2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修1-2模塊素養(yǎng)評價(jià)

模塊素養(yǎng)評價(jià)

（120分鐘150分）

一、選擇題（本大題共12小題,每小題5分，共60分，在每小題給出的

四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

10

1.設(shè)i是虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)a-是純虛數(shù)，則a的值為（）

3-1

A.-3B.-1C.1D.3

【解析】選D.復(fù)數(shù)a~—=a-10（3+t）=（a-3）-i為純虛數(shù)，所以a-3=0,所

3-i10

以a=3.

2.下列命題:①在線性回歸模型中，相關(guān)指數(shù)R?表示解釋變量x對于預(yù)

報(bào)變量y的貢獻(xiàn)率,R?越接近于1,表示回歸效果越好;②兩個(gè)變量相關(guān)

性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1;③在回歸直線方程

y=~Q.5x+2中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí),預(yù)報(bào)變量5平均減少0.5

個(gè)單位;④對分類變量X與Y,它們的隨機(jī)變量K?的觀測值k來說,k越

小，“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【解析】選C.對于①,在回歸分析模型中，相關(guān)指數(shù)片表示解釋變量x

對于預(yù)報(bào)變量v的貢獻(xiàn)率,R2越接近于1,表示回歸效果越好，正確，因?yàn)?/p>

相關(guān)指數(shù)R2越大，則殘差平方和越小，模型的擬合效果越好，①正確.

對于②兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值就越接近于1;正確；

對于③在回歸直線方程產(chǎn)-0.5x+2中，當(dāng)解釋變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，

預(yù)報(bào)變量.0平均減少0.5個(gè)單位；正確；

對于④對分類變量X與Y,它們的隨機(jī)變量Y的觀測值k來說,k越小，

“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大.錯(cuò)誤，因?yàn)樵趯Ψ诸愖兞縓與Y進(jìn)行

獨(dú)立性檢驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)變量Y的觀測值k越大，則“X與Y相關(guān)”可信程

度越大，故④錯(cuò)誤.

3.甲、乙、丙、丁四位同學(xué)參加奧賽，其中只有一位獲獎(jiǎng)，有人走訪了

四位同學(xué)，甲說：”是乙或丙獲獎(jiǎng).”乙說：“甲、丙都未獲獎(jiǎng).”丙說:

“我獲獎(jiǎng)了.”丁說：”是乙獲獎(jiǎng).”已知四位同學(xué)的話只有一位是對的,

則獲獎(jiǎng)的同學(xué)是（）

A.甲B.乙C.丙D.T

【解析】選D.假設(shè)獲獎(jiǎng)的同學(xué)是甲，則甲、乙、丙、丁四位同學(xué)的話都

不對，因此甲不是獲獎(jiǎng)的同學(xué)；假設(shè)獲獎(jiǎng)的同學(xué)是乙，則甲、乙、丁的話

都對，因此乙也不是獲獎(jiǎng)的同學(xué)；假設(shè)獲獎(jiǎng)的同學(xué)是丙，則甲和丙的話

都對，因此丙也不是獲獎(jiǎng)的同學(xué).從前面推理可得丁為獲獎(jiǎng)的同學(xué)，此

時(shí)只有乙的話是對的.

4.《九章算術(shù)》中的玉石問題：”今有玉方一寸，重七兩；石方一寸，重

六兩.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（即176兩），問玉、石重各幾

何？”其意思為：“寶玉1立方寸重7兩,石料1立方寸重6兩,現(xiàn)有寶

玉和石料混合在一起的一個(gè)正方體，棱長是3寸,質(zhì)量是11斤（即176

兩），問這個(gè)正方體中的寶玉和石料各多少兩？”如圖所示的程序框圖給

出了對此題的一個(gè)求解算法，運(yùn)行該程序框圖，則輸出的x,y分別為

)

A.90,86B.94,82

C.98,78D.102,74

【解析】選C.執(zhí)行程序：x=86,y=90,s于27;x=90,y=86,s豐

27;x=94,y=82,s#=27;x=98,y=78,s=27,故輸出的x,y分別為98,78.

5.圖1是某高三學(xué)生進(jìn)入高中三年來的數(shù)學(xué)考試成績莖葉圖，第1次到

第14次的考試成績依次記為Ai,A2,A14,圖2是統(tǒng)計(jì)莖葉圖中成績在

一定范圍內(nèi)考試次數(shù)的一個(gè)程序框圖.那么程序框圖輸出的結(jié)果是

()

窣

A.7B.8C.9D.10

【解析】選D.由程序框圖可知輸出結(jié)果是考試成績大于90的次數(shù)，由

莖葉圖可知大于90的次數(shù)有10次.

6.有下列說法：

①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的

模型比較合適；

②用相關(guān)指數(shù)R?來刻畫回歸的效果,R?值越大，說明模型的擬合效果越

好；

③比較兩個(gè)模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和

越小的模型，擬合效果越好.

④在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí),若求得相關(guān)指數(shù)R2^0.85,則

表明氣溫解釋了15%的熱茶銷售杯數(shù)變化.

其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【解析】選C.對于①在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)

域內(nèi)，說明選用的模型比較合適，正確.

對于②用相關(guān)指數(shù)R?來刻畫回歸的效果，R?值越大，說明模型的擬合效

果越好，正確.

對于③比較兩個(gè)模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平

方和越小的模型，擬合效果越好，正確.

對于④在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關(guān)系時(shí)，若求得相關(guān)指數(shù)R2%

0.85,則表明氣溫解釋了15%的熱茶銷售杯數(shù)變化，錯(cuò)誤，應(yīng)該是氣溫解

釋了85%的熱茶銷售杯數(shù)變化.

7.為了解某高校學(xué)生使用手機(jī)支付和現(xiàn)金支付的情況，抽取了部分學(xué)

生作為樣本，統(tǒng)計(jì)其喜歡的支付方式,并制作出如下等高條形圖:

根據(jù)圖中的信息、，下列結(jié)論中不正確的是()

A.樣本中的男生數(shù)量多于女生數(shù)量

B.樣本中喜歡手機(jī)支付的數(shù)量多于現(xiàn)金支付的數(shù)量

C.樣本中多數(shù)男生喜歡手機(jī)支付

D.樣本中多數(shù)女生喜歡現(xiàn)金支付

【解析】選D.由題干中右邊條形圖知，男生女生喜歡手機(jī)支付的比例都

高于現(xiàn)金支付的比例，所以男生女生都喜歡手機(jī)支付，故C對，D錯(cuò)，結(jié)

合兩個(gè)條形圖可知，男生女生手機(jī)支付都比現(xiàn)金支付多，B對，樣本中的

男生數(shù)量多于女生數(shù)量,A對.

8.設(shè)x(l+i)=l+yi,其中x,y為實(shí)數(shù)，則|x+yi|=()

A.1B.V2C.V3D.2

【解析】選B.因?yàn)閤(1+i)=l+yi,所以

x+xi=l+yi,x=l,y=x=l,|x+yi|=1+i|=V2.

9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)比對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,則實(shí)數(shù)m的取值范圍

m-i

是()

A.(-8,-1)B.(-8,0)

C.(0,+8)D.(1,+8)

【解析】選D.因?yàn)閺?fù)數(shù)”工廠”歲丁與1+手-i,對應(yīng)的點(diǎn)位于第

m-i(m-i)(m+i)7nz+l?nz+l

一象限，所以7n2+1'解得m>l.

m當(dāng)2+l>0,

10.下列說法中正確的是()

A.先把高三年級的2000名學(xué)生編號：1到2000,再從編號為1到50

的50名學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，其編號為m,然后抽取編號為

m+50,m+100,m+150…的學(xué)生,這樣的抽樣方法是分層抽樣法

B.線性回歸直線尸汰+L定過樣本中心點(diǎn)(五歹)

C.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)r的值越接近于1

D.在回歸直線產(chǎn)0.2x+12中，當(dāng)變量x增加一個(gè)單位時(shí),夕平均增加1個(gè)

單位

【解析】選B.A中抽樣方法為系統(tǒng)抽樣，故A錯(cuò)誤；

B中線性回歸方程產(chǎn)務(wù)x+a必過樣本中心點(diǎn)(五歹)，故B正確；

C:若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)r的絕對值越接近于

1,故C錯(cuò)誤.

D中在回歸直線產(chǎn)0.2x+12中，當(dāng)x增加一個(gè)單位時(shí)，/平均增加0.2個(gè)單

位，故D錯(cuò)誤.

11.某研究機(jī)構(gòu)在對具有線性相關(guān)的兩個(gè)變量x和y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析時(shí),

得到如表數(shù)據(jù).由表中數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x的回歸方程為產(chǎn)0.65x+a,則在

這些樣本點(diǎn)中任取一點(diǎn)，該點(diǎn)落在回歸直線下方的概率為（）

X4681012

y12356

A-iB-i

【解析】選A.因?yàn)樵?8,歹=3.4所以3.4=0.65X8+a所以a=T.8所以

產(chǎn)0.65x7.8故5個(gè)點(diǎn)中落在回歸直線下方的有(6,2),(8,3),共2個(gè),

故所求概率是為：2

5

12.根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456X9+7=()

1X9+2=11

12X9+3=111

123X9+4=1111

1234X9+5=11111

12345X9+6=111111

A.1111110B.1111111

C.1111112D.1111113

【解析】選B.由1X9+2=11;

12X9+3=111;

123X9+4=1111；

1234X9+5=11111；

歸納可得：等式右邊各數(shù)位上的數(shù)字均為1,位數(shù)跟等式左邊的第二個(gè)

加數(shù)相同，

所以123456X9+7=1111111.

二、填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分,將答案填在題中的

橫線上)

13.已知a,b￡R,(a+bi)2=3+4i(i是虛數(shù)單位)，則ab=.

【解析】因?yàn)?a+bi)2=a?-b2+2abi=3+4i,

所以H0一＞所以ab=2.

、2ab=4,

答案：2

14.將正整數(shù)對作如下分組，第1組為{(1,2),(2,1)},第2組為

{(1,3),(3,1)},第3組為{(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)},第4組為

{(1,5),(2,4)(4,2)(5,1))……則第30組第16個(gè)數(shù)對為.

【解析】根據(jù)歸納推理可知，每個(gè)數(shù)對中兩個(gè)數(shù)字不相等，且第一組每

一個(gè)數(shù)對和為3,第二組每一個(gè)數(shù)對和為4,第三組每個(gè)數(shù)對和為

5,...,第30組每一個(gè)數(shù)對和為32,所以第30組第一個(gè)數(shù)對為(1,31),

第二個(gè)數(shù)對為(2,30),……，第15個(gè)數(shù)對為(15,17),第16個(gè)數(shù)對為

(17,15),故答案為(17,15).

答案：(17,15)

15.點(diǎn)(x。,y0)到直線Ax+By+C=O的距離公式為d=^^±￡_,通過類比

V/I2+B2

的方法，可求得：在空間中，點(diǎn)(0,1,3)到平面x+2y+3z+3=0的距離為

【解析】類比可知：

點(diǎn)（0,1,3）到平面x+2y+3z+3=0的距離為d=。停產(chǎn)二舊.

Vl2+22+32

答案:舊

16.觀察下列等式:

(sE：)=^x1X2；

-2

+(si九+(5?九期)+(si77日)4

=-X2X3;

3

(.7t\2(.26一2/.3兀、-2/.6兀、~24

(si九二J+[sin—j+\^sin—j+-'+[sin—j=-X3X4;

3

(.兀、-2(,2兀、-2/.3兀、-2/.87r\~24

+[sin—j+ysin—j+--+ysin—j=-X4X5;

3

照此規(guī)律,

【解析】每組角的分母恰好等于右邊兩個(gè)相鄰正整數(shù)因數(shù)的和.

4

答案：?。ň?1）

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

若J8+r8?Jat均為正實(shí)數(shù)），類比以上等式,可推測a,t的值,

則a+t=.

【解析】因?yàn)?+/2?

斤3.

15

由類比推理得:

所以a=8,t=63,

所以a+t=71.

答案：71

三、解答題（本大題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

或演算步驟）

17.（10分）據(jù)有關(guān)人士預(yù)測，我國的消費(fèi)正由生存型消費(fèi)轉(zhuǎn)向質(zhì)量型消

費(fèi),城鎮(zhèn)居民的消費(fèi)熱點(diǎn)是商品住房、車、電子信息產(chǎn)品、新型食品、

服務(wù)消費(fèi)和文化消費(fèi);農(nóng)村居民的消費(fèi)熱點(diǎn)是住房、家電.試設(shè)計(jì)表示

消費(fèi)情況的結(jié)構(gòu)圖.

【解析】消費(fèi)情況的結(jié)構(gòu)圖如圖所示:

18.（12分）某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價(jià)，將該產(chǎn)品按

事先擬定的價(jià)格進(jìn)行試銷,得到如下數(shù)據(jù)：

⑴求回歸直線方程產(chǎn)方x+a,其中2-20,廣歹-短；

⑵預(yù)計(jì)在今后的銷售中，銷量與單價(jià)仍然服從（1）中的關(guān)系，且該產(chǎn)品

的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價(jià)應(yīng)定為多少

元？（利潤=銷售收入-成本）

［解析】（1）X=2（%1+%2+%3+%4++%6）=8.5,

—1,、

（7i++%+%+%+%）=80.

所以3=5-易80+20X8.5=250,

所以回歸直線方程為產(chǎn)-20x+250.

⑵設(shè)工廠獲得的利潤為元?jiǎng)t

L=x(-20%+250)-4(-20%+250)=-20X2+330X-1

2

000=-20（%-弓）+361.25,

當(dāng)且僅當(dāng)x=8.25時(shí)，L取得最大值.

故當(dāng)單價(jià)定為8.25元時(shí)，工廠可獲得最大利潤.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

某工廠前10個(gè)月份的產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用如表:

產(chǎn)量

40424855658088100120140

x/千件

生產(chǎn)費(fèi)用

150140160170150162185165190185

y/千元

（1）求線性回歸方程；

⑵估計(jì)當(dāng)生產(chǎn)200千件時(shí)的生產(chǎn)費(fèi)用;

⑶計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù).

【解析】（1）由表格數(shù)據(jù)得京77.8,歹=165.7,

10

101010Zxiyi-lOxy

062,EV,-277119,￡xy=133100,所以尸胃--------

i=li=1i=1Lx?-10x2

i—ii

133100-10X77.8X165.7

=---------------------七0.4,

71062-10X77.82

a=y-WC^165.7-0.4X77.8=134.58,

所以線性回歸方程為產(chǎn)134.58+0.4x.

⑵當(dāng)x=200時(shí),產(chǎn)134.58+0.4X200=214.58(千元)所以當(dāng)生產(chǎn)200千件

時(shí)的生產(chǎn)費(fèi)用為214.58千元.

10

工x^yt-lOxy

⑶?

1010

J昌a-10/J昌W-io92

_133100-10X77.8X165.7

^71062-10X77.82X^277119-10X165.72

70.81.

所以x與y的相關(guān)系數(shù)約為0.81.

19.(12分)已知復(fù)數(shù)z=W也(m￡R,i是虛數(shù)單位).

l-i

(1)若z是純虛數(shù)，求m的值.

⑵設(shè)，是z的共輾復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)5+2z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,求

m的取值范圍.

_2+4mi(2+4mi)(1+i)

【解析】(1)z

l-i(l-i)(1+i)

=1-2m+(2m+1)i.因?yàn)閦是純虛數(shù)，

1

所以1-2m=0且2m+1=#0,解得m=-.

2

(2)因?yàn)椋莦的共朝復(fù)數(shù),

所以弟1-2m-(2m+1)i.

所以Z+2z=1-2m-(2m+1)i+2[1-2m+(2m+1)i]

=3-6m+(2m+1)i.

因?yàn)閺?fù)數(shù)，+2z在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限,

所以件6加＞0,解得」

即實(shí)數(shù)m的取值范圍為：）.

【補(bǔ)償訓(xùn)練】

已知復(fù)數(shù)z=—+i（aGR）.

2+i

⑴若z￡R，求z.

⑵若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,求a的取值范圍.

【解析】（1）z=2+i=^^i=^+^i,

2+i555

5一a

若z￡R,則一=0,所以a=5,所以z=2.

S

⑵若z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，

貝I四＞0且三＞0,

55

解得0＜a＜5,即a的取值范圍為（0,5）.

20.（12分）有聲書正受著越來越多人的喜愛.某有聲書公司為了解用戶

的使用情況，隨機(jī)選取了100名用戶，統(tǒng)計(jì)出年齡分布和用戶付費(fèi)金額

（金額為整數(shù)）情況如圖.

年齡分布條形圖付費(fèi)情況闞形圖

1020元

41歲及以上||12%

3K歲仁二）8%

31-35歲

25-30歲]30%

24歲及以下尸134%1°元以下

有聲書公司將付費(fèi)高于20元的用戶定義為“愛付費(fèi)用戶”，將年齡在

30歲及以下的用戶定義為“年輕用戶”.已知抽取的樣本中有^的“年

8

輕用戶”是“愛付費(fèi)用戶”.

⑴完成下面的2X2列聯(lián)表,并據(jù)此資料,能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過

0.05的前提下認(rèn)為用戶“愛付費(fèi)”與其為“年輕用戶”有關(guān)？

愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶總計(jì)

年輕用戶

非年輕用戶

總計(jì)

⑵若公司采用分層抽樣方法從“愛付費(fèi)用戶”中隨機(jī)選取5人，再從

這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行訪談,求抽取的2人恰好都是“年輕用戶”

的概率.

P

0.050.0250.0100.0050.001

(K2>k0)

ko3.8415.0246.6357.87910.828

,2_n^ad-bc)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

【解析】⑴根據(jù)題意可得2X2列聯(lián)表如表:

愛付費(fèi)用戶不愛付費(fèi)用戶總計(jì)

年輕用戶244064

非年輕用

63036

戶

總計(jì)3070100

由表中數(shù)據(jù)可得K?的觀測值k=i0°x（-4x3040x6）刈4.76>3.841,

30X70X64X36

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為“愛付費(fèi)用戶”和“年

輕用戶”有關(guān).

⑵由分層抽樣可知，抽取的5人中有4人為“年輕用戶”，記為

AbA2,A3,A4,1人為“非年輕用戶”，記為B.

則從這5人中隨機(jī)抽取2人的基本事件

有：（4,&），（41，43），（4,”4），

（力1，B）,（A2,4）,（42,44）,（&'B）,（4，44），（&，B）,（44,B）,

共10個(gè)基本事件.

其中滿足抽取的2人均是“年輕用戶”的事件

有：（4,&）,（41，A3），（“1，“4），（“2,4），（&，4）,（43,44）,共

6個(gè).

所以從中抽取2人恰好都是“年輕用戶”的概率為

105

-1

21.（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=x、二一,x￡[0,1].

1+x

證明：⑴f(x)Nl-x+x)(2)頭f(x)

42

[證明](1)方法一(綜合法):1-x+x2-x3=(1-x)+x2(1-x)

_(l+x)(1-x)(l+x2)l-x4

(1-x)(1+x2)

14~X1+x

1—i1

又xG[0,1],所以----又---，即1-x+x2-x3^---,所以千(x)21-x+xl

1+x1+x1+x

-1

32

方法二(分析法)：要證f(x)^1-x+x\xG[0,1],即證x+—^1-x+x,

11

只需證x3-x2+x-1+---20,即證x2(x-1)+(x-1)+---20即

1+x1+x

1

(x-1)(x2+1)+---20,再證(x+1)(x-1)(x2+1)+120,即證

1+x

(x2-1)(x2+1)+1^0,即x'20,由X￡[0,1]知，x420,綜上，f(x)》

1-x+x2.

-1

⑵方法一：由x￡[0,l]得YWx,所以f(x)=x、其W

133_(x-l)(2x+l)3—3

x十五丁丁丁2G+1)+產(chǎn)W'

所以f(x)由⑴得千(x)^1-X+X2=(X--)2+-^-)又

2V2744\27244

所以綜上,1<f(x)w|.

方法二:①由⑴得f(x)21-x