A1D1⊥AB.∴AB與A1D1所成的夾角為90°.(2)連接AB1，B1D1，∵AB1∥DC1，∴AB1與AD1所成夾角即為DC1與AD1所成的夾角．又AD1＝AB1＝B1D1，∴△AB1D1為正三角形．∴AD1與AB1所成夾角為60°.∴AD1與DC1所成夾角為60°.

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典例精析

欄目鏈接規(guī)律總結(jié)：(1)求異面直線所成的角就是要通過(guò)平移轉(zhuǎn)化的方法將異面直線所成角轉(zhuǎn)化成同一平面內(nèi)的直線所成的角，放到同一三角形中求解．(2)要多角度地平移，不能局限于一個(gè)平面．

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欄目鏈接?變式訓(xùn)練2．如右下圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是對(duì)角線BD、AC的中點(diǎn)，若BC＝AD＝2EF，求直線EF與直線AD所成的角及直線EF與直線BC所成的角．

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典例精析

欄目鏈接解析：因?yàn)镋是BD中點(diǎn)，F(xiàn)是AC中點(diǎn)，故聯(lián)想三角形中位線定理，取CD中點(diǎn)G，將AD平移至FG，故EF與FG所成的角(∠EFG)就是平面直線EF與AD所成的角．由BC＝AD＝2EF，得EF＝EG＝FG，所以△EFG為正三角形，所以∠EFG＝60°，即EF與AD所成的角為60°，同理EF與BC所成角也為60°.

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典例精析

欄目鏈接平行公理的應(yīng)用如右圖，空間四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，且AC與BD所成的角為90°.求證：四邊形EFGH是矩形．

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接分析：充分利用平行線的傳遞性和推論3以及確定矩形的條件．證明：∵E、H分別為AB、DA的中點(diǎn)，∴EH是△ABD的中位線．

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接∴四邊形EFGH為平行四邊形．又∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，∴EF∥AC.又FG∥BD，∴∠EFG為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，∴∠EFG＝90°.又∵四邊形EFGH為平行四邊形，故四邊形EFGH為矩形．規(guī)律總結(jié)：平行公理的本質(zhì)是線線平行的傳遞性．

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接?變式訓(xùn)練3．如右下圖所示，三棱錐ABCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)若AC＝BD，求證：四邊形EFGH為菱形；(3)當(dāng)AC與BD滿足什么條件時(shí)，四邊形EFGH是正方形？

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典例精析

欄目鏈接

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預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)

典例精析

欄目鏈接又AC＝BD，∴EF＝EH.由(1)知，